下载文档原格式
《游戏规则的公平性》教学设计与评析[教学内容]义务教育课程标准实验教科书苏教版四年级（上册）P79—P81例1及相应内容。
[教材简析]例题让学生在活动中体验游戏规则的公平性。
由于可能性是事件没有发生时的一种预测，而不是事件发生的必然结果，所以直接让学生判断任意摸一个球，谁赢的可能性大一些，是有一定困难的。
为了让学生获得游戏公平性的体验，教材设计了摸球游戏，要求学生在数量不等的红、黄两种颜色的球中，任意摸30次并记录每次摸的结果，这样就可似使学生在比较中发现：因为口袋里红球的个数比黄球多，所以每次任意摸一个球，摸到红球的可能性要大，赢的可能性也就相应地要大一些，这样摸球的游戏规则是不公平的。
接着，让学生按游戏规则公平的要求，设计摸球游戏，再摸一摸，进一步体验游戏规则的公平性。
要证实游戏规则公平，必须让学生在多次游戏中看到互有胜负，且胜负次数差不多这样的事实。
因此，教材让学生多做几次，以便获得输赢机会相等的体验，感受游戏规则公平的原理。
[教学目标]1.使学生进一步感受事件发生的可能性，进一步体验等可能性和游戏规则的公平性。
2.能辨别游戏规则是否公平，并能修改不公平的游戏规则。
3.初步学会根据游戏规则的公平性原理设计简单的游戏规则。
4.培养学生学习的兴趣和与人合作的态度，并在一定程度上渗透公平、公正意识。
[教学重点、难点]能辨别游戏规则是否公平和设计简单游戏的公平规则。
[教前准备]实物投影仪、分成小组，每小组准备好6个黄球、6个红球、一个袋子，2个转盘，A—10十张红桃扑克牌，统计表。
[教学过程]一、情境导入——感受游戏规则的不公平性1.发布游戏：（1）导语：大家喜欢玩游戏吗？那我们就来玩个游戏吧！（2）激趣：出示神秘口袋（4红1黄）问：袋子里面装着什么呢？是什么颜色的球呢？（生猜）后告知袋内球有两种颜色（红色、黄色）的球（师边摸出球边介绍）。
（3）规则：从袋中每次任意摸一个球，摸后放回，一共摸球30次。
苏教版四年级上册数学可能性解决问题专题训练1．有一个十字路口，红、绿灯的时间设置为红灯50秒，绿灯20秒，黄灯3秒。
当你经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？2．先列表整理题中的条件，后计算。
（1）小东他们学校比小强他们学校少付多少元？（2）小强他们学校比小超他们学校多付多少元？3．小明和小刚做了一个正方体的6个面上分别写上1-6。
他们把这个正方体任意抛40次，结果各数朝上的情况如下图。
（1）从图上可以看出，（）朝上的次数最多，（）朝上的次数最少。
（2）如果把正方体再抛40次，你认为“3”朝上的情况会怎么样？在合适的答案下面画“√”次数最多次数最少无法确定（）（）（）（3）如果规定朝上的数大于3算小明赢，朝上的数小于3算小刚赢，这个游戏规则公平吗？如果不公平，可以怎样修改规则？4．在一场足球比赛中，北京国安队战胜了上海申花队，小明认为在下一场足球比赛中，北京国安队一定还会战胜上海申花队．小明这样认为对吗？5．如下图所示，指针停在红、白、黑三区的可能性各是多少？如果转动指针160次，估计大约会有多少次指针是停在黑色区域的.6．新年联欢会有一项抽签游戏。
曲妍抽一张，最有可能抽到的是什么？为什么？内容签的张数奖品2张表演节目6张再抽一次1张7．有白色、红色、蓝色的球各4个，按要求在袋子里放上合适的球．（1）从袋子里任意摸一个球，摸到白色球的可能性是．该怎样放？（2）从袋子里任意摸一个球，不可能摸出蓝色球，摸到白色球的可能性是．该怎样放？（3）往袋子里放6个球，任意摸一个球，摸到蓝色球和摸到红色球的可能性都是．该怎样放？（4）小明和小东下中国象棋，要通过摸球来决定谁先走棋．可以怎样在袋子里放球？8．盒子里有5颗红珠子，4颗蓝珠子，1颗绿珠子．摇匀后，随意摸出l颗．（1）摸到绿珠子的可能性有多大？（2）佳佳摸出了1颗蓝珠子，放回后摇匀．强强来摸，摸出的也是1颗蓝珠子，又放回摇匀．聪聪来摸，摸到哪种颜色珠子的可能性最大？（3）佳佳摸走了1颗红珠子，强强又摸走了1颗红珠子，都没有放回．这时聪聪来摸，摸到哪种颜色珠子的可能性最大？