中考动态几何

解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀动 中求 静 , 动 静 互化中考动态几何问题解题思路初探◉江苏省苏州市高新区实验初级中学㊀袁㊀媛㊀㊀摘要:在初中平面几何的学习中,要运用运动变化的思路研究图形,让静止的几何图形 动 起来,化抽象为具体,让变化的图形形象直观地揭示出恒定不变的几何规律,把相关的知识点串联起来,这样有助于提高分析问题和解决问题的能力．本文中结合中考试题,对常见的动态几何类题型的解题思路与方法进行了初步探索．关键词: 动 静 转化;动 点 类问题;动 线 类问题;动 图 类问题㊀㊀马克思主义哲学告诉我们,运动是绝对的,静止是相对的．在几何的学习过程中,我们发现 静 只是 动 的瞬间,是运动的一种特殊形式, 动 与 静 是可以相互转化的．如果能让静止的几何图形 动 起来,就可以帮助学生加深对图形概念的准确理解,探索图形的性质．教师可以用动态图形创设富有启发性的教学情境,引发学生对问题的讨论与思考;还可以通过动态图形让学生体验数学实验成功的乐趣．更重要的是,动态的几何图形能够把与几何㊁代数相关的知识联系起来,其中蕴含着动静结合㊁数形结合的思想方法,能够在运动变化中发展学生的空间想象能力,不断提高学生综合分析㊁解决问题的能力．在初中几何教学中,与动态图形有关的问题主要有以下几类．１动点 类问题动点问题是中考数学中最常见的题型,涉及面非常广泛．解决动点类问题的思路是化动为静,以相对静止的瞬间去寻求量与量之间的关系．图１例１㊀(２０２２年江苏省苏州市中考第１６题)如图１,在矩形A B C D中,A B B C ＝２３．动点M 从点A 出发,沿边A D 向点D 匀速运动,动点N从点B 出发,沿边B C 向点C 匀速运动,连接MN ．动点M ,N 同时出发,点M 运动的速度为v １,点N 运动的速度为v ２,且v １＜v ２．当点N 到达点C 时,M ,N 两点同时停止运动．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好与C D 的中点重合,则v １v ２的值为．图２解析:如图２所示,在矩形A B C D中,设A B ＝２a ,B C ＝３a ,运动时间为t ,则C D ＝A B ＝２a ,A D ＝B C ＝３a ,B N ＝v ２t ,AM ＝v １t ．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ,所以B ᶄN ＝B N ＝v ２t ,A ᶄM ＝AM ＝v １t ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好在C D 的中点重合,则D B ᶄ＝B ᶄC ＝a ．在R t әB ᶄC N 中,øC ＝９０ʎ,B ᶄC ＝a ,B ᶄN ＝v ２t ,C N ＝３a －v ２t ,则v ２t ＝５３a ＝B N ．因为øA ᶄB ᶄN ＝øB ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ．又øC N B ᶄ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＝øC N B ᶄ,故әE D B ᶄʐәB ᶄC N ．因此,D E D B ᶄ＝B ᶄC C N ＝B ᶄCB C －B N＝a ３a －５３a＝３４,可得D E ＝３４D B ᶄ＝３４a ,则B ᶄE ＝D B ᶄ２＋D E ２＝５４a ,于是A ᶄE ＝A ᶄB ᶄ－B ᶄE ＝３４a ,即D E ＝３４a ＝A ᶄE ．在әA ᶄE M 和әD E B ᶄ中,øA ᶄ＝øD ＝９０ʎ,A ᶄE ＝D E ,øA ᶄE M ＝øD E B ᶄ,ìîíïïï所以әA ᶄE M ɸәD E B ᶄ(A S A ),则A ᶄM ＝B ᶄD ＝a ,即A M ＝v １t ＝a ．所以v １v ２＝v １t v ２t ＝A M B N ＝a ５３a ＝３５．思路与方法:本题考查矩形背景下的动点问题,通过动态图形,将矩形的性质㊁对称性质㊁中点性质㊁三角形相似㊁全等的判定与性质㊁勾股定理及翻折的２７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀运动形式等知识点联系起来．熟练掌握相关性质及三角形全等的判定定理,利用翻折及中点性质,根据三角形全等的性质求出相应线段的长是解题的重要方法．２动线 类问题动线类问题的特点很明显,动线在运动过程中可能会出现多种情况,尽管情况不同,但解题的思路是一致的,那就是 以静制动 ,通过特殊的静止状态去寻找量之间的关系．