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正余弦定理1.在AABC中，A>3是sinA>sin3地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件r2、已知关于x地方程X2 -xcos A cosB + 2 sin2— = 0地两根之和等于两根之积地一半, 2则AA5C一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是地三个内角A, B.C所对地边，若a=l,b=J^, A+C=2B,则sinC=.4、如图，在ZkABC 中，若b = 1, c = ZC = —,则a=.35、在MSC中，角A,B,C所对地边分别为a, b, c,若。
=很，人=2 , sinB + cosB =扼，则角A地大小为.6、在AABC 中，a,b,c分别为角A,B,C地对边，且4 sin2- cos 2 A =-2 2（1）求/A地度数（2）若a =也,b + c = 3,求人和c地值7,在中已知acosB=bcosA,试判断地形状.8、如图，在中，巳知a =后,b = 41, B=45。
求A、C及c.C'1、解：在AABC中，A> B >Z? v>2AsinA> 2Asin3 v>sinA> sin3,因此，选C .1「 i _ ms C2、【答案】由题意可知：cosAcosB = --2 sm--=从而2 2 22 cos A cos B = 1 + cos(A + 3) = 1 + cos A cos B - sin Asin Bcos Acos B + sin Asin B = 1, cos(A-B) = 1 又因为一兀 < A—B<i所以A-B = O,所以即C一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中地应用.【思路点拨】由己知条件求出3、A地大小，求出C,从而求出sin C.【规范解答】由A+C=2B及A+3 + C = 180°得3 = 60。
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60º，∠CBD＝15º，求BC长.【答案】4【解析】利用已知条件及正余弦定理，即可求得BC的长.试题解析：在ΔABCD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos60º，即BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.（6分）在ΔBCD中，由正弦定理得:.（12分）【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】由正弦定理得：，又，所以选D.【考点】正弦定理3.如图,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,,求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:(1)题目已知三角形的三条边,利用的余弦定理即可得到该角的余弦值.(2)利用(1)问得到的的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值,再利用正余弦之间的关系即可得到,而与之差即为,则利用正弦的和差角公式即可得到角的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的边长.(1)由关于的余弦定理可得,所以.(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得,再由的正弦定理可得.【考点】三角形正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝()A．B．C．2D．2【答案】D【解析】S＝bcsin120°＝，即c×＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，△ABC∴a＝，∴由等比例性质得＝＝2．5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝()A．或 B． C．或 D．【答案】B【解析】∵cos(A－C)＋cosB＝1，∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinA·sinC＝1．又由已知a＝2c，根据正弦定理，得sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或．∵a>c，∴A>C，∴C＝．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA－cos(B＋)的最大值为()A．B．2C．D．2【答案】D【解析】由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC．因为0<A<π，所以sinA>0，从而sinC＝cosC．又cosC≠0，所以tanC＝1，又0<C<π，故C＝，于是sinA－cos(B＋)＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)，又0<A<，所以<A＋<，从而当A＋＝，即A＝时，2sin(A＋)取最大值2．7.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝．(1)若sinC＝，求sinA的值；(2)设f(C)＝sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．【答案】（1）（2）(－1，]【解析】解：(1)由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝．(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－ (舍去)或cosC≥，∴0<C≤．∴f(C)＝sin2C－＝sin(2C－)－ (－<2C－≤)，∴－1<f(C)≤．故f(C)的取值范围为(－1，]．8.在中，已知，且.（1）求角和的值；（2）若的边，求边的长.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用并结合两角差的余弦公式求出，然后再结合的范围求出的值，利用三角形的内角和定理得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（2）在（1）的基础上直接利用正弦定理求出的长度.（1）由，，得且，可得，，，，，在中，，；（2）在中，由正弦定理得：，.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.内角和定理；3.正弦定理9.（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（2）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．10.在中，角对的边分别为，已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，角对的边分别为，已知，且.由正弦定理可用一个角B表示出b,c的值.再根据三角函数角的和差化一公式，以及角B范围.求出最值，再由三角形的三边的关系即可得到结论.（2）由，可得到三角形边b,c与角A的余弦值的关系式，即可得角A的正弦值.再由余弦定理通过放缩以及三角形的面积公式即可得到结论.（1），（2分）（4分）.