9．明明不小心把2本故事书和4本连环画掉在地上(1)明明捡起3本书，这3本书中一定有什么书？(2)如果捡起2本书，可能出现什么情况？10．8名少先队员的双休日活动内容如下，他们每人抽一张卡片(抽完不放回)，把抽到的卡片上所写的活动内容作为自己的活动内容．(1)京京抽走了④号卡片后，军军抽到活动内容是( )的卡片的可能性最大，不可能抽到( )号卡片．(2)如果军军抽到的卡片是①号，那么接下来乐乐抽到哪些活动内容的卡片的可能性同样大？贝贝石头石头石头剪子剪子剪子布布布强强剪子石头布剪子石头布剪子石头布贝贝胜√强强胜√11．石头、剪子、布。
《可能性》习题2一、判断题1一本刚买来的书150页，随手翻开，正好翻到50页的可能性是1150．（）2一个正方体的六个面分别写着1~6，小明连掷了五次，1，2，3，4，6各一次正面朝上，他掷第6次，正面朝上的一定是5．（）3掷骰子时，每次掷出点数是6比掷出点数是3的可能性大．（）4．四张数字卡片标有1、2、3、4，甲乙两人玩游戏，规定任意取两张卡片，积是双数，甲胜出，积是3的倍数，乙胜出，既是2的倍数又是3的倍数，重新来过．这个游戏规则很合理．（）二、选择题1．在每个袋子里任意摸一个球，摸到黑球的可能性是25%的是()A．B．C．2．肖红和王静在竞选班长时得票同样多，用以下()的方法决定谁当班长是不公平的．A．比身高B．抛硬币C．猜扑克牌的正反面D．石头、剪刀、布3．亮亮和聪聪进行投篮比赛，选择下列方法中的()方法决定谁先投球是不公平的．A．抛硬币，正面朝上亮亮先投，背面朝上聪聪先投B．掷骰子，点数大于3亮亮先投，点数小于3聪聪先投C．“石头、剪刀、布”，谁赢谁先投4．一个正方体的六个面上，有1个面上写“1”，2个面上写“2”，3个面上写“3”．任意抛这个正方体，数字“3”朝上的可能性是()A．12B．13C．165．小亚和小巧玩猜数游戏，每人每次出1至5中的一个数字．如果两人出的数字相加，和是奇数就算小亚贏，和是偶数就算小巧羸．那么，小亚赢的可能性()A．比小巧大B．比小巧小C．与小巧一样大D．无法确定6．从写着数1至8的8张卡片中任选一张，乙猜对了乙赢，乙猜错了甲赢，用()种猜数方法公平．A．不是2的整数B．小于4 C．大于6的数D．小于5的数三、填空题1袋子里有5个红球、3个蓝球和4个白球，取到蓝球的可能性大小是．2小杰掷一枚骰子，骰子朝上的面的点数是偶数的可能性的大小是．3同时掷两个骰子，取两个数的和定输赢，如果老师选双数，学生选单数，掷2021他们赢的可能性．4用三张分别写着2、6、9的数字卡片，任意摆一个三位数，摆出单数的可能性比摆出双数的可能性．（填“大”或“小”)5把8张写着“数”或者“学”的卡片放在盒子里，随意摸出一张，如果摸出“数”的可能性大，摸出“学”的可能性小．一共有种不同的设计方案．请你在方框里填一种设计方案．6小华和小红在进行摸球游戏．小华说：“我从盒子里摸到白球的可能性是红球的2倍”．小红说：“如果把盒子中的4个白球换成红球，摸到两种颜色的球的可能性就是一样大了”．盒子里实际有个白球，个红球．四、应用题1．图中的盒子里放着红、白两种颜色的球，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的可能性为1．请你在图中括号里填上适当的数．42．一批奖券，号码是001~125．（1）中二等奖的可能性是多少？（2）中三等奖的可能性是多少？五、解答题．1盒子里有3个红球，2个黄球，摸到红球的可能性是()()2抛一枚质地均匀的硬币，落地后，出现正面朝上的可能性是()．()3小红、小明玩“石头、剪刀、布”游戏，一共可能出现种情况，两人同时出石头的可能性是()．()4小明和小丽玩转盘游戏，指针停在阴影区域算小明赢，指针停在白色区域算小丽赢．要想游戏公平，你会怎么设计转盘？请你涂一涂，并说明为什么是公平的？5甲转动指针，乙猜指针会停在哪一个数上，如果乙猜对了乙获胜，如果乙猜错了甲获胜．（1）这个游戏规则对双方公平吗？为什么？（2）乙一定会输吗？（3）现在有以下四种猜数的方案，如果你是乙，你会选择哪一种？请说明理由．①不是2的倍数．②不是3的倍数．