福建省福州市八县一中(福清一中,长乐一中等)2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(名师解析)

2017--2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考

高中一年数学科试卷

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）

1.设全集，集合， ，则（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

由题

，则.故选B

2.函数的定义域是（ ）

A. B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

要使函数有意义,则得 , 即,

即函数的定义域为 , 故选C

3.已知幂函数的图象过（4，2）点，则（ ）

A.

B. C.

D.

【答案】A

【解析】

由题意可设 ,又函数图象过定点（4，2）, , ,从而可知，则 .故选A

4.设函数

，若，则的值为（ ）

A. 2 B. 1 C. D.

【答案】D

【解析】

2 由题 所以 解得 ，故选D

5.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

对A:定义域为 ，函数为非奇非偶函数，排除A；

对B:为奇函数, 排除B；

对C:在上单调递减, 排除C；故选D

6.已知函数 的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则=（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

由题函数恒过定点（0，2），所以 ，解得b=1,故选B

7.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

设 故选C

8.已知，则的大小关系为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

由题 ,所以c

点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），经常借助特殊值0,1比较大小，有些必要的时候还可以借助其它特殊值，比如本题中还和2进行比较

3 9.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数且,所以 ，解得0

点睛：本题考查的是函数奇偶性与单调性的有关性质，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，所以在上是增函数，且自变量相反时函数值相同所以本题即，再结合单调性将问题转化为比较自变量的绝对值，做题时要注意此题转化的技巧．

10.若函数 的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

由函数 的反函数在定义域内单调递增，可得a>1,所以函数的图象在上单调递增，故选D

11.已知 ，则下列各式一定．．正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

当时， ，此时A,C正确

当时，，此时B,C正确

所以一定正确的是C,故选C

4 12.已知函数，若且，则的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

由题可知 ，由于，由，由，又，所以，从而， ，故选D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）

13.已知集合，则集合子集的个数为_______________

【答案】4

【解析】

,所以集合子集有共4个.

14.计算：=_________________

【答案】

【解析】

15.已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________

【答案】-7

【解析】

由已知是定义在上的奇函数, 当时, ，所以

5 ，则=

点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：

①若奇函数在处有定义，则；

②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；

③特殊值验证法

16.如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：

①函数存在“线性覆盖函数”；

②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；

③为函数的一个“线性覆盖函数”；

④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则

其中所有正确结论的序号是___________

【答案】②③

【解析】

对①：由函数的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题①错误

对②：如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，∴命题②正确；

对③：设 则

当 时，在（0，1）单调递增

当 时，在单调递减

，即

为函数的一个“线性覆盖函数”；命题③正确

对④，设 ，则，当b=1时，也为函数的一个“线性覆盖函数”，故命题④错误

故答案为②③

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

6 步骤.

17.已知全集，集合,

(1)求；

(2)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】试题分析：(1)求出集合A,B进行运算即可

（2）分 和 两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解

试题解析： (1)

（2）①当 时，即，所以，此时

满足题意

②当 时，，即时，

所以，解得：

综上，实数a的取值范围是

18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；

（1）求函数在上的解析式并画出函数的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）

（2）（ⅰ）写出函数的单调递增．．．．区间；

（ⅱ）若方程在上有两个．．不同的实数根，求实数的取值范围。

7 【答案】（1）（2）（ⅰ）和 （ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）设则， 有，结合为奇函数，所以，可得的解析式

（2）（ⅰ）由图象可得函数的单调递增区间为和

（ⅱ）方程在上有两个．．不同的实数根，转化为函数与在上有两个不同的交点，由图象得，所以

试题解析：（1）设则

所以

又因为为奇函数，所以

所以 即

所以

图象

（2）（ⅰ）由图象得函数的单调递增区间为和

（ⅱ）方程在上有两个不同的实数根，

所以函数与在上有两个不同的交点，

由图象得，所以

所以实数的取值范围为

点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.

19.已知函数.

（1）当时，判断并证明函数在上单调性。

8 （2）当时，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围。

【答案】（1）单调递增（2）

【解析】

试题分析：（1）设，比较和0的大小，从而得在上的单调性

（2）首先时可证明函数为奇函数，且在上单调递增，从而转化为在上有解，进而转化为函数与函数有交点，所以，即

试题解析：（1）当时，函数在上单调递增，证明如下：

设，则

因为，所以，，又

所以即

所以，函数在上单调递增

（2）当时， ，定义域为

所以，函数为奇函数

因为

所以

由（1）知，时，函数在上单调递增

所以在上有解，

所以函数与函数有交点

所以，即

所以实数的取值范围为

点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：

9 判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.

20.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益与投入(单位:万元)满足,乙城市收益与投入(单位:万元)满足,设甲城市的投入为(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).

(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?

【答案】（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.

【解析】

(1)当时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,

所以总收益==43.5(万元).

(2)由题知,甲城市投资万元,乙城市投资万元,

所以==

依题意得,解得,

故=,

令,则,

所以==.

当,即万元时,的最大值为44万元,

所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.

21.已知函数

（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

（2）是否存在实数，使得函数在递减，并且最小值为1，若存在，求出的值；若不