导数切线斜率问题解析版

考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线()sin cos f x x x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为 . 【答案】12【解析】1()sin 22f x x =，则()cos 2f x x '=，1()cos(2)662f ππ'=⨯=． 2．曲线x y e x =+在0x =处的切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】函数的导数为()'1xf x e =+，则在0x =处的导数()0'01112f e =+=+=，即切线斜率()'02k f ==.3．曲线34y x x =-在点()1,3-处的切线的倾斜角为 . 【答案】135°【解析】由题得2()34,(1)341=tan f x x k f α''=-∴==-=-，所以切线倾斜角为135°.4．已知曲线()323f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ . 【答案】35【解析】曲线()323f x x =，点的坐标为21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以2'()2f x x = ，在点21,3⎛⎫⎪⎝⎭处切线斜率2k = ，即tan 2α= 所以222sin cos 2sin cos cos ααααα-+分子分母同时除以 2cos α可得 222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 132tan 15αα-==+ 5．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα+的值为 . 【答案】35【解析】根据已知条件，212()f x x x '=+，因为曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，所以tan (1)123f α'==+=，02πα<<.因为22sin cos 1a α+=，sin tan 3cos ααα==，则解得sin α=cosα=，3cos(2)sin 22sin cos 25παααα+=-=-=-.6．已知曲线234x y lnx =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 。

导数的几何意义求切线方程专题题型一：切点已知求切线方程【例1】.函数f(x)=xe x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________．【答案】y=2ex−e【解析】因为f(x)=xe x，所以f(1)=e，f′(x)=e x+xe x，所以f′(1)=2e，所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即y=2ex−e．变式1.已知函数f(x)=x+aln⁡x．当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；【答案】2x−y−1=0【解析】当a=1时，f(x)=x+ln⁡x，f′(x)=1+1x(x>0)．所以f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为2x−y−1=0．【备注】考查导数的几何意义，先由导数得到斜率，再根据点斜式得到切线方程．变式2.已知函数f(x)=(x+1)ln⁡x−a(x−1)．当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；【答案】y=−2x+2．【解析】当a=4时，f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=ln⁡x+1−3,因此f′(1)=−2，从而所求的切线方程为y=−2(x−1)，也即y=−2x+2．【备注】本小题是常规的利用导函数求函数的切线方程问题．题型二：切点未知求切线方程【例2】.【2018年浙江宁波高二下学期周测】过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为________【答案】y=ex【解析】y′=e x设切点的坐标为(x0,e x0)，切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y−e x0=e x0(x−x0)又切线过原点，∴−e x0=e x0(−x0)，∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．变式.已知函数f(x)=x3−3x，过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________【答案】3x+y=0或24x−y−54=0【解析】由f(x)=x3−3x，得f′(x)=3x2−3，设切点为(x0,x03−3x0)，则斜率k=3x02−3，∴切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，即y=(3x02−3)x−2x03．∵切线过点P(2,−6)，则−6=2(3x02−3)−2x03，解得：x0=0或x0=3．∴所求切线方程是y=−3x或y=24x−54．故答案为：3x+y=0或24x−y−54=0．题型三：已知切线方程求参数【例3】.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切，则m= ________【答案】1【解析】设切点为P(x0,y0)．易知y′|x=x=2x0．由{2x0=−2,y0=x02,得{x0=−1,y0=1,所以P(−1,1)．又P(−1,1)在直线2x+y+m=0上，所以2×(−1)+1+m=0，解得m=1．变式1.【2016年辽宁大连单元测试】设函数f(x)=x2-ln⁡(x+a)+b，g(x)=x3．若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y=0，求实数a,b的值；【答案】a=1，b=0【解析】f′(x)=2x−1x+a依题意{f′(0)=−1a=−1 f(0)=−ln⁡a+b=0变式2.【2015年浙江舟山高二下学期月考】在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=√1−x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=−x2+mx相切于x=1处，则m=________【答案】2【解析】函数y=f(x)=2即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，即有在(0,1)处的切线为y=1，由题意可得直线l：y=1也是g(x)=−x2+mx的切线，所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g′(0)=−2∗0+m=0且g(1)=1,所以m=2题型四:公切线求参数问题【例4】.若直线y=kx+t是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则t=________ ．【答案】4−2ln⁡2【解析】设y=kx+t与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为(x1,kx1+t)、(x2,kx2+t)．由导数的几何意义可得k=e x1=e x2+1，得x1=x2+1．再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+t=e x1+2，kx2+t=e x2+1．联立上述式子{k=e x1x1=x2+1 kx1+t=e x1+2 kx2+t=e x2+1解得k=2，x1=ln⁡2，t=4−2ln⁡2．故答案为4−2ln⁡2．【备注】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可变式：函数f(x)=ln⁡x+mxx+1与g(x)=x2+1有公切线y=ax(a>0)，则实数m的值为________ ．【答案】4【解析】设公切线y=ax与g(x)=x2+1的切点为(x0,x02+1)，g"(x)=2x，故切线斜率为2x0，则切线为y−(x02+1)=2x0(x−x0)，因为切线过原点(0,0)，所以−x 02−1=−2x 02，解答x 0=1或x 0=−1， 因为切线斜率a =2x 0>0，所以x 0=1，a =2， 设公切线y =2x 与f(x)=ln⁡x +mxx+1相切与点(x 1,ln⁡x 1+mx 1x 1+1)，f"(x)=1x +m (x+1)2，故斜率1x 1+m(x1+1)2=2①切线方程为y −(ln⁡x 1+mx 1x1+1)=(1x 1+m(x 1+1)2)(x −x 1)，因为过(0,0)，所以−ln⁡x 1−mx 1x1+1=−1−mx 1(x 1+1)2②联立①②解得x 1=1,m =4． 故答案为4．【备注】本题考查利用导数研究函数在某一点处的切线方程，根据条件设出切点，利用切线过原点且和两函数图象相切即可求出m 的值．针对训练1.曲线f(x)=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．−9 B ．−3 C ．9 D ．15【答案】C【解析】因为y ′=3x 2，切点为(1,12)，所以切线的斜率为3，故切线方程为3x −y +9=0，令x =0，得y =9【备注】求在某点处切线2.【2018年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中考试数学试卷】已知直线y =−2x −23与曲线2f(x)=13x 3−bx 相切，则b =________． 【答案】3【解析】f(x)=13x 3−bx ，f ′(x)=x 2−b =−2，{x 2−b =−213x 3−bx =−2x −23，x =1，b =3．3.已知函数f(x)=ax2+(2a−1)x−ln⁡x，a∈R．若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线经过点(2，11)，求实数a的值；【答案】a=2【解析】由题意得f′(x)=2ax+(2a−1)−1 x=2ax2+(2a−1)x−1x=(2ax−1)(x+1)x∴f′(1)=2(2a−1)∵f(1)=3a−1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2(2a−1)(x−1)+3a−1代入点(2，11)，得a=2【备注】根据题意，对函数f(x)求导，由导数的几何意义分析可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程，代入点(2，11)，计算可得答案4.【2013年山西太原单元测试】设函数f(x)=x3−3ax+b,a≠0在点(2,f(2))处与直线y=8相切求实数a,b的值；【答案】a=4,b=24；【解析】f′(x)=3x2−3a，f′(2)=0,f(2)=8即12−3a=0,8−6a+b=8解得a=4,b= 245.函数f(x)=x2−2ax+ln⁡x(a∈R)．函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y+ 1=0垂直，求a的值；【答案】a=52【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2a+1x，f′(1)=3−2a，由题意f′(1)⋅12=(3−2a)⋅12=−1，解得a=52．6.已知函数f(x)=aln⁡x−bx2图像上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=−3x+2ln⁡2+2，求a,b 的值【答案】a=2,b=1【解析】f′(x)=ax−2bx{k=f′(2)=a2−4b=−3y0=f(2)=aln⁡2−4b=−6+2ln⁡2+2解得：a=2,b=1【备注】若想解得参数a,b需要注意两点：1、切点是个很特殊的点，既在曲线上，又在切线上。