③大于6的数．④小于6的数．（4）你能设计一个公平的规则吗？6在口袋里放红、绿铅笔．任意摸一枝，要符合要求，分别应该怎样放？．（1）放8枝，摸到红铅笔的可能性是12．（2）放10枝，摸到红铅笔的可能性是35（3）摸到红铅笔的可能性是1，可以怎样放？你能写出两种不同的放法吗？37做一个小正方体，有两个面写“1”，有两个面写“2”，有两个面没写数字，甲、乙两人各抛2021规定：“1”朝上甲赢，“2”朝上乙赢，朝上的面没有数字不算，重新抛．你觉得这个游戏公平吗？说明理由．8把8张牌打乱，牌面朝下放在桌面上，每次任意拿一张牌．（1）拿到双数的算小刚赢，拿到单数的算小明赢，这个游戏公平吗？为什么？（2）如果拿到比4大的算小刚赢，拿到比4小的算小明赢，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，怎样修改游戏规则，才能使游戏公平？答案一、判断题1√．2⨯．3⨯．4⨯．二、选择题1．C．2．A．3．B．4．A．5．B．6．D．三、填空题114．2123一样大．4小．．、8．四、应用题1解：白球3个，红球1个，或白球6个，红球2个．（答案不唯一）2解：（1）符合二等奖的数字个数除以总数，就是获得二等奖的可能性：12÷=．12125125（2）符合三等奖的数字个数除以总数，就是获得三等奖的可能性：13÷=．13125125五、解答题1解：依据题意列式：33(32)++=．5．答：摸到红球的可能是35．故答案为：352解：抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，故正面朝上的概率是1，2．故答案为：123解：一共可能出现石头、石头；石头、剪子；石头、布；剪子、剪子；剪子、石头；剪子、布；布、布；布、石头；布、剪子共9种情况；两人同时出石头的有1种情况，可能性是1．9故答案为：9，19、4解：要想游戏公平，涂的阴影区域和白色区域一样多，转转盘时，指针停在阴影区域和停在白色区域的可能性相同．824÷=（份）．5解：（1）不公平，乙猜对的可能性是110，此甲获胜的可能性是910．（2）乙不一定输，但191010<，所以输的可能性比较大；（3）共有10个数，①不是2的整数倍有1，3，5，7，9五个，占：15102÷=；②不是3的整数倍有1、2、4、5、7、8、10七个，占：771010÷=；③大于6的数有7、8、9、10四个，占：441010÷=；④小于6的数有1、2、3、4、5共5个，占：15102÷=；因为71410210>>，所以会选择②，猜中可能性最高，是710．（4）可以这样：甲转动指针，乙猜指针会停在奇数上，如果乙猜对了，乙获胜；如果乙猜错了，甲获胜．6解：（1）红铅笔：1842⨯=（枝），绿铅笔：844-=（枝）；答：放4枝红铅笔，4枝绿铅笔；（2）红铅笔：31065⨯=（枝），绿铅笔：1064-=（枝）；答：放6枝红铅笔，4枝绿铅笔；（3）放法一：红铅笔放1枝，绿铅笔放2枝；方法二：红铅笔放2枝，绿铅笔放4枝．7解：因为正方体上有两个面写“1”，有两个面写“2”，所以“1”朝上或“2”朝上的概率均为2163，又因为有两个面没写数字，抛时朝上的面没有数字不算，可重新抛，再加上抛的总次数也相同，都是2021即两个同学赢的可能性相等，所以这种游戏公平．答：我觉得这个游戏公平．8解：（1）因为1~8中，单数有1、3、5、7有4个，双数有2、4、6、8有4个，所以小刚赢的可能性是12，小明赢的可能性是12，所以这个游戏规则公平．（2）因为1~8中，比4大的数有5、6、7、8有4个，比4小的数有1、2、3有3个，所以小刚赢的可能性是12，小明赢的可能性是38，所以这个游戏规则不公平．要使这个游戏规则公平，拿走一张比4大的牌即可．。
2023年《游戏公平》教案2023年《游戏公平》教案1教学目标：经历掷硬币试验和对试验数据处理的过程，通过自己探索与合作交流，体会到掷硬币中两种结果出现的可能性都是50%，深化游戏公平的认识。
教学重点：掷硬币实验及对试验数据的分析处理和游戏对双方公平的认识。
教学难点：掷硬币试验规律的发现和游戏公平性的理解。