（6分）（2），（8分）（10分）当且仅当时的面积取到最大值为． . （12分）【考点】1.正余弦定理.2.三角形的面积公式.3.不等式的基本公式.3.最值的求法.11.在中，角所对的边分别为，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，且，求．【答案】（1）角的值为；（2）．【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到；再由余弦定理求得，所以角的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角，由正弦定理知．试题解析：（1）由题得，由正弦定理得，即.由余弦定理得，结合,得.（2）因为因为，且所以所以，.【考点】正余弦定理、二倍角公式.12.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.13.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，又是锐角三角形，．选A.14.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。
高二数学正弦定理试题答案及解析1.在中，若，，则一定是A．钝角三角形B．正三角形C．等腰直角三角形D．非等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，，由于，得，整理得，由于，，所以三角形为等边三角形.【考点】判断三角形的形状.2.在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a＝2csinA.(1)确定∠C的大小；(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）∠C=60°；（2）（3+，3]．【解析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，变形为： sinA＝2sinCsinA，根据sinA不为0，可得出sinC的值，由三角形为锐角三角形，得出C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出关系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周长，将表示出a，b及c的值代入，由C的度数，求出A+B的度数，用A表示出B，把B也代入表示出的周长，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值整理后，提取2再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A为锐角，得到A的范围，进而确定出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出周长的范围．试题解析：（1）已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，由a＝2csinA，得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，∴∠C=60°或∠C=120°,∵△ABC为锐角三角形，∴∠C=120°舍去。
∴∠C=60°.（2）∵c=，sinC=∴由正弦定理得：,即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A，∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2[sinA+sin（-A）]+=2（sinA+sin cosA-cos sinA）+=3sinA+cosA+=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，∵△ABC是锐角三角形，∴＜∠A＜，∴＜sin（A+）≤1，则△ABC周长的取值范围是（3+，3]．【考点】正弦定理；正弦函数的定义域和值域.3.已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．（1）求角的大小；（2）若，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1)先利用复数相等得出三角形的边角关系，再利用正弦定理将边转化为角，利用三角关系求角B;(2)利用余弦定理求出有关的关系，再利用三角形的面积公式进行求解.规律总结：解三角形，要根据条件灵活选择正弦定理、余弦定理、面积公式，本题中已知两角与其中一角的对边，较容易想到先选择正弦定理.试题解析:（1），①，②；由①得③;在中，由正弦定理得∴∴,∵∴(2) ∵,由余弦定理得,--④由②得-⑤由④⑤得，∴=.【考点】1.复数相等的概念；2.正弦定理；3.余弦定理.4.设的内角的对边分别且，，若，求的值。
正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。
2. 正弦定理的变形3. 判断三角形解的问题 “已知a,b 和A,解三角形”①当sin B >1,无解 ②sin B =1,一解 ③sinB <1,两个解（其中B 可能为锐角也可能为钝角，具体是锐角还是钝角还是两个都可以，要根据“大边对大角”及“三角形内角和等于180”来判断）题型一：已知两角及任意一边解三角形1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14变形：题型二：已知两边及一边对角解三角形1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.4 .在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 5．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．6. 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.8.在△ABC 中，B=4π,b=2,a=1,则A 等于 .题型三：正弦定理的边角转化1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果Cc B b A a tan tan tan ==,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。
正弦定理一、考点、热点回顾（一）正弦定理及其变形1． 正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 2． 正弦定理的常用变形(1)a ∶b ∶c ＝________________；(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________； (3)sin A ＝________，sin B ＝__________，sin C ＝________；3． 三角形中边角的不等关系在三角形中，A ＞B ＞C ⇔ a ＞b ＞c ⇔ sinA ＞sinB ＞sinC 。