第5讲 导数切线方程11类【题型一】 求切线基础型：给切点求切线【典例分析】 已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________. 【答案】20x y -=【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程． 【详解】因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02kf ='=，则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.【答案】310x y -+=【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程. 解：由()()1xf x x e x =++，得()'(1)1x x fx e x e =+++， 所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13fe e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=， 故答案为：310x y -+=，2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a =+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.【答案】32y x =-- 【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，22x y x =+，对函数求导得()()()222222422x x x x xy x x +-+'==++，则曲线在点P 处的切线斜率为13x k y =-'==-，因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--. 故答案为：32y x =--.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【答案】B【分析】求出函数()2ln x f x x a =+的导数'12()x f x x a ,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π得'(1)1f =-,由此可求a 的值. 解:函数()2ln x f x x a=+的导数'12()x f x x a ,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π,∴'(1)1f =-,∴211a,∴1a =-故选B.【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4-- 【答案】C 【详解】令()'2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，故选C. 【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练】1.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） A 2 B ．2C ．2ln 2D ．ln 2【答案】D【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（ ）A ．2π32303x -=B 3π3210x y +-= C ．2π32303x -= D 3π3210x y += 【答案】A 【分析】求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程. 【详解】解：∵cos y x =，∵sin y x '=-， 曲线在点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率是π3π3sin3x y ='=-= ∵过点P 且与曲线在点P 3∵所求直线方程为1π233y x ⎫-=-⎪⎭，即2π32303x -=． 故选：A.3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1 【分析】由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即可求解.【详解】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==， 所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=； 当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意， 综上可得，切点为()0,1.故答案为：()0,1.【题型三】 求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（ ）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【答案】B【分析】求导得到()2'3f x x =，根据垂直关系得到()2'33f a a ==，解得答案.【详解】()3y f x x ==，()2'3f x x =，直线310x y ++=，13k =-，故()2'33f a a ==，解得1a =±.故选：B .【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________ 【答案】1ln2-+ 【解析】 【分析】先设切点为00(,)x y ，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果. 【详解】设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导，得到1y x'=，又曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+， 所以切线斜率为0112x =，∴02x =， 因此0ln 2y =，即切点为()2,ln 2，代入切线12y x b =+，可得1ln 2b =-+. 故答案为：1ln2-+.2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________. 【答案】2【分析】先设出切点坐标(,)m n ，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果. 解：设切点为(,)m n ，由3y ax =得'23y ax =，则由题意得，2336640am m n n am ⎧=⎪--=⎨⎪=⎩，解得1,2,2m n a ===，故答案为：23.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：14.【题型四】 无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______. 【答案】2- 【解析】 【分析】求出2ln y a x =的导数，设切线为(,)m n ，由切点处的导数值为切线斜率求出m a =，再由切点坐标可把b 表示为a 的函数，再利用导数可求得b 的最小值． 【详解】2ln y a x =的导数为2a y x'=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(),m n ，则22am =， ∴m a =，又22ln m b a m +=，∴2ln 2b a a a =-（0a >），()2ln 122ln b a a '=+-=， 当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减， ∴1a =为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln122-=-. 故答案为：2-．【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 【答案】0【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①. 又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________【答案】12e + 解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1xf x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②.联立①②解得：12m =，2e n =，故11222e e m n ++=+=.故答案为：12e +. 3.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【详解】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【题型五】 “过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________. 【答案】(),1e1e【分析】设切点坐标为(,)x lnx ；利用导数求切线方程并求切点坐标． 解：设切点坐标为(,)x lnx ；1y x '=；故由题意得，1lnx x x=；解得，x e =；故切点坐标为(,1)e ；切线的斜率为1e； 故切线方程为1()1y x e e =-+，整理得0x ey -=．故答案为：(,1)e ；1e.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________. 【答案】21y x =+.【详解】设切点坐标为()000,e x x x +，由xy e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++， 切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0xx =，∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+. 2.过点(0,1)-作曲线)ln f x x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】,1)e【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标. 【详解】由(ln f x x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x e =，则切点坐标为,1)e . 故答案为：(,1)e .3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（ （A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 【答案】C【分析】设切点为00(,ln )x x ∵求出切线方程00ln 1xy x x =+-，即得001ln 10a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即得a 的值.【详解】设切点为00(,ln )x x ∵∵切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-∵ ∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故答案为：C【题型六】 判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】 【分析】 设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，213t =313t =因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条.故选：C.【变式演练】1.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为()000,e x x x ∵(1)xy x e =+'∵000(1)x x x y x e =∴=+⋅'，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅- 2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a.故答案为:A.2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l（ （ A ．有3条 B ．有2条 C ．有1条 D ．不存在【答案】D 【解析】试题分析：()1x ae f x a=-'，依题意，()0f x '<在R 上有解.当0a <时，()0f x '<在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()0,,ln x af x a e x a a <'符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x ex e =-，分别画出,1x x e xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存在.3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：由曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出a 的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果. 