教学过程：一、复习提问：右图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形。
利用这两个转盘做与上一节课相同的游戏。
这样的游戏对双方公平吗？说说你的理由。
对于转盘A，最终得到的数字是偶数这个事件是必然的；对于转盘B，最终得到的数字是偶数这个事件是不确定。
由于转盘A、B使最终得到的数字是偶数事件发生的可能性不相同，所以这样游戏对双方是不公平的。
二、创设情景境，进一步研究游戏公平问题1、出示课本图文的投影。
学生看图读字，教师提问：小明的办法对双方公平吗？导入本节课题。
2、组织学生做掷硬币试验。
（1）同桌两人做20次掷硬币试验，并将数据记录在下表（每人掷10次，一人掷币时，另一人记表）试验总次数 20正面朝上的次数反面朝上的次数正面朝上的频率反面朝上的频率（2）累计全班同学的试验结果，分别计算试验累计进行到20次、120次、240次、正面朝上的频率，并完成以试验总次数为横轴、正面朝上的.频率为纵轴的折线统计图。
3、分析实验结果，发现规律。
观察图形看到折线始终在频率为0。
5的这条虚线上下波动；当试验总次数较少时，波动幅度会大些，当试验总次数增大时，波动幅度将减小，可以想到当总次数很大时，正面朝上的频率非常接近0。
5，也就是说掷硬币时正面朝上的这件事发生的可能性为0。
小结：1、通过做实验知道不确定事件发生的可能性大小2、什么是游戏公平原则？怎样评价一个游戏对双方是否公平？教后记：学生在做实验时要注意控制好学生的注意力，要让学生有目标，有目的的做试验，学生对于游戏的公平性仍然存在一些问题，应加强这方面的实验。
第六单元可能性第一部分课内衔接【知识点梳理】1.在一定条件下，一些事情的结果是可以确定的，就可以用或来描述，还有一些事情的结果是不可以确定的，这时用来描述。
2.可能性是有大有小的，在事件可能发生的几种结果中，哪种结果所占的比重相对大一些，那种结果发生的可能性就一些。
3.从下面的3个口袋里任意摸出1个球（球的大小、质地完全相同），一定能摸出○的是，不可能摸出○的是，可能摸出○，也可能摸出●的是。
课前预热1.口袋中放有2个红球和1个蓝球，每次从中任意摸出一个球，摸50次。
一般情况下，摸出红球的次数比摸出蓝球的次数（）。
（填“多”或“少”）2.有红、绿两种颜色的球，请根据下面的要求，往袋里装6个球。
（按要求涂一涂）任意摸出一个球。
（1）摸出红球的可能性大。
（2）摸出红球的可能性小。
（3）摸出红球和绿球的可能性差不多。
（1）（2）（3）3.陈丽和陈强玩摸牌游戏，她们将红桃4Q九张扑克牌反扣在桌面上，从中任意摸1张，摸到比8大的牌算陈丽赢，摸到其余的牌算陈强赢。
（1）这样的规则公平吗？如果不公平，谁赢的可能性大？（2）要使游戏公平，可以怎样修改游戏规则？例题精讲【例1】小刚在一个正方体的六面上分别写上16六个数，然后任意向上抛80次。
数字朝上的情况记录如下：（1）从图上可以看出，数字（）朝上的次数最多，数字（）朝上的次数最少。
（2）如果规定朝上的数大于3算小明赢，小于3算小刚赢，这个游戏公平吗？如果不公平，可以怎样修改规则使游戏公平？【例2】抽屉中有5只白袜子，4只蓝袜子，7只红袜子，蒙眼从中取袜子，至少应取出（）只袜子才能保证取出的袜子中有两双是相同颜色？【例3】一个口袋里有1红，1白和3黄5个球，从中任意摸出3个球，摸到的球1红，1白，1黄的可能性大还是1白、2黄的可能性大？为什么？【对应练习】1.把下面的7张卡片，数字朝下放在桌上。
每次任意拿出1张，拿到单数算甲赢，拿到双数算乙赢。
这个游戏规则公平吗？如果不公平，请你修改规则，使游戏公平。