（二）正弦定理的应用：解三角形 1、 解三角形的概念2、 利用正弦定理解三角形利用正弦定理可解决两类解三角形问题： （1）已知两角及一边解三角形基本思路： 1)由三角形的内角和定理求出第三个角．2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．（2）已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1)由正弦定理求出另一已知边所对的角．2)由三角形的内角和定理求出第三个角． 3)由正弦定理公式的变形，求第三条边．（3）解三角形的解的情况在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与射线AB 的公共点（除去顶点A ）A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解（三）三角形的面积公式S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·()()()p p a p b p c ---二、典型例题考点一、正弦定理概念及变形例1、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.变式训练1、（1）在△ ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .（2）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.考点二、已知两角及一边解三角形例2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.变式训练2、（1）在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3C. 3D.3 2（2）在△ABC中，A=45°，B=75°，c=2，则此三角形的最短边的长度是。
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在中，,则的面积等于___ __.【答案】【解析】由余弦定理得：.所以.【考点】解三角形.2.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求的值；（2）求的范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；（2）先由（1）得，从而代入，转化为只含Ａ的三角函数，利用三角公式将其化为的形式，再注意到，进而转化成三角函数求值域问题求解．试题解析：（1）由正弦定理得，，即：，.又在中，，.（2），所以，的范围是．【考点】１．等差数列的性质；２．正弦定理；３．三角函数的图象和性质．3.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.【答案】150【解析】根据题意，在中，已知，易得：;在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：;在中，已知，易得：.【考点】1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用4.若的内角满足，则的最小值是 .【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．5.在△ABC中,2sin2=sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则=____________.【答案】【解析】2sin2=sinA⇔1-cosA=sinA⇔sin=,又0<A<π,所以<A+<,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc①将sin(B-C)=2cosBsinC展开,得sinBcosC=3cosBsinC,所以将其角化边,得b·=3··c,即2b2-2c2=a2②将①代入②,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3×-1=0,③解③得=或=(舍),所以==.6.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2bsin A，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】由题意知，bsin A＝1，又由正弦定理得：bsin A＝2sin B，故解得sin B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝．7.设函数f(x)＝cos＋2cos2，x∈R．(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．【答案】（1）[0,2] （2）1或2【解析】(1)f(x)＝cos xcos －sin xsin ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，即sin＝0，又因0<B<π，故B＝．方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2．方法二由正弦定理＝，得sin C＝，C＝或．当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1．故a的值为1或2．8.已知分别为三个内角A、B、C的对边，若,则=_________.【答案】【解析】【考点】正弦定理和余弦定理.9.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.10.已知向量，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积的坐标表示，先计算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数的单调递增区间；（2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理．将利用正弦定理转换为，同时结合已知和余弦定理得，，从而求，进而求的值．试题解析：（1）令 6分所以所求增区间为 7分（2）由，， 8分，即 10分又∵， 11分 12分【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图象和性质.11.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正弦定理可知，即，所以，选B.12.在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.（1）求sinA的值；（2）设AC=，求ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵sin(C-A)=1且A，B，C为三角形之内角，∴C-A=，又C+A=-B，∴A=-∴sinA=sin(-)=(cos-sin)，∴sin2A =(cos2+sin2-2sin cos)即，又，∴（2）如图，由正弦定理得∴，又∴13.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)要得到的最小正周期,必须对进行化简,首先观察与之间的关系,可以发现,故利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)把,再利用正弦的倍角公式即可得到函数的最简形式,利用周期即可得到最小正周期.(2)把带入(1)得到的中,化简即可求的C角的大小,A角已知,所以可以求的C,A两个角的正弦值,利用正弦定理可得所求比值即为A,C两个角的正弦之比,带入即可求出.试题解析：（1）因为，所以函数的最小正周期为 6分（2）由（1）得，，由已知，，又角为锐角，所以，由正弦定理，得 12分【考点】诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式14.