高三数学一轮复习 第2章 第8课时 函数与方程 文 新人教版A

第八节函数与方程[考纲传真 ]联合二次函数的图象，认识函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 建立的实数 x叫做函数 y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0 有实根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 x轴有交点 ? 函数 y＝ f(x)有零点．(3)零点存在性定理：假如函数 y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，并且有 f(a) ·f(b)＜0，那么函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得 f(x0)＝0.2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系＝b2－ 4ac＞ 0＝ 0＜0二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象(x 0)，与 x 轴的交点1,无交点1,(x2,0)(x 0)零点个数2101．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点． ()(2)函数 y＝ f(x)， x∈ D 在区间 (a，b)? D 内有零点 (函数图象连续不停 )，则f(a) ·f(b)＜ 0.( )(3)若函数 f(x)在(a ，b)上单一且 f(a) ·f(b)＜0，则函数 f(x)在 [a ，b]上有且只有一个零点． ( )二次函数 2＋bx ＋c 在 b 2－4ac ＜ 0 时没有零点． ()(4)y ＝ax [答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)√． 教材改编 ) 函数 x＋3x 的零点个数是 ()2 ( f(x)＝e A ．0B.1C.2D.31B [∵f(－1)＝ e －3＜0，f(0)＝ 1＞ 0，∴f(x)在 (－1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，∴函数 f(x)有且只有一个零点． ]3．(2015 安·徽高考)以下函数中，既是偶函数又存在零点的是()A ．y ＝cos xB.y ＝sin xC ．y ＝ln xD.y ＝x 2＋1A [因为 y ＝sin x 是奇函数； y ＝ln x 是非奇非偶函数， y ＝x 2＋ 1 是偶函数但没有零点，只有 y ＝cos x 是偶函数又有零点． ]． (2016江·西赣中南五校联考 ) 函数x －x 2 的零点所在区间是 () 4 f(x)＝ 3A ．(0,1)B.(1,2) C ．(－2，－1)D.(－1,0)352D [∵f(－2)＝－ 9 ， f(－ 1)＝－ 3，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞ 0， f(1)f(2) ＞0，f(－2)f(－1)＞ 0， f(－ 1)f(0)＜0，应选 D.]5．函数 f(x)＝ax ＋1－2a 在区间 (－ 1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 ________．【导学号： 01772059】13，1 [ ∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－ 1)f(1)＜0，1∴(－3a＋1) ·(1－a)＜0，解得3＜a＜1，1∴实数a 的取值范围是3，1 .]函数零点所在区间的判断(1)设 f(x)＝ln x＋ x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为 ()A．(0,1) B.(1,2)C．(2,3) D.(3,4)(2)函数 f(x)＝ x2－3x－ 18在区间 [1,8] 上________(填“存在”或“不存在” )零点 .【导学号： 01772060】(1)B(2)存在[(1) 函数 f(x)的零点所在的区间可转变为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－ x＋ 2 图象交点的横坐标所在的取值范围．作图以下：可知 f(x)的零点所在的区间为 (1,2)．(2)法一：∵f(1)＝12－ 3× 1－ 18＝－ 20＜0，f(8)＝82－ 3× 8－18＝22＞ 0，∴f(1) f(8)·＜0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8] 的图象是连续的，故 f(x)＝ x2－3x－ 18 在 x∈[1,8] 上存在零点．法二：令 f(x)＝ 0，得 x 2－ 3x －18＝ 0，∴(x －6)(x ＋3)＝ 0.∵x ＝ 6∈[1,8] ， x ＝－ 3?[1,8] ，∴f(x)＝ x 2－3x － 18 在 x ∈[1,8] 上存在零点． ][规律方法 ] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上能否存在零点， 要依据详细题目灵巧办理， 当能直接求出零点时， 就直接求出进行判断； 当不可以直接求出时， 可依据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也没法判断时，可画出图象判断．[ 变式训练 1] 已知函数 f(x) ＝ － 1 x －2 的零点为 x 0，则 x 0 所在的区间是ln x 2( )A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)C [∵f(x)＝ln x － 1x －2在(0，＋ ∞)上是增函数，2又 f(1)＝ ln 1－ 1－1＝ln 1－ 2＜ 0，21 0f(2)＝ln 2－ 2 ＜0，1 1 f(3)＝ln 3－2 ＞0，∴x 0∈(2,3)，应选 C.]判断函数零点的个数(1)函数f(x)＝2x |log 0.5x|－ 1 的零点个数为()A ．1B.2C.3D.4ln x －x 2＋2x ，x ＞0，(2)(2017秦·皇岛模拟)函数f(x) ＝的零点个数是4x ＋1，x ≤0________．(1)B(2)3[(1) 令 f(x)＝ 2x|log0.5x|－ 1＝ 0，1 x可得 |log0.5x|＝2 .设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝2x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，1能够发现两个函数图象必定有 2 个交点，所以函数 f(x)有 2 个零点．(2)当 x＞0 时，作函数 y＝ ln x 和 y＝x2－ 2x 的图象，由图知，当 x＞ 0 时， f(x)有 2 个零点；1当 x≤0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－4，综上， f(x)有 3 个零点． ][规律方法 ]判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0 有几个不一样的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并联合函数的性质进行判断．(3)数形联合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，此中交点的个数，就是函数零点的个数．2xπ[变式训练 2](2015 ·湖北高考 )函数 f(x)＝4cos2cos 2－x －2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为 ______．2xπ2[f(x)＝4cos 2cos 2－x －2sin x－ |ln(x＋ 1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－ |ln(x＋1)|＝2sin xcos x－ |ln(x＋1)|＝ sin 2x－|ln(x＋ 1)|.由 f(x)＝ 0，得 sin 2x＝ |ln(x＋1)|.设 y1＝sin 2x，y2＝ |ln(x＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出两者的图象，以下图．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点． ]函数零点的应用(2017 ·昆明模拟 )已知定义在R上的偶函数 f(x)知足 f(x－ 4)＝f(x)，且在区间 [0,2] 上 f(x)＝x，若对于 x 的方程 f(x)＝ log a x 有三个不一样的实根，求 a 的取值范围．[思路点拨 ]先作出函数 f(x)的图象，依据方程有三个不一样的根，确立应知足的条件．[解 ]由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－ 4)＝f(x)＝ f(4－x)， 3 分所以函数图象对于x＝ 2 对称，且 f(2)＝f(6)＝ f(10)＝2，要使方程 f(x) ＝log a xa ＞ 1，有三个不一样的根，则知足f 6 ＜2， 8 分f 10 ＞ 2，a ＞1，如图，即log a 6＜2，解得6 ＜ ＜a10.log a 10＞2，故 a 的取值范围是 ( 6， 10).12 分[规律方法 ]已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法：先将参数分别，转变成求函数值域问题加以解决；(3)数形联合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形联合求解．[变式训练3](1)函数x2f(x)＝2 － x － a的一个零点在区间 (1,2)内，则实数a的取值范围是()A ．(1,3)B.(1,2)C ．(0,3)D.(0,2)|x|，x ≤m ，(2)(2016山·东高考)已知函数f(x)＝x2－2mx ＋ 4m ， x>m ，此中m>0.若存在实数 b ，使得对于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不一样的根，则 m 的取值范围是 ________．