阜阳市四年级下册《第6章游戏公平》单元检测训练卷（一）一.填一填．1．（2011•铁山港区模拟）足球比赛前，用抛硬币的方法决定谁先开球，出现正面的可能性是_________，出现反面的可能性是_________．2．如图，转动指针，指针停在_________区的可能性最大，指针停在_________区和_________区的可能性相同．3．两位同学采用“石头、剪子、布”的方法决定谁先跳房子．每位同学获胜的可能性_________．（填“相等”或“不等”）4．正方体各面分别写着1、2、3、4、5、6，掷出每个数字的可能性是_________．5．小明和小丽做一个游戏，同时扔两枚同样的硬币，下列规则对双方公平的是_________；不公平的是_________．不公平时，_________获胜的可能性大．①若两面一样，则小明获胜；两面不一样，则小丽获胜．②如果同时是正面，则小明获胜；其他情况是小丽获胜．③如果同时是正面，则小明获胜；一正一反，则小丽获胜．④如果是两个正面，则小明获胜；两个反面，则小丽获胜．6．小丽用瓶盖设计了一个游戏，任意掷一次瓶盖，如果盖面着地甲胜，如果盖口着地乙胜，你认为这个游戏_________．（填“公平”或“不公平”）二、解答题7．商场举办“购物摸奖”活动．箱中放了10个球，有红球和白球2种．摸到红球就中奖了，每次摸球后放回箱子．有50人参加摸奖，其中5人中奖，请分析摸球结果．（1）你认为箱子中可能有几个红色球，理由是什么？（2）摸奖活动的组织者能不能在箱子中不放红球？（3）若摸奖活动的组织者将其中一个白球换成红球，中奖的可能性会怎样变化？8．如图，圆盘上有3个1和3个0．芳芳和丽丽玩转转盘的游戏．规则是：转盘指针指到1区，芳芳胜；指针指到0区，丽丽胜．（1）圆盘中，转盘指针指到1区的有_________种可能，转盘指针指到0区的有_________种可能．（2）这个游戏公平吗？为什么？9．正方体的6个面上分别标着数字1、2、3、4、5、6（如图），你能用它设计一个对双方都公平的游戏吗？10．一共有8个白球和9个黄球，它们除颜色外完全相同．如果两人玩摸球游戏，怎样做才能使游戏公平？11．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？12．选出点数为1、2的扑克牌各3张，反扣在桌面上．游戏规则：①每次摸3张牌，记下3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再摸，2人摸牌次数相同．②3张牌上点数的和大于4，一方得1分；否则，另一方就得1分．③积分高者赢．这个游戏规则公平吗？为什么？试说明理由．阜阳市四年级下册《第6章游戏公平》2013年单元检测训练卷（一）参考答案与试题解析一.填一填．1．（2011•铁山港区模拟）足球比赛前，用抛硬币的方法决定谁先开球，出现正面的可能性是，出现反面的可能性是．2=；，出现反面的可能性是．故答案为：，2．如图，转动指针，指针停在A区的可能性最大，指针停在B区和C区的可能性相同．，进而求出指针停哪个区域的可能性3．两位同学采用“石头、剪子、布”的方法决定谁先跳房子．每位同学获胜的可能性相等．（填“相等”或“不等”）4．正方体各面分别写着1、2、3、4、5、6，掷出每个数字的可能性是．6=答：掷出每个数字的可能性是故答案为：5．小明和小丽做一个游戏，同时扔两枚同样的硬币，下列规则对双方公平的是①④；不公平的是②③．不公平时，小丽获胜的可能性大．①若两面一样，则小明获胜；两面不一样，则小丽获胜．②如果同时是正面，则小明获胜；其他情况是小丽获胜．③如果同时是正面，则小明获胜；一正一反，则小丽获胜．④如果是两个正面，则小明获胜；两个反面，则小丽获胜．6．小丽用瓶盖设计了一个游戏，任意掷一次瓶盖，如果盖面着地甲胜，如果盖口着地乙胜，你认为这个游戏不公平．（填“公平”或“不公平”）二、解答题7．商场举办“购物摸奖”活动．箱中放了10个球，有红球和白球2种．摸到红球就中奖了，每次摸球后放回箱子．有50人参加摸奖，其中5人中奖，请分析摸球结果．（1）你认为箱子中可能有几个红色球，理由是什么？（2）摸奖活动的组织者能不能在箱子中不放红球？（3）若摸奖活动的组织者将其中一个白球换成红球，中奖的可能性会怎样变化？，即箱子中红球的个数占箱子中球总个数的个，因为即中奖率为，÷8．如图，圆盘上有3个1和3个0．芳芳和丽丽玩转转盘的游戏．规则是：转盘指针指到1区，芳芳胜；指针指到0区，丽丽胜．（1）圆盘中，转盘指针指到1区的有种可能，转盘指针指到0区的有种可能．（2）这个游戏公平吗？