光纤的模式理论2

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圆柱坐标系中波动方程的建立
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光纤波导中亥姆霍兹方程的特征
∇ 2 u + k 2u = 0
⇒ ∇ 2u = − k 2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。 如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。 其中该函数称为算符的本征函数， 是算符的对应于本征函数的本征值。 其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及 —— 其对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题” 其对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。 光纤波导中，电磁波在纵向（轴向） 光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上 行波”的形式存在， 驻波”的形式存在。 场分布在轴向的变化只体现在相位上， 以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场 的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合， 的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在 损耗和增益） 损耗和增益）
式中，A= 2∆ / a ， C1和C2是待定常数，由边界条件确定。 设光线 以θ0从特定点(z=0, r=ri)入射到光纤，并在任意点(z, r)以θ*从光纤射出。 由方程(2.10)及其微分得到
C2= r (z=0)=ri
C1=
1 dr A dz
z =0
(2.11)
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射线方程的解
由图2.5的入射光得到 dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0) 把这个近似关系代入式 (2.11) 得到 把C1和C2代入式(2.10)得到
光纤传输原理
王雪珍
参考书
1.《光纤通信》 刘增基等 《光纤通信》 2.《传输光学》 【美】D.Marcuse著 《传输光学》 著 3.《导波光学》 范崇澄 彭吉虎著 《导波光学》 4.《通信光纤》 【日】大越孝敬等著 《通信光纤》
西安电子科技大学出版社 人民邮电出版社 北京理工大学出版社 人民邮电出版社
∇ 2 E + k 2 E = 0 2 ∇ H + k 2 H = 0
称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
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传播常数
对于上述齐次波动方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立： 对于上述齐次波动方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立： 此式的通解为 于是可得 其中 传播常数
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射线方程的解
用几何光学方法 几何光学方法分析渐变型多模光纤 几何光学方法 渐变型多模光纤要求解射线方程， 射线方程一般形 渐变型多模光纤 式为 d dρ
ds (n ds ) = ∇n
(2.7)
式中，ρ为特定光线的位置矢量， s为从某一固定参考点起的光线 长度。选用圆柱坐标(r, φ, z)，把渐变型多模光纤 渐变型多模光纤的子午面(r - z)示于图2.5。 渐变型多模光纤 如式(2.6)所示，一般光纤相对折射率差 相对折射率差都很小，光线和中心轴线z的 相对折射率差 夹角也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圆对称性 沿轴线的均匀 圆对称性和沿轴线的均匀 圆对称性 性，n与φ和z无关。在这些条件下， 式(2.7)可简化为
∫
rm
0
r2 1 − 2∆ 2 r m2 aπn (0) a dr = ( (1 − ∆ 2 ) 2 2 a c 2∆ rm − r
(2.16)
和 突 变 型 多 模 光 纤 的 处 理 相 似 ， 取 θ0=θc(rm=a) 和 θ0=0 (rm=0)的时间延迟差为Δτ，由式(2.16)得到 时间延迟差 时间延迟
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射线方程的解
把式(2.6)和g=2代入式(2.8)得到
d 2r − 2 ∆r − 2∆r = ≈ 2 r 2 dz a2 2 a [1 − ∆( ) ] a
解这个二阶微分方程， 得到光线的轨迹 光线的轨迹为 光线的轨迹
(2.9)
r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az)
(2.10)
那么光线从O点到P点的时间延迟 时间延迟为 时间延迟
τ = 2
∫
dt = 2
∫
rm 0
dr v ( r ) sin θ
(2.15)
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由图2.5可以得到n(0)cosθ0=n(r)cosθ=n(rm)cos0，又
v(r)=c/n(r)，利用这些条件，再把式(2.6)代入，式(2.15)就变成
2 an ( 0 ) τ = c 2∆
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渐变型多模光纤具有自聚焦效应 渐变型多模光纤 自聚焦效应，不仅不同入射角相应的 自聚焦效应 光线会聚在同一点上，而且这些光线的时间延迟 时间延迟也近似相等。 时间延迟 如图2.5， 设在光线传播轨迹上任意点(z, r)的速度为v(r)， 其径向分量 径向分量
dr = v ( r ) sin θ dt
可化为标量波动方程 当可认为∇ε ≈ 0 时，可化为标量波动方程
∇ε
∂2E ∇ E = εµ 2 ∂t ∂2H 2 ∇ H = εµ 2 ∂t
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如入射为单色波，时空分离后， 如入射为单色波，时空分离后，可得亥姆霍兹方程
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波动方程
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微 分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在 涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它 和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声 学研究等问题中。 如：电磁场中的
