若当标准型

矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。

又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。

矩阵的若尔当标准型及简单应用矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P 的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：????1?0??...?0?00??0??...00??.... ........?001???，其中主对角上0...00...0?1...0设?是一个复数，矩阵的元素都是?，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的?一个若尔当.当?=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设?是n维向量空间V的一个线性变换，?1,?2,...,?k都是?的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，?关于这个基的矩阵有形式?B1?????0?B20??????Bk???Ji1?????0?Ji2这里Bi=0??????Jisi??，而Ji1,Ji2,...,Jisi都是属于?i的若尔当块，i?1,2,...,k. r1rkP(x)?(x??)...(x??)?1k证：设的最小多项式是，而P(x)在复数域上是不可约的因式分解，这里?1,?2,...,?k是互不相同的特征值，r1,r2,...,rk是正整数。

ririV(???)?{??V(???)??0 }，i?1,2,...,k,所以空间iii又=ker｜V有直和分解V=V1?...?Vk. 1 对于每一i，令?i是?—?i在Vi上的限制，那么?i 是子空间Vi的一个幂零线性变换，而子空间Vi可以分解为?i一循环子空间的直和：Vi?Wi1?...?Wisi. 在每一循环子空间Wij?(j?1,2,...si)里，取一个循环基，凑成Vi的?Ni1??Ni????0??i一个基，那么关于这个基的矩阵有形状Ni20??????Nisi?? 这里Nij(j?1,2,...,si)是幂零若尔当块。

矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。

又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。

若尔当标准形的研究中文摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。

本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。

关键字：若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量目录目录 (2)第一章：绪论 (1)第二章：若尔当标准形 (2)2.1若尔当标准形的定义 (2)2.2矩阵最小多项式 (3)2.3定理的证明 (6)本章小结： (10)3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型 (11)3.2利用矩阵的秩 (13)3.3用循环向量法求若尔当形 (17)本章小结： (19)第四章若尔当标准形的应用 (20)4.1可逆矩阵P的求法 (20)4.2常系数齐次线性微分方程的解 (24)本章小结： (27)结论： (28)参考文献： (30)致谢： (29)第一章：绪论矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。

在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。

若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。

或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。

若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。

问题：有没有简便的方法求若尔当标准型？记号：以下U ∗表示矩阵U 的共轭转置命题1：若存在酉矩阵U ，使得U ∗AU=B ，设A=【a ij 】，B=【b ij 】，则：|a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1证明： |a ij |2n i,j=1=tr A ∗A , |b ij |2n i,j=1= tr B ∗B =tr U ∗A ∗AU ，由矩阵乘法在迹运算下的可交换知：tr A ∗AU U ∗= tr A ∗A ，得证由这个定理，则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后，记s= |a ij |2n i,j=1，t= |λi |2n i=1（λi 为A 的特征根），则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。

对每个若尔当块J t 为n t ×n t ，有n t -1个“1”，设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块，则s −t = （n i −1）=n-k ，故 k=n+t-s .命题：记号同上，矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论：记号同上，则s-t 为非负整数，且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵.分析：记号同上，设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt ，对应重数为n t ，那么应该有n t -1个1，而其他的特征值由于互异，对应的若尔当块没有1，若矩阵A 一共有m 个不同的特征根，其中只有λi 的重数大于1，为n i ，那么λi 将对应k-m+1个若儿当块，此时可以很快写出若尔当标准型。

命题：记号同上，设矩阵A ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt，对应重数为n t，令p= k-m+1，若方程x1+……x p=n i的正整数解唯一，则可以直接写出A的若尔当标准型。

问题：对于其他情况将更加复杂，是否可以再多求解一下简单的量值的情况下求出其他情况下矩阵A的若尔当标准型？？？。

Jordan 标准型的认识欧峥 11应数一班 2011326660117矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。

这时候相似变换的最好结果就是Jordan 标准型的形式，因为矩阵的Jordan 标准型是最简单的！一、若尔当标准型定义1 设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ10000 (00)...100 (01)00 (00)（ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于λ的一个若尔当（或若尔当块）.当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k B B B 0021（ 2 ） 这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 定义2 形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m J J J 0021的n 阶矩阵，其中每一J 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的.二、用Jordan 标准型求解线性微分方程组现实的很多问题，都可以用现行微分方程组近似的去模拟，但很多的死后，不需要用到复数去求解，这个时候，如果使用Jordan 标准型就可以迅速的解决问题！上面我们大概讲述了Jordan 标准型的定义及定理，下面我们就来看一下其应用。

第一章：绪论（2）第二章: 若尔当典范性的定义（3）定义：上三角矩阵000000()000000def k c c J c c c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 称为若尔当块（jordan block ）。

由若尔当块构成的对角矩阵112233()0000()0000()00000()k k k ks s J J J J λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为若尔当矩阵。