为什么？区的可能性都是；即芳芳，所以游戏规则公平．6=即芳芳与丽丽赢得可能性都是故答案为：；9．正方体的6个面上分别标着数字1、2、3、4、5、6（如图），你能用它设计一个对双方都公平的游戏吗？10．一共有8个白球和9个黄球，它们除颜色外完全相同．如果两人玩摸球游戏，怎样做才能使游戏公平？11．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？12．选出点数为1、2的扑克牌各3张，反扣在桌面上．游戏规则：①每次摸3张牌，记下3张牌上点数的和，然后放回去，另一个人再摸，2人摸牌次数相同．②3张牌上点数的和大于4，一方得1分；否则，另一方就得1分．③积分高者赢．这个游戏规则公平吗？为什么？试说明理由．，所以这个游戏规则是公平的．，。
怎样修改游戏规则湖北省孝感市孝南区车站中学（432011） 殷菊桥以往的中考概率问题，考查游戏规则公平性的较多，这只需列表或画树状图通过简单的计算进行判断．近年的中考题，关于游戏规则公平性的试题，加大了难度，不再单纯考查计算，还要求对不公平的游戏规则进行修改，使之对双方公平，或者根据给定的概率确定新的规则．如何解决这类问题呢？请看下面的方法．一、通过公倍数确定新的游戏规则 例１．（山东青岛） 小明和小亮用如图１的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．解：从表中可以得到：Ｐ（小明获胜）＝95，Ｐ（小亮获胜）＝94， ∴小明的得分为95×1＝95 ， 小亮的得分为 94×1＝ 94． ∵95＞94，∴游戏不公平． 修改规则不惟一．如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．反思：通过列表可求出小明和小亮获胜的概率．因为95和94的分母相同，考虑到５和４的最小公倍数是２０，所以若两次转出颜色相同或配成紫色，小明得２０÷５＝４分，否则小亮得２０÷４＝5分，这样可让小明和小亮的平均得分均为920分．当然用５和４的其他公倍数，如４０，６０等也可．例２．（内蒙古包头市）小刚和小明玩抛掷硬币游戏．其规则是：两人轮流同时．．抛掷三枚均匀的硬币，如果掷得“两正一反”，那么小刚得６分，否则小明得４分．（１）试用列举法（列表法或画树状图）分析并求出同时．．抛掷三枚均匀的硬币出现“两正一图１反”的概率；（２）按照现在的游戏得分规则，你认为该游戏对两人是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一种得分方式，使这个游戏对两人都公平，并说明理由．解：（１）树状图如图：正 反正 反 正 反正 反正 反 正 反正 反因为同时抛掷三枚硬币共有８种结果，其中出现“两正一反”的情况有三种，所以“两正一反”的概率为83． （２）不公平．因为当重复抛掷很多次后，平均每８次中有３次出现“两正一反”，而有５次出现的不是“两正一反”．于是平均每８次中，小刚可得６×３＝１８（分），小明可得４×５＝２０（分），所以该游戏对两人不公平．若规定掷得“两正一反”小刚得５分，否则小明得３分，这时该游戏对双方公平，因为小刚与小明得分的概率比为３：５，所以设定得分比为５：３，双方得分相同．反思：本题是根据平均得分判断游戏公平性的．修改规则也是根据概率83和85的分子３和５的最小公倍数１５来确定的，１５÷３＝５，１５÷５＝３，从而设定得分比为５：３，双方得分相同．二、通过观察表中数据个数确定新的游戏规则 例３．（内蒙古鄂尔多斯）如图２，有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ，Ｂ．转盘Ａ被平均分成3等份，分别标上１，２，３三个数字；转盘Ｂ被平均分成4等份，分别标上３，４，５，６四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘Ａ与Ｂ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？解：不公平．