相似三角形概念

全等三角形与相似三角形的判定及位似图形

一、全等三角形

1、全等三角形的判定（符号：“≌”）

a、(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；

b、( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等；

c、(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

d、(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等；

直角三角形全等判定定理：斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以回推到SSS）；

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等

练习一

1、如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌________，且DF=______

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C， 则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）

（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC

3、已知：如图，AB=AC，DB=DC．F是AD的延长线上一点．

求证： (1) ∠ABD＝∠ACD (2)BF=CF

4、（2013嘉兴、舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB＝50º，求∠EBC的度数？

5、（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．

6、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

二、相似三角形 B A

C

D F 2 1

E 1、相似三角形的判定

第二十四章 相似三角形

我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形.

相似的图形，它们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形，就是全等形.

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.

当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值都是1.

一般来说，两个数或两个同类的量a和b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或ba)，其中b≠0. a除以b所得的商叫做比值.如果a:b的比值等于k，那么a=kb.

如果a:b=c:d(或dcba)，那么就说a、b、c、d成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比.

在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.

如果a、b、c、d是比例线段，即dcba，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 如果cbba(或b2=ac)，那么b叫做a、c的比例中项.

比例线段的基本性质:

①两个外项的积等于两个内项的积. 即如果dcba，那么ad=bc.

②如果dcba，那么cdab，dbca，bdac，….

③合比性质:如果dcba，那么ddcbba，ddcbba－－

④等比性质: 如果dcba=k，那么kdcbadbca

等比性质推论：如果knmfedcba，那么knmfedcbanfdbmcba

如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项(即AP2=AB·PB)，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.较长的线段PA=215AB，较短的线段PB=253AB.其中215称为黄金分割数(简称黄金数)，215是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618.

三角形的三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心.

抛物线与相似三角形

例1、如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问：以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

例2、如图①，已知抛物线bxaxy2（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点

（1）求抛物线解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图②，若异于点A的点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标

例3、如图，抛物线cbxaxy2的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A、B

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出E点的坐标；若不存在，请说明理由。

【练一练】

1、如图，已知抛物线cbxaxy2的图像经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，3）

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线上求点P，使AOBPOASS△△；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。

2、如图，已知二次函数))(2(481baxxy的图像过点A（-4，3），B（4，4）。

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴与H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？如存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

相似三角形总结

相似三角形总结1

1、相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2、相似三角形的表示方法：用符号'∽'表示，读作'相似于'。

3、相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4、相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

初中数学相似三角形定理知识点总结

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等'的条件改为'对应边

成比例'就可得到相似三角形的.判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6、直角三角形相似： （1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7、相似三角形的性质定理：

（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（4）相似三角形的周长比等于相似比。

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8、相似三角形的传递性

如果△abc∽△a1b1c1，△a1b1c1∽△a2b2c2，那么△abc∽a2b2c2相似三角形总结2

考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小

考核要求：

（1）理解相似形的概念； （2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理

考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。