二年级思维第4讲 图形计数(二)讲义

1 几何计数（二）

1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法；

3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．

本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．

一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成

21223(2)2nnn……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类

数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条

数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．

数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．

EDCBA 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．

模块二、复杂的几何计数

【例 1】 如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得教学目标

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第二讲 图形的计数

知识点：

本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。

教学目标：

通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。

2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。

3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

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第一课时

教学时间：

教学内容：数线段和角

教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。

重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。

2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。

教学过程：

一. 例题1

如下图中有多少条线段？

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ

（1） 学生先独立数一数，并交流结论。

（2） 教师引导学生得出正确答案，并总结方法

方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：

由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；

由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；

由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；

由4条基本线段构成的线段有AE共1条；

方法二：从线段的两个端点出发去数： 名师精编 优秀教案

以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；

以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条；

以C点为左端点的线段有CD、CE共2条；

以D点为左端点的线段有DE共1条；

2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？

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1 第4讲：图形计数（二） 姓名：

知识要点

同学们知道图中有多少个三角形吗？我们可以这样想：图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以共有5个三角形。在计数时，做到有次序、有条理，不遗漏，也不重复，而且迅速。这就需要掌握规律和方法，才能数得又对又快。这一讲，我们将介绍一些简单的数图形的规律和方法。

例1：数一数，图中共有多少个三角形？

练习1、：数一数，图中有多少个三角形？

例2：数一数，图中共有多少个三角形？

练习2：数一数，图中有多少个三角形？

例3：数一数，图中有多少个长方形。

练习3：数一数，下图中一共有多少个长方形。

例4：数一数，图中共有多少个小方块。

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2

练习4：数一数，图中共有多少个小方块。

例5：数一数图中有多少个长方形，有多少个三角形。

练习5：图中有多少个长方形和三角形？

总结归纳：

本讲主要介绍了数 三角形、长方形和小方块的方法。三角形、长方形的数量可以借助数线段的方法来计算，而数小方块要学会分层、分类，就会一个不多一个不少地数出。

奥赛题

自我检测 得分：

1、数一数，图中有多少个三角形。

2、数一数，图中有多少个长方形。

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3

3、数一数，图中有多少个小方块。

4、下面图形中线段比三角形多几个？

课后练习

1、数一数，图中有多少个三角形？

3、数一数，图中有多少个小方块？

1 图形计数

知识要点：

1、 图形计数：主要是指对满足一定条件的某种几何图形进行观察，把该图形中所包含的某一种（或几种）几何图形的个数逐一地数出来，或用某一带规律的方法直接计算出来的数学问题。

2、 图形计数的方法：（1）进一步掌握各种平面图形的特征，学会有条理、有次序地数图形的方法。（2）根据图形能较熟练地对该图形中所包含的某一种（或几种）图形进行计数。（3）培养做事有条理、有秩序的号习惯。

一、课前一练

1、数一数下列图形各有几条线段 2、数一数下图共有几个角

3、数一数下图共有几个三角形

二、思维拓展

例题1.数出下面图中有多少条线段？

分析：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；

以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左

端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）

[小窍门]我们可以采用以线段左端点分类数的方法一次数出来。 2 练一练

下图共有几条线段？

例题2.数出右图中总共有多少个角

分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，

∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB

内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是

包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、

∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即

∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1

个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：

4＋3＋2＋1＝10（个）

解： 4＋3＋2＋1＝10（个）

答：图中总共有10个角。

练一练： 3 数一数右图中总共有多少个角？

例题3

数一数共有多少个三角形？

分析：以AB、AC、AD、分别为三角形的一边可数出共有三角形

3+2+1=6（个）

解：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE 3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE 2个；以AD为边的三角形有：△ADE 1个。所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。