4用椭圆和圆的参数方程解题

考点透视解析几何问题通常较为复杂，且解题过程中的计算量大，出错率高.利用参数方程解答解析几何问题，不仅可以使方程中的变量减少，还能够减小计算量，达到化繁为简的效果.参数方程是曲线或直线的一种重要表示形式.一般地，过定点A()x0,y0，倾斜角为θ的直线的参数方程可以表示为{x=x0+t cosθ,y=y0+t sinθ,其中t为参数，||AB=t；若⊙O的圆心O为()m,n，半径为r，则⊙O的参数方程可表示为{x=m+r cosα,y=n+r sinα,α为参数，表示任意点与圆心O连线段的旋转角度；若椭圆C的中心位于坐标原点O，长轴与短轴分别为a与b，焦点位于x轴，则椭圆的参数方程可表示为{x=a cosα,y=b sinα,α为参数，表示动点T()x,y的离心角.在解答解析几何问题时，我们可根据题意设出或写出直线或曲线的参数方程，并将直线或曲线上的点用参数表示出来，便可将其看作为定点或已知的点，将其坐标代入点到直线的距离公式、弦长公式、两点间的距离公式、韦达定理、直线的斜率公式、直线的方程、圆锥曲线的方程中进行运算，从而将问题转化为三角函数求值、最值问题来求解.最后根据三角函数的性质、公式、图象即可求得问题的答案.例1.（2021全国新高考卷一，第21题）已知点F1()-17,0，F2()17,0，点M满足||MF1-||MF2=2.记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A,B，P,Q，且||TA∙||TB=||TP∙||TQ，求直线AB与PQ的斜率之和.解：（1）C的方程为x2-y216=1()x>0；（2）设Tæèöø12,m，直线AB的倾斜角为θ1，直线PQ的倾斜角为θ2，且θ1,θ2∈[0,π)，则直线AB的参数方程为ìíîïïx=12+t cosθ1,y=m+t sinθ2,t为参数.将其代入x2-y216=1()x>0中，得()16cos2θ1-sin2θ1t2+()16cosθ1-2m sinθ1t-()m2+12=0.由题意知16cos2θ1-sin2θ1≠0，则||TA·||TB=-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1，同理可得||TP∙||TQ=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，又||TA∙||TB=||TP∙||TQ，所以-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，则16cos2θ1-sin2θ1=16cos2θ2-sin2θ2，化简得cos2θ1=cos2θ2.因为直线AB与PQ为不同的直线，则cosθ1=-cosθ2，于是θ1+θ2=π，则k AB+k PQ=0.本题若采用常规方法，需将直线的方程与双曲线的方程联立，根据弦长公式和韦达定理求解，解题过程中的计算量大，不易求出正确答案.而运用直线的参数方程，就能将直线上的点A、B、P、Q用倾斜角表示出来，直接利用直线参数方程的几何意义即可求得||TA∙||TB、||TP∙||TQ的表达式，进而通过三角恒等变换，建立直线AB和PQ倾斜角之间的关系，快速求得问题38的答案.例2.在矩形ABCD 中，AB =1,AD =2，点P 在以C为圆心的圆上，该圆与BD 相切.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.225解：以A 为原点，DA 、BA 为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，由AB =1,AD =2可得A ()0,0,B ()1,0,C ()1,2,D ()0,2,则以C 为圆心的圆的方程为()x -12+(y -22=45,设P æèçöø÷1+θ,2θ，由 AP =λ AB +μ AD ，得ìíîïïïïλ=1θ,2μ=2+θ,则λ+μ=1+θ+1θ=2+sin (θ+ϕ)≤3,其中tan ϕ=2，当θ+ϕ=π2时，λ+μ取得最大值3.先根据题目条件画出相应的图形，并建立平面直角坐标系，便可通过数形结合的方式，将题目中的几何关系以直观的形式表示出来；然后根据圆的参数方程设出圆上的动点P ，并建立关于参数θ的关系式，即将问题转化为三角函数最值问题；再利用三角函数的辅助角公式和正弦函数的有界性进行求解，这样可使得解题中的计算量大大减小，轻松获得问题的答案.例3.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的左、右顶点，P ,Q 是该椭圆上异于顶点的两点，直线AP 与QB ，PB 与AQ 分别交于点M ,N .（1）求证：MN ⊥AB .（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点F 2，求直线MN 的方程.（1）证明：由椭圆的参数方程{x =a cos α，y =b sin α，可设P ()a cos α,b sin α,Q ()a cos β,b sin β，则AP ：y =b sin αa +a cos α(x +a )，AQ ：y =b sin βa +a cos β（x +a )，BP ：y =b sin α-a +a cos α(x -a )，BQ ：y =b sin β-a +a cos β(x -a )，联立直线AP 与BQ 的方程，得x M +a a +a cos αb sin α=x M -a-a +a cos βb sin β，解得x M =sin ()α+β-sin α+sin βsin α+sin β+sin ()β-αa =cos α+β2cos α-β2a ，同理可得，x N =sin ()α+β+sin α-sin βsin α+sin β+sin ()α-βa =cos α+β2cos α-β2a ，故x M =x N ，则MN ⊥AB .（2）解:由（1）得PQ :y -b sin αb sin α-b sin β=x -a cos αa cos α-a cos β,设直线PQ 经过()c ,0，则c a =cos α+sin α()cos α-cos βsin β-sin α=sin ()α-βsin α-sin β=cosα-β2cosα+β2，可得x M =x N =a 2c，故直线MN 的方程为x =a 2c.解答本题，需根据椭圆的参数方程，将椭圆上的点用参数形式表示出来，列出四条直线的方程，通过联立方程求得到点M 、N 的横坐标，进而根据直线的斜率公式建立关系式，从而求得MN 的方程.利用椭圆的参数方程，不仅可使题目中的变量统一，还可以使最终的直线形式简洁、美观，便于计算.可见，在解答解析几何问题时，巧妙利用直线或曲线的参数方程，能使问题中的几何关系以更加简洁的形式呈现，还能简化运算过程，能大大提高解题的效率.但在运用直线或曲线的参数方程解题时，要多关注参数的取值范围和几何意义，这是获得正确答案的有力依据，能为我们解题带来很大的便利.基金项目：基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例，西华师范大学纵向科研项目，项目编号468020.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）考点透视39。

