江苏省常州市第一中学2020-2021年高二上学期期中数学试题

2021年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分,共16分）1．（2分）（2015•潜江）﹣3的绝对值是（ ）　A．3B．﹣3C．D．2．（2分）（2015•常州）要使分式有意义,则x的取值范围是（ ）　A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠23．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）　A．B．C．D．4．（2分）（2015•常州）如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=40°,则∠ECD的度数是（ ）　A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2分）（2015•常州）如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是（ ）　A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB6．（2分）（2015•常州）已知a=,b=,c=,则下列大小关系正确的是（ ）　A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1,当x＞1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是（ ）　A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣18．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是（ ）　A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2二、填空题（每小题2分,共20分）9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1= ．10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米,数字696 000用科学记数法表示为 ．11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2= ．12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是 ．13．（2分）（2015•常州）如图,在△ABC中,DE∥BC,AD：DB=1：2,DE=2,则BC的长是 ．14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解,则a的值是 ．15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 ．16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系,公园的入口位于坐标原点O,古塔位于点A（400,300）,从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C的坐标是 ．17．（2分）（2015•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想．4=2+2。

江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且()a ab ⊥+rr r ，则y 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题2．已知向量()1,01a =-r ,，则下列向量中与a r成60o 夹角的是（ ）A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-三、单选题3．在函数ln y x x =，cos y x =，2x y =，ln y x x =-中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．ln y x x = B ．cos y x = C ．2x y =D ．ln y x x =-4．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．不确定5．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．如图，在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，5,3,7AB AD AA ==='，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ∠∠'=='︒，则AC '的长为（ ）A BC D 7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的导函数为()'f x ，若()'cos f x x ≥ 恒成立，则()sin f x x ≥的解集为（ ） A ．[)π,-+∞B ．[)π,+∞C ．π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．四、多选题9．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=（ ）A BC D 10．已知()e xxf x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =1处的切线方程为e 10y -=B ．单调递减区间为()1,∞+C ．()f x 的极小值为1eD ．方程2024()1f x =有两个不同的解11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()()ln ln e e e ,ln xx x x x t f x x t x x =====，所以()f x 可看作是由函数()e t h t =和ln t x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数．根据以上材料，关于初等函数1()(0)x h x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e五、填空题12．已知向量(0,1,1),(4,1,0)||a b a b λ=-=+r r r r，λ=.13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为．14．若关于x 的不等式()()e 1ln e 1xa x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是．六、解答题15．已知函数()322f x x ax bx a =+-+，在x =1时取得极小值10.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 在区间[]1,3-上的最值.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱，AC 为圆柱底面的直径，12AB AA BC ===，M 为11AC 中点，N 为1CC 中点.(1)求直线BM 与平面1A BC 所成角的正弦值(2)若求平面1A BC 与平面BMN 所成锐二面角的余弦值．17．已知函数()()e 1xf x ax a =--∈R .(1)若a 为常数，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)判断0.314e 与1.314的大小关系，并说明理由.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PAD V 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．(1)取线段PA 中点M ，连接BM ，判断直线BM 与平面PCD 是否平行并说明理由； (2)求B 到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC求出PEPD的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数()21ln ,,,f x a x mx bx m a b x=+--均为实数，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1,0,2a m b =-==时，求函数()f x 的单调区间; (2)当2,1a m ==-时，若函数()1y f x x =+与直线y bx b =--在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.(3)当0,0a m >=时，已知()()1212,0,x x x x ∞∈+≠，若存在b ∈R ，使得()()12f x f x =成立，求证:()()120f x f x ''+>.。

江苏省徐州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．双曲线2213y x -=的渐近线方程是（）A ．3y x =±B ．y =C ．3y x=±D ．13y x=±3．如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ等于（）A ．112233a b c++ B ．112233a b c--C ．112233a b c-++D ．121233a b c-++4．在数列{}n a =，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+5．已知空间向量3,2a b == ，且2a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．aB ．29aC ．92aD 6．计算1098210223233+⨯+⨯+⋅⋅⋅+=（）A ．111132-B ．111132+C ．1131-D ．1121-7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(3,1)A 在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，且ABF △周长的最小值为4p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ）A ．⎛ ⎝⎦B ．2]-C ．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．1]-二、多选题9．下列结论中正确的是（）A ．若直线l 的方程10x ++=，则直线l 的倾斜角为2π3B ．已知曲线22:2||2||C x y x y +=+（x，y 不全为0），则曲线C 的周长为C ．若直线3260ax y ++=与直线220x a y -+=垂直，则32a =D ．圆22:2410O x y x y ++++=与圆22:1M x y +=的公切线条数为210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S S =，且1(1)n n n S nS ++<()n *∈N ，则（）A ．数列{}n a 为递增数列B ．10S 和11S 均为n S 的最小值C ．存在正整数k ，使得0k S =D ．存在正整数m ，使得3m mS S =11．已知抛物线28y x =（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆22(2)4x y -+=于A ，C ，D ，B 四点，则（）A ．12OA OB ⋅=-B ．4AC BD ⋅=C ．当直线l1283AB AF ⋅=D ．418AF BF +≥三、填空题12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =.13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的左，右两支于,P Q 两点，若2PQF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为．14．已知数列{}n a 的前n 项和为12,1,3,n S a a ==且()11222nn n n S S S n +-+=+≥.若()n n S a λλ-++5≥(2-λ)n 对*n N ∀∈都成立，则实数λ的最小值为.四、解答题15．已知圆C 经过两点()2,2A --，()6,2B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,4P --作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．16．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，{}n b 为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为74，{}n n a b 为等差数列，且其前三项和为9.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n T .17．抛物线22(0)y px p =>被直线23y x =-截得的弦的中点M 的纵坐标为1．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积S 的最小值．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上.19．对于*N n ∀∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列1，2m ，21m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围．(2)是否存在首项为−2的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．(3)已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若11n n a b n +=+，试判断数列是否为“K 数列”，并说明理由．。

常州市第一中学2020-2021学年第一学期阶段性检测高一物理一、单选题（本题共6小题，每题3分，共18分）1、我国第四颗月球探测器“嫦娥四号”于北京时间2018年12月8日2时23分成功发射。

与“嫦娥三号”在月球西经19.51度、北纬44.12度的虹湾以东区域着陆不同，“嫦娥四号”实现了人类首次月球背面软着陆和巡视探测。

下列说法正确的是（）A.“嫦娥四号”绕月球做椭圆运动，是以地球为参考系来描述的B.在观测“嫦娥四号”绕月球运行周期时不可将其看成质点C.2018年12月8日是时间，2时23分是时刻D.西经19.51度、北纬44.12度表示位置【解析】A，“嫦娥四号”绕月球做椭圆运动，是以月球为参考系来描述的，故A错误；B，在观测“嫦娥四号”绕月球运行周期时，“嫦娥四号”的大小和形状可忽略，可将其看成质点，故B错误；C，2018年12月8日2时23分作为一个整体，表示时刻。

故C错误；D，西经19.51度、北纬44.12度表示位置，符合事实。

故D正确。

【答案】D2、对以a=2m/s2做匀加速直线运动的物体，下列说法中正确的是（）A.在任意1s内末速度比初速度大2m/sB.第ns末的速度比第1s末的速度大2nm/sC.2s末速度是1s末速度的2倍D.2s末的速度是4m/s根据加速度的定义式可知，加速度等于单位时间内的速度变化量，以a=2m/s2做匀加速直线运动的物体，在任意1s内末速度比初速度大2m/s，第ns末的速度比第1s末的速度2（n-1）m/s，故A正确，B错误；C、2s末速度不一定是1s末速度的2倍，故C错误；D、初速度未知，故2s末的速度不一定是4m/s，故D错误。

故选：A。

3、小球每隔0.2s从同一高度抛出,做初速度为6m/s的竖直上抛运动,设它们在空中不相碰。

第1个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为(g取10m/s2)()A.7个B.6个C.5个D.4个考点：[竖直上抛运动]分析：小球做竖直上抛运动，先求解出小球运动的总时间，然后判断小球在抛出点以上能遇到的小球数．解答：小球做竖直上抛运动,从抛出到落地的整个过程是匀变速运动,根据位移时间关系公式,有：则由x=v0t+12at2代入数据有：0=6t−12×10t2，解得：t=0(舍去)或t=1.2s，每隔0.2s抛出一个小球,故第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为：N=tT−1=1.60.2−1=5个。