在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为.【答案】【解析】作PO⊥面ABC，垂足为O，连结AO，BO，CO，∴∠PBO是PB与面ABC所成的角，因，∴≌≌，∴AO=BO=CO，∴O是△ABC的外心，由正弦定理知，===12（R为△ABC外接圆半径），∴R=6，∴在Rt△POB中，∠BPO=30，∴∠PBO=，其余弦值为.【考点】1.正弦定理；2.线面角.15.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】(1)首先利用正弦和差角公式展开,再利用正余弦的二倍角与辅助角公式化简,得到,则从x的范围得到的范围,再利用正弦函数的图像得到的取值范围,进而得到的取值范围.(2)把带入第(1)问得到的解析式,化简求值得到角A,再利用角A的余弦定理,可以求出a的值,再根据正弦定理,可以求的B角的正弦值,再利用正余弦之间的关系可以求的A,B的正余弦值,根据余弦的和差角公式即可得到的值.试题解析：（1）.4分∵，∴，．∴． .7分（2）由，得，又为锐角，所以，又，，所以，． .10分由，得，又，从而，．所以， 14分【考点】三角形正余弦定理正余弦和差角与倍角公式正弦函数图像16.在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）B＝（2）【解析】(1)由题意，得acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.∵A＋C＝π－B，0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sinB≠0.∴cosB＝，∴B＝.(2)由B＝，得＝，即＝，∴ac＝2.∴S＝acsinB＝.△ABC17.已知函数,的最大值为2．（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查三角函数的最值问题、函数的单调性、正弦定理等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，利用最大值为，可以解出m的值，利用两角和的正弦公式化简，根据函数定义域求的值域；第二问，利用第一问的表达式，化简，再利用正弦定理将角转化成边，由，从而得到的值.试题解析：（1）由题意，的最大值为，所以． 2分而，于是，． 4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为； 5分（2）化简得． 7分由正弦定理，得， 9分因为△ABC的外接圆半径为．． 11分所以 12分【考点】1.两角和的正弦公式；2.正弦定理；3.三角函数值域.18.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.19.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=2A,a=1,b=,则c等于()(A)2 (B)2 (C) (D)1【答案】B【解析】由正弦定理,得=,∵B=2A,a=1,b=,∴==,∵sinA≠0,∴cosA=得A=,B=,C=.∴c==2.故选B.20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A．2+2B．+1C．2-2D．-1【答案】B【解析】由正弦定理知c==2.又sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以△ABC的面积S=bcsin A=+1.故选B.21.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故，所以，由正弦定理可得，故选B.【考点】1.二倍角公式；2.正弦定理22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c＝a，则() A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定【答案】C【解析】因为sin 120°＝sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b23.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________．【答案】【解析】因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝.由正弦定理得，即，所以a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝＋c2－2c，解得c＝ (负值舍去)．24.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】由题意，得2b cos B＝a cos C＋c cos A，根据正弦定理可得2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，即2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B，解得cos B＝，所以B＝60°25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．【答案】【解析】先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由，且8b＝5c，C＝2B，所以5c sin 2B＝8c sin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.26.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝.由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.27.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为______米．【答案】400【解析】如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得所以，得AD＝400 (米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．28.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【答案】（1）A＝（2）【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝，(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sin B＝sin A，sin C＝sin A.∴sin B·sin C＝sin2A＝×＝.29.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝.30.已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．【答案】（1）B＝，（2）c＝1【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(B)＝sin ＝1，又∈，所以2B＋＝，所以B＝(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2.