详解：由()3291f x x ax x =+-+，得()2'329f x x ax =+-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，()'y f x ∴=关于1x =对称，即133aa -=⇒=-，点(),a a ，即为()3,3--， 所以()32391f x x x x =--+，()2'329f x x ax =+-，设切点为()(),t f t 切线的方程为()()3'3y f t x +=+，将点()32,391t t t t --+代入切线方程可得()()3223933693t t t t t t --+=--+，化为322636310t t t ---=，设()32263631g t t t t =---()2'61218g t t t =--令()'0g t >得3t >或1t <-，令()'0g t <得10t -<<，()32263631g t t t t =---在()(),1,3,-∞-+∞上递增，在()1,3-上递减，t ∴在1-处有极大值，在3处有极小值，()110g ∴-=>且()31390g =-<， ()32263631g t t t t =---与x 有三个交点，∴方程()0g t =有三个根，即过(),a a 的切线有3条，故答案为3.【题型七】 多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．1a <- C ．02e a << D ．20a e<<【答案】C 【解析】 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a 的取值范围. 【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t t s a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩， 构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e >时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e <<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<. 故选：C【变式演练】1.函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案. 【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =. 故选：A.2.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（ ）条公切线. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y ee x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1xe x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x e x --⋅-=③.构造函数()()11x h x x ex -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e -=->=-<=->， 根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B 3.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（ ） A ．11ln 222-- B ．ln21--C ．12-D ．ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 导数，设出切点，求出切线，将其与2()g x x a =+联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的最小值. 【详解】 解：'1()f x x=，设公切线与曲线()ln f x x =相切的切点为(),ln ,0m m m >， 则公共切线为()1ln y x m m m=-+， 即ln 0x my m m m --+=，其与2y x a =+相切， 联立消去y 得：2ln 0mx x am m m m -++-=， 则()14ln 0m am m m m ∆=-+-=有解， 即211ln 4a m m=-+有解， 令()211ln 4h m m m =-+，0m >， 则()2'33112122m h m m m m -=-+=，令232102m m -=，得2m =， 则()211ln 4h m m m =-+在20,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()2min 21212411ln 222h m h ==-+=⎝⎭⎝--⎭， 则11ln 222a --≥，所以实数a 的最小值为11ln 222--.故选：A.【题型八】 切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（ ） A 21 B 21 C ．21-- D ．21【答案】B 【分析】先求导，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点()1,0，再利用()1,0到直线y x a =+的距离为1，结合图象解得参数即可. 【详解】函数ln y x =的导函数为1y x=，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为1， 12=，解得21a =，结合图象可知，21a =. 故选：B.【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】A 【分析】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b 的值，进而可得结果. 【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切， 则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ， 则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+， 由切线斜率等于切点的导数值可得11m=， 联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB 2221(1)=+-， 故选：A.2.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（ ） A ．1 B 2C ．2 D ．3【答案】B 【分析】根据函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()x f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离211d =+ 所以||MN 2 故选：B. 3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】试题分析：对y=x 2求导可求与直线x -y -1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d ．解：（法一）对y=x 2求导可得y′=2x ，令y′=2x=1可得x=∵与直线x -y -1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切点（，），切线方程为y -=x -即x -y -=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】 切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称， 所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x '==，∵ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =2 故原式的最小值为2.故选：B .【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称， 所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方， 此时11y x'==， ∵ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =2 故原式的最小值为2. 故选：B .2.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.【答案】10 【分析】224()()a b a b ++-表示点(,)a a 与点4(,)b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,)b b-（0b <）是反比例函数4y x=-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值 【详解】解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,)B b b -距离的平方，而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，当B 是斜率为1的直线与4y x=-相切的切点时，点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值， 由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-， min ||22,82AB c ∴===， 所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=， 当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10， 故答案为：103.已知a R ∈，b R ∈()()221ba b a e -+--______．2【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答. 【详解】()()221ba b a e-+--(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),b b e 的轨迹是曲线()xf x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()xf x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离2221(1)d ==+-2【题型十】 切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出直线y kx =与曲线x y e =相切时k 的值，再数形结合将e x ax >对任意的实数x 恒成立转化为0a e ≤<，最后判断充要关系即可得解. 【详解】设直线y kx =与曲线x y e =相切，且切点为()00,xx e ， 则000xx k e e kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x =，所以切点为()1,e ，k e =，所以切线方程为y ex =.数形结合可知，e x ax >对任意的实数x 恒成立等价于0a e ≤<.而由0a e ≤<不能得到02a <<，故充分性不成立； 反之，由02a <<可得到0a e ≤<，故必要性成立.故选：B .【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．[]1,21e -- B ．(,21]e -∞- C ．[]1,1e -- D ．(,1]e -∞-【答案】A 【分析】由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为2x e mx x +恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案． 【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立． 当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x -'=． 当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x <时，2e 1xm x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A 2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________. 【答案】0 【分析】利用导数的几何意义分别求解出ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程以及x y e =在点()22,Q x y 处的切线方程，根据两切线重合，求解出12,x x 之间的关系式，由此可化简计算出12111x x x ++-的值. 