江苏省常州市第一职业高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “方程表示一个圆”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据条件得到方程表示圆则，反之也是正确的，从而得到答案.【详解】方程表示一个圆,则需要满足，反之，则满足方程是一个圆，故选择充要条件.故答案为：C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2. 已知A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，则C是A的( ）.A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位: cm), 则此几何体的表面积是（）A. B.C. D.参考答案：A4. 复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（﹣2，2）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： ==2﹣2i（i是虚数单位）的共轭复数2+2i在复平面内对应的点（2，2）．故选：B．5. 设，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.84 D．0.64参考答案：A6. 若多项式x5+x10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+……+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a4=( )A.205B.210C.-205D.-210参考答案：A7. 已知椭圆的离心率为，则b等于（）.A.3B.C.D.参考答案：B8. 阅读下图左边的流程图，若输入，则输出的结果是（）A．2 B. 4 C．5 D. 6参考答案：A9. 已知，，且，则的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（）（1，）（1，﹣）C （，1）D（，﹣1）A解答：解：x=ρcosθ=2×cos=1，y=ρsinθ=2×sin=∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．故选A．11. 若为实数，则“”是“或”的 ________条件.参考答案：充分而不必要条件略12. 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．参考答案：a≥考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．13. 对于曲线∶=1，给出下面四个命题：（1）曲线不可能表示椭圆；（2）若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜＜；（3）若曲线表示双曲线，则＜1或＞4；（4）当1＜＜4时曲线表示椭圆，其中正确的是（）A .(2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D.(3)(4)]参考答案：A14. 已知=2， =3， =4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t= ．参考答案：41【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n 个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2， =3， =4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．15. 已知，，则线段AB的中点坐标为________；_________.参考答案：( －1, －1, －1)，；16. 已知集合，，则集合．参考答案：略17. △ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到△ABC三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年江苏省徐州市第一中学高二上学期期中数学试题1.直线x+√3y+1=0的倾斜角是A．30∘B．60∘C．120∘D．150∘2.通过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（）A．2√3B．3 C．√3D．63.双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离为()A． 1 B．√2C． 2 D． 34.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30∘的直线交C于A，B两点，则|AB|=A．√303B．6C．12D．7√35.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=20√10米，上底直径CD=20√2米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A．10米B．20米C．10√3米D．10√5米6.若圆x2+y2−2x−6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为A．12或2 B．34或43C． 2 D．437.已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0C．2x−y+1=0D．2x+y+1=08.已知F(−c,0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，直线y=x+c与该椭圆相交于M,N两点，O是坐标原点，P是线段OF的中点，线段MN的中垂线与x轴的交点在线段PF 上．该椭圆离心率的取值范围是（）A．[√63,1)B．[√22,1)C．(0,√63]D．[√22,√63]9.已知a为实数，若三条直线ax+2y+8=0,4x+3y−10=0和2x−y−10=0不能围成三角形，则a的值为（）A．83B．1 C．−1D．−410.若方程x22−t −y21−t=1所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（）A．若曲线C为双曲线，则t<1或t>2B．若曲线C为椭圆，则1<t<2C．曲线C可能是圆D．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<3211.如图，已知椭圆x24+y22=1的左､右顶点分别是A1,A2，上顶点为B1，在椭圆上任取一点C，连结A1C交直线x=2于点P，连结A2C交OP于点M(O是坐标原点)，则下列结论正确的是（）A．k CA1k CA2为定值B．k A1P=12k OPC．OP⟂A2C D．MB1的最大值为√612.已知抛物线C：y2=4x，过点P(2,0)的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（）A．若直线l的斜率为2，则ΔOAB的面积为12B．|AB|的最小值为4√2C．1|PA|+1|PB|=√24D．若M(−2,0)，则|MA||MB|=|PA||PB|13.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且满足a2=4，S4=22，则S8=_______.14.已知直线y=k(x+1)截圆(x−1)2+(y−1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k=__________．15.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⟂A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为______．16.若正方形ABCD的一条边在直线y=2x−17上，另外两个顶点在抛物线y=x2上.则该正方形面积的最小值为________________.17.等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=a4+7且a1+a10=20.（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足不等式S n <3a n −2的n 的值.18. 已知圆C ：x 2+y 2+2x −4y +m =0与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P作圆C 的切线，切点为M ．(1)求圆C 的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|=2|PO|的点P 的轨迹方程． 19. 若椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过抛物线x 2=4y 的焦点，且与双曲线x 2−y 2=1有相同的焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线l:y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，当ΔOAB 的面积为√32时，求直线l的方程．20. 已知抛物线C ： y 2=2px (p >0)，过抛物线的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于不同的两点A ，B , 且|AB|=4(1)求抛物线C 的方程；(2)若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N , 且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标.21.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x−y=0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求k1k2的值.22.已知如图椭圆C1:x24+y2=1的左右顶点为A1、A2，上下顶点为B1、B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2．（1）求圆C2的标准方程；（2）已知P为椭圆C1上任意一点，过点P作圆C2的切线分别交椭圆C1于M、N两点，试求三角形PMN面积的最小值．。

专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[]0,4C ．[)0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞2．（2021·山西高三一模（理））已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．23．（2021·安徽省泗县第一中学高二月考（文））已知0x >，0y >，211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知0,0,236x y x y >>+=，则xy 的值可能为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2021·浙江高三专题练习）已知[]1,1a ∈-时，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(-∞，2)∪(3，+∞) B ．(-∞，1)∪(2，+∞) C ．(-∞，1)∪(3，+∞)D ．(1，3)7．（2021·全国高二单元测试）设x y z >>，n N ∈，且11nx y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2021·安徽高三月考（理））不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．49．（2020·河南高二月考（文））函数2y = ）A ．2B ．4C ．6D ．810．（2021·全国高三专题练习（理））已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B．C ．4D．二、多选题11．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）下列说法正确的是（ ） A ．1x x+的最小值为2 B ．21x +的最小值为1 C ．()32x x -的最大值为2D ．2272x x ++最小值为2 12．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题为假命题的是（ )A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc ≥C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若a b >，则a c b c ->-13．（2021·河北张家口市·高三一模）已知0,0a b >>，且281a b +=，则（ ） A．433a b ->B1b C ．22log log 6a b +-D ．221168a b +<14．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）若0a b >>，则（ ） A ．11a b b a+>+ B ．11a b b b a a+<<+ C ．114a b a b +≥+ D ．144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15．（2021·全国高三专题练习）已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立，则3b a +的最小值是_____. 16．（2021·天津高三一模）设0a >，0b >，且251ab b +=，则+a b 的最小值为___________.17．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为______．18．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）若命题x R ∃∈，2410mx mx ++≤为假命题，则实数m 的取值范围是__________．19．（2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考）已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数,a b 满足2a b ab ++=，则3711a b +--的最小值是________．21．（2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考）已知1,0x y ，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．22．（2021·江苏高三专题练习）设,a b 为正实数，且11410a b a b+++=，则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23．（2020·上海高一专题练习）对于11a -≤≤，不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24．（2020·上海高一专题练习）若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ，则实数x y +的取值范围_________.25．（2021·吴县中学高一月考）已知110,0,121a b a b b >>+=++，则+a b 的最小值为________.26．（2021·苏州市第五中学校高一月考）正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =___________.27．（2021·浙江衢州市·高一月考）已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为___________.28．（2021·浙江高三月考）设实数a ，b 满足0a >，1a b +=，则22212a b a b ++-的最大值是________.29．（2021·安徽滁州市·高一期末）已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30．（2021·安徽高三二模（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=. （1）证明：1113ab bc ac++≥. （23≥.31．（2021·吉林吉林市·高二三模（文））已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ （1）解不等式：()5f x ≤（2）记()f x 的最小值为M ，若正实数,a b 满足a b M +=，试求：1121a b +++的最小值32．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）已知0x >，0y >，4xy x y a =++． （1）当12a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求41x y x y+++的最小值． 33．（2020·泰州市第二中学高一期中）设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若1a =，且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2，解不等式210bx cx ++>； （2）若0,1,1a b a c <=-=-，解关于x 的不等式()0f x >；（3）若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ，且(1)(3)f f ≤-，求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34．（2020·泰州市第二中学高一期中）（1）已知正数a b 、满足121a b+=，求ab 的最小值；（2）已知1x <，求函数1()1f x x x =+-的最大值． 35．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知(),0a b ∈+∞,，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，求1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数123,,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=.求证：2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36．（2020·上海高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2满足2212x x +＝11，求k 的值．37．（2020·泰州市第二中学高二月考）关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 （1）若a=－2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0（2）若a >0解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<038．（2021·浙江高二期末）设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．39．（2021·全国高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．40．（2021·安徽芜湖市·高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41．（2020·上海高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>；（2）2)y x R =∈；（3）226(1)1x x y x x ++=>-.42．（2020·上海高一专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1（1）求证：11(1)(1)9ab ++≥；（2）求证：4418a b +≥；（3）求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数2()21f x kx kx =+-.（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数k 的值；（2）若方程()0f x =在[]12，有解，求实数k 的取值范围. 44．（2020·河南高二月考（文））已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. （1）当1a =时，解不等式222ax x ax -+<； （2）当0a ≠时，解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知a ，b R +∈，且2284a b +=，则2+a b的最大值为______；4122a b ++的最小值为______．。