图３例２㊀(２０２２年江苏省盐城市中考第１４题)如图３,在矩形A B C D 中,A B ＝２B C ＝２,将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,使得点B 落在边C D 上的点B ᶄ处,线段A B 扫过的面积为．解析:由A B ＝２B C ＝２,得B C ＝１,所以A D ＝B C ＝１．因为将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,所以A B ᶄ＝A B ＝２．因为c o s øD A B ᶄ＝A D A B ᶄ＝１２,所以øD A B ᶄ＝６０ʎ,则øB A B ᶄ＝３０ʎ．故线段A B 扫过的面积为３０ˑπˑ２２３６０＝π３．思路与方法:首先由动线A B 旋转的性质可得A B ᶄ＝A B ＝２,再由锐角三角函数可求出øD A B ᶄ＝６０ʎ,进而求出øB A B ᶄ,最后根据扇形面积公式即可获解．本题考查了旋转的性质㊁矩形的性质㊁扇形的面积公式㊁锐角三角函数等相关知识点．会观察和分析动态图形,灵活运用相关性质是解题的关键．３动图 类问题动图类问题常常结合图形的平移㊁旋转㊁翻折等变换,提出相关问题．解题的思路主要是从寻找图形运动的特殊情况中打开,进而灵活运用相关几何知识(如平行四边形的性质㊁切线的性质㊁圆的有关知识㊁锐角三角函数㊁直角三角形等)解决问题．例３㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第１８题)在әA B C 中,A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,点D 在A C 上,且A D ＝２２,E 是射线A B 上一动点,连接E D 并将E D 绕着点E 旋转６０ʎ得线段E F ,当点F 恰好落在直线A C 上时,可求得A E 的长等于．解析:第一种情况．当E D 顺时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图４,过点E 作E M ʅA C 于点M．因为图４A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,所以әA B C 是等腰直角三角形,于是øA ＝４５ʎ．根据旋转的性质,可得øD E F ＝６０ʎ,E F ＝E D ,所以әD E F 是等边三角形,故øD E M ＝３０ʎ．设DM ＝x ,则D E ＝２x ,AM ＝２２＋x ．因为øA ＝４５ʎ,E M ʅA C ,所以әA E M 是等腰直角三角形,故M E ＝AM ＝２２＋x ．在R tәD E M 中,根据勾股定理,可得x ２＋(２２＋x )２＝(２x )２,解得x ＝２＋６,或x ＝２－６(舍)．所以M E ＝AM ＝２２＋x ＝３２＋６．在әA M E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２A M ＝６＋２３．图５第二种情况:当E D 逆时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图５,作E M ʅA C 交A C 于点M ．根据第一种情况,同理可设DM ＝x ,则有D E ＝２x ,AM ＝２２－x ．在әD E M 中,由勾股定理可得M E ＝３x ,所以３x ＝２２－x ,解得x ＝６－２．故M E ＝A M ＝３２－６．在әAM E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２AM ＝６－２３．综合上述两种情况,A E 的长为６ʃ２３．思路与方法:首先要考虑到图形顺㊁逆两种旋转情况,根据旋转的性质可知әD E F 是等边三角形,过点E 作E M ʅA C ,又可证得әA E M 是等腰直角三角形,再设DM ＝x ,利用勾股定理便可求出x 的值,最后利用勾股定理即可求出A E 的长度．本题考查了图形旋转的性质㊁等边三角形的判定与性质㊁勾股定理等知识点．能够根据题意,按照E D 顺时针旋转与逆时针旋转两种情况,分别画出动态图形进行分类解析是解题的关键．综上所述,解决动态几何问题的基本思路是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在 动 中求 静 ,在 静 中探求 动 的普遍规律．在具体解题过程中,要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,找出其中的等量关系和变量关系,并要特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系．在解答动态几何类题型时,经常要用到数形结合思想㊁分类思想㊁转化思想和方程思想等重要的思想方法．Z３７。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