法二由正弦定理得sin A＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.31.类比正弦定理，如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C，C-BB1-A，B-CC1-A的平面角分别为α，β，γ，则有________．【答案】＝＝【解析】根据正弦定理得＝＝，即＝＝，而AA1＝BB1＝CC1，且EF·BB1＝SBB1C1C，DF·CC1＝SAA1C1C，DE·AA1＝SAA1B1B，因此＝＝32.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，∴AC＝3.由正弦定理，得＝＝.33.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（）.A．B．C．．D．【答案】A【解析】要求的范围，首先用正弦定理建立一个关系，，从而，因此我们只要确定出的取值范围，就可求出的取值范围了，，从而，又，，所以有，，所以．【考点】正弦定理，锐角三角形的判定．34.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题的突破口主要是抓住条件可使用正弦定理，得到，然后利用三角函数即可求得；（2）本小题首先通过正弦定理把三边用角表示出来，，然后把周长的问题转化为三角函数的值域求解问题；当然本小题也可采用余弦定理建立三边之间的关系，然后根据基本不等式求得，再根据三角形中两边之和大于第三边可得，于是，又，所以求得周长范围为.试题解析：（1）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴ 5分（2）法一：由正弦定理得：∴，， 7分9分∵ 10分∴，即（当且仅当时，等号成立）从而的周长的取值范围是 12分法二：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的周长的取值范围是 12分【考点】1 正弦定理；2 余弦定理；3 基本不等式35.在中，角所对的边分别为满足，,, 则的取值范围是 .【答案】【解析】∵,∴，∴，∴为钝角，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.三角函数的值域.36.已知中，角的对边分别为，且满足.（I）求角的大小；（Ⅱ）设，求的最小值.【答案】（I）；（Ⅱ）当时，取得最小值为0．【解析】（I）利用正弦定理或余弦定理，将已知式化为：，再利用三角函数相关公式（两角和的正弦公式、诱导公式等），结合三角形内角和定理将其化简，即可求得角的大小；（Ⅱ）由已知及平面向量的数量积计算的坐标公式，可得的函数关系式：．由（I），，从而，只需求函数的最小值即可．试题解析：（I）由正弦定理，有， 2分代入得. 4分即.． 6分，． 7分． 8分（Ⅱ）， 10分由，得. 11分所以，当时，取得最小值为0． 12分【考点】1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．平面向量的数量积运算；3．三角函数的最值．37.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝（sinA，1），＝（cosA，），且∥．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）；（II）△ABC的面积为或.【解析】（1）根据向量平行的坐标运算解答；（2）由（1）得出角A的大小，利用正弦定理计算，计算角大小，然后利用三角形中计算角，根据三角形面积公式解答即可.试题解析：（1） 4分（2）由正弦定理可得，，或. 6分当时，； 9分当时，. 11分故，△ABC的面积为或. 12分【考点】平面向量的坐标运算、正弦定理、解三角形、三角形面积公式.38.的角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，,求的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)先根据正弦定理将已知表达式：，全部转化为边的关系，然后根据余弦定理求出角的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形的内角求角；(Ⅱ)先根据三三角形的面积公式求出，然后根据余弦定理的变形，求得，将已知的与代入此式可解得.试题解析：（1）根据正弦定理，原等式可转化为：， 2分， 4分∴. 6分(Ⅱ)，∴， 8分， 10分∴. 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理及其变形；3.解三角形；4.三角形的面积公式；5.特殊角的三角函数值39.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求和的值.【答案】（1）；（2），；【解析】（1）本小题主要通过正弦定理得边角互化把条件转化为，然后利用余弦定理化简可得；（2）本小题通过展开得，然后根据正弦定理求得，.试题解析：（1）由正弦定理得由余弦定理得故 6分（2）故13分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.40.在中，角的对边分别为,,.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.41.在△中，角的对边分别为，若，则等于.【答案】【解析】因为，，，所以，，由正弦定理得，.【考点】，三角函数同角公式，正弦定理.42.已知的三个内角满足，则角的取值范围是．【答案】.【解析】设的外接圆的半径为，则三个内角、、的对边分别为、、，由于，则有，即，故有，由余弦定理得，，当且仅当的时候，上式取等号，，，即角的取值范围是.【考点】正弦定理与余弦定理、基本不等式43.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（I）由正弦定理，设则所以………………4分即，化简可得又，所以因此……………….6分（II）由得由题意，…10分……………………………………12分【考点】正余弦定理解三角形点评：正弦定理，余弦定理，，，两定理可以实现三角形中边与角的互相转化44.如图，在某港口处获悉，其正东方向20海里处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西据港口10海里的处，救援船接到救援命令立即从处沿直线前往处营救渔船.(Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（已知）.【答案】 (Ⅰ) 接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里.（Ⅱ）救援船应沿北偏东的方向救援.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，注意方位角与计算的准确性，考查计算能力．（Ⅰ）：△ABC中，求出边长AB，AC，∠CAB，利用余弦定理求出BC，即可求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）△ABC中，通过正弦定理求出sin∠ACB的值，结合已知数据，得到∠ACB即可知道救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．解：(Ⅰ) 由题意得：中，，……………3分即，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里. (6)（Ⅱ）中, ,,由正弦定理得即………9分，，故救援船应沿北偏东的方向救援. …………… 12分45.在中，，，则 ( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，，故B>A,所以或，选C46.在中，若，则角B为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.47.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则．【答案】【解析】因为由正弦定理可知，得到sinB=，由于b<a，因此48.（本小题满分14分）中，角A，B,C的对边分别是且满足（１）求角B的大小；（２）若的面积为为，求的值；【答案】(1). ⑵a＋c＝．【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用。
