人教A版必修2第二章平行与垂直专题复习含知识点归纳

高中数学-打印版2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质知识梳理1.一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任意一条直线.2.性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.3.两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.4.垂直于同一直线的两个平面平行.5.两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.知识导学直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法,即“线面垂直,则线线平行”,它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系.面面垂直的性质定理则揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系.疑难突破1.请思考线面垂直的实质是什么,直线与平面垂直的性质定理与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”有什么联系?剖析:直线和平面的垂直实质上取决于线与线的垂直,反过来,线面的垂直又得到线线的垂直,这是线面垂直的实质.对于垂直于同一平面的两条直线,我们有性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”相互结合,在证明线面垂直的问题中发挥着重要作用.直线与平面垂直的性质定理,考查的是在直线与平面垂直的条件下,可以得出哪些结论.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”互为逆命题.这两个命题可用符号表示为:当a⊥α时,a∥b b⊥α.2.两个平面垂直有什么性质？剖析:两个平面垂直的性质有:(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;(2)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.其中性质定理成立要有两个条件:一是线在面内,二是线垂直于交线,才能线面垂直,这一定理也可简述为“面面垂直,则线面垂直”,它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系;对于第二条性质,只要在其中一个平面内通过一点作另一平面的垂线,那么这条垂线必在这个平面内.对点的位置,它既可以在交线上,也可以不在交线上.平面与平面垂直的性质,讨论的是在两个平面相互垂直的条件下,能够得出一些什么结论.这个问题的过程采用的思路自然是“直观感知、操作确认、推理证明”,即充分利用长方体等实物模型感知在相邻的两个相互垂直的平面中,有哪些特殊的直线、平面的关系,然后通过操作,确认两个平面垂直的性质定理的合理化,进而提出猜想,最后进行逻辑推理,证明性质定理成立.沿用这一模式,对培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力的基本规律的认识是有益的.精心校对。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定问题导学一、两条直线平行活动与探究1判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)；(4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)．迁移与应用1．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )A ．2B ．－2C ． 4D ．12．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )A ．－8B ．0C ．2D ．10当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．若两直线平行，则两直线的斜率相等或都不存在．二、两条直线垂直活动与探究2(1)l 1经过点A (3,4)和B (3,6)，l 2经过点P (－5,20)和Q (5,20)，判断l 1与l 2是否垂直；(2)直线l 1过点(2m,1)，(－3，m )，直线l 2过点(m ，m )，(1，－2)，若l 1与l 2垂直，求实数m 的值．迁移与应用1．已知直线l 1经过点A (－2,5)，B (3,5)，直线l 2经过点M (2,4)，N (2，－4)，则直线l 1与l 2的关系是( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．重合D ．以上都不对2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C ．23D ．32利用斜率来判断两直线的位置关系，不要忽视斜率不存在的情形．①当两条直线的斜率都存在时，设这两条直线分别为l 1，l 2，它们的斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．②当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两条直线也垂直．三、两直线平行与垂直的综合应用活动与探究3已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．迁移与应用1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)2．已知A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形(1)在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明明确目标．(2)证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况．(3)判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形．当堂检测1．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行2．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( )A ．1aB ．aC ．－1aD ．－1a或不存在 3．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)4．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (2,0)，C (2,3)，则AB 边上的高所在直线的斜率__________，BC 边上的高所在直线的斜率为__________．5．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．k 1＝k 2 l 1∥l 2预习交流1 提示：不一定．当两直线的倾斜角是90°时，斜率不存在．2．k 1·k 2＝－1 l 1⊥l 2预习交流2 (1)提示：不一定．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线垂直，但斜率之积不存在．(2)提示：在解答这类问题时，要特别注意斜率不存在的情况．特别的，如题目中含有字母参数，要进行分类讨论．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：斜率存在的直线求出斜率，利用l 1∥l 2⇔k 1＝k 2进行判断，两直线斜率都不存在的，可通过观察并结合图形得出结论．解：(1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2． 又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1， ∴A ，B ，M 不共线．故l 1∥l 2．(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2．迁移与应用 1．A 2．A活动与探究2 思路分析：(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若斜率不存在，可结合图形判断．(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．解：(1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，∴l 1⊥l 2．(2)①当两直线斜率都存在，即m ≠－32且m ≠1时，有k 1＝1－m 2m ＋3，k 2＝m ＋2m －1． ∵两直线互相垂直，∴1－m 2m ＋3·m ＋2m －1＝－1．∴m ＝－1． ②当m ＝1时，k 1＝0，k 2不存在，此时亦有两直线垂直．当2m ＝－3，m ＝－32时，k 1不存在，k 2＝m ＋2m －1＝－32＋2－32－1＝－15，l 1与l 2不垂直． 综上m ＝±1．迁移与应用 1．B 2．A活动与探究3 思路分析：画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．解：A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得k AB =()531=,243--- k CD =031=,363--- k AD =()03=3,34----- k BC =351=,622--- k AB =k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD ．由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ． 故四边形ABCD 为直角梯形．迁移与应用 1．D 解析：k AB ＝2－(－1)2－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2． ∵CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴CD 与AD 的斜率都存在．设D 点坐标为(x ，y )，则k CD ＝y x －3，k AD ＝y ＋1x －1．解方程组1=,331=2,1y x y x ⎧-⎪⎪-⎨+⎪-⎪-⎩得=0,=1,x y ⎧⎨⎩∴点D 坐标为(0,1)．2．C 解析：k AB ＝1－(－1)－1－2＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，∴k AB ·k AC ＝－1．∴AB ⊥AC ．∴∠A 是直角．【当堂检测】1．B2．D3．D4．不存在0 5．4。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。