动态几何一、知识点睛解决动态几何问题要注意分段和线段长表达．①分段关键是找状态转折点或碰撞点．②线段长表达要找准对应的速度和时间．尤其注意起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等情形．二、精讲精练1.如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .（1）求点A 和点B 的坐标．（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O →C →A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同的速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 的运动时间为t 秒．①当t 为何值时，以A ，P ，R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2.如图，在□OABC 中，点A 在x 轴正半轴上，∠AOC =60°，OC =4cm ，OA =8cm ．动点P 从点O 出发，以1cm/s 的速度沿折线OA -AB 运动；动点Q 同时．．从点O 出发，以a cm/s 的速度沿折线OC -CB 运动，当其中一点到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）当a =1时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大？（2）当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线OB 交于点M ．若以O ，M ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求a 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．3.如图1，矩形OABC的顶点B的坐标为(8，3)，定点D的坐标为(12，0)．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动；动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P，Q两点同时出发，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=______时，△PQR的边QR经过点B．（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）如图2，过定点E(5，0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR 的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF，BC于点M，N．若∠MAN=45°，求t的值．4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分的面积为S，点P运动的时间为t秒．（1）当点N落在BD上时，求t的值；（2）当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（3）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．。

中考数学中的《探究性问题——动态几何》动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力。

有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。

本人只是用20XX 年的部分中考数学试题加以说明。

一、知识网络《动态几何》涉及的几种情况 ⎧⎪⎨⎪⎩动点问题动线问题动形问题二、例题经典1.【05重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动 点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式； (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？【解】（１）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b 由题意，得b ＝68k ＋b ＝0解得 k ＝－43b ＝6 所以，直线AB 的解析式为y ＝－43x ＋6． （２）由 AO ＝6， BO ＝8 得 AB ＝10 所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t1°当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB ． 所以6t ＝10210t - 解得 t ＝1130(秒) 2°当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．所以 10t ＝6210t - 解得 t ＝1350(秒)（３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54xBx Bx在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ·Sin ∠BAO ＝(10-2t )·54＝8－58t 所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·(8－58t ) ＝－254t ＋4t ＝524解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．2.【05青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S 米2。

中考中的动态几何问题孔令森 宋艳动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类问题，常见形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1. 动中求静。

即在运动变化中探索问题中的不变性；2. 动静互化。

抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；3. 以动制动。

即建立图形中两个变量间的函数关系，通过研究函数，来研究变量元素间的关系。

下面举例说明一下这类问题的求解。

一. 动中求静。

例1 如图（1）⊙O 半径为r ，点C 、D 是直径AB 同侧圆上的两点，AC ⋂的度数为96°，BD ⋂的度数为36°，动点P 在AB 上，则PC+PD 的最小值是 。

图（1）分析：动中求静，由PC+PD 的最小值联想到对称性，则PC 与PD 转化到一条线段上，两点之间线段最短。

∴找D 关于AB 的对称点D '，连结CD '。

即找到PC+PD 最小时P 点位置，则CD '⋂的度数为120°，在∆COD '中，∠=︒COD '120，O C r =，则CD r =3二. 动静互化。

例2 如图（2），在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠=︒B 90，AB cm =8，AD cm =24，BC cm =26，AB 为⊙O 直径，动点P 从A 点开始沿AD 边向点D 以1cm /秒速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm /秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒。

图（2）求：（1）t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？（2）t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切、相交、相离？分析：对于（2）首先要将P 、Q 的运动转化到直线PQ 的运动中，要探求时间t 对直线PQ 与⊙O 位置关系的影响，可先动中取静，即先考察“直线PQ 与⊙O 相切”这一整个运动过程中的特殊一瞬，然后再结合PQ 的初始与终止状态一起加以考察，动静互化。

专题三：中考动态几何问题（第1课时）课程解读一、学习目标：了解几何动态问题的特点,学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容,有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．知识梳理几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定,变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时,常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．典型例题知识点一：动点问题例 1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC ＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动,点N从点B同时出发,以2cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s)的函数图象大致是（）思路分析：1）题意分析:本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y,再根据y与t之间的关系式确定函数图象．2、如图所示，已知直线31y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一限象内作等腰Rt△ABC，∠BA C=90°，且点P(1，a）为坐标系中的一个动点。

例析中考中的动态几何问题一、题型解读动态几何问题通常以几何知识和图形为背景，渗入运动变化的观点。

尽管图形的某一元素运动变化，但问题的结论可能改变，也可能保持不变．这类题寓动于静，解题时要化变量为常量，展示数学的创造过程，重在考查能力.解决动态几何问题时，需要我们树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程．二、基本策略1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． 2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”。

三、典例剖析〖例1〗（内江市中考）如图29–1，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF += ．方法点拨：三角形中的垂线段与高相关，可依托面积关系求解。

解：连结CD ，作CH ⊥AB 于H 。

则 A H ＝12AB ＝4，CH ＝3。

由 S △ACD ＋ S △BCD ＝S △ABC ， 得 12A C ·DE ＋12BC ·DF ＝12AB ·CH ，即 A C ·DE ＋BC ·DF ＝AB ·CH ，5DE ＋5DF ＝8×3，∴ DE ＋DF ＝245。