列 表P ∵（和为6）31124==，∴Ｐ（和不为6）＝１－41＝43，从而甲、乙获胜的概率Ａ Ｂ图２不相等，∴不公平．规则改为：和是6或7，甲胜，否则乙胜．反思：用列表法知有１２种等可能结果，易求出相应的概率．而和是6或7的共有６种情况，其概率为６÷１２＝21，这样甲、乙获胜概率各占21，游戏对双方公平．考虑到表中奇数和偶数各占一半，规则也可修改为：和是奇数，甲胜，否则乙胜．又表中和小于７的有６种情况，和不小于（大于或等于）７的也有６种情况，故规则还可修改为：和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜等．例４．（宁夏）如图３，有两个质地均匀的转盘Ａ、Ｂ，转盘Ａ被４等分，分别标有数字１，２，３，４；转盘Ｂ被３等分，分别标有数字５，６，７．小强与小华用这两个转盘玩游戏，小强说：“随机转动Ａ、Ｂ盘各一次，转盘停止后，将Ａ、Ｂ转盘的指针所指的数字相乘，积为偶数我赢；积为奇数你赢．”（１）小强指定的游戏规则公平吗？通过计算说明理由． （２）请你只在转盘．．．．Ｂ．上修改其中一个数字．．．．．．．．．，使游戏公平．Ａ Ｂ图３Ｐ（小强获胜）＝12＝3． （２）修改方案：将数字６改成奇数．反思：本题限定了规则修改的方式，表面看来难度更大．但只要注意到转盘Ｂ上的数字５和７与１，２，３，４分别相乘，奇数和偶数各占一半，知将数字６改成奇数即可．利用数字相乘的奇偶性也可解决这一问题：因为１，２，３，４中奇数和偶数各占一半，与偶数相乘的积都为偶数，与奇数相乘的积奇偶数各占一半，故可将数字６改成奇数．三、根据给定的概率确定新规则 例５．（辽宁大连西岗）如图４，放在平面直角坐标系中的正方形ＡＢＣＤ的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图５，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4）．每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点Ｑ的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． ⑴求点Ｑ落在正方形面上（含边界，下同）的概率．⑵将正方形ＡＢＣＤ平移数个单位，是否存在一种平移，使点Ｑ落在正方形面上的概率为41，若存在，指出其中的一种平移方式，若不存在，说明理由．解：（１）抛掷一枚均匀的正四面体骰子，点Ｑ的坐标有１６种等可能结果：（１，１），（１，２），（１，３），（１，４）；（２，１），（２，２），（２，３），（２，４）；（３，１），（３，２），（３，３），（３，４）；（４，１），（４，２），（４，３），（４，４）．若设正方形面上的点的坐标为（x ,y ）,则－１≤x ≤３，－１≤y ≤３，所以点Ｑ落在正方形面上（含边界）有９种可能（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３），故点Ｑ落在正方形面上（含边界）的概率为：９÷１６＝169． （２）可以．例如，把坐标系先向上平移２个单位，再向左平移１个单位，这时点（１，１），（２，１），（３，１），（４，１）在正方形面上，其概率为：４÷１６＝41． 反思：（１）要求点Ｑ落在正方形面上（含边界）的概率，必须求出点Ｑ的坐标有多少种等可能结果以及点Ｑ落在正方形面上（含边界）有几种可能结果．（２）若点Ｑ落在正方形面上的概率为41，则必须使点Ｑ落在正方形面上（含边界）的可能结果有４种．（３）本题将坐标、平移和概率结合在一起，新颖独特，且第二问结论开放，答案不唯一，还可以上１右１，或上１左２，或下１左１，或下１右２等．四、通过面积关系确定新的游戏规则例６．(广东梅州)小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图６是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．（2）请你在图７中，设计一个不同于图６的方案，使游戏双方公平． 解：（1）这个游戏公平．