【详解】ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=-， x y e =的导数为e x y '=，可得曲线x y e =在点()22,Q x y 处的切线的方程为()222x xy e e x x -=-，由两条切线重合的条件，可得211x e x =，且()212ln 11xx e x -=-，则21ln x x =-，即有()1111ln 11ln x x x -=+，可得1111ln 1x x x +=-，则121111ln ln 01x x x x x ++=-=-.故答案为:03.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：∵直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae-=-+，得2a e =；∵直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【题型十一】 切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】ln 31[,)3e 【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩， ∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e =；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______. 【答案】1-函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -， 切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是 A ．tan αα> B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对【答案】C 【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根α，利用斜率公式可得α与tan α的大小关系. 【详解】由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α. ∵α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ， 052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴= 故选C.3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（ ） A ．221,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-， 设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-， 则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e=-； 当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________. 【答案】[2,1]e + 【分析】 因为1()f x a x'=+，可得1(0)1f a '==，即1a =，所以()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，结合已知，即可求得答案. 【详解】1()f x a x '=+，1(0)1f a'∴==，1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，又()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=，∴021x e ≤-≤-，21x e ∴≤≤+.即[2,1]e +故答案为：[2,1]e +2.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______. 【答案】12-【分析】根据函数()2ln xf x ax x=-，求导，再根据曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，由()1122f a '=-=求解.【详解】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-， 又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行， 所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-3.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ．4.已知直线0x y -=是函数ln ()a xf x x=图像的一条切线（且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解（则（ （ A ．{}ln 2t e ∈ B ．[0,ln 2]t e ∈C ．[0,2]t ∈D ．(,0]t ∈-∞【答案】A【解析】设切点坐标000alnx x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2a alnx y x -='则切线方程为()000200alnx a alnx y x x x x --=- 又直线0x y -=是函数()alnxf x x=图像的一条切线∵切线过()00，代入 解得0x e =，则切点坐标为e e ，代入解得2a e =故()2ln e xf x x =∵()()221e lnx f x x'-=令()0f x '=∵x e =为()f x 的极大值 又()()f f x t =恰有一个实数解∵则()() 2t f f e eln ==故选A5.．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】C 【解析】试题分析:设切点分别为),(11y x P 或),(22y x P ,因x e x g xx f ==)(,1)(//,故211x e x k ==,由此可得k x k x ln ,121==,切线方程分别为)1(1ln kx k k y -=-和)ln (k x k k y -=-.由题设可得k k k k ln 1ln +-=+,即1ln )1(+=-k k k ,也即11ln -+=k k k ,由题意这个方程解的个数就是点P 的个数.在平面直角坐标系中画出函数k y ln =和函数11-+=k k y 的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.考点：导数的几何意义及函数的图象和性质的综合运用.6.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()1,+∞ 【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点M 代入整理得00ln 1x m x =+，使得方程关于0x 有两解，构造函数()()0ln 1xg x x x =>+，利用导数研究函数的单调性和极值，求出()min g x ，即可求得实数m 的取值范围.解：由题可知，曲线C ：ln y x x =⋅，定义域为()0,∞+，则ln 1yx ，设切点为()00,x y ，则切线斜率为：0ln 1k x =+，切线方程为：()()000ln 1y y x x x -=+-， 将(),0M m 代入切线方程得：()()000ln 1y x m x -=+-， 又因为000ln y x x =⋅，所以00ln 0m x m x +-=，整理得：00ln 1x m x =+，由于过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，即00ln 1x m x =+有两个解，可设()()0ln 1x g x x x =>+，则()()2ln ln 1x g x x '=+，令()0g x '=，即ln 0x =，解得：1x =， 令()0g x '<，即ln 0x <，得：1x <，所以()0,1x ∈时，()f x 单调递减， 令()0g x '>，即ln 0x >，得：1x >，所以()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，Oyk所以()()min 11g x g ==， 所以当1m 时，00ln 1x m x =+有两个解，即过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条， 则实数m 的取值范围是：()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.7.．已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=（则()f x 和()g x 的公切线的条数为 A ．三条 B ．二条C ．一条D ．0条【答案】A 【解析】 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与()f x 和()g x 分别相切于点()()()()(),,,,24m f m n f n f x x =-'，()()()()()2,g n f m g x x g n f m n m--=-==''-'，解得222n m -=-+，代入化简得328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，原函数在()22-00+33⎛⎫⎛⎫∞∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，极大值()200,03f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭极小值，故函数和x 轴有交3个点，方程328810n n -+=有三解，故切线有3条. 故选A.8.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()a y a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在)e 递增，,)e +∞递减，max ()()2g x g e e ==． 所以a ∈(]0,2e ，填(]0,2e ．9.已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可求出函数的切线，又由切线为公切线，故两切线重合，即可求解. 【详解】设公切线与曲线()y g x =切于点()22,ln x x ，()()1'2,f x x g x x'==则曲线()y f x =在点()211,1x x +处的切线方程为()()211112y x x x x -+=-，即21121y x x x =-+，曲线()y g x =在点()22,ln x x 处的切线方程为22ln 1xy x x =+-， 所以12212121ln 1x x x x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，所以()211ln 22x x -=.故答案为：210.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________. 【答案】2 【分析】将问题转化为曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方的最小值，结合导数以及点到直线距离公式求得最小值. 【详解】依题意得ln a b =，10d c -+=，则(),b a 是曲线ln y x =上的点，(),d c 是直线10x y -+=上的点，所以22()()a c b d -+-可看成曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方. 直线10x y -+=的斜率为1， '1ln y x y x =⇒=，令'111y x x==⇒=，所以过曲线ln y x =上一点()1,0的切线与直线10x y -+=平行， 点()1,0到直线10x y -+=10122-+=因此22()()a c b d -+-的最小值为222=.故答案为：2 11.已知方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-【答案】A 【分析】 方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解，等价于()cos ,,0y x y kx k ==>的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外），数形结合可得y kx =与cos y x =-相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果. 【详解】方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解，等价于()cos ,0x kx k =>有且仅有两个不同的实数解，即()cos ,,0y x y kx k ==>，有且仅有两个不同的交点（原点除外）. 画图cos y x =，y kx =的图象.由图可知，y kx =与cos y x =-相切时符合题意， 设()cos f x x =-， ()'sin ,f x x =因为θϕ>，所以θ为切点横坐标，且ϕ是直线y kx =与cos y x =的交点横坐标， 因为切线过原点，所以切线斜率k cos cos sin θϕθθϕ-===，所以cos sin ϕθϕ=，故选A.。