附： ， ．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22．已知函数 ， .
（1）若 ，求证： 在 恒成立；
（2）讨论 的单调性；
（3）求证：当 时， .
参考答案
1．B
【分析】
先解不等式 求出集合M，再求两集合的交集
【详解】
3．C
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】
首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
4．A
C．函数 的图象关于直线 对称；
D．函数 在 上单调递增
11．如图，设 ， 分别是正方体 的棱 上两点，且 ， ，其中正确的命题为（）
A．三棱锥 的体积为定值
B．异面直线 与 所成的角为
C． 平面
D．直线 与平面 所成的角为
12．已知函数 ，以下结论正确的是（）
A．
B． 在区间 上是增函数；
C．若方程 恰有3个实根，则 ；
江苏省常州市溧阳中学【最新】高三上学期期初考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．在 的展开式中， 的系数为（）．

2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{0，1}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}2．已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x （x +1），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣12B ．12C ．9D ．﹣93．若x ，y 为实数，则x ＞y 是x 2＞y 2的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．65．如果函数f （x ）对任意实数a ，b 满足f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+⋯+f(2022)f(2021)=（ ）A ．2022B ．2024C ．2020D ．20216．已知函数f （x +1）是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （2），c ＝f （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．已知a ＞0，b ∈R ，若x ＞0时，关于x 的不等式（ax ﹣1）（x 2+bx ﹣4）≥0恒成立，则b +4a的最小值是（ ） A ．4B ．2√3C ．4√2D ．4√38．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为（1，2），解关于x 的不等式cx 2﹣bx +a ＞0”有如下解法：解：ax 2﹣bx +c ＞0⇒a ﹣b （1x）+c （1x）2＞0，令y =1x ，则y ∈(12，1)，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c＜0的解集为（﹣2，﹣1），求关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集是（）A．(12，1)B．(−1，−12)C．(−∞，−1)∪(−12，+∞)D．(−∞，12)∪(1，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“存在x∈R，使得x2+2x＜1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2+2x＞1B．对任意x∈R，都有x2+2x≥1C．存在x∈R，使得x2+2x＞1D．存在x∈R，使得x2+2x≥12．数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），则a6＝（）A．B．C．D．3．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6＝31，S7＝77，则数列{a n}的公差为（）A．2B．3C．4D．64．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），则对角线AC1的长为（）A．4B．12C．5D．135．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a10＝（）A．190B．211C．232D．2536．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且MG＝3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝S n，若a n∈（0，2020），则称项a n为“和谐项”，则数列{a n}的所有“和谐项”的平方和为（）A．×411﹣B．×412﹣C．×410+D．×411+8．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CD＝BC＝1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，1]D．（0，]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A．＝+B．＝++C．＝++D．+++＝10．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），则l ⊥mB．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l ⊥αC．两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），则α∥βD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝111．记数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，下列四个命题中不正确的有（）A．若a1≠0，且对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B．若S n＝Aq n+B（非零常数q，A，B满足q≠1，A+B＝0），则数列{a n}为等比数列C．若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，……仍为等比数列D．设数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，则{a n}为递增数列12．在三棱锥M﹣ABC中，下列命题正确的是（）A．若＝+，则＝3B．若G为△ABC的重心，则＝++C．若•＝0，•＝0，则•＝0D．若三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则||＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020＝．14．若函数f（x）＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝．15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体﹣羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且AB＝6，CD＝10，EF＝8，则•＝．16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，]，则ab的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2ax﹣3a2＜0}（a＞0）．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18．设等比数列{a n}的公比不为1，a3为a1，a2的等差中项．（1）数列{a n}的公比；（2）若a1＝，设b n＝log2|a n|，求++……+．19．如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB＝2BB1＝2B1C1＝4，E为AC的中点．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足对任意n∈N*，都有a13+a23+…+a n3＝S n2．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若b n＝（﹣1）n（2a n）2，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cosθ的最大值并求出此时点P的位置．22．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列{a n}存在，并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和S n，若不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，求实数λ的最小值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在x∈R，使得x2+2x＜1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2+2x＞1B．对任意x∈R，都有x2+2x≥1C．存在x∈R，使得x2+2x＞1D．存在x∈R，使得x2+2x≥1解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．2．数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），则a6＝（）A．B．C．D．解：数列{a n}中，a1＝，a m+n＝a m a n（∀m，n∈N*），可得a2＝a1a1＝＝，a4＝a2a2＝×＝，a6＝a2a4＝×＝，故选：C．3．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6＝31，S7＝77，则数列{a n}的公差为（）A．2B．3C．4D．6解：∵a5+a6＝31，S7＝77，∴，解得d＝3，故选：B．4．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），则对角线AC1的长为（）A．4B．12C．5D．13解：如图，∵＝（1，2，4），＝（2，1，﹣2），＝（0，1，10），∴＝（1，2，4）+（2，1，﹣2）+（0，1，10）＝（3，4，12），∴．故选：D．5．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a10＝（）A．190B．211C．232D．253解：根据题意知，a n﹣1＝21n，∴a10＝210+1＝211．故选：B．6．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且MG＝3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．解：∵＝＝＝＝＝＝故选：A．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝S n，若a n∈（0，2020），则称项a n为“和谐项”，则数列{a n}的所有“和谐项”的平方和为（）A．×411﹣B．×412﹣C．×410+D．×411+解：由a1＝1，a n+1＝S n，可得a2＝S1＝a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣1，又a n+1＝S n，相减可得a n+1﹣a n＝S n﹣S n﹣1＝a n，即a n+1＝2a n，可得{a n}从第二项起是公比为2的等比数列，即有a n＝2n﹣2，n≥2，则数列{a n}的所有“和谐项”为1，1，2，4，8， (210)可得数列{a n}的所有“和谐项”的平方和，1+1+4+16+…+410＝2+＝．故选：D．8．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CD＝BC＝1，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AD成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，1]D．（0，]解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，1，1），B（0，2，0），D（1，0，0），设Q（q，0，0）（0≤q≤1），＝（0，λ，﹣λ）（0＜λ≤1，λ＝0时，P与A重合，不满足直线PQ与AD异面），则＝（q，0，0）﹣（0，1，1）﹣（0，λ，﹣λ）＝（q，﹣1﹣λ，λ﹣1），，∵异面直线PQ与AD成30°的角，∴cos30°＝＝＝，∴18λ2+2＝﹣5q2+16q，∵0≤q≤1，∴﹣5q2+16q∈[0，11]，即，解得，又0＜λ≤1，∴0＜λ≤，可得|PA|＝∈（0，1]，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A．＝+B．＝++C．＝++D．+++＝解：对于A：∵﹣＝（﹣）+（﹣），∴﹣＝﹣+﹣，∴+﹣＝+﹣＝，故＝+，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；或由＝+得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；对于B：++＝1，故P，A，B，C共面；对于C，D，显然不满足，故C，D错误；故选：AB．