六年级奥数辅导第13讲 排列组合

一般地，从n个元素中任取m个(m≤n)元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

如果取出的这m个元素不计次序组成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，利用有关排列与组合的性质来解答数学问题的思维方法叫做排列组合法。

排列组合的有关性质包括乘法原理、加法原理及抽屉原理等，在很多小学数学竞赛题中还会用到广义的抽屉原理:将多于m×n个物体任意放到n个抽屉中去，那么至少有一个抽屉中物体的个数不少于m+1个。

排列组合法的一般解题步骤为:先对问题进行分析，转化成一个排列或组合问题，然后求解。

在运用排列组合法解题时经常结合交集法、删选法等。

[例1] 10只无明显差异的苹果，小华每天至少吃1只，直到吃完，问有多少种不同的吃苹果方案?思路剖析将10只苹果排成一排，如果第一天吃2只，第二天吃3只，第三天吃4只，第四天吃1只，这种吃苹果方案可以表示如图1所示。

可以看出，本题实质是一个组合问题，吃苹果的方案变成在10只苹果之间的9个空隙里添加竖线。

利用相关知识，不难得出本题答案。

解答由图1．可知，因为每个空隙都可以添加竖线，也可以不添加，所以共2×2×2×2×2×2×2×2×2=512(种)不同方式，所以共有512种不同的吃苹果方案。

[例2] 把写有1到10的十张卡片摆成一圈，不管怎样摆，在这个圈中一定有位置相邻的三张卡片，它们上面的数的和大于17。

[例3] 甲乙两人各有九张分别写着l一9的卡片，两人各自随意拿出一张，求:(1)两张卡片上的数相加，和大于15的可能性；(2)两张卡片上的数相乘，积是奇数的可能性。

思路剖析两人各自拿一张，一共有9×9种不同情况。

两数之和大于15的有9+9，9+8，9+7，8+9，8+8和7+9六种。

两数相乘积是奇数，这两个因数必都是奇数，一共有5×5种。

小学奥数精讲：排列组合常见解题方法小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。

例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有在一起的A、B两人也要排序，有种。

例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。

若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种排法；又3本数学书有种排种。

种排法。

又因为捆绑种排法。

根据分步乘法原理，总的排法有【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。

解题过程是“先捆绑，再排列”。

方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决关于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。

第一将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中央”和“两端”共有四个空位置，也等于：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有共有排队方法：。

种插法。

由乘法原理，例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有8个空位，有种方法；用末了一个节目去插9个空位，有=504种。

排列组合综合,掌握几种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.特殊位置特殊元素优先分析法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置）,对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．插空法元素相离（即不相邻）问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

隔板法隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板,即把n个元素分成b组的方法。

【题目】①有5个人排成一排照相,有多少种排法？②5个人排成两排照相,前排2人,后排3人,共有多少种排法？③5个人排成一排照相,如果某人必须站在中间,有多少种排法？④5个人排成一排照相,某人必须站在两头,共有多少种排法【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘,如果双方准备各放一个棋子,要求它们不在同一行,也不在同一列,那么总共有多少种不同的放置方法？（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”,每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？【试题来源】【题目】大林和小林共有小人书不超过50本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【试题来源】【题目】把13拆成三个数的和,请问有几种拆法？【试题来源】【题目】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?【试题来源】【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1,那么可以组成______个满足要求的三位数．【试题来源】【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1＋2,2+1,1+1＋1。

小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和细心。

二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数的计算方法。

2. 教学难点：排列组合的综合应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实际操作理解排列组合的概念。

2. 采用案例教学法，分析典型例题，引导学生运用排列组合知识解决实际问题。

3. 采用讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨，提高学生的逻辑思维能力。

五、教学安排1. 课时：每课时约40分钟2. 教学步骤：引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案一、引入新课1. 老师：同学们，你们平时喜欢做游戏吗？今天我们就来玩一个有趣的游戏，请大家观察这些数字（出示数字卡片），看看你能发现什么规律？2. 学生观察数字卡片，发现规律。

二、讲解概念1. 老师：同学们观察得很仔细，这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。

什么是排列呢？2. 学生回答：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。

3. 老师：很好，那什么是组合呢？4. 学生回答：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合的个数。