第十二讲 导数的切线方程1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法（1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===- 0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•=3. 切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

（2）设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【答案】（1）π4.（2）e 【解析】（1）∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. （3）由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ．（1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标；（2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标；（3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．【答案】（1）(2,4)；（2）39(,)24-；（3）11(,)24-．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x 0=4,x 0=2,代入曲线y 0=4,切点P （2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于- 1.0000139392x =-1,x =-,将x 代入曲线y =,故P （-，）32424（3）因为切线l 的倾斜角为135︒，所以其斜率为1-．即021x =-，得012x =-，014y =，故11(,)24P -．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0.【答案】x －y －1＝0【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为.2．点P在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 . 【答案】2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意可知：''1xy e ==+⎝⎭ 则()()()221111'111x xxx e y e e e ⎫+-⎪=-=-⎪+++⎝⎭令()1,0,11x t t e =∈+所以)()2',0,1y t t t =-∈可知)'y ⎡∈⎣ 曲线在点P 处的切线的斜率范围为)⎡⎣，所以)tan α⎡∈⎣故2,3παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3．已知函数()()21,.f x g x xx==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l的斜率为 . 【答案】4-【解析】设直线l 的斜率为k ，则()21'k f x x ==-，解得x =，切点为⎛⎝；且()'2kg x x ==，解得2kx =，切点为2,24k k ⎛⎫⎪⎝⎭； 因为l 与曲线()f x ，()g x 都相切，所以2k k +=，解得4k =-．考法二：在某点处求切线方程1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________. 【答案】20x y -+=【解析】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .【答案】210x y -+=【解析】因为()2()32x f x e x x '=++，所以(0)2f '=，又因为(0)1f =，所以切点为(0)1，， 所以曲线()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为210x y -+=.4．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .【答案】40x y +=【解析】由题：()()221f x x xf =+'，所以()()'221f x x f +'=，()()'1221f f =+'，所以()'12f =-，所以()24f x x x =-，()24f x x '=-，()00f =，()04f '=-所以切线方程为40x y +=.5．设a 为实数，函数()()322f x x ax a x =++-的导函数是fx ，且fx 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 . 【答案】2y x =-【解析】由()()322f x x ax a x =++-所以()()2'322f x x ax a =++-，又()f x '是偶函数，所以20a =，即0a =所以()2'32f x x =-则()'02f =-，所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-考法三：过某点求切线方程1．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】由题, 1'y x=,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒.故答案为：10x y --= 2．求函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为 . 【答案】0x y -=【解析】由函数()32f x x x x =-+，则()2321f x x x '=-+，所以()01f '=，所以函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=.3．若过原点的直线l 与曲线2ln y x =+相切，则切点的横坐标为 . 【答案】1e【解析】设切点坐标为()00,2ln x x +，由1y x'=，切线方程为00012ln ()y x x x x --=-， 原点坐标代入切线方程，得02ln 1x +=，解得01ex =.4．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为 .【答案】2【解析】设切点坐标 3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2y x x x =--，切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =， 故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2.考法四：已知切线求参数1．已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a = .【答案】-1 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-.2．已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为 .【答案】43【解析】当0x >时，()()2221ax axf x x +'=+，()11f '=，即314a=，得43a =.. 3．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 。