圆和椭圆的参数方程知识点：1.圆的参数方程圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角，如下图：（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

（2）圆222()()x a y b r -+-=的常用参数方程为：cos ,[0,2π)sin x a r y b r θθθ=+⎧∈⎨=+⎩为参数.2.椭圆的参数方程（1）设点M 的坐标(x,y)，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取ϕ为参数，那么 x=ON=|OA|cos ϕ， y=NM=|OB|sin ϕ 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ①，引为点M 的轨迹参数方程，ϕ为参数。

（2）椭圆的参数方程也可由12222=+b y a x （a>b>0）三角换元直接得出，即令ϕcos =a x，ϕsin =by。

（3）椭圆参数方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数），参数有明显几何意义，但是离心角ϕ与∠MOX 一般不同。

一、圆的参数方程的应用①距离和最值问题（22）（2017广州一测理）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 (Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.解： (Ⅰ) 由消去得,所以直线的普通方程为. 由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即.(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,则点到直线的距离为xOy l 3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t )x :.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC l C C l 3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t t 40+-=x y l 40+-=x y 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ22cos 2sin =+ρρθρθ222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y C 2222+=+x y x y ()()22112-+-=x y C ()1,1ααP P l =d =当时, , 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为法2: 设与直线平行的直线为, 当直线与圆相切时,解得或(舍去),所以直线的方程为. 所以直线与直线的距离为所以曲线上的点到直线的距离的最大值为2/.圆()()22124x y -++=上的点到直线210x y -+=的最短距离是_______.4．若实数,x y 满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值为 .22222.(1,0),(1,0)(3)(4)4.A B x y P PA PB P --+-=+（三星）平面上两点，在圆上取一点，求使取得最小值时点的坐标备注：注意P 点的坐标的求法，三角函数问题=sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭παmax =d C l l :0l x y b '++=l 'C =0b =4b =-l '0x y +=l l 'd ==C l2223.5,4,3.ABC AB BC AC P ABC PA PB PC ∆===∆++（三星）已知的三边长，点是内切圆上一点，求的最小值与最大值备注：也可以用三角函数来做②参数的几何意义2. （二星）（2014年高考新课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 备注：参数方程的应用解：（1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤可得C 的参数方程为1cos sin x ty t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）（2）设(1c o s ,s i n )D t t+由（Ⅰ）知C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同。