x2(1)C (2)(3，＋∞ )[(1) ∵函数f(x)＝2－x －a 在区间 (1,2)上单一递加， 又函 x 2数 f(x)＝2 － x －a 的一个零点在区间 (1,2)内，则有 f(1) f(2)·＜ 0，∴(－ a)(4－ 1－ a)＜0，即 a(a－3)＜ 0，∴0＜a＜3.(2)作出 f(x)的图象以下图．当 x>m 时，x2－ 2mx＋4m＝(x－ m)2＋ 4m－ m2，∴要使方程 f(x)＝ b 有三个不一样的根，则有4m－m2<m，即 m2－ 3m>0.又 m>0，解得 m>3.][思想与方法 ]1．转变思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转变为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转变为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)经过解方程来判断．(2)依据零点存在性定理，联合函数性质来判断．(3)将函数 y＝ f(x)－g(x)的零点个数转变为函数y＝f(x)与 y＝g(x)图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分别参数法、数形联合法．[易错与防备 ]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0 的实根．2．函数零点的存在性定理只好判断函数在某个区间上的变号零点，而不可以判断函数的不变号零点，并且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充足不用要条件．。

2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )A．(0，13) B．(13，12)C．(12，1) D．(1,2)[答案] B[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13－(13)13>0，f(12)＝(12)12－(12)13<0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象，∵ln e＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －1 x >12xx ≤1，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x (x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N )， 200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )， 即37.5t ≤P ≤40t .又140t3>40t ，即W >P ， 所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5， 又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546. ②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750. 所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数． (理)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x－1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x 不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ， 故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg ，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg 不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg 原材料不需要保管，第二天用掉的400kg 原材料需保管1天，第三天用掉的400kg 原材料需保管2天，第四天用掉的400kg 原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg 原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)． w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s)2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)．(2)设农场净收入为v 元， 则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式， 得v ＝10002s－2×10003s 4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s 3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0； 当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入． *16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)；(3)是否存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足以下条件：①当x ＝－1时，函数f (x )有最小值0；②对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (－1)＝0， 所以a －b ＋c ＝0，故b ＝a ＋c .因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2. 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，因为g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0(f (x 1)≠f (x 2))，所以g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．(3)假设a 、b 、c 存在，由①得－b 2a ＝－1，4ac －b 24a＝0，即b ＝2a ，b 2＝4ac ，所以4a 2＝4ac ，故a ＝c .由②知对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.令x ＝1，得0≤f (1)－1≤0，所以f (1)－1＝0，即a ＋b ＋c ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，b ＝2a ，a ＝c ，解得a ＝c ＝14b ＝12.当a ＝c ＝14，b ＝12时，f (x )＝14x 2＋12x ＋14＝14(x ＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f (x )－x ＝14(x －1)2，所以对任意x ∈R ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2，满足条件②.所以存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足条件①②.1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －1b －1＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b 1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)[答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4．(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． 5．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为11167．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈0，＋∞，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－xx ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈0，＋∞，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.8．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x ) (a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值u ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.9．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等． 由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知， 当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sin x的零点个数，即f(x)＝sin x的根，即y＝sin x与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确． 又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x制作200把椅子所需时间为Q (x )＝2001030－x ＝2030－x， 完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5， 考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。