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或2x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝2x ＋sin x ＋x(sin x)′－sin x ＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)． 解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. （5分） （2）设g(x)＝f(x)－b ＝x 2＋xsin x ＋cos x －b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y ＝f(x)与y ＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b 2＋2bsin 2b ＋cos 2b －b>4b －2b －1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2xf x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1）， 可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0， 当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

切线斜率与导数在微积分中，切线的斜率与导数之间存在着紧密的关系。

通过研究切线的斜率与导数的概念和性质，我们可以更好地理解微积分的基本概念与应用。

本文将从切线斜率的定义开始，逐步介绍切线斜率和导数之间的关系，以及如何利用导数计算切线的斜率。

同时，我们还将探讨一些切线斜率与导数在实际问题中的具体应用。

1. 切线斜率的定义切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。

切线的斜率表示了曲线在该点附近的变化趋势。

对于曲线上任意一点P(x, y)，过该点的切线的斜率可用以下公式表示：切线斜率= lim_(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f(x)为曲线上的函数表达式，h为一个无限趋于0的数。

2. 切线斜率与导数的关系利用极限的概念，我们可以将切线的斜率与导数建立起明确的联系。

在微积分中，导数描述了函数在某一点处的变化率。

对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。

当切线与曲线相切时，切线的斜率等于曲线在该点处的导数。

即：切线斜率 = f'(x)3. 利用导数计算切线斜率利用导数的定义和性质，我们可以通过求导数的方法来计算切线的斜率。

以函数y = f(x)为例，求函数在点x=a处的切线斜率的步骤如下：a. 求导数f'(x)；b. 将x=a代入导函数f'(x)中，得到导数在点x=a处的值，即f'(a)；c. 切线的斜率等于导数在点x=a处的值，即切线斜率 = f'(a)。

