固体物理-第六章-固体的介电性质

固体的电学性质与导电机制固体是一种物质的状态，与液体和气体相比，固体具有更强的稳定性和相对较小的分子间距离。

在固体中，电学性质是物质中电子运动的关键。

本文将探讨固体的电学性质以及导电机制。

一. 固体的电学性质固体的电学性质在物质的导电、绝缘、半导体等方面起着重要作用。

固体的电学性质取决于其内部的电子数目、电子能级分布以及晶格结构等因素。

1. 导体导体是一种具有良好导电性的固体材料。

在导体中，电子云密度高，并且容易受到外部电场的影响而发生偏离。

导体中的自由电子可以在电场驱动下移动，从而导致电流的流动。

金属是一种常见的导体，其导电机制主要是由于金属中的自由电子在晶格中的自由运动。

2. 绝缘体绝缘体是一种不能或很少导电的固体材料。

在绝缘体中，电子的运动受到禁带的限制，电子无法自由流动。

绝缘体的电子云密度较低，并且在外部电场的作用下电子不易受到偏离。

例如，塑料、橡胶等材料都属于绝缘体。

3. 半导体半导体是介于导体和绝缘体之间的一类固体材料。

在半导体中，电子运动的特性介于导体和绝缘体之间。

半导体的电导率可以通过人为控制或外部条件的改变而变化。

例如，硅、锗等材料常被用作半导体组件的基础材料。

二. 导电机制导电机制是固体中电流传输的基本原理。

不同类型的固体导电机制有所不同，下面将介绍几种常见的导电机制。

1. 金属导电金属导电是指金属中的自由电子在外部电场的作用下发生的电流传输。

金属中的自由电子可以在金属晶格中自由运动，形成连续的电子云。

当外部电场施加在金属上时，电子受到电场力的作用而发生偏离，从而形成电流。

2. 离子导电离子导电是指在某些离子化合物中，离子在晶格中的传输导致电流的形成。

离子导电主要是通过正、负离子在晶格中的移动来实现的。

经典的离子导电材料包括氧化物、硫化物等。

3. 电子空穴导电电子空穴导电是半导体中电流传输的一种机制。

在半导体材料中，电子和空穴是主要的载流子。

电子在导带中移动，而空穴在价带中移动。

介电性能由于无机介质材料在电场的作用下，带电质点发生短距离的位移，而不是传导电流，因此在电场中表现出特殊的性状，大量地用于电绝缘体和电容元件。

在这些应用中，涉及到介电常数、介电损耗因子和介电强度等。

6.1介质的电极化通过定义电介极化强度，建立起电介质内部电介极化强度与宏观电场之间的关系，电介极化强度与作用在晶体点阵中一个原子位置上的局部电场之间的关系，推导出介电常数与质点极化率的关系。

分析讨论各种极化的微观机制及影响极化率的因素。

6.1.1 介质的极化强度6.1.1.1电偶极矩（1）基本概念一个正点电荷q 和另一个符号相反数量相等的负点电荷-q ，由于某种原因而坚固地互相束缚于不等于零的距离上，形成一个电偶极子。

若从负电荷到正电荷作一矢量l ，则这个粒子具有的电偶极矩可表示为矢量p=ql （6.1) 电偶极矩的单位为C ⋅m （库仑⋅米）（2）外电场对点偶极子的作用在外电场E 的作用下一个点电偶极子p 的位能为U=-p ⋅E （6.2）上式表明当电偶极矩的取向与外电场同向时，能量为最低，而反向时能量为最高。

点电偶极子所受外电场的作用力f 和作用力矩M 分别为⋅ f=p ·∇E （6.3）M=p ⨯E （6.4）因此力使电偶极矩向电力线密集处平移，而力矩则使电偶极矩朝外电场方向旋转。

（3）电偶极子周围的电场距离点电偶极子p 的r 处的电场为543r r o πεpr r p 2)(E(r)-⋅= （6.5）6.1.1.2极化强度（1）定义称单位体积的电偶极矩为这个小体积中物质的极化强度。

