第3讲 实数的有关概念及性质
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学而之教育 2018秋8年级数学讲义 健康 快乐 成才 成功
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1 第3讲 实数的有关概念及性质
【学习目标】
掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质
【教学重难点】
算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质
考点1：平方根
知识点与方法技巧梳理：
1．平方根：一个数x的平方等于a，即x 2＝a（a≥0），那么这个数x叫做a的平方根．
2．平方根的表示方法：
①当a≥0时，a的平方根记为±a （特别地，0 ＝0）；
②当a＜0时，a没有平方根．
3．平方根的性质：
①一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数；
②0有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根．
【例1】判断下列说法是否正确：
（1）25的平方根是±5（ ）
（2）|－9|的平方根是3（ ）
（3）－8是64的平方根（ ）
【变式】填空：
（1）0.04的平方根是_________．
（2）若a是x的一个平方根，则x的另一个平方根是_________．
（3）若a 2＝( －7 )2，则a＝_________．
（4）平方根是它本身的数是_________．
【例2】求下列各数的平方根：
（1）1.44 （2）2 2 49 （3）10 －4 （4）|－3 1 16 | （5）29 2－20 2
【变式】求下列各数的平方根：
（1）2.89 （2）3 6 25 （3）0.000001 （4）|－2 41 64 | （5）85 2－36 2
考点2：算术平方根
知识点与方法技巧梳理：
1．算术平方根：
①正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a ；
②特别地，0的算术平方根是0．
2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a ≥0．
3．（1）( a
)2＝a（a≥0）；（2） a 2 ＝| a|＝
a（a＞0）a（a＝0）－a（a＜0）
【例1】判断下列说法是否正确：
（1）361 ＝±19；（ ） （2）27是( －27 )2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ） 学而之教育 2018秋8年级数学讲义 健康 快乐 成才 成功
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2 【变式1】下列说法错误的是（ ）
A．4是16的平方根 B．1的平方根是1
C．( －3 )2的平方根是±3 D．10－100的算术平方根是10－50
【变式2】填空：
（1）49的平方根是_________，225 的算术平方根是_________．
（2）若a 2 ＝m，则a＝_________．
（3）( a )2＝_________（a≥0）； a 2 ＝_________．
（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．
（5）若22xx有意义，则x＋11的平方根是_________，算术平方根是_________．
（6）a 2的算术平方根是_________，( 3－π )2的算术平方根是_________．
（7）若2(3)3ab＝0，则20172017ab＝_________．
（8）若4a＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是__________．
【例2】求下列各数的算术平方根：
（1） 1 79 （2）( － 3 5 )2 （3）8 －2 （4）64 （5）0.01 （6）26 2－10 2
【变式】求下列各数的算术平方根：
（1）3 625 （2）－( － 1 9 )3 （3）14 －4 （4）81 （5）1210 （6）37 2－12 2
考点3：平方根和算术平方根的运用
知识点与方法技巧梳理：
1．开平方：
①求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫被开方数．开平方和平方互为逆运算．
②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算．
③平方与开平方互为逆运算．
2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．
【例1】计算：
（1）( －7 )2 （2）( 5.7
)2
【变式】计算：
（1）1 4 0.64 － 1 5 100 （2）2.56 × 25 64
【例2】利用平方根解方程：
（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x－1 )2＝49
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3 【变式】利用平方根解方程：
（1）25( x 2＋2 )＝86 （2）( 3x－2 )2＝( －7 )2
【例3】若| 2x＋3|＋4x－y ＝0，求x、y的值．
【变式】已知| 3a－2|＋2a＋3b ＝0，求a＋b的值．
考点4：无理数
知识点与方法技巧梳理：
无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．
【例】在①0，②10，③－ π 5 ，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．
【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）
A． 4 7 B．225 C．3 π D．4925
考点5：立方根
知识点与方法技巧梳理：
1．立方根的概念：如果x 3＝a，则x叫做a的立方根（也叫做三次方根），记作3a．
2．立方根的性质：
①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是4，记作364＝4；
②零的立方根是零，记作30＝0；
③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－2，记作382．
任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同．
两个互为相反数的数的立方根也互为相反数．
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是－2 B．1的立方根是±1 C．若x＜0，则33()xx D．0没有立方根
【变式】下列说法正确的是（ ）
A．－4没有立方根 B．8的立方根是±2 C．136的立方根是16 D．－5的立方根是35
【例2】求下列各数的立方根：
①－216 ②0.125 ③61164 ④9
【变式】求下列各数的立方根：
①343 ②－0.216 ③－1558 ④3(11)
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考点6：立方根的运算
知识点与方法技巧梳理：
1．开立方：
①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．
②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．
2．①33aa ②33()aa ③33()aa
第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．
3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．
【例1】求下列各式的值：
①33(13) ②312527 ③310.936 ④3125225
【变式】求下列各式的值：
①3512 ②3932125 ③30.6571 ④311697293 ⑤33－(381－324）
【例2】若30.3x，30.03y，则x∶y＝_________．
【变式1】若3200a，则30.2__________；若30.34m，则3340__________．
【例3】利用立方根解方程：
①27x 3＝－64 ②( －3＋x )3＝216 ③33x＝－5 ④64( x＋1 )3＋125＝0
【变式】利用立方根解方程：
①334364x＝0 ②( 4x＋3 )3＝－8 ③356x＝－6 ④1000－27( x－2 )3＝0
考点7：实数
知识点与方法技巧梳理：
1．实数：有理数和无理数统称为实数．
2．实数的分类 ：无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(
3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大． 学而之教育 2018秋8年级数学讲义 健康 快乐 成才 成功
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5 4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．
5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同．
【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：
2，13 11 ，8，π 2 ，－2，－7.77，0，3125，0.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）
【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：
正实数集合：{____________________________________________________…}；
分数集合{____________________________________________________…}．
【例2】15的整数部分是__________，小数部分是__________．
【变式1】2介于（ ）
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间
D．2和3之间
【变式2】比较下列各组数的大小：（1）364______15； （2）－π______－6．
【变式3】3－23的相反数是____________，3－23的绝对值是____________．