5. 老师：同学们掌握得很好，我们来学习排列数和组合数的计算方法。

三、举例讲解1. 老师：我们以n=5，m=3为例，来计算排列数和组合数。

2. 学生计算排列数：5×4×3=60，计算组合数：C(5,3)=10。

3. 老师：同学们计算得很好，这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢？四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师：比如说，我们有一排5个位置，要从中选出3个位置来安排3个同学，就有60种排列方式，10种组合方式。

小学数学排列组合数学是一门抽象而精确的科学，涵盖了许多不同的分支和概念。

在小学数学中，排列组合是一个重要的主题，它涉及到如何摆放对象和如何选择对象的问题。

掌握排列组合的基本原理不仅可以锻炼学生的逻辑思维和数学能力，还有助于他们在解决实际问题时找到合适的方法。

排列是指对象的摆放顺序不同所得到的不同结果。

在排列中，每个对象都有一个唯一的位置。

考虑一个简单的例子：有3个不同颜色的小球，要将它们摆放在一个盒子里，问有多少种不同的排列方式。

这里可以使用原则来解决问题。

首先，有3个不同的小球可以选择作为第一个位置的小球，然后剩下2个小球可以选择作为第二个位置的小球，最后只剩下一个小球可以选择作为最后一个位置的小球。

根据原则，我们将这个问题的解答为3 × 2 × 1 = 6种。

组合则是指对象的摆放顺序不考虑所得到的结果。

在组合中，每个对象都可以被选择，并且不关心它们的顺序。

继续以上面的例子：现在我们要选择两个小球放在一个篮子里，问有多少种不同的组合方式。

使用原则解决这个问题时，我们可以先选择第一个小球，然后从剩下的小球中选择第二个小球。

根据原则，我们将这个问题的解答为3 × 2= 6种。

排列和组合都是数学中重要的概念，它们在许多实际问题中都有应用。

一个典型的例子是密码锁。

一个4位的密码锁由0到9的数字组成，每个数字只能使用一次。

有多少种不同的密码组合方式？我们可以使用排列的原则解决这个问题。

首先，对于第一个位置，可以选择10个不同的数字中的任何一个。

然后，对于第二个位置，可以从剩下的9个数字中选择任何一个。

依此类推，最后得到的密码组合方式为10 × 9 × 8 × 7 = 5040种。

在解决排列组合问题时，我们还可以使用树状图的方法来帮助我们组织思路。

对于排列问题，我们可以从树的根节点开始，根据每个节点上的可能选择继续向下分支，直到达到叶子节点。

每个叶子节点代表一种可能的排列方式。

六年级奥数辅导第十三讲排列、组合问题一、排列问题。

在实际生活中，我们常常遇到过这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少中排法，这就是排列问题。

在排列过程中，不仅与参加排列的失误有关，而且与各失误所在的先后顺序有关。

=(n-1) (n-2)……(n-m+1)排列公式：P mn【例题分析】例1、有9面颜色不同的信号旗，任意取出3面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？例2、用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例3、7个人并排站成一排，其中甲必须站在中间位置，共有多少种不同的站法？【巩固提高】1、某班有一个小图书馆，有不同的文艺书80本，不同的自然科学书120本。

如果最多从这两类书中各借1本，共有多少种借法？2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，如果任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少种不同的排法？3、从1，3，5中任取两个数字，从0，2，4中任取两个数字，共可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？二、组合问题。

知识导航：日常生活中有很多的“分组”问题，如把同学分两组进行篮球对抗赛，从全班同学中选几人参加数学竞赛等。

这种“分组”问题，就是我们要讨论的组合问题。

组合问题与所取的元素有关，而与元素之间的先后顺序无关。

组合公式C m n =p m n ÷p m m【例题分析】例1、六（1）班要在25名同学中选出4名同学去参加夏令营活动，共有多少种选法？例2、从6幅水墨画、3幅油画和4幅素描中选取两幅不同类型的画，布置画室。