4. 切线斜率与函数的图像特征切线的斜率与函数的图像特征密切相关。

当函数逐渐增加时，切线的斜率为正；当函数逐渐减少时，切线的斜率为负。

当函数取得极大值或极小值时，切线的斜率为0。

通过研究切线的斜率，可以帮助我们了解函数的增减变化、极值位置等特征。

5. 切线斜率与实际应用切线斜率的概念广泛应用于实际问题中。

例如，在物理学中，速度的变化率即为加速度，可以利用切线斜率的概念进行描述。

导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值例1．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．解:（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．练习1．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.解:（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.例2．函数32()(1)31f x x a x x =+--+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，求实数a 的取值范围．解:（1）当1a =时，3()31,R f x x x x =-+∈．由2()33f x x '=-，令()0f x '>，解得1x <-或1x >；令()0f x '<，解得11x -<<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-．（2）易知原点O 不在函数()f x 的图像上，设切点为(,())(0)t f t t ≠．求导得2()32(1)3f x x a x =+--'，则()()f t f t t ='，即322(1)3132(1)3t a t t t a t t +--+=+--，整理得322(1)10t a t +--=，所以2112a t t -=-，令21()2(0)g t t t t =-≠，则32()2g t t =+'，令()0g t '>，解得0t >或1t ≤-；令()0g t '<，解得10t -<<，所以函数()g t 在区间(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上递增，故当0t <时，max ()(1)3g t g =-=-；当t →-∞时，()g t →-∞；0t →时，()g t →-∞，当0t >时，()g t 的取值范围为R ．而过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，则()()f t f t t='有三个不相等的实数根，也就是直线1y a =-与函数()y g t =的图象有三个交点，则有13a -<-，即4a >．练习2．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．解:曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝ex 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，en ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x =，f ′（x ）＝ex ，可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1，当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m ≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1化为lnm 11m m +=-，由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象有两个交点，可得方程lnm 11m m +=-有两个实根，则曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条．例3．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a .解:（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =,当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a=．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,)a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a 上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11()ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．练习3．已知()()2,R f x x x c c =-∈.(1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若03c <<，求()f x 在区间[1]2，上的最小值.解:（1）由题知，()()()3f x x c x c =--'，由题意，()()()2260f c c '=--=，得2c =或6c =，当2c =时，在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极小值，不符题意；当6c =时，在()(),2,6,-∞+∞上()0f x ¢>，在()2,6上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极大值，符合题意.综上，6c =.（2）令()0f x '=，得3cx =或x c =，由03c <<，则在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由题意，13c <，当23c ≤<时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，则()2min ()22(2)f x f c ==-，当12c <<时，()f x 在区间()1,c 上单调递减，在(),2c 上单调递增，则()min ()0f x f c ==，当01c <≤时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()2min ()1(1)f x f c ==-，综上，()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩.例4．已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ．(1)若()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值；(2)若0x 是()f x 的极大值点，且()2002f x x a <-恒成立，求a 的取值范围．解:（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=-+=．()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价于()0f x '≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2220x x a -+≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以方程2220x x a -+=的两个根分别为14，34，由根与系数的关系可得13244a =⨯，所以38a =．（2）若0x 是()f x 的极大值点，定义域为()0+∞，，则()0f x '=至少有一正根，即方程2220x x a -+=至少有一正根．若0a =，则方程2220x x a -+=的正根为1x =，因为当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点1，不符合题意．若0<a ，则方程2220x x a -+=有一正根和一负根，设为α，β，且0α>，0β<，则()()2222x x a x x αβ-+=--．因为当0x α<<时，()0f x '<，当x α>时，()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点α，不符合题意．若0a >，由题可知方程2220x x a -+=应有两个不等的正根，设为1x ，2x ，其中12x x <，则Δ48002a a =->⎧⎪⎨>⎪⎩解得102a <<．所以()()()212222x x x x x x a f x x x ---+'==．列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以1x 是极大值点，2x 是极小值点，则01x x =．由120x x <<，且121x x =+，得110x 2<<．由题可知()22000002ln 2f x x x a x x a =-+<-，即00ln 220a x x a -+<当0102x <<时恒成立．令()ln 22h x a x x a =-+，102x <<，则()222a x a x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．因为102a <<，所以1024a <<．所以当02a x <<时，()0h x '>，当2ax >时，()0h x '<，所以()max ln 022a a h x h a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，解得20e a <<，又102a <<，所以此时a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，实数a 的取值范围是102⎛⎫⎪⎝⎭，．练习4．设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解:（1）23()a f x x x x=--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min3a x x ≤-,令32()3,()33g x x x g x x '=-=-,令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-，即a 的取值范围为(,2]-∞-．（2）若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x -+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立，即不存在这样的a ．