2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1 圆的参数方程 1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点,半径为r,设点P(x,y)是圆周上任意一点,连结OP,令OP 与x 轴正方向的夹角为α,则α唯一地确定了点P 在圆周上的位置．作PM⊥Ox ,垂足为M,显然,∠POM＝α(如图)．则在Rt△POM 中有OM ＝OPcos α,MP ＝OPsin α,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos α，y ＝rsin α(α为参数)．这就是圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a,b)为圆心,r 为半径的圆,普通方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α(α为参数,a,b 是常数)．填空：(1)圆心为(2,1),半径为2的圆的参数方程是________．(2)在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝sin α(α为参数)中,圆的圆心是________,半径是________．(3)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________,最小值是________．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0),半径为1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1),半径为1. ∵圆心到原点的距离为2,∴最大值为2＋1, 最小值为2－1.[答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)(2)(－1,0) 1 (3)2＋1 2－1教材整理2 椭圆与双曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1,其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角． (2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式,如(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2b2＝1(a ＞b ＞0),参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos φ，y ＝y 0＋bsin φ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F 1,F 2所在的直线为x 轴,以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,双曲线的普通方程为x2a 2－y2b2＝1(a ＞0,b ＞0)． 此时参数方程为(φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中,参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．( ) (2)在椭圆上任一点处,离心角和旋转角数值都相等．( ) (3)在双曲线参数方程中,参数φ的范围为[0,2π)．( ) [解析] (1)√ 椭圆中,参数φ的几何意义就是离心角．(2)× 在四个顶点处是相同的,在其他任一点处,离心角和旋转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中,参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2,φ≠3π2.[答案] (1)√ (2)× (3)×求圆的参数方程【例1】 圆(x －r)2＋y 2＝r 2(r>0),点M 在圆上,O 为原点,以∠MOx＝φ为参数,求圆的参数方程． [精彩点拨] 根据圆的特点,结合参数方程概念求解． [尝试解答] 如图所示,设圆心为O′,连结O′M ,∵O′为圆心, ∴∠MO′x＝2φ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.1．确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.2．由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程．1．已知点P(2,0),点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点,求PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．[解] 设中点M(x,y)．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数),这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心,以12为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用【例2】 如图所示,已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,A(a,0)和B(0,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形MAOB 的面积的最大值．[精彩点拨] 本题可利用椭圆的参数方程,把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解． [尝试解答] M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点,由椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数),故可设M(acos φ,bsin φ),其中0＜φ＜π2,因此,S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA·y M ＋12OB·x M ＝12ab(sin φ＋cos φ)＝22absin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以,当φ＝π4时,四边形MAOB 面积的最大值为22ab ．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和,这是解题的突破口和关键,用椭圆的参数方程,将面积表示为参数的三角函数求最大值,思路顺畅,解法简捷,充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解] (1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1,且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1,所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝2sin α(α为参数,－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时,4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7.双曲线的参数方程及其应用【例3】 如图所示,设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是两个焦点,证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.[精彩点拨] 将双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos φ，y ＝tan φ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答] 因为双曲线的方程为x 2－y 2＝1, 所以设P ⎝⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ.∵F 1(－2,0),F 2(2,0), ∴|PF 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ＋22＋tan 2φ＝2cos 2φ＋22cos φ＋1, |PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1cosφ－22＋tan 2φ＝2cos 2φ－22cos φ＋1, ∴|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2φ＋12－8cos 2φ＝2cos 2φ－1. ∵|OP|2＝1cos 2φ＋tan 2φ＝2cos 2φ－1,∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP|2.1．与双曲线上点有关的问题,常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题． 2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题,常将其化为普通方程后,再求解．3．求证：双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明] 由双曲线x 2a 2－y2b2＝1,得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0,bx －ay ＝0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ), 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2,则d 1·d 2＝|absec φ＋abtan φ|b 2＋a 2·|absec φ－abtan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值).圆的参数方程的应用[探究问题]1．给定参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos α，y ＝b ＋rsin α，其中a,b 是常数．(1)如果r 是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？ (2)如果α是常数,r 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么？[提示] (1)参数方程表示的曲线是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆(r≠0)． (2)参数方程表示的曲线是过(a,b)点,且倾斜角为α的直线． 2．圆的参数方程中,参数有什么实际意义？[提示] 在圆的参数方程中,设点M 绕点O 转动的角速度为ω(ω为常数),转动的某一时刻为t,因此取时刻t 为参数可得圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt，y ＝rsin ωt (t 为参数),此时参数t 表示时间．若以OM 转过的角度θ(∠M 0OM ＝θ)为参数,可得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数),此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示] 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示,可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】 设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)判断C 与直线x ＋3y －2＝0的位置关系； (2)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(3)点P 为曲线C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点P 的坐标； (4)点M 是曲线C 上的动点,求其与点Q(－1,－3)连线中点的轨迹． [精彩点拨] 本题考查圆的参数方程的应用,以及运算和转化与化归能力． (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． (2)设P 的坐标表示出|OP|,利用三角函数知识求最值． (3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M 的坐标,进而表示出MQ 中点坐标,即得轨迹的参数方程．[尝试解答] (1)曲线C 是以(1,3)为圆心,半径为1的圆,则圆心(1,3)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋(3)2＝1,故直线和圆相切． (2)设圆上的点P(1＋cos θ,3＋sin θ)(0≤θ<2π)． |OP|＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3, 当θ＝4π3时,|OP|min ＝1.(3)由(2)知,θ＝4π3,∴x＝1＋cos 4π3＝12,y ＝3＋sin 4π3＝32,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(4)设MQ 的中点为(x,y)．∵M(1＋cos θ,3＋sin θ),Q(－1,－3),∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ－12＝12cos θ，y ＝－3＋3＋sin θ2＝12sin θ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心,12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时,可直接利用参数方程求解,也可转化为普通方程问题求解． 2．与圆上点有关的距离最值问题,需建立目标函数求解时,常利用圆的参数方程,将圆上的点用角表示,从而将待求最值,转化为三角函数的最值问题求解,但要注意参数θ的取值范围．4．如图,设矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4),点A 在圆x 2＋y 2＝9(x≥0,y≥0)上移动,且AB,AD 两边分别平行于x 轴,y 轴．求矩形ABCD 面积的最小值及对应点A 的坐标．[解] 设A(3cos θ,3sin θ)(0＜θ＜90°),则|AB|＝4－3cos θ,|AD|＝4－3sin θ, ∴S＝|AB|·|AD|＝(4－3cos θ)(4－3sin θ) ＝16－12(cos θ＋sin θ)＋9cos θsin θ.令t ＝cos θ＋sin θ(1＜t≤2),则2cos θsin θ＝t 2－1.∴S＝16－12t ＋92(t 2－1)＝92t 2－12t ＋232＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋72,∴t＝43时,矩形ABCD 的面积S 取得最小值72.此时⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝43，cos θsin θ＝718，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝4±26，sin θ＝4∓26.∴对应点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22或 ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数),则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0,－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 由圆的参数方程知,圆心为(2,0)． [答案] D2．圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)[解析] 圆心在点C(a,b),半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2),半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D3．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________．[解析] 由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3,b ＝5,得a 2＝9,b 2＝5,⇒c 2＝4,所以e ＝c a ＝23.[答案] 234．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________．[解析] 曲线C 的普通方程为x 29－y216＝1,得焦点坐标为F 1(－5,0),F 2(5,0)．[答案] (－5,0),(5,0)5．能否在椭圆x 216＋y212＝1上找一点,使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．[解] 设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝23sin φ(φ是参数,0≤φ＜2π)．则d ＝|4cos φ－43sin φ－12|5＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3－3,当cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝1时, 即φ＝53π时,d min ＝455,此时对应的点为(2,－3)．。