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得:-2sin（A+B）sin（A-B）=2•cos（A+B）sin（A-B），求得tan（A+B）的值，进而可得A+B 的值，从而求得C的值．（2）由求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）-A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．试题解析：（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．【考点】１．二倍角的三角公式；２．正弦定理．2.[2014·北京西城区期末]在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝，B＝，tanC＝2，则c＝________.【答案】2【解析】∵tanC＝2，∴＝2，又sin2C＋cos2C＝1，∴sin2C＝，∴sinC＝.由正弦定理，得＝.∴c＝×b＝2.=2，则3.若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45o，SABCsinA=( )．(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】,根据余弦定理：,代入数字，,再根据正弦定理：.故选A.【考点】正余弦定理解三角形4.一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是__________海里．【答案】【解析】,中，由正弦定理，【考点】正弦定理.5.已知的内角的对边分别为,且, 则______【答案】【解析】由正弦定理已知条件可化为，所以，即，所以，所以.【考点】正弦定理与余弦定理.6.己知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量，且.（1）求角C的大小：（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）由向量数量积坐标运算得，又三角形的三个内角，所以有，因此，整理得，所以所求角的大小为；（2）由等差中项公式得，根据正弦定理得，又，得，由（1）可得，根据余弦定理得，即，从而可解得.（1） 2分在中，由于，所以.又，，，又，. 5分而，. 7分（2）成等差数列，，由正弦定理得. 9分，.由（1）知，所以. 11分由余弦定理得，，.. 13分【考点】1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.7.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B8.在中，角所对的边分别为，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，且，求．【答案】（1）角的值为；（2）．【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到；再由余弦定理求得，所以角的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角，由正弦定理知．试题解析：（1）由题得，由正弦定理得，即.由余弦定理得，结合,得.（2）因为因为，且所以所以，.【考点】正余弦定理、二倍角公式.9.在中，已知，则最大角等于．【答案】【解析】由正弦定理得：，所以最大角为C，由余弦定理得：【考点】正余弦定理10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．(1)若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；（2）当时，求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）【解析】（1）要证明AC1∥平面B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC1即可；（2）可以以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量与平面B1CD的法向量，然后利用向量夹角公式即可.试题解析：解:(1)证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．6分（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．设D(a,b,0)（，），因为点D在线段AB 上，且，即．所以，，，,．平面BCD的法向量为．设平面B1CD的法向量为，由，，得，所以，，.所以．所以二面角的余弦值为．12分【考点】(1)空间位置关系的证明；（2）平面向量在立体几何中的应用.11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求、的长.【答案】（1）（2）.【解析】（1）在三角形中,由,知B为锐角且，由三角函数的诱导公式得；（2）由正弦定理得首先得到，在三角形BCD中，由余弦定理得:即得所求.本题较为简单，关键是要正确应用公式.试题解析：（1）在三角形中,,故B为锐角 3分所以 6分（2）三角形ABC中，由正弦定理得,， 9分又D为AB中点，所以BD=7在三角形BCD中，由余弦定理得: 12分【考点】正弦定理、余弦定理的应用.12.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C 等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】即，所以，又，故，选.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.13.如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点.（1）若是半径的中点，求线段的长；（2）设,求面积的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）当时，取得最大值.【解析】（1）由得出，在中，利用余弦定理计算长度；（2）要求面积的最大值，需要将面积表示为的函数再求最值，显然可以用正弦的面积公式，注意到已知，故不妨用，接下来分别把表示成的函数，在中利用正弦定理得，同理，利用正弦定理，得，故的面积，运用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式将化为同角三角函数，得，注意的范围是，可得时取最大值1，此时取最大值.试题解析：(1)在中，,，由； 5分（2）平行于，在中，由正弦定理得，即，，又,. 