极化强度是一个具有平均意义的宏观物理量，其单位为C/m 2。

（2）介质的极化强度与宏观可测量之间的关系极化强度为P=(ε－ε0)E=ε0 (εr -1)E （6.6） 把束缚电荷和自由电荷的比例定义为电介质的相对电极化率χe有 P= ε0χe E （6.7） 式（6.10）为作用物理量E 与感应物理量P 间的关系.还可以得出电介质的相对介电常数与相对电极化率χe 有以下关系εr =E PE 00εε+=1+χe （6.8）6.1.2宏观电场与局部电场 在外电场的作用下电介质发生极化，整个介质出现宏观电场，但作用在每个分子或原子上使之极化的局部电场（也叫有效场）并不包括该分子或原子自身极化所产生的电场，因而局部电场不等于宏观电场。

固体电介质的电气性能一、电介质：能在其中持久建立静电场的物质。

二、分类：非极性及弱极性电介质、偶极性电介质和离子性电介质。

三、电介质的极化：电子位移化、离子位移化、转向极化、夹层介质界面极化和空间电荷极化。

四、固体介电常数：非极性及弱极性固体电介质（介点常数：2.0~2.7）、偶极性固体电介质（介点常数：3~6）、离子性电介质（介点常数：5~8）。

五、固体电介质的电导体积电导微观上是由电介质或杂质的离子造成电导，宏观上由于纤维材料或多孔性材料易吸水，电阻率较低。

表面电导干燥清洁的固体介质的表面电导很小，主要是由表面吸附的水分和污物引起的，介质吸附水分的能力与自身结构有关，是介质本身固有的性质。

固体介质可按水滴在介质表面的浸润情况分为憎水性和亲水性两大类，如下图1所示。

如果水滴的内聚力大于水和介质表面的亲和力，则表现为水滴的接触角大于90。

，即该固体材料为憎水性材料。

憎水性材料的表面电导小，表面电导受环境湿度的影响较小。

非极性和弱极性介质材料如石蜡、硅橡胶、硅树脂等都属于憎水性材料。

如果水滴的内聚力小于水和介质表面的亲和力，则表现为水滴的接触角小于90。

，即该固体材料为亲水性材料。

亲水性材料的表面电导大，且表面电导受环境湿度的影响大，偶极性和离子性介质材料都属于亲水性材料。

采取使介质表面洁净、干燥或涂敷石蜡、有机硅、绝缘漆等措施，可以降低介质表面电导。

图1六、电介质的能量损耗在交流电压作用下介质的能量损耗除漏导损失，还有极化损失。

图2为介质在交流电压作用下，流过介质的电流U 和I 间的向量图。

由于存在损耗，U 和I 之间的夹角不再是90度，Ic 代表流过介质总的无功电流，Ir 代表流过介质总的有功电流，Ir 包括了漏导损失和极化损失。

从直观上看，若Ir 大，则损失大，因此用介质损失角正切值tan δ代表在交流电压下的损耗。

tanδ= Ir / Ic漏导电流，又称为泄漏电流，是由介质中自由的或相互联系弱的带电质点在电场作用下运动造成的，随温度上升，电阻率下降。

固体物理知识点总结1. 固体的结构固体的结构是固体物理研究的重要内容之一。

固体的结构可以分为晶体结构和非晶体结构两类。

晶体是指固体物质中原子、离子或分子按照一定规则有序排列的结构，具有长程有序性。

晶体的周期性结构使其具有一些特殊的性质，如晶格常数和晶胞结构等。

晶体的结构可以根据晶体的对称性将晶系分为七类：三斜晶系、单斜晶系、单轴晶系、三方晶系、四方晶系、立方晶系和六方晶系。

非晶体是指固体中原子、离子或分子无序排列的结构，没有明显的周期性，具有短程有序性。

2. 固体的热力学性质固体的热力学性质是指固体在温度、压力等条件下的热力学行为。

其中包括固体的热容、热导率、热膨胀系数等热力学性质。

固体的热容是指单位质量的固体物质吸收或释放的热量与温度变化之间的关系。

固体的热导率是指单位时间内，单位面积和单位温度梯度下热量的传导速率。

固体的热膨胀系数是指单位体积的固体物质在温度变化时体积的变化与温度变化之间的关系。

3. 固体的光学性质固体的光学性质是指固体对光的吸收、散射和折射等性质。

固体的光学性质与其结构和原子（分子）的能级结构有关。

固体物质中的原子和分子会吸收特定波长的光子，产生特定的光谱线。

固体的折射率是指光在固体中传播时的光线偏折情况，也称为光线传播速度与真空中的光速之比。

4. 固体的电学性质固体的电学性质包括固体的导电性、介电常数、电阻率等。

固体的导电性是指固体对电流的导通能力。

固体的介电常数是指固体在外电场作用下的电极化程度。