练习5．已知函数()()=ln 3R f x a x ax a --∈(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图像在点()()2,2f 处的切线斜率为12，设()()m g x f x x=-，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数m 的取值范围.解:（1）(1)()(0)a a x f x a x x x-=-=>'当0a >时，()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为()0,1；当=0a 时，()f x 不是单调函数.（2）∵1(2)2f '=，∴12122a -⋅=，解得1a =-，∴()ln 3f x x x =-+-()()()ln 30m m g x f x x x x x x =-=-+-->,又()221()10m x g x x x x x x m-+'=-++=>()g x 要在区间[1,2]上单调递增，只需()0g x '≥在[]1,2上恒成立，即20x x m -+≥在[]1,2上恒成立，即()2maxm x x≥-，又在[1,2]上()2maxx x-=∴0m ≥.练习6．已知函数()(ln 1),R f x x x k k =--∈．(1)当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；解:（1）由题知，()()ln 1,R f x x x k k =--∈，所以1()ln 1ln ,0f x x k x x k x x'=--+⋅=->，当0k ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x k '=->，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值，当0k >时，令ln 0x k -=，解得e k x =，当1e k x <<时，()0f x '<，当e k x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调减区间是()1,e k ，单调增区间是()e ,k ∞+，极小值为()()e e 1e k k kf k k =⋅--=-，无极大值.（2）因为对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，所以24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,e,e t x x x x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，所以4()10t x x'=+>，所以()t x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()min e e 44e 0t x t ==-+=>，所以()0g x '>，所以()g x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以函数()()22max 8e 2eg x g ==-，要使(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812e k +>-，即281e k >-，所以实数k 的取值范围为281,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；备选1．设a 为实数，已知函数()()32211932f x x a x =-++(1)讨论()f x 的单调性(2)若过点()0,10有且只有两条直线与曲线()32111132y x a x ax =-+++相切，求a 的值.解:（1）因为()()32211932f x x a x =-++，则()()221f x x a x '=-+，由()0f x '=可得10x =，212a x +=，①当102a +=时，即当1a =-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；②当102a +<时，即当1a <-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得12a x +<或0x >，此时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；③当102a +>时，即当1a >-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得0x <或12a x +>，此时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当1a =-时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）解：设切点为()3211,1132t t a t at ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，对函数()32111132y x a x ax =-+++求导得()21y x a x a '=-++，所以，切线方程为()()()3221111132y t a t at t a t a x t ⎡⎤⎡⎤--+++=-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，将点()0,10的坐标代入切线方程整理可得()322119032t a t -++=，即()0f t =，故关于t 的方程()0f t =有两个不等的实根，①当1a =-时，函数()f t 在R 上单调递增，则方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；②当1a <-时，则()()090f t f ==>极小值，故当12a t +>时，()0f t >，此时方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；③当1a >-时，则()()090f t f ==>极大值，则()()311910224a f t f a +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭极大值，解得5a =，合乎题意.综上所述，5a =.备选2．已知函数()22ln 2x af x x x-=-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若1a =，试问过点()0,1向曲线()y f x =可作几条切线？解:（1）依题意，因为()22ln 2x af x x x-=-，所以()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22222222112142x x x a x a f x x x x ⨯----+-'=-=，若()f x 在()0,∞+上单调递减，则有()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，即()21120x a --+-≤恒成立，所以()22111a x ≥--+≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当1a =时，()22ln 2x f x x x -=-且点()0,1不在()f x 上，所以()()22112x f x x---'=，设切线方程的斜率为k ，切点为()00,P x y ，根据导数的几何意义，则有()2020112x k x---=，又切线过点()0,1，所以切线方程可设为1y kx =+，则有001y kx =+，200002ln 2x y x x -=-，所以()2002020002112ln 21x x x x x x --=---⨯+，整理得000ln 220x x x -+=，令()ln 22g x x x x =-+()0x >，则()ln 1g x x '=-，所以在x ∈()0,e 时，()0g x '<，()g x 单调递减；在()e,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在e x =处取得最小值，又()10g =，所以()g x 在()0,e 有一零点，又因为()0e e 2g =-<，()2222eeln e 2e 220g =-+=>，由零点存在性定理可知，在()2e,e x ∈必有一个根0x ，使得000ln 220x x x -+=成立，综上，方程000ln 220x x x -+=有两个解，所以过点()0,1向曲线()y f x =可作2条切线.备选3．已知函数1()2ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈.（1）若()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，判断()f x 与()2g x x =的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a 值的个数；若不存在，请说明理由.解:（1）222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，满足题意；当0a >时，要使得()f x 在(0,)+∞上单调，则恒有()0f x '≥.∴2440a ∆=-≤，解得：1a ≥.综上，1a ≥或0a ≤（2）假设()f x ，()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，则()()()()2000200000200002212ln ax x ax x f x g x f x g x a x x x x ⎧-+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎛⎫⎪⎩⎪--= '⎪'⎪⎝⎭⎩①②由①可得：()()32200000220120x ax x a x x a -+-=⇔+-=，∴002x a=>.将02a x =代入②，则222ln 2224a a a --=，即：28ln 82a a-=.令28()182x xh x n -=-，则11()4h x x x '=-，故()h x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又1(2)02h =-<，且当0x →，()h x →+∞；当x →+∞，()h x →+∞∴()h x 在(0,)+∞有两个零点，即方程28ln 82a a-=在(0,)+∞有两个不同的解.所以，()f x 与2()g x x =的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a 值有2个。