8分记的面积为，则=， 10分当时，取得最大值. 12分【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算；3、正、余弦定理.14.已知m=，n=，满足．(1)将y表示为x的函数，并求的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，的最大值是，且a=2，求b+c的取值范围．【答案】（1），其最小正周期为. （2）.【解析】（1）利用平面向量的坐标运算及和差倍半的三角函数公式，化简得到，其最小正周期为.（2）由题意得，及，得到．由正弦定理得，，化简得到，利用,进一步确定的取值范围为.试题解析：（1）由得， 2分即，所以，其最小正周期为. 6分（2）由题意得，所以，因为，所以． 8分由正弦定理得，，， 10分,，，所以的取值范围为. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质.15.设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，则A＝________．【答案】【解析】由，，得，即sinA＝cosA，所以A＝.16.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝ b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】(1)由2asinB＝b及正弦定理，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为17.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．【答案】50m【解析】由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得AB＝m.故A、B两点的距离为50m.18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a、b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【答案】（1）a＝2，b＝2（2）【解析】(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，所以B＝，所以a＝，b＝.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝19.在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则＝________．【答案】【解析】由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)＝5＋4(1－2sin2B)，得9sin2A＝4sin2B，即3sinA＝2sinB.由正弦定理得＝20.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.21.在△ABC中,若∠A=π,∠B=π,AB=6,则AC等于()A．B．2C．3D．4【答案】D【解析】∠C=π-∠A-∠B=π--=.由正弦定理=,∴=,∴AC=4.故选D.22.已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边分别为，已知，，，求的面积．【答案】（1）函数的单调递增区间为.（2）.【解析】（I）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为，讨论函数的单调性；（2）利用求得，再应用正弦定理及两角和差的三角函数公式，求得，应用三角形面积公式即得所求.试题解析：（1）3分令(，得(,所以，函数的单调递增区间为. 6分（2）由，得，因为为的内角，由题意知，所以，因此，解得, 8分又，，由正弦定理，得, 10分由，，可得, 11分所以，的面积= . 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2＋ccos2＝ b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．【答案】(1)见解析 (2) 4【解析】解：(1)证明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.由正弦定理得：sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B.由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos 60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝4.24.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】(1)由正弦定理可设，所以a＝sin A，b＝sin B，(3分)所以＝＝.(6分)(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，(7分)又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．(12分)所以S＝ab sin C＝×4×＝.(14分)△ABC25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于()．A．B．－C．±D．【答案】A【解析】先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由，且8b＝5c，C＝2B，所以5c sin 2B＝8c sin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.26.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin A cos C＝3cos A sin A，求b＝______.【答案】4【解析】在△ABC中，sin A cos C＝3cos A sin C，则由正弦定理及余弦定理有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，则4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．27.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件和正弦定理得3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，cos C＝，又0<C<π，因此角C＝.28.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得a2＋b2＜c2，∴cos C＝＜0，则C为钝角，故△ABC为钝角三角形．29.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝()．A．B．2－C．－1D．【答案】C【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50()，在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin ∠BDC＝－1.30.在中，若，则的形状是( )A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角形【答案】B【解析】由正弦定理、余弦定理，可化为，整理得，，所以，的形状是等腰三角形，选B.