第七章 线性变换
计划课时：24学时.( P 307—334)
§7.1 线性变换的定义及性质（2学时）
教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质
教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质
本节内容可分为下面的两个问题讲授.
一. 线性变换的定义（P307）
注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质
定理7.1.1（P309）
定理7.1.2 （P309）
推论7.1.3 （P310）
注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。
2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
作业：习题七 P330 1，2，3.
§7.2 线性变换的运算（4学时）
教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件
教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件
本节内容分为下面四个问题讲授：
一. 加法运算
定义1 （P310）
注意：＋ 是V的线性变换.
二. 数乘运算
定义2 （P311）
显然k 也是V的一个线性变换.
定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间.
三. 乘法运算
(1). 乘法运算
定义3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换.
(2). 线性变换 的方幂
四. 可逆线性变换
定义4 （P313）
线性变换可逆的充要条件
例2 （P314）
线性变换的多项式的概念 (阅读内容).
OpenCV線性代數-線性映射,矩陣變換
2008-11-01 00:58
線性映射(Linear transformation),是由向量為基礎的映射函式,在OpenCV內標準的向量表達方式為通道的向量,也就是今天為一組三通道所組成的圖形,則圖形內的個別值則代表一個向量,cvTransform()則是為此而做的轉換,下面則是簡單的一個通道向量的運算
簡單線性映射實作
#include
#include
#include
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols,int Channels);
float Array1[]={4,1,0,2,1,1,3,2,1,1,4,1.5};
float Array2[]={2,1,2};
int main()
{
CvMat *A=cvCreateMat(4,3,CV_32FC1);
CvMat *x=cvCreateMat(1,1,CV_32FC3);
CvMat *T_x=cvCreateMat(1,1,CV_32FC4);
cvSetData(A,Array1,A->step);
cvSetData(x,Array2,x->step);
cvTransform(x,T_x,A);
PrintMatrix(T_x,T_x->rows,T_x->cols,4);
system("pause");
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix,int Rows,int Cols,int Channels)
{
for(int i=0;i
{
for(int j=0;j
{
for(int k=0;k
{
线性代数之——线性变换及对应矩阵
1. 线性变换的概念
当⼀个矩阵 A 乘以⼀个向量 \boldsymbol v 时，它将 \boldsymbol v 变换到另⼀个向量 A\boldsymbol v。进来的是 \boldsymbol v，出去的是T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v。⼀个变换 T 就像⼀个函数⼀样，进来⼀个数字 x，得到 f(x)。但更⾼的⽬标是⼀次考虑所有的
\boldsymbol v，我们是将整个空间 \boldsymbol V 进⾏变换当我们⽤ A 乘以每⼀个向量 \boldsymbol v 时。
⼀个变换 T，为空间 \boldsymbol V 中的每⼀个向量 \boldsymbol v 分配⼀个输出 T( \boldsymbol v)。这个变换是线性的，如果它
满⾜：
(a) \quad T(\boldsymbol v+\boldsymbol w)=T(\boldsymbol v) + T(\boldsymbol w) \quad (b) \quad T(c\boldsymbol v)=cT(\boldsymbol v)
\space 对任意 \space c \space 成⽴
我们可以将这两个条件结合成⼀个，
T(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cT(\boldsymbol v) + dT(\boldsymbol w)
矩阵相乘满⾜线性变化，因为 A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w 始终成⽴。
线性变换满⾜线到线，三⾓形到三⾓形，看下图。
在⼀条线上的三个点经过变换后仍然在⼀条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输⼊是⼀个三⾓形变换后输出还是⼀个三⾓
形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有⾃⼰的语⾔，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，⽐如列空间包含所有的线性组合 Av，零空间
1 线性代数教学教案
第五章 线性空间与线性变换
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第五章 第一节 线性空间的定义与性质 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 线性空间与子空间的概念、线性空间的性质 教学难点 线性空间、子空间的判定
参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题
大纲要求 了解线性空间和子空间的概念；
了解线性空间的性质。
教 学 基 本 内 容
一、 线性空间的定义：
定义1：设V是一个非空集合，为实数域. 对于任意两个元素,V，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的和，记作. 对于中任一数与V中任一元素，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的数量乘积，记作.如果这两种运算满足以下八条运算规律(设,,;,V):
(i) 加法交换律：；
(ii) 加法结合律： ；
(iii) 在V中存在零元素0；对于任何V，都有是0；
(iv) 负元素：对于任何V，都有是的负元素V，使0；
(v) 1 ；
(vi) ；
(vii) ； 2 (viii) ；
那么，V就称为实数域上的线性空间.
二、线性空间的性质：
性质1 零元素是唯一的.
性质2 任一元素的负元素是唯一的（以后 将的负元素记作）.
性质3 ;;01000.
性质4 如果0，则0或0.
三、线性空间的子空间：
定义2：设V是实数域上线性空间，W是V的一个非空子集. 如果W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间.