讲解这个方程
圆的参数方程是指以椭圆（圆）上任意点为圆心出发，通过任意给定的角度和圆上唯一点组成。

因此，圆的参数方程实际上是以极坐标形式表示的，即以比值(r)来表示点到圆心的距离，以弧度θ来表示点沿圆上的角位置。

参数方程可以用以下的格式来表示：
x=rcosθ
y=rsinθ
其中 r 代表的是圆的半径，c 和 s 是代表复数的余弦和正弦函数，
$\theta$ 是表示点沿圆上的角位置的角度，用角度值来表示。

比如，如果我们要表示一个圆的参数方程，其半径为4，它的圆心位于(3,4)，我们可以定义参数方程为：
x=3+4cosθ
y=4+4sinθ
这就表示了我们要求的该圆的参数方程，从而可以在我们需要的角度上表示圆上的每个点的坐标了。

可见，圆的参数方程是一种非常有用的绘制圆的方法，可以让我们快速的绘制出一个圆的形状。

normal
另外，圆的参数方程也可以被用来表示其他复杂图形如椭圆形、圆角矩形等。

只需将 r 改为下面所示表达式即可：
r=a*sqrt(1-b*tanθ²))
其中 a 和 b 是椭圆的参数。

从上面可以看出，圆的参数方程可以被用于表示椭圆、圆角矩形等复杂形状。

知道它们的参数方程，那么绘制这些图形都会成为一件简单又容易的事情。