10．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），则l ⊥mB．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l ⊥αC．两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），则α∥βD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1解：直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（1，2，1），•＝（1，﹣1，2）•（1，2，1）＝1，则l与m不垂直，所以A不正确．直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），•＝（0，1，﹣1）•（1，﹣1，﹣1）＝0，则l∥α，所以B不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为＝（2，﹣1，0），＝（﹣4，2，0），＝﹣＝（﹣4，2，0），则α∥β，所以C正确；平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，可得：，则u+t＝1，所以D正确．故选：CD．11．记数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，下列四个命题中不正确的有（）A．若a1≠0，且对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，则数列{a n}为等比数列B．若S n＝Aq n+B（非零常数q，A，B满足q≠1，A+B＝0），则数列{a n}为等比数列C．若数列{a n}为等比数列，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，……仍为等比数列D．设数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，则{a n}为递增数列解：对于A，若a n＝0，n≥2，满足对于∀n∈N*，a n+12＝a n a n+2，但数列{a n}为不是等比数列，故A错误；对于B，当A+B＝0时，a1＝S1＝Aq+B＝A（q﹣1），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝Aq n﹣1（q﹣1）＝a1q n﹣1，数列{a n}为等比数列，故B正确；对于C，数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，比如公比q＝﹣1，n为偶数，S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，…，均为0，不为等比数列．故C 错误；对于D，数列{a n}是等比数列，若a1＜a2＜a3，a1＜qa1＜q2a1，若a1＞0，则1＜q＜q2，则{a n}为递增数列，若a1＜0，则1＞q＞q2，则{a n}为递增数列，故D正确，故选：AC．12．在三棱锥M﹣ABC中，下列命题正确的是（）A．若＝+，则＝3B．若G为△ABC的重心，则＝++C．若•＝0，•＝0，则•＝0D．若三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则||＝2解：对于A、，得，∴，得，故A错误；对于B、由于G为△ABC的重心，连接AG并延长，交BC于Q，则＝，∴＝＝＝++，故B正确；对于C、由•＝0，得，即，由•＝0，得，即，两式相加可得：，即•＝0，故C正确；对于D、∵三棱锥M﹣ABC的棱长都为2，可得AQ＝MQ＝，则，故D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2020＝．解：由a1＝2，a n+1＝，可得a2＝＝＝﹣1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2，a5＝＝＝﹣1，…，可得{a n}为最小正周期为3的数列，则S2020＝673×（a1+a2+a3）+a1＝673×（2﹣1+）+2＝，故答案为：．14．若函数f（x）＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝．解：根据题意，f（x）＝，则f（）＝＝，则f（x）+f（）＝1，则f（1）＝＝，则f（4）+f（3）+f（2）+f（1）+f（）+f（）+f（）＝f（4）+f（）+f（3）+f（）+f（2）+f（）+f（1）＝3+＝，故答案为：．15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体﹣羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且AB＝6，CD＝10，EF＝8，则•＝14．解：如图示：过A分别作CD，EF的高，垂足分别为N，M，∵平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD∥EF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，故NA⊥平面ABEF，故AN⊥AB，AN⊥AM，又AM⊥AB，故AN，AB，AM两两垂直，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意可知：B（6，0，0），D＝（﹣2，0，3），F（﹣1，7，0），A（0，0，0），故＝（﹣7，7，0），＝（﹣2，0，3），故•＝14，故答案为：14．16．设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，]，则ab的取值范围为[4，]．解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）＝0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1＝0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1＝0的两个根，由韦达定理得，m2q3＝1，m+mq3＝a，mq+mq2＝b，则m2＝，故ab＝（m+mq3）（mq+mq2）＝m2（1+q3）（q+q2），＝（1+q3）（q+q2）＝q++q2+，设t＝q+，则q2+＝t2﹣2，因为q∈[，]，且t＝q+在[，1]上递减，在（1，]上递增，当q＝时，t＝，当t＝时，t＝所以t∈[2，]，则ab＝t2+t﹣2＝（t+）2﹣，所以当t＝2时，ab取到最小值是4，当t＝时，ab取到最大值是，所以ab的取值范围是：[4，]．故答案为：[4，]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x2+2ax﹣3a2＜0}（a＞0）．（1）当a＝1时，求A∩B；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意，得A＝（﹣2，3），B＝（﹣3a，a），（1）当a＝1时，B＝（﹣3，1），故A∩B＝（﹣2，1）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，则A⊆B，则，解得a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．18．设等比数列{a n}的公比不为1，a3为a1，a2的等差中项．（1）数列{a n}的公比；（2）若a1＝，设b n＝log2|a n|，求++……+．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，且q不为1，由a3为a1，a2的等差中项，可得2a3＝a1+a2，即有2a1q2＝a1+a1q，化为2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣（1舍去）；（2）由a1＝，q＝﹣，可得a n＝•（﹣）n﹣1，则b n＝log2|a n|＝log2（）n＝﹣n，可得＝＝﹣，则++……+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．19．如图，已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB＝2BB1＝2B1C1＝4，E为AC的中点．（1）求证：AA1⊥BC；（2）求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：分别取BC、B1C1的中点O、O1，连接A1O1、OO1、AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCC1B1，同理可得，A1O1⊥平面BCC1B1，∴A1O1∥AO，∴A1、O1、O、A四点共面．∵等腰梯形BCC1B1中，O、O1分别为BC、B1C1的中点，∴OO1⊥BC，又AO⊥BC，AO∩OO1＝O，AO、OO1⊂平面A1O1OA，∴BC⊥平面A1O1OA，∵AA1⊂平面A1O1OA，∴AA1⊥BC．（2）解：由（1）知，AO⊥平面BCC1B1，∵OO1⊂平面BCC1B1，∴AO⊥OO1，∴OO1，OA，OB两两垂直，故以O为原点，OA、OB、OO1所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，2，0），B1（0，1，），C（0，﹣2，0），E（，﹣1，0），∴＝（，2，），＝（，2，0），＝（0，﹣1，），设平面ABB1A1的法向量为＝（x，y，z），则，即，令y＝，则x＝1，z＝1，∴＝（1，，1），设直线EB1与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝，故直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足对任意n∈N*，都有a13+a23+…+a n3＝S n2．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）若b n＝（﹣1）n（2a n）2，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）证明：由题意可得a n＞0，n＝1时，a13＝S12＝a12，解得a1＝1，n≥2时，a13+a23+…+a n﹣13＝S n﹣12，又a13+a23+…+a n3＝S n2，两式相减可得a n3＝S n2﹣S n﹣12＝（S n﹣S n﹣1）（S n+S n﹣1）＝a n（S n+S n﹣1），即为a n2＝S n+S n﹣1，可得a n﹣12＝S n﹣1+S n﹣2，n≥3，两式相减可得a n2﹣a n﹣12＝S n﹣S n﹣1+S n﹣1﹣S n﹣2＝a n+a n﹣1，由于a n+a n﹣1＞0，化为a n﹣a n﹣1＝1，令n＝2可得a22﹣a2﹣2＝0，解得a2＝2，则a n＝2+（n﹣2）＝n，对n＝1也成立，则数列{a n}为首项、公差均为1的等差数列；（2）b n＝（﹣1）n（2a n）2＝（﹣1）n（2n）2，当n为偶数时，T n＝﹣22+42﹣62+82﹣…﹣（2n﹣2）2+（2n）2＝2（2+4+6+8+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）；当n为奇数时，T n＝T n﹣1+b n＝2n（n﹣1）﹣4n2＝﹣2n（n+1）．则T n＝．21．如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝2DE＝2．（1）若点P为线段EF中点，求异面直线PN与MD所成角的余弦值；（2）设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求cosθ的最大值并求出此时点P的位置．解：∵正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，面ABCD∩面ADEF＝AB，且AF⊥AB，所以AF，AB，AD互相垂直，故以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，0，1），E（0，2，1），M（1，0，0），N（2，1，0），（1）点P为线段EF中点，即可得P（0，1，1），，，cos＝＝．所以，异面直线PN与MD所成角的余弦值为．（2）设P（0，t，1），0≤t≤2，，设面PMD的法向量为，，可取，又面ABCD的法向量为＝（0，0，1），设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，则cosθ＝c|os|＝＝∴当t＝0时，取得最大值．即当P与F重合时，cosθ取得最大值．22．已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列{a n}存在，并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题：（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和S n，若不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，求实数λ的最小值．解：（1）已知{a n}为等差数列，选②成立，即a1＝1，所以a1＝1，a2＝4，a3＝7，所以公差d＝3，所以a n＝3n﹣2．（2）设数列，所以①，②，①﹣②得：＝＝，故．若对于不等式S n+≥4对任意的n∈N*都成立，所以，即λ≥对任意的n∈N*都成立，设b n＝，由b n+1﹣b n＝﹣＝，当n＝1，2时，b n+1﹣b n＞0，可得b3＞b2＞b1，当n≥3，n∈N*，b n+1﹣b n＜0，可得b3＞b4＞b5＞…，则{b n}中的最大项为b3＝，所以λ≥，则实数λ的最小值为．。