根据图6的对称性，阴影部分的面积等于圆 面积的一半， ∴这个游戏公平．（2）把图７中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）反思：判断游戏是否公平的依据是取胜的概率是否图６图７图５43 21 图４相等,所以首先应该计算阴影部分的面积，而本题的第（1）小题根据圆的对称性可直接作出判断，不必计算．第（2）小题抓住圆的对称性，将同心圆的面积平分即可轻松解决问题． 以下几题供练习：１．（陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ、Ｂ，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图８所示，规则如下：①分别转动转盘Ａ、Ｂ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． 图８（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．２．（辽宁省十一市）有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ，Ｂ，均被分成4等份，并在每份内都标有数字（如图９所示）．李明和王亮同学用这两个转盘做游戏．阅读下面的游戏规则，并回答下列问题：（1）用树状图或列表法，求两数相加和为零的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则中的赋分．．标准，使游戏变得公平． ３．（山西太原）有一块表面是咖啡色、内部是白色、形状是正方体的烤面包．小明用刀在它的上表面、前面面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图10），将它切成若干块小正方体形面包（如图11）．（1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是咖啡色的概率； （2）小明和弟弟边吃边玩．游戏规则是：从中任取一块小面包，若它有奇数个面为咖啡色时，小明赢；否则，弟弟赢．你认为这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使之公平．（图９）ＡＢ图10图11４．（贵州贵阳）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？ 参考答案：１．（１）数字之积为3的倍数的概率为95；数字之积为5的倍数的概率为93． （2）这个游戏对双方不公平．∵小亮平均每次得分为910952=⨯（分）， 小芸平均每次得分为99933=⨯（分），而1910≠，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．２．解：（1）树状图或列表法（略），和为0的概率为41164P ==． （2）不公平．李明平均每次得分：11242⨯=（分）；王亮平均每次得分：33144⨯=（分）． 1324< ，∴不公平．修改游戏规则中的赋分标准为：如果和为0，李明得3分，王亮不得分；如果和不为0，李明不得分，王亮得1分．３．解：（1）按上述方法可将面包切成27块小面包，有且只有两个面是咖啡色的小面包有12块，124279=．所以，所求概率是49． （2）27块小面包中有8块是有且只有3个面是咖啡色，6块是有且只有1个面是咖啡色．从中任取一块小面包，有且只有奇数个面为咖啡色的共有14块，剩余的面包块共有13块．小明赢的概率是1427，弟弟赢的概率是1327． 所以，按照上述规则弟弟赢的概率小于小明赢的概率，游戏不公平．游戏规则修改举例：任取一块小面包，恰有奇数个面为咖啡色时，小明得13分；恰有偶数个面为咖啡色时，弟弟得14分．积分多者获胜．４．解：（1）列表（略），Ｐ（数字之和为5）＝41． （2）因为Ｐ（甲胜）＝41，Ｐ（乙胜）＝43， ∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：１２÷３＝４（分）．。