固体的电阻率是指固体对电流的阻碍程度。

5. 固体的磁学性质固体的磁学性质是指固体在外磁场下的磁化行为。

固体物质中的原子和分子会在外磁场下产生磁化。

固体的磁学性质与其结构和原子（分子）的磁矩分布有关。

固体的磁化率是指固体在外磁场下的磁化程度。

固体物理是物理学中一个重要而广泛的研究领域，涉及的内容十分丰富和复杂。

本文仅对固体物理的基本知识点进行了简要的介绍和总结，希望能够为读者的学习和研究提供一些帮助。

第六章固体物理第六章能带理论上⼀章建⽴在量⼦理论基础上的⾦属⾃由电⼦理论，虽然取得了较⼤成功，能够解释⾦属电⼦⽐热、热电⼦发射等物理问题，但仍有不少物理性质，如有些⾦属正的霍⽿系数，固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质，以及部份⾦属电导率有各向异性等，是这个理论⽆法解释的。

究其原因，是⾦属⾃由电⼦理论的假设过于简化，它假定晶体中的势能为零，因⽽在其中运动的电⼦不受束缚⽽是⾃由的。

实际上，晶体中的电⼦并不⾃由，它的运动要受到组成晶体的离⼦和电⼦产⽣的晶体势场的影响。

因此，严格说来，要求解晶体中的电⼦状态，必须写出晶体中存在着相互作⽤的所有离⼦和电⼦的薛定谔⽅程，再进⾏求解。

由于1cm 3的晶体包含1023-1025量级的原⼦和电⼦，这样复杂的多体问题是⽆法严格求解的。

为此，⼈们采⽤了三个近似，将问题进⾏简化。

第⼀个近似是绝热近似，也叫玻恩—奥本海默（Born-Oppenheimer ）近似：由于电⼦质量远⼩于离⼦质量，电⼦的运动速度就⽐离⼦要⼤得多。

故相对于电⼦，可认为离⼦不动，或者说电⼦的运动可随时调整来适合离⼦的运动。

这样，在研究电⼦运动时，可不考虑离⼦运动的影响，这就可把电⼦运动和离⼦运动分开来处理，即把多体问题化为了多电⼦问题。

第⼆个近似是平均场近似：在上述多电⼦系统中，可把多电⼦中的每⼀个电⼦，看作是在离⼦场及其它电⼦产⽣的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。

平均场的选取视近似程度⽽定，如只考虑电⼦间的库仑相互作⽤，则为哈特⾥（Hartree ）平均场。

如计及⾃旋，考虑电⼦间的库仑及交换相互作⽤，则为哈特⾥—福克（Hartree-Fock ）平均场。

这些平均场的计算均要⽤⾃洽场⽅法，所以也叫⾃洽场近似。

这样，就把⼀个多电⼦问题化为单电⼦问题。

第三个近似是周期场近似：假定所有离⼦产⽣的势场和其它电⼦的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。

通过这三个近似，晶体中的电⼦运动就简化为周期场中的单电⼦问题，这个单电⼦的薛定谔⽅程为)()()](2[)(22r r ψψψE V mH =+??=r r h （6.1）其中 )()(n V V R r r += （6.2）§6.1 布洛赫定理在周期场中运动的单电⼦有什么特点呢？布洛赫（Bloch ）发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期场中运动的单电⼦的波函数)(r ψ不再是平⾯波，⽽是调幅平⾯波，其振幅不再是常数，⽽是如图6.1所⽰按晶体的周期⽽周期变化，即)()(r r k k.r u e i =k ψ（6.3）其中振幅 )()(n k k R r r +=u u （6.4）图6.1 晶体电⼦波函数的⽰意图（a ）沿某⼀列原⼦⽅向电⼦的势能；（b ）某⼀本征态波函数的实数部分；（c ）布洛赫函数中周期函数因⼦；（d ）平⾯波的实数部分。

《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

固体物理课程教学大纲一、引言固体物理是物理学的重要分支之一，研究物质的结构、性质和相互作用。

本课程的教学旨在帮助学生建立对固体物理的基础理论和实践技能的深入理解。

通过学习本课程，学生将能够掌握固体物理的核心概念、实验技术和解决实际问题的能力。

二、课程目标1. 掌握固体物理的基础知识和理论框架；2. 熟悉固体的晶体结构和缺陷状况；3. 理解固体的电学、磁学和光学性质；4. 学习固体材料的力学行为和热传导特性；5. 培养工程实践中解决固体物理问题的能力。