2022-2023学年江苏省无锡市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆22:1y C x k+=的一个焦点是()0,1，则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由题意可得焦点在y 轴上，由222a b c =+，可得k 的值． 【详解】椭圆22:1y C x k+=的一个焦点是()0,1，焦点在y 轴上， 1c ∴=，2a k =，1b =，222k c b ∴=+=． 故选：B2．若点()1,1P 为圆2260x y y +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y +-=【答案】B【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211160x y y +-=，2222260x y y +-=，两式做差可得2222121212660x x y y y y -+--+=，即()()()()()121212121260x x x x y y y y y y +-++---=， 又因为()1,1P 是AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，因此()()()1212122260x x y y y y -+---=，即()()1212240x x y y ---=， 所以11212AB y y k x x -==-， 因此直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=， 经检验，符合题意，故弦AB 所在直线的方程为210x y -+=. 故选：B.3．已知圆2225x y +=，则过圆上一点()3,4A 的切线方程为（ ） A ．34250x y +-= B ．43240x y +-= C ．3470x y -+=D ．430x y -=【答案】A【解析】由于直线OA 与切线垂直，得1OA k k ⋅=-求得切线斜率故可求切线方程. 【详解】圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，则直线AO 的斜率43OA k =， 故切线的斜率134OA k k =-=-，所以切线方程为()3434y x -=-- 化简得：34250x y +-= 故选：A4．不论实数m 为何值，直线2210mx y m --+=恒过定点（ ）A ．1(2,)2-B ．1(2,)2--C ．1(2,)2-D ．1(2,)2【答案】D【分析】将直线的方程转化为()2210m x y --+=，再求出定点的坐标． 【详解】解：由2210mx y m --+=，可得()2210m x y --+=， 由20x -=，可得2x =，此时12y =， 所以直线恒过定点1(2,)2．故选：D ．5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥； ②若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,6,2n =-，则αβ⊥；③若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()1,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=；④若点()1,2,3A ，()1,1,4B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用空间向量判断空间线面位置关系即，共线向量定理，面面垂直转为法向量垂直，空间两点间距离公式即可判断正误.【详解】解：①不存在实数λ，使得a n λ=， ∴a 与n 不共线，因此l α⊥是假命题；②120660n n ⋅=+-=，∴12n n ⊥，则αβ⊥，因此是真命题；③()1,1,1AB =-，()2,2,1AC =-， 向量()1,,n u t =是平面α的法向量， ∴0n AB n AC ⋅=⋅=，1220u t u t ∴-++=-++=，解得1u =，0=t ，则1u t +=，因此是真命题；④若点()1,2,3A ，()1,1,4B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则()1,2,3C -， ∴点B 与C 的距离()()()22211213414d =--+++-=，因此是真命题．综上可得：真命题个数的是3． 故选：C ．6．已知正四面体A BCD -的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足1AP =，2CQ =，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ）A ．112B ．32C ．74D ．3【答案】A【分析】作图连接AQ ，根据向量的运算法则得到：1111122636AM AP AQ AB AD AC =+=++，再根据模长公式求解即可．【详解】解：连接AQ ，作图如下：由题意知：1122AM AP AQ =+111622AB AC CQ =++ 111623AB AC CD =++ 11116233AB AC AD AC =++-111636AB AD AC =++， 则22111||636AM AB AD AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111236936636636AB AD AC AB AD AB AC AD AC ⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭， ∵正四面体A BCD -为四面体，且边长为3，933cos602AB AD AB AC AD AC ⋅=⋅=⋅⨯︒∴=⨯=， 211119191911||9992369361823621824AM ⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，112AM ∴=故选：A ．7．直线()1:20l x my m R --=∈与直线2:20l mx y +-=交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，O 为坐标原点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+【答案】C【分析】由题意得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l 过定点(0,2)N ，且12l l ⊥，从而得点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，从而可得||AB 的最大值为||CD 与两圆半径之和，再计算即可得解．【详解】解：由题意可得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l 过定点(0,2)N ，当0m =时，12l l ⊥， 当0m ≠时，1l 的斜率11k m=，2l 的斜率2k m =-，因为121k k ，得12l l ⊥，∴点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上（不包含O ），且圆心(1,1)C ，半径1r又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，且圆心(2,3)D --，半径2r =||AB ∴的最大值为125CD r r ++=+故选：C.8．已知1F ，2F 是椭圆2213625x y+=的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6 B ．5C ．2D ．1【答案】D【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F MF 的中位线，||6OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，由此可得选项．【详解】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2213625x y+=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，11PQM PQF PQ PQMPQ FQP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以1PQF PQM ≅， 所以1||||PM PF =，1QF QM =，12||||212PF PF a +==，212MF PF PF ∴=+，由于O 是线段12F F 的中点，所以OQ 是△12F MF 的中位线，所以6OQ =， 所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离651d =-=．故选：D二、多选题9．已知三条直线2310x y ++=，4350x y -+=，10x my +-=不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ） A ．34-B ．23C ．32D ．6【答案】ACD【分析】对直线的位置关系分三种情况讨论得解.【详解】由于三条直线2310x y ++=，4350x y -+=，10x my +-=不能构成三角形， 则直线存在以下三种情况；①当2310x y ++=与10x my +-=平行时，则213m-=-，解得32m =；②当4350x y -+=与10x my +-=平行时，则413m =-，解得34m =-； ③当三条直线交于同一点时，由23104350x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入10x my +-=解得6m =．故选：ACD10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长､焦距分别为2a ､2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[,]a c a c -+B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆 【答案】AB【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案．【详解】解：A 选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a c -，最大值为a c +，卫星向径的取值范围是[a c -，]a c +，故A 正确；B 选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B 正确；C 选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C 不正确；D 选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即1e 211e 1ea c a c --==-++++越小，则e 越大，椭圆轨道越扁，故D 不正确． 故选：AB ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)A ，(4,2)B -，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为228440x y x y +--+=B ．在C 上存在点M 到点(3,2)--的距离为4 C ．C 上的点到直线3460x y -+=的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为1515± 【答案】ACD【分析】根据题意求出P 的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】设(,)P x y ，则()()()()2222221242x y PA PBx y -+-==++-， 化简得，228440x y x y +--+=，则选项A 正确；将圆C 的方程化为标准方程为22(4)(2)16x y -+-=，则圆心为(4,2)，半径为4， 则圆上的点到点(3,2)--的最小距离为()()22342246544--+---=->，则在圆C 上不存在点M 到点(3,2)--的距离为4，则选项B 错误；C 上的点到直线3460x y -+=的最大距离为圆心到直线3460x y -+=的距离加半径，即128646916-++=+，则选项C 正确；显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(4)y k x -=+，即420kx y k -++=， 由于圆C 的半径为4，则要使C 上恰有三个点到直线l 的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即2821k k =+，解得1515k =±，则选项D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F ､G 分别为BC ､1CC ､1BB 的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线1A G 与EF 5B ．存在点P ，使得1223D P AF =C ．三棱锥1D ADP -的体积为定值 D ．存在实数λ､μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】BCD【分析】对于A ：连接1D F ，GF ，1D E ，易知1A G ∥1D F ，则角1D FE ∠即为1A G 与EF 所成角补角，2221111cos 2D F EF D E D FE D F EF+-∠=⋅求解即可；对于B ：连接1D E ，1D F ，根据221215D F =+=，22212213D E =++=，求得()15,3D P ∈，再根据()1225,33D P AF =∈即可判断；对于C ：根据1D ADP -的体积与1P ADD -的体积相等即可判断； 对于D ：连接1AD ，1D F ，11D F AG =即可． 【详解】解：设正方体棱长为2，对于A ：连接1D F ，GF ，1D E ，作图如下：因为G ，F 都为中点，易知1A G ∥1D F ，则1D FE ∠即为1A G 与EF 所成角或补角， 易知221215D F =+2EF =22212213D E =++， 则222111110cos 2252D F EF DE D FE DF EF +-∠===⋅⨯⨯则直线1A G 与EF 10A 错误； 对于B ：连接1D E ，1D F ，作图如下：由A 知221215D F =+=，22212213D E =++=，P 为线段EF 上的动点（不含端点），所以()15,3D P ∈，易知2222213AF =++=， 所以()122223225,333D P AF ==⨯=∈，所以存在点P ，使得1223D P AF =，B 正确； 对于C ：因为EF ∥平面11ADD A ，所以EF 到平面11ADD A 的距离是定值，则点P 到平面ADP 的距离是定值2， 又因为112222ADD S =⨯⨯=△是定值，所以三棱锥11142233D ADP P ADD V V --==⨯⨯=的体积为定值，C 正确．对于D ：连接1AD ，1D F ，作图如下：易知1A G ∥1D F ，又因为E ，F 分别为中点，所以易知1AD ∥EF ，且1AD =2EF ，则A ，E ，F ，1D 四点共面， 所以1AEFD 为梯形，,AE AF 为相交直线， 所以存在实数λ､μ使得1E D A A F F λμ=+，又因为1A G ∥1D F ，且1A G =1D F ， 所以11D F AG =，所以存在实数λ､μ使得1λμ=+AG AF AE ，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题13．经过点且倾斜角为3π的直线方程为___________．20y --=【分析】先求出斜率，再结合直线的斜截式公式，即可求解【详解】解：直线过点1)且倾斜角为3π，所以，直线的斜率tan3k π==所以，直线的方程为1y x -=-20y --=．20y --=．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1A ，2A ，1B ，2B 为顶点，1F ，2F 为焦点，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F ，则椭圆的离心率为___________．【分析】由平面几何知识可得椭圆中心到四边的距离等于椭圆的半焦距，求得直线方11A B 的方程0bx ay ab +-=c =，求解即可．【详解】由题意知四边形1221A B A B 的四边均与内切圆相切， 故椭圆中心到四边形1221A B A B 的四边的距离等于椭圆的半焦距， 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右顶点1A (,0)a ，上顶点1B (0,)b ，直线11A B 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，∴c =，()()2222222a a c a c c ∴-=-，()22212e e e ∴-=-，解得23512e +=>（舍去）或2352e -=．由22356255251512442e ⎛⎫---+-==== ⎪ ⎪⎝⎭，所以512e -=. 故答案为：512- 15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________. 【答案】23【分析】如图，以D 为原点建系，利用向量法即可求出答案. 【详解】解：如图，以D 为原点建系， 则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--， 则1111112222cos ,323AO A E AOA E AO A E ⋅+===⨯， 又[]11,0,AO A E π∈，所以111sin ,3AO A E =， 所以点O 到直线1A E 的距离为11112sin ,233A O A O A E =⨯=. 