圆周角定理及运用

第1篇

一、引言

圆周角是圆中的重要概念之一，它是指圆周上任意两点所夹的角。在圆中，许多性质和定理都与圆周角有关。其中，直径所对圆周角为90度定理是圆周角性质中的重要定理之一。本文将详细介绍该定理的定义、证明过程以及在实际问题中的应用。

二、定理内容

直径所对圆周角为90度定理：设圆O中，AB为直径，P为圆上任意一点，连接AP、BP，则∠APB=90°。

三、证明过程

证明一：圆内接四边形性质证明

（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。在圆上取一点P，连接AP、BP。

（2）证明：根据圆内接四边形性质，圆内接四边形的对角互补，即∠APB+∠AOB=180°。

（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。代入上述等式得：∠APB+90°=180°。

（4）解得：∠APB=90°。

证明二：圆周角定理证明

（1）作图：以O为圆心，AB为直径，作圆O。在圆上取一点P，连接AP、BP。

（2）证明：根据圆周角定理，圆周角等于所对圆心角的一半。

（3）因为AB为直径，所以∠AOB=90°。代入上述等式得：∠APB=∠AOB/2=90°/2=45°。

（4）又因为∠APB是圆周角，所以∠APB=∠AOB=90°。

四、定理应用

1. 圆周角定理的应用

在解决与圆周角有关的问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理。例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来求解。 2. 构造圆周角

在解决实际问题中，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角。例如，在求解直角三角形中，我们可以利用圆周角定理和直径所对圆周角为90度定理来构造圆周角，进而求解直角三角形的边长。

3. 判断圆心位置

在解决一些几何问题时，我们可以利用直径所对圆周角为90度定理来判断圆心的位置。例如，在解决圆内接四边形问题时，我们可以通过判断圆周角是否为90度来确定圆心的位置。

五、总结

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。

以下分五种情况证明

【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：

图1

连接AO，并延长AO交⊙O于D

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：

图2

连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。

解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）

∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。）

【证明】情况4：圆心角等于180°：

圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，

∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）

∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）

∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度

第 1 页 共 12 页 圆周角定理及其运用

1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是 。

2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。

（1） 求证：OD∥AC； （2） 若AC＝8，AB＝10，求AD。

知识点一 圆周角定理及其推论

【知识梳理】

1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

第 2 页 共 12 页 （3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：

推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲一】

例1.1、如图，已知A（32，0）、B（0，2），点P为△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则P点坐标为 。

（第1题） （第2题）

2、如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（ ）

A．46° B．72° C．64° D．36°

[圆周角定理ppt]圆周角定理

圆周角定理篇1:《圆周角的概念和圆周角定理》备课教案

教材分析

1本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索。

2．圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。

学情分析

九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知规律，数学思想的学习不可能“一步到位”，应当逐步递进、螺旋上升。 在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到内化，体现“主动获取，落实双基，发展能力”的原则。

教学目标

（1）知识目标：

1、理解圆周角的概念。

2、经历探索圆周角与它所对的弧的关系的过程，了解并证明圆周角定理及其推论。 3、有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法。

（2）能力目标：

引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力，提高数学素养。

（3）情感、态度与价值观的目标：

1、创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造“民主”“和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。

2、培养学生以严谨求实的态度思考数学。

教学重点和难点

探索并证明圆周角与它所对的弧的关系是本课时的重点。

用分类、化归思想合情推理验证“圆周角与它所对的弧的关系”是本课时的难点。

圆周角定理篇2:高中圆知识点总结

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；