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光纤模式理论概述
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模式——电磁场场形
光源 LED、白炽灯 光纤 导波模、辐射模（泄漏模） 初始端 光斑
LD、点源经准直透镜的光束 导波模 波导、导波的概念！ 波导、导波的概念！
导波： 导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。 向传输的电磁波。 波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统， 光纤、矩形波导。 波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统，如光纤、矩形波导。
a π n (0 ) (2.17) ∆ c 2∆ 设 a = 25µm, n(0) = 1.5, ∆ = 0.01 ，则可得 ∆τ ≈ 0.03 ps ∆τ =
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抛物线折射率分布和双曲正割折射率分布光纤中的光纤轨迹图
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关于麦克斯韦方程组
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有关 麦克斯韦 其人 (James Clerk Maxwell 1831～1879)
(2.12b)
取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹 光线轨迹的普遍公式为 光线轨迹
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r θ* =
cos(Az) -An(0) sin(Az)
1 sin( AZ ) An(0)
r1
θ0
(2.13)
cos(Az)
这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜 自聚焦透镜的理论依据。 自聚焦透镜
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自聚焦效应 为观察方便，把光线入射点移到中心轴线(z=0,
C1 =
θ0
An ( r )
C
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= ri
r(z)=ricos(Az)+
θ0
An( r )
sin( Az )
(2.12a)
由 出 射光 线 得 到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r) ，由 这个 近 似 关 系和 对 式 (2.10)微分得到
θ*=-An(r)risin(Az)+θ0cos(Az)
J = σE D = εE H = B/µ
对于光纤： 对于光纤： （1）无传导电流； ）无传导电流； （2）无自由电荷； ）无自由电荷； （3）线性各向同性 ） 麦克斯韦方程组可行简化
σ：电导率 ε：介电常数 µ：磁导率
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可得矢量波动方程： 可得矢量波动方程： 矢量波动方程
∂2E ∇ 2 E + ∇( E ⋅ ) = εµ 2 ∂t ε ∇ε ∂2H ∇ 2 H + ( ) × (∇ × H ) = εµ 2 ε ∂t
ri=0)，由式(2.12)和式(2.13)得到
r =
θ0
An ( 0 )
sin( Az )
(2.14a) (2.14b)
θ*=θ0cos(Az)
由此可见，渐变型多模光纤 渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正 渐变型多模光纤 弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0 ， 其周期Λ=2π/A=2πa/ 2 ∆ ， 取决于光纤的结构参数(a, Δ)， 而 与入射角θ0无关。 这说明不同入射角相应的光线， 虽然经历的路程不同， 但是最终都会聚在P点上，见图2.5和图2.2(b)， 这种现象称为 自聚焦(Self Focusing)效应 自聚焦(Self-Focusing)效应 (Self效应。
生平简介：英国物理学家，1831年 13日生于英国爱丁堡的一个地主家 生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于英国爱丁堡的一个地主家 庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 1850年转入剑桥大学研习数学 1854年以优异成绩毕业于该校三一 年转入剑桥大学研习数学， 学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优异成绩毕业于该校三一 学院数学系 并留校任职。1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任 数学系， 年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学 学院数学系，并留校任职。1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学 教授。1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。1865年辞去教 年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授 教授。1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。1865年辞去教 职还乡，专心治学和著述。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授， 年受聘为剑桥大学的实验物理学教授 职还乡，专心治学和著述。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授， 负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成 ——卡文迪许实验室 负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成 后担任主任。1879年11月 日在剑桥逝世，终年只有49 49岁 后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在， 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在，1873发 发 电磁学通论》 他建立了实验验证的严格理论， 表《电磁学通论》。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的 实验，他还发明了麦克斯韦电桥。 实验，他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动 麦克斯韦速度分布律，创立了定量色度学 定量色度学， 的麦克斯韦速度分布律，创立了定量色度学，负责建立起卡文迪许实验 室。