故答案为：23.16．已知点()11,P x y 是圆22:1C x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线:2250l x y +-=上的动点，记1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值是___________．【答案】52【分析】设()cos ,sin P θθ，结合图象，利用三角函数表示PQ L ，结合三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】如图，根据题意设()cos ,sin P θθ，过P 作//PN x 轴，交l 于N ；过Q 作QM //y 轴，交PN 于M ，则可得N 为()252sin ,sin θθ-，又直线:2250l x y +-=的斜率为12-，12MQ MN ∴=，122PQ PN PM L PM MQ PM MN +∴=+=+=252sin cos 2PMθθ--+=()255sin 2PMθϕ-++=255522PM-+≥≥，1(tan )2ϕ=，当且仅当P ，M 重合时，取得等号， PQ L ∴的最小值是52．故答案为：52四、解答题17．已知以点(1,3)C 为圆心的圆与圆22:10221010D x y x y +--+=相外切，过点(2,0)P 的动直线l 与圆C 相交于M ､N 两点． (1)求圆C 的标准方程；(2)当4MN =时，求直线l 的方程．【答案】(1)22(1)(3)5x y -+-= (2)2x =或4380x y +-=【分析】（1）根据两圆外切建立方程即可求解；（2）先由弦长4MN =，可得圆心(1,3)C 到直线l 的距离1d =，接着再分类讨论设出直线l 的方程，再通过1d =建立方程即可求解．【详解】（1）圆D 方程可化为：()()2251145x y -+-=， ∴圆心()5,11D ，半径r =又圆心C 为(1,3)，设圆C 的半径为R ， 又圆C 与圆D 相外切，CD r R ∴=+， ∴R =，R ∴= ∴圆C 的标准方程为22(1)(3)5x y -+-=；（2）弦长4MN =，又圆C 的半径R =∴圆心(1,3)C 到直线l 的距离1d ==，①当过点(2,0)P 的直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，满足1d =；②当过点(2,0)P 的直线l 与x 轴不垂直时， 设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，1d ∴==，解得43k =-，∴直线l 的方程为48033x y --+=，即4380x y +-=，综合可得直线l 的方程为2x =或4380x y +-=．18．已知椭圆E 过点Q 1)，且与椭圆22194x y+=有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△12F PF 的面积等于3，求点P 的坐标； (3)若1260F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．【答案】(1)221105x y +=(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）设椭圆的方程22194x y λλ+=++，将Q 点代入椭圆方程，即可求得λ的值，求得椭圆方程；（2）根据三角形的面积公式，即可求得P 的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得P 点坐标； （3）利用余弦定理，椭圆的定义，即可求得1220||||3PF PF ⋅=，再利用三角形的面积公式，即可△12PF F 的面积．【详解】（1）与22194x y +=有公共的焦点的椭圆的方程：22194x y λλ+=++，4λ>-，将Q 1)代入椭圆方程，可得81194λλ+=++，整理得：2450λλ+-=， 解得1λ=或5λ=-，舍去，所以椭圆方程221105x y +=；（2）由（1）可知，椭圆的焦点坐标分别为1(F ，2F ，设0(P x ，0)y ，00y >，由△12F PF 的面积120132S F F y =⨯⨯=，所以0y =代入椭圆方程，20325x =，则0x =，所以P 点坐标为⎛ ⎝⎭；（3）由椭圆的定义可知，12PF PF +=，由余弦定理可知，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，所以((()22121221cos PF PF F PF =-⋅+∠，所以1220||||3PF PF ⋅=，所以△12PF F 的面积121sin602S PF PF =⋅⋅︒=所以△12PF F ．【点睛】本题第三问可考虑利用二级定理进行求解（光速解）：在椭圆中，△12PF F 的面积2tan2S b θ=．其中b 为半短轴长，12F PF θ∠=．因此△12PF F 的面积353533S =⨯=，所以，△12PF F 的面积533． 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，6PA =，4AC =，2AB =．(1)求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； (2)求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值． 【答案】238311【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，进一步可得ND ，BE ，代入向量夹角公式计算即可．（2）求得平面MNE 与平面CEM 的法向量，利用空间数量积求角公式即可求得平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．【详解】（1）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以,PA AB PA AC ⊥⊥，由于90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 因为点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，6PA =，4AC =，2AB =，所以()()()()()0,0,1,2,0,0,0,4,0,1,2,0,0,0,3M B C N D ，()()0,0,6,0,2,3P E ， 所以()()1,2,3,2,2,3ND BE =--=-， 设直线ND 与直线BE 所成角为θ，所以249238cos cos 341417,ND BE ND BE ND BEθ⋅-+====⨯⋅， 即直线ND 与直线BE 所成角的余弦值为23834． （2）由（1）得()()()1,2,1,0,4,1,0,2,2MN MC ME =-=-=， 设平面MNE 的一个法向量(,,)m a b c =， 则22020m ME b c m MN a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1b，则3a =，1c =，得()3,1,1m =-，易知AB ⊥平面CEM ，故可设平面CEM 的一个法向量(1,0,0)p =， 设平面CEM 与平面MNE 的夹角为α， 故300311cos 119111m pm pα⋅++===⋅++⨯， 即平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值为31111．20．新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米､a 百米的区域，如图，1l ､2l 分别是经过王叔叔家(O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家(C 点）在王叔叔家的北偏东45︒方向，以点O 为坐标原点，1l ､2l 为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米．(1)求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；(2)王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线:2100)l x y -+=上碰头见面，你认为在何处最为便捷､省时间（两人所走的路程之和最短）？【答案】(1)2a =，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为229x y +=，()()22554x y -+-= (2)可选择在地点(2,6)处碰面，此时距离之和最近【分析】（1）由题意得王叔叔家(O 点）负责区域边界的曲线方程为2223x y +=，且(5,3)A ，(7,5)B ，设(,)C c c ，利用CA CB =，求出c ，即可得出a ，即可得出答案；（2）设王叔叔家O 点关于直线:2100l x y -+=对称点(,)D m n ，则2OD k =-，且(,)22m n，在直线l 上，即可求出4m =-，8n =，求出直线DC 的方程，联立直线l 求出交点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：王叔叔家(O 点）负责区域边界的曲线方程为22239x y +==，且(5,3)A ，(7,5)B ， 由题意可设李阿姨家(,)C c c ，则CA CB =， 即()()()()22225375c c c c -+-=-+-，解得5c =， 则()()2255532a CA ==-+-百米，则李阿姨负责区域边界的曲线方程()()2225524x y -+-==， 故2a =，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为229x y +=，()()22554x y -+-=； （2）设王叔叔家O 点关于直线:2100l x y -+=对称点(,)D m n ， 则2100222mn n m⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得4m =-，8n =，此时直线DC 的方程为()855545y x --=---，即12033y x =-+， 联立直线DC 与直线l 的方程得21003200x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =⎧⎨=⎩，故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点(2,6)处碰面，此时距离之和最近．21．直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，点D 为线段AC 的中点，直线1BC 与1B C 的交点为M ，若点P 在线段1CC 上运动，CP 的长度为m ．(1)求点M 到平面1A BD 的距离；(2)是否存在点P ，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线DP 与平面1A DB 所成角正弦值的取值范围． 【答案】23(2)存在；25m = (3)6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）以B 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可直接求得结果；（2）假设存在点()2,0,P m ，利用二面角的向量求法，结合已知二面角的余弦值可构造方程求得m 的值，由此可得结论；（3()212191344212m m +++-+的单调性可求得正弦值的取值范围.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，∴四边形11BCC B 为矩形，M ∴为1B C 中点， 以B 为坐标原点，1,,BC BA BB 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,1M ，()0,0,0B ，()10,2,2A ，()1,1,0D ，()1,0,1BM ∴=，()10,2,2BA =，()1,1,0BD =，设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，12200BA n y z BD n x y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，解得：1y =-，1z =，()1,1,1n ∴=-， ∴点M 到平面1A BD 的距离2233BM n d n⋅==（2）假设存在点()2,0,P m ，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，设平面PBD 的法向量(),,s a b c =，()2,0,BP m =，()1,1,0BD =，200BP s a mc BD s a b ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令2c =，解得：a m =-，b m =，(),,2s m m ∴=-，2221cos ,3324n s m n s n sm ⋅-+∴<>===⋅⋅+，解得：2m =或25m =，当2m =时，P 与1C 重合，此时二面角1P BD A --为锐二面角，不合题意； 当25m =时，二面角1P BD A --为钝二面角，符合题意；综上所述：存在点22,0,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，此时25m =.（3）由（1）（2）知：()2,0,P m ，平面1A DB 的法向量()1,1,1n =-， P 在线段1CC 上，02m ∴≤≤，设直线DP 与平面1A DB 所成角为θ，()1,1,DP m =-，sin cos ,3DP nDPn DP n θ⋅∴=<>==⋅⨯==02m ≤≤，1215m ∴≤+≤，令21t m =+，则[]1,5t ∈， 由对勾函数性质知：()()91544t f t t t=+≤≤在[)1,3上单调递减，在(]3,5上单调递增， 又()332f =，()512f =，()17510f =，()min 32f t ∴=，()max 52f t =，即()32195244212m m +≤+≤+， ()212219144212m m ∴≤≤++-+，sin 1θ≤≤， 即直线DP 与平面1A DB 所成角正弦值的取值范围为⎤⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，第三问中求解线面角正弦值的取值范围的关键是能够将所求正弦值表示为关于变量m 的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围.22．已知圆22:(1)16C x y -+=，直线:50l x y +-=，0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足3(DT TO O =为原点），记点T 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过点(1,0)C 且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (2)存在；19,012N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)T x y ，(,)D m n ，根据相关点法可求出曲线E 的方程；（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠；在直线斜率存在条件下，设出直线方程并与圆的方程联立，求得韦达定理，利用设而不求法求点N 的坐标，即可得解．【详解】（1）设(,)T x y ，(,)D m n ，所以(),DT x m y n =--，(),TO x y =--，因为3DT TO =，所以(x m -，)3(y n x -=-，)y -，所以33x m x y n y -=-⎧⎨-=-⎩，所以44m x n y =⎧⎨=⎩， 因为(,)D m n 在圆22:(1)16C x y -+=上运动，所以()22116m n -+=，所以()()2241416x y -+=， 整理得，22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以曲线E 的方程为22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 联立()221141x y y k x ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩，化简可得()2222115120216k x k x k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ()222221157241402164k k k k ⎛⎫⎛⎫∆=+-+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(,0)N t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，221212221512162,11k k x x x x k k -++==++， 若x 轴平分ANB ∠，则0AN BN k k +=，所以12120y y x t x t+=--， 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以12122(1)()20x x t x x t -+++=， 所以()22221512162212011k k t t k k -+⋅-++=++， 所以()()2228110931k t k t k ⎛⎫ ⎪--++++⎝=⎭， 整理得，319028t -=， 解得1912t =， 所以当19,012N ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，能使x 轴平分ANB ∠．。