引理1：如果存在数字矩阵,()n P Q M K ∈使得对矩阵A 与B 的特征矩阵有：()E A P E B Q λλ-=-则矩阵A 与B 相似。

定理1：任意的复数域矩阵()n A M c ∈都与一个若尔当矩阵相似，这个若尔当矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，被矩阵A 唯一确定，称为矩阵A 的若尔当典范型。

证明：如果矩阵A 的初等因子组是()11k λλ-，()22k λλ-，……，()kss λλ-则若尔当矩阵112233()0000()0000()00000()k k k ks s J J J J λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有同样的初等因子组，因此A 与J 相似，如果A 又与另一个若尔当矩阵1J 相似，则J 与1J 有相同的初等因子组，因而有相同的若尔当块，它们之间的差别只是块的排列次序不同。

例1.求矩阵131614676687A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的若尔当典范型。

解：先求A 的初等因子，然后由初等因子写出A 的若尔当标准形。

1316141214676016687117E A λλλλλλλλλ-+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+-−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+---++⎣⎦⎣⎦()()212141016100711λλλλλ⎡⎤+--⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→+−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+-⎢⎥⎣⎦ 其中最后一步又行列式因子而得到。

从而A 的初等因子为()1λ-，()21λ+， 它们所对应的若尔当块分别为1(1)J =与211()01J -=- 所以A 的若尔当典范形为100011001J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第二章：矩阵最小多项式第二章：矩阵相似的条件（3）第三章：初等因子（3）第三章:可逆矩阵P 的算法（3）由定理1可知，对于任意n nA C⨯∈，存在可逆矩阵n nP C⨯∈，满足1P AP J -=。

三阶的若尔当矩阵所有可能的标准型
若尔当矩阵可以表示为若干个 Jordan 块的直和形式，其中每个 Jordan 块包含同一个特征值对应的线性无关的特征向量组成的最大子空间。

因此，三阶的若尔当矩阵所有可能的标准型可以表示为以下三种情况中的任意一种：
1. 一个主对角线元素为特征值λ 的 3x3 Jordan 块：
$$
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{pmatrix}
$$
2. 两个特征值相等的 2x2 Jordan 块和一个相应的特征向量：$$
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 1 & 0\\
0 & \lambda_1 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
$$
3. 三个不同的特征值和相应的特征向量：
$$
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{pmatrix}
$$
其中，λ1、λ2、λ3 表示三个不同的特征值。

注意，三阶的若尔当矩阵最多包含两个特征值，因为对于一个 3x3 的若尔当矩阵，其 Jordan 块的大小最多为 3x3。

理解若尔当标准形：读清华大学《线性代数与几何（上、下）》“高等代数”课程是大学数学系一门非常重要的基础课程，通过这门课程的学习，可以使大学低年级学生初步掌握线性代数的基本知识和方法，培养基本的逻辑推理能力，并且了解代数与几何之间深刻的内在关联，同时为后面学习其他数学系基础课程打下必要的基础。

高等代数的主要内容是线性代数，其内容在历史上经过了较长时间的教学积累而慢慢形成的。

目前已经成熟的高等代数课程主要包括了以下的内容：多项式-行列式-矩阵论初步-矩阵的秩与线性方程组-二次型-线性空间-线性变换-相似矩阵与若尔当标准形-欧氏空间高等代数课程体系的逻辑结构极其严谨，内容比较抽象。

实践证明，从几何的角度来学习高等代数，非常有利于用直观的几何形象来揭示高等代数概念高度浓缩的内涵，使学生更好地理解所学的抽象理论，同时也使原来非常紧密的的高等代数课程结构得到了有效的疏解。

另一方面，我们也可以在很大程度上把高等代数（特别是线性空间和线性变换的理论）看成是高维空间的“解析几何”，这样就为高等代数的抽象理论提供了几何学背景的想法。

如果站在大学低年级学生的角度来考虑，对于求解线性方程组、二次型及其矩阵的特征值等问题，还是比较容易理解的。

我们可以从这些历史上经典的数学题材出发，引入多项式、行列式、矩阵和二次型理论等最基本内容。

但是从线性空间开始的后半部分课程的内容，一般来说就比较难以理解了，此时需要综合运用在前半部分课程中学到的内容，并且在抽象数学思维的水平上有一个相当大的提升。

在线性空间与线性变换的理论中，核心的内容是将线性空间分解为不变子空间的直和，从中可以推导出矩阵对角化的一般结果——若尔当标准形。

1．矩阵对角化问题的起源线性代数的历史可以给出学习线性空间与线性变换理论的思想动机。

在线性代数的历史发展进程中，二次型及其矩阵的特征值起到了突出的作用，这是因为它直接引导出后续的“矩阵对角化”这一线性代数的中心主题。