三、教学内容与安排1. 第一章：晶体结构- 1.1 原子与晶体结构基本概念- 1.2 晶体的晶格结构- 1.3 晶体缺陷与点阵缺陷- 1.4 晶体的形貌与表面结构2. 第二章：固体的电学性质- 2.1 电导现象与欧姆定律- 2.2 半导体与导体- 2.3 极化与介电材料- 2.4 超导电性3. 第三章：固体的磁学性质- 3.1 磁介质与磁性材料- 3.2 磁场与磁化强度- 3.3 磁性材料的磁性行为- 3.4 磁性材料的应用与技术4. 第四章：固体的光学性质- 4.1 光的传播与折射- 4.2 光与固体材料的相互作用 - 4.3 固体的吸收与发射- 4.4 材料的光学性质与应用5. 第五章：固体的力学行为- 5.1 弹性与塑性行为- 5.2 多晶体的力学行为- 5.3 固体的蠕变现象- 5.4 特殊力学性质与应用6. 第六章：固体的热传导特性- 6.1 热传导基本原理- 6.2 热电材料与热电效应- 6.3 热导率的测量与表征- 6.4 热传导的现象与应用四、教学方法与手段1. 授课方式：采用讲授与互动相结合的方式进行课堂教学；2. 实验教学：通过实验教学，让学生更好地理解课程的概念与原理；3. 论文阅读：引导学生阅读相关领域的研究论文，拓宽知识面；4. 课程设计项目：组织学生进行课程设计项目，提高实际问题解决能力；5. 网络资源利用：推荐学生利用网络资源深入学习与研究。

固体物理学基础晶体的介电性质与铁电效应晶体是由大量有序排列的原子或分子构成的固体物质。

在固体物理学中，晶体的电性质是研究的重要课题之一。

晶体的介电性质与铁电效应是晶体电性质中的两个关键概念。

本文将重点介绍晶体的介电性质、铁电效应以及二者之间的关系。

介电性质在晶体物理学中具有重要意义。

晶体的介电性质是指晶体在外加电场下发生的电极化现象。

当外加电场作用于晶体时，晶体内部的正负电荷会发生重新排列，导致晶体整体出现电偶极矩。

这种电偶极矩的形成使得晶体在外加电场下具有良好的电响应能力。

介电响应的强度由介电常数来描述。

介电常数是一个描述晶体相对电容性能的物理量，可以表示为介电常数ε等于位移电流密度ε与电场强度ε之比。

介电常数的大小和晶体内部的电荷分布和极化有关。

在晶体中，介电常数是与频率、温度和晶体结构等因素密切相关的。

根据晶格结构和晶体的电极化情况，晶体的介电常数可以被分为几个不同的类型。

其中，铁电性是介电性质的重要表现形式之一。

铁电性是指晶体在外加电场下可以出现自发电偶极矩，即铁电极化现象。

与介电性质不同的是，铁电性不仅在外加电场下发生电极化，而且在去除外加电场后，晶体仍然保持电偶极矩。

这种自发电偶极矩的存在提供了晶体独特的电性质，铁电材料在领域中具有重要的应用潜力。

铁电效应是铁电性质的一种特殊表现形式。

铁电效应是指晶体在外加电场下的铁电极化现象。

晶体的铁电效应可以通过改变温度、压力或外加电场来控制。

该效应的特点是当外加电场超过一定阈值时，晶体会发生自发电极化。

通过改变外加电场的方向和大小，可以控制晶体的铁电极化方向和强度。

铁电效应具有广泛的应用，尤其在电子器件领域。

铁电效应可以用于制作高密度存储器件、传感器和压电器件等。

铁电材料的独特电性质使得它在信息存储、能量转换和传感器技术等方面具有重大意义。

总结起来，固体物理学中的介电性质与铁电效应是研究晶体电性质的重要课题。

介电性质描述了晶体在外加电场下的电响应能力，其中铁电性是介电性质的一种特殊表现形式。

固体电子学导论纲要1.第一章1理解自由电子气体模型的意义 （1）自由电子气体模型：○1自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用。