2020年高考真题北京卷数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年高考真题北京卷第1题4分2021年陕西咸阳旬邑县旬邑县中学高三一模文科第3题5分2020~2021学年河南濮阳高一上学期期末第1题5分2020~2021学年11月四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三上学期月考文科第1题5分2020~2021学年浙江杭州拱墅区杭州源清中学高二下学期期中第1题4分已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=（）．A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}2、【来源】 2020年高考真题北京卷第2题4分2020~2021学年10月山东青岛市北区青岛第十七中学高三上学期月考第2题5分2020~2021学年10月北京西城区北京市第三十五中学高三上学期月考第3题4分在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i3、【来源】 2020年高考真题北京卷第3题4分2020~2021学年江苏常州溧阳市江苏省溧阳中学高三上学期开学考试第2题5分在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为（）．A. −5B. 5C. −10D. 104、【来源】 2020年高考真题北京卷第4题4分2020~2021学年10月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二上学期月考文科第5题3分某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35、【来源】 2020年高考真题北京卷第5题4分2020~2021学年湖南长沙雨花区雅礼中学高二上学期期中（雅礼教育集团）第6题5分2020~2021学年安徽合肥肥东县肥东县第二中学高二下学期期末文科第9题5分2020~2021学年12月四川眉山仁寿县仁寿县第一中学（北校区）高二上学期月考第6题5分2020~2021学年10月江苏南京秦淮区南京市第一中学高二上学期月考第3题5分已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A. 4B. 5C. 6D. 76、【来源】 2020年高考真题北京卷第6题4分已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)7、【来源】 2020年高考真题北京卷第7题4分设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8、【来源】 2020年高考真题北京卷第8题4分2020~2021学年10月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二上学期月考理科第9题3分2020~2021学年10月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二上学期月考文科第10题3分在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1，记T n=a1a2⋯a n(n=1,2,⋯)，则数列{T n}（）．A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9、【来源】 2020年高考真题北京卷第9题4分已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sin⁡α=sin⁡β”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10、【来源】 2020年高考真题北京卷第10题4分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测（第五章测试卷）第4题2020~2021学年3月陕西西安碑林区西安市铁一中学高一下学期月考第9题4分2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A. 3n (sin⁡30°n +tan⁡30°n )B. 6n (sin⁡30°n +tan⁡30°n )C. 3n (sin⁡60°n +tan⁡60°n )D. 6n (sin⁡60°n +tan⁡60°n )二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年高考真题北京卷第11题5分2020~2021学年广东广州越秀区广州大学附属中学高一下学期期中（三校联考）第13题5分 2020~2021学年广东广州南沙区广州外国语学校高一下学期期中（三校联考）第13题5分 2020~2021学年广东广州越秀区广州市铁一中学高一下学期期中（三校联考）第13题5分 函数f (x )=1x+1+ln⁡x 的定义域是 ．12、【来源】 2020年高考真题北京卷第12题5分已知双曲线C ：x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．13、【来源】 2020年高考真题北京卷第13题5分已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=12(AB →+AC →)，则|PD →|= ，PB →⋅PD →= ．14、【来源】 2020年高考真题北京卷第14题5分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测[ 校本作业5.5.2（1）] 第1题若函数f(x)=sin⁡(x+φ)+cos⁡x的最大值为2，则常数φ的一个取值为．15、【来源】 2020年高考真题北京卷第15题5分2020~2021学年10月北京西城区西城外国语学校高三上学期月考第15题5分2020~2021学年10月北京朝阳区清华大学附属中学朝阳学校高三上学期月考第16题5分2020~2021学年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三上学期开学考试文科第16题5分2020~2021学年12月陕西西安雁塔区西安交通大学第二附属中学(南校区)高二上学期月考理科第15题5分为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期的大小评价在[a,b]这段时整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16、【来源】 2020年高考真题北京卷第16题13分2020~2021学年北京东城区北京市第一七一中学高二上学期期中第16题如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1中点．(1) 求证：BC1//平面AD1E．(2) 求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．17、【来源】 2020年高考真题北京卷第17题13分2020~2021学年10月山东青岛市南区青岛第一中学高三上学期月考第17题2020~2021学年9月北京西城区北京市第七中学高三上学期月考第18题14分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期月考第17题在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①：c=7，cos⁡A=−17；条件②：cos⁡A=18，cos⁡B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．(1) a的值．(2) sin⁡C和△ABC的面积．18、【来源】 2020年高考真题北京卷第18题14分2020~2021学年北京海淀区清华大学附属中学高三上学期开学考试第17题14分2020~2021学年12月北京东城区北京市第五中学高三上学期月考第18题某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(1) 分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率．(2) 从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率．(3) 将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）19、【来源】 2020年高考真题北京卷第19题15分2020~2021学年宁夏石嘴山惠农区石嘴山市第一中学高三上学期期中第21题12分已知函数f(x)=12−x2．(1) 求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程．(2) 设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．20、【来源】 2020年高考真题北京卷第20题15分2020~2021学年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高二下学期期中第21题12分2020~2021学年浙江宁波奉化区高二下学期期末第22题15分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1过点A(−2,−1)，且a=2b．(1) 求椭圆C的方程．(2) 过点B(−4,0)的直线l交椭圆C于点M，N．直线MA，NA分别交直线x=−4于点P，Q．求|PB||BQ|的值．21、【来源】 2020年高考真题北京卷第21题15分 已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：①对于{a n }中任意两项a i ，a j (i >j)，在{a n }中都存在一项a m ，使得a i 2a j =a m ；②对于{a n }中任意一项a n (n ⩾3)，在{a n }中都存在两项a k ，a l (k >l)，使得a n =a k 2a l ． (1) 若a n =n （n =1，2，⋯），判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由．(2) 若a n =2n−1（n =1，2，⋯），判断数列{a n }是否同时满足性质①和性质②，说明理由．(3) 若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n }为等比数列．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 A;11 、【答案】 (0,+∞);12 、【答案】 (3,0);√3;13 、【答案】 √5;−1;14 、【答案】 π2（答案不唯一，符合φ=π2+2kπ，k ∈Z 即可）;15 、【答案】 ①②③;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 23．;17 、【答案】 (1) 选择条件①：a=8；选择条件②：a=6．;(2) 选择条件①：sin⁡C=√32，S△ABC=6√3；选择条件②：sin⁡C=√74，S△ABC=15√74．;18 、【答案】 (1) 男生支持方案一概率为：13；女生支持方案一概率为：34．;(2) 1336．;(3) p0>p1．;19 、【答案】 (1) 2x+y−13=0．;(2) 32．;20 、【答案】 (1) x28+y22=1．;(2) 1．;21 、【答案】 (1) 不满足，证明见解析．;(2) 满足，证明见解析．;(3) 证明见解析．;。