共有多少种不同的选法？例3、圆上有12个点，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？若以每4个点为顶点画一个四边形，可以画多少个四边形？【巩固提高】1、要从9名男生和5名女生中选出6名学生参加数学竞赛，共有多少种选法？2、某种产品100件，其中2件次品，其余为合格品，从中抽3件产品来检验，至少有1件次品的情形有多少种？3、从16个小朋友中任选4个人合影留念，共需拍多少张照片？综合练习一、填空。

小学生六年级数学学习技巧如何应用排列组合解决实际问题学习数学是每个小学生的必修课程之一，而数学学习中的排列组合是一个既重要又有趣的部分。

通过灵活运用排列组合的知识，可以帮助小学生解决实际问题，提高他们的数学能力。

本文将介绍一些小学六年级数学学习技巧，重点是如何应用排列组合来解决实际问题。

一、理解排列组合的基本概念在介绍如何应用排列组合解决实际问题之前，首先我们需要明确排列组合的基本概念。

排列指的是从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列，而组合则是从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序。

小学生可以通过实际例子和练习题来加深对排列组合的理解。

例如，假设小明有5个不同的水果，他想要选择其中的2个水果组成水果拼盘。

这个问题可以用排列组合来解决。

对于排列，小明可以先选择第一个水果，有5种选择，然后再选择第二个水果，有4种选择，所以总共有5*4=20种排列方式。

而对于组合，由于不考虑顺序，所以只需要考虑不同水果的组合方式，即C(5,2)=10种组合方式。

通过这个例子，小学生可以初步了解排列组合的概念。

二、应用排列解决实际问题1. 排列的应用：物品排列问题排列可以应用于解决物品排列问题，例如有5个不同的颜色的球分别是红、黄、蓝、绿、白，现在要将这些球排成一排，共有多少种排列方式？解题思路：根据排列的定义，第一个球有5种选择，第二个球有4种选择，以此类推，最后一个球只有1种选择，所以总共有5*4*3*2*1=120种排列方式。

2. 排列的应用：座位排列问题排列也可以应用于座位排列问题，例如一个教室里有6个座位，其中3个是固定的，分别是老师的座位、班长的座位和副班长的座位，而其他3个位置是学生可以自由选择的，共有多少种不同的座位排列方式？解题思路：根据排列的定义，学生可以在剩下的3个座位中选择座位，选择方式分别是3*2*1=6种。

所以共有6种不同的座位排列方式。

三、应用组合解决实际问题1. 组合的应用：选择队长和副队长组合可以应用于解决选择问题，例如一个班级里有10个学生，其中需要选择一个队长和一个副队长，共有多少种不同的选择方式？解题思路：根据组合的定义，选择队长有10种选择，然后从剩下的9个学生中选择副队长，有9种选择。

小学奥数-排列组合教案一、教学目标：1. 让学生理解排列组合的概念，能够运用排列组合的知识解决实际问题。

2. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。

3. 提高学生解决数学问题的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：排列组合的概念、排列数公式、组合数公式及其应用。

2. 教学难点：排列组合问题的解决方法和技巧。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列组合的知识。

2. 运用案例教学法，让学生通过实际案例理解排列组合的概念和应用。

3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学安排：1. 第一课时：排列的概念和排列数公式2. 第二课时：组合的概念和组合数公式3. 第三课时：排列组合的应用举例4. 第四课时：练习与讲解六、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如抽签、排座位等，引出排列组合的概念。

2. 新课导入：介绍排列和组合的定义，讲解排列数公式和组合数公式。

3. 案例分析：分析实际问题，运用排列组合知识解决问题。

4. 练习与讲解：学生自主练习，教师讲解疑难问题。

七、课后作业：1. 复习本节课所学内容，掌握排列组合的概念和公式。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 搜集生活中的排列组合实例，下周分享。

八、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 生活实例分享：评价学生搜集的排列组合实例的创意性和实用性。

九、教学拓展：1. 深入了解排列组合在实际生活中的应用，如密码学、运筹学等。

2. 探索其他数学领域的知识，如数列、概率等，与排列组合知识相结合。

3. 鼓励学生参加奥数比赛和相关活动，提高数学素养。

十、教学反思：2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。