○2独立电子近似（单电子近似）：忽略电子和电子间的相互作用。

○3弛豫时间近似：讨论输运现象时引进的。

（2）模型的意义：自由电子气体模型是有关金属的最简单的模型。

金属，特别是简单金属的许多物理性质可以通过它得到相当好的理解。

它可以解释金属作为电和热的良导体的原因（可以解释金属遵从欧姆定律，电导率和热导率成线性关系，)(ωσ的低频段行为，以及金属对可见光高的反射率等）。

2掌握单电子的基态性质 单电子的状态用波函数)(r ψ描述rk i eVr∙=1)(ψ电子能量为22222122)(mv m p m k k === ε其中λπ2=k3理解自由电子气体的简并在统计物理学中，体系与经典行为的偏离，常称为简并性。

在0=T 时，金属自由电子气体是完全简并的。

由于F T 很高，在室温下，电子气体也是高度简并的。

4理解费米面、费米能级在k 空间中把占据态和未占据态分开的界面叫做费米面。

k 空间中的态密度为381πV k =∆ 费米面上单电子态的能量称为费米能量。

mk FF 222 =ε其中费米波矢n k F 233π=。

另费米动量F F k p =，费米速度m k v F F =，费米温度BF F k T ε=（B k 为波尔兹曼常量）。

5理解自由电子气体的热性质温度0>T 时，电子在本征态上的分布由费米-狄拉克分布函数给出11/)(+=-T k i B i e f με其中i f 是电子占据本征态i ε的几率，μ是系统的化学势。

])(121[22FB F T k επεμ-=电子比热FBV T T nk T C 22πγ== 6了解顺磁性简而言之：电子自旋产生磁场，分子中有不成对电子时，各单电子平行自旋，磁场加强。

这时物质呈顺磁性。

7理解准经典模型在自由、独立电子近似的基础上，进一步假定： ○1电子会受到散射，或经受碰撞。

《固体物理》课程教学大纲课程代码：ABCL0512课程中文名称：固体物理课程英文名称：Solid State Physics课程性质：必修课程学分数：3.5课程学时数：56授课对象：新能源材料与器件本课程的前导课程：《高等数学》、《量子力学》、《材料科学基础》。

一、课程简介固体物理是研究固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子等）之间相互作用与运动规律，以阐明其性能和用途的学科。

本课程的任务是通过各种教学环节，使学生掌握固体物理、晶体学方面的基础知识，获得材料学科基础而广泛的理论知识，对相关材料的物理性能和结构之间的联系有基本的概括和了解。

二、教学基本内容和要求第一章晶体结构教学内容：固体的宏观性质及固体物理学的发展史；课程特点及教学内容安排，固体物理学原胞和结晶学原胞的定义，晶格实例，晶格的周期性，晶向、晶面，倒格子和布里渊区，晶体的对称性。

教学要求：（1）了解晶体的宏观性质以及常见晶体结构的原子组成和结构特点；（2）熟悉立方晶系中的三种布拉菲格子；（3）掌握立方晶系晶向和晶面的表示方法；（4）掌握点对称操作的格点分布规律（5）了解倒格子和布里渊区的定义教学重点、难点：重点：原胞、晶胞和晶格的区别、几种典型的晶体结构实例、晶向指数和晶面指数、晶体的对称性、倒格子和布里渊区。

难点：固体物理学原胞和结晶学原胞、晶体结构和晶格之间的联系、密堆积结构、倒格子基本性质及其证明。

第二章晶体的结合教学内容：分子晶体、离子晶体、共价晶体、金属晶体和氢键结合晶体的结合力及其特点，分子晶体和离子晶体的势能U(r)表达式求解，原子和离子半径。

教学要求：。

第六章 自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。

一 费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。

2.费米分布函数在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是1e 1)(B F )(+=-T k E E E fE F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。

它是温度T 和晶体自由电子总数N的函数。

随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F附近±k B T 范围内。

3.费米面0.a =T ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=F FF 01)(E E E E E E E f 陡变0.b ≠T ⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<=FFF0211)(E E E E E E E fE=EF 的等能面称为费米面。

在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。

T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。

4.求EF 的表达式E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰∞=０E E N E f N )d ()(分两种情况讨论：(1)在T=0K 时，上式变成：⎰=0)d (FE E E N N ０将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：()23021032d ⎰==FE FE C E CE N ０其中23222π2⎪⎭⎫⎝⎛= m V C c()23023222π232FE m V N ⎪⎭⎫ ⎝⎛=令n=N/V ，代表系统的价电子浓度()32220π32n mE F=金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算NN E E ⎰d ＝０⎰=0023d FE E E NC053F E =由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。