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。

江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性考试检测数学试题一、单选题1．已知直线()1:130l x a y +--=与直线2:230l x y ++=相互垂直，则a 的值为（ ） A ．12 B ．1C ．3D ．12- 2．已知复数z 满足()()()221i 1i z a a R ⋅+=-∈，则z 为实数的一个充分条件是（ ）A ．0a =B ．1a =C ．a =D ．2a = 3．某校“校园歌手”比赛中，某选手获得的原始评分为，1234567,,,,,,x x x x x x x 去掉一个最高分和一个最低分后得到有效评分，则有效评分与原始评分相比较，一定不变的特征数是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．方差4．已知圆22:4O x y +=，直线2y kx =+与圆O 恰有一个公共点，则k 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D 5．已知圆1O 与圆2O 内含，且圆心12,O O 不重合，动圆C 与两圆相切，则圆心C 的轨迹为（ ） A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．椭圆 6︒=A ．1 BC D ．2 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两焦点为12,,F F P 为其渐近线上一点，满足：1212,2PF PF PF PF ⊥=，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）A ．32y x =± B ．23y x =± C ．43y x =± D ．34y x =? 8．已知定点(),0,M m P 为椭圆22:14x C y +=上一动点，满足：当PM 取得最小值时点P 恰为椭圆C 的右顶点，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．32m ≥C ．mD ．2m ≥二、多选题9．已知向量()()2,1,,2a b m =-=r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则4m =-B ．若a b ⊥r r ，则1m =C ．若2a b a b -=+r r r r ，则1m =D ．若b r 在a r 上的投影向量是a r ，则3m = 10．已知,A B 为定点，且AB 4=，下列条件中能满足动点P 的轨迹为圆的有（ ）A ．10PA PB ⋅= B ．10PA PB =C ．22||10PA PB +=D ．22||10PA PB -= 11．甲袋中有4个白球，2个红球，乙袋中有3个白球，3个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）A ．2个球颜色相同的概率为12 B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23 D ．2个球中恰有1个红球的概率为1212．曲线C 的方程为44441(0,0)x y a b a b+=>>，下列对曲线C 的描述正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 与椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>'无公共点 C ．曲线C 所围成的封闭图形的面积大于椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>'围成的封闭图形的面积D ．曲线C 上的点到原点距离的最大值为a三、填空题13．函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为． 14．已知一圆台的上、下底面半径分别为1和4，其母线长为5，则该圆台的体积为． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12F F 、，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为P ，且1290F PF ∠=︒，则椭圆1C 的离心率为．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为.四、解答题17．已知正四面体ABCD ，(1)证明：直线BD ⊥直线AC ．(2)求二面角A BD C --的余弦值．18．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后得到如图所示频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，分别求众数，第50百分位数；(2)现从数学成绩在[)60,80的学生中按分层抽样的方法抽取6人进行访谈，再从这6人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰好一人来自[)60,70，一人来自[)70,80的概率．19．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--= (1)求A ；(2)若b =，且BC 边上的高为ABC V 的面积．20．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P ．(1)求圆C 的方程；(2)若点(),P x y 在圆C 上运动，不等式2x y m +≤恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，已知双曲线C :2212y x -=，过点(0,1)P -的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点A ，B ，交双曲线C 的两条渐近线于点D ，E （点D 在y 轴的左侧）.（1）若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程：（2）求DEAB 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，△12F PF 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.。

2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下判断正确的是( )A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题B. 命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x ∈N ，x 3<x 2”C. “a =1”是函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π的必要不充分条件D. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 是偶函数”的充要条件2.数列{a n }满足a n =4a n−1+3，且a 1=0，则此数列的第5项是( )A. 15B. 255C. 16D. 363.已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2a 2，则S6a 2=( )A. 4B. 162C. 9D. 124. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在平面BCC 1B 1内，且D 1P ⊥AC 1，则线段D 1P 的长度的最小值为( )A. √3B. √6C. 2√2D. 2√65.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位； 乙：我不坐座位号为1和4的座位； 丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位． 那么坐在座位号为3的座位上的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在△ABC 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.设数列lg100，lg(100sin π4)，lg(100sin 2π4)，⋯⋯，lg(100sin n−1π4)⋯的前n 项和为S n ，那么数列{S n }中最大的项是( )A. 13B. 14C. S 13D. S 148.△ABC 中，AB =6，AC =8，∠BAC =90°，△ABC 所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是13，则P 到平面α的距离为( )A. 7B. 9C. 12D. 13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知空间向量a ⃗ =(−2,−1,1)，b ⃗ =(3,4,5)，则下列结论正确的是( )A. (2a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗B. 5|a ⃗ |=√3|b ⃗ |C. a ⃗ ⊥(5a ⃗ +6b ⃗ )D. a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为−√3610. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内11. 狄利克雷函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f(x)，下列命题中真命题的有( )A. 对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1B. 对任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0C. 若a <0，b >1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}D. 存在三个点A(x 1,f(x 1))，B(x 2,f(x 2))，C(x 3,f(x 3))，使得△ABC 为等腰三角形12. 关于下列命题，正确的是( )A. 若点(2,1)在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2−15=0外，则k >2或k <−4B. 已知圆M ：(x +cosθ)2+(y −sinθ)2=1与直线y =kx ，对于任意的θ∈R ，总存在k ∈R 使直线与圆恒相切C. 已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆恒相切D. 已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2−2y=1的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的面积的最小值为√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，则．14.下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是．①②③④15.直线与圆相交于、两点，若，则.(其中为坐标原点)16.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|2≤x≤6,x∈R}，B={x|−1<x<5,x∈R}，全集U=R．(1)求A∩(∁U B)；(2)若集合C={x|x<a,x∈R}，A∩C=⌀，求实数a的取值范围．(3)若集合D={x|m+1<x<2m−1,x∈R}，B∩D≠⌀，求实数m的取值范围．18.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=______ a4=______ …b1=2b2=______ b3=______ b4=______ …(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？19. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线BC1与平面ACC1A1所成的角．20. 已知等差数列{a n}的公差为2，且a1−1，a2−1，a4−1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和S n，求使S n<17成立的最大正整数n的值．21. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3√2，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱A1A上，且A1E=2EA．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值．22. 在数列{a n}中，a1=1，a4=7，an+2−2a n+1+a n=0(n∈N﹢)(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=1n(3+a n))(n∈N+)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的转化及充分必要条件的概念及应用，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方是正数”，是全称命题，可判断A；B，写出命题“∀x∈N，x3>x2”的否定，可判断B；C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D．解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；对于B，命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x∈N，x3≤x2”，故B错误；=π，充分性成立；对于C，a=1时，函数f(x)=cos2x−sin2x=cos2x的最小正周期为T=2π2反之，若函数f(x)=cos2ax−sin2ax=cos2ax的最小正周期T=2π2|a|=π，则a=±1，必要性不成立；所以“a=1”是函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π的充分不必要条件，故C错误；对于D，b=0时，函数f(−x)=ax2+c=f(x)，y=f(x)是偶函数，充分性成立；反之，若函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，f(−x)=f(x)，解得a=0，即必要性成立；所以“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件，故D正确．故选：D．2.答案：B解析：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．3.答案：C。

江苏省常州市第一中学2024-2025学年高三上学期期初检测数学试题一、单选题1．已知集合11A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭∣，{|01}B x x =<<，则()A B ⋂=R ð（ ） A ．[)0,1B ． 0,1C ．()()1,00,1-⋃D ． −1,12．已知α，β∈R 则“sin()sin 2αβα+=”是“2()k k βαπ=+∈Z ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．b a c <<4．已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ） A ．12B ．15C ．25D5．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱CD 上的一点，且2DE EC =，则点1B 到平面1AEC 的距离为（ ）A．7BCD6．已知函数()22()log 23f x ax x =++，若对于任意实数k ，总存在实数0x ，使得()0f x k =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(1,)-+∞C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．若()f x 的图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[,]A B 称为函数()f x 的“友情点对”（点对[,]A B 与[,]B A 视为同一个“友情点对”.）若32ln ,0(),0x x x f x ax x ⎧>=⎨≤⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数g x +1 的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．4二、多选题9．已知0a >，0b >，221a b ab ++=，则（ ）A ．13ab ≤B ．a b +≤C ．2223a b +≤D ．11a b+≤10．已知函数2()cos (0)2f x x ϕϕ⎛⎫=+<<π ⎪⎝⎭图像的一条对称轴是5π12x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．π1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像的一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭D ．若函数()(0)y f x ωω=>在[0,]π上单调递减，则50,12ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．已知函数()x a f x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（ ）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有1个零点C ．当e a >时，()f x 没有零点D ．存在1a >，使得()f x 存在2个极值点三、填空题12．命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是.13．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=>，若()f x 在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是．14．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()e (21)()x f x x f x '=⋅++，(0)2f =-，则不等式()4e x f x >的解集是．四、解答题15．已知函数()()2sin πcos cos (0)f x x x x ωωωω=-+>，()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的12，再向右平移π8，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=o ，1AA =11A AB A AD ∠=∠，145A AC ∠=o ，AC 与BD 交于O ．(1)证明：1AO ⊥平面ABCD ； (2)求二面角1B CC D --的正弦值．17．第22届世界杯足球赛在卡塔尔举办，各地中学掀起足球热．甲、乙两名同学进行足球点球比赛，每人点球3次，射进点球一次得50分，否则得0分．已知甲每次射进点球的概率为23，且每次是否射进点球互不影响；乙第一次射进点球的概率为23，从第二次点球开始，受心理因素影响，若前一次射进点球，则下一次射进点球的概率为34，若前一次没有射进点球，则下一次射进点球的概率为12．(1)设甲3次点球的总得分为X ，求X 的概率分布列和数学期望； (2)求乙总得分为100分的概率．18．已知函数()1ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）若2a =，且直线y x m =+是曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的值；（2）若不等式()1f x >对任意(1)x ∈+∞，恒成立，求a 的取值范围； （3）若函数()()h x f x x =-有两个极值点1x ，212x x x <（），且()()214h x h x e-≤，求a 的取值范围．19．在平面直角坐标系中，如果将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转π(0)2αα<?后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.(1)判断函数y =是否为“π6旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数()()()ln 210f x x x =+>是“α旋转函数”，求tan α的最大值； (3)若函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---是“π4旋转函数”，求m 的取值范围.。