【考点】正弦定理、余弦定理的应用31.在中，角、、对的边分别为、、，且，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理计算比值，确定与、以及与的等量关系，然后将相应结果代入计算的值；（2）利用余弦定理，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形的面积公式计算的面积.试题解析：（1）由正弦定理可得：，所以，，所以；（2）由余弦定理得，即，又，所以，解得或（舍去），所以.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形的面积32.在△ABC中，角、、的对边分别为、、，设S为△ABC的面积，满足．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若，且，求的值．【答案】(I);(II)4.【解析】(Ⅰ)本小题较易，直接利用余弦定理及三角形面积公式，确定，根据，得到；（Ⅱ）应用“切化弦”技巧，转化成“弦函数”问题，应用正弦定理可得，进一步求得，得到，确定得到△ABC是等边三角形，根据可求得.试题解析： (Ⅰ) ，且. 2分因为，所以， 3分所以， 4分因为，所以； 6分（Ⅱ）由得：， 7分即， 8分又由正弦定理得， 9分∴，∴△ABC是等边三角形， 10分∴， 11分所以. 12分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式，平面向量的数量积.33.的外接圆半径，角的对边分别是，且 .（1）求角和边长；（2）求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状.【答案】（1），；（2）的最大值，此时，此时三角形是等边三角形.【解析】本题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及基本不等式的运用和求三角形面积的最值.第一问，先利用余弦定理将角化成边，去分母化简，得，再利用余弦定理求，在中，，所以，再利用正弦定理求边；第二问，先通过余弦定理，再结合基本不等式求出的最大值，得到面积的最大值，注意等号成立的条件，通过这个条件得出，所以判断三角形形状为等边三角形.试题解析：（1）由,得：，即，所以， 4分又，所以，又，所以 6分（2）由，，得（当且仅当时取等号） 8分所以，（当且仅当时取等号）10分此时综上，的最大值，取得最大值时，此时三角形是等边三角形. 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.均值定理；4.三角形面积公式.34.已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（）A． B. C. D.【答案】C【解析】由，则，设的外接圆半径为，则，即，，.【考点】1.正余弦定理；2.球体中构造直角三角形.35.在△中，角所对的边分别为，且，则_______；若,则__________．【答案】；【解析】因为，所以，又，所以，那么.又，所以，由正弦定理得，.【考点】1.三角函数的和角公式；2.正弦定理36.在中，内角所对的边长分别为，，，.求sinC和b的值.【答案】，.【解析】本题较为简单，突出了对正弦定理、余弦定理得考查.根据，应用正弦定理可得应用余弦定理建立方程，由求解.试题解析：，由正弦定理可得 5分由，得，由，故. 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用37.在锐角中，角所对的边长分别为．若（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由正弦定理，代入已知式得又为锐角三角形，．【考点】正弦定理．38.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是,若,,=45°,则角A=___.【答案】角或.【解析】由正弦定理得，所以角或.【考点】1.解三角形；2.正弦定理.39.设△的三边为满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由，即含有角又含有边，像这一类题，可以利用正弦定理把边化成角，也可利用余弦定理把角化成边，本题两种方法都行，若利用正弦定理把边化成角，利用三角恒等变化，求出角，若利用余弦定理把角化成边，利用代数恒等变化，找出边之间的关系，从而求出角；（Ⅱ）求的取值范围，首先利用降幂公式，与和角公式，利用互余，将它化为一个角的一个三角函数，从而求出范围．试题解析：（Ⅰ），所以，所以，所以所以，即,所以，所以（Ⅱ）= =其中因为，所以所以【考点】正余弦定理的运用，三角恒等变化，求三角函数值域，考查学生的运算能力．40.凸四边形中，其中为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值，以及此时凸四边形的面积。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3B.π2C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3， 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°， 又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求CA →·CB →的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3.由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ＝2CA →·CB →，∴CA →·CB →≤12，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号． 所以，CA →·CB →的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ， 则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ， 即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°， 整理得：x 2－10x －96＝0， 解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， 由正弦定理得， BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)． 在△ABC 中，由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27.由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3.设AP ＝x ，CP ＝y ， 则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°高考总复习含详解答案 ＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值．(2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠APD ＝31·42131＝421≈18.33千米， 答：静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米．。
