初中与高中数学衔接教案
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初中与高中的衔接数学教案教学目标:通过本课学习,学生将能够熟练掌握初中数学知识,为高中数学学习奠定良好基础。
教学内容:初中与高中数学知识的衔接,包括初中数学知识的复习与延伸,高中数学知识的引入。
教学重点:初中数学知识的回顾与巩固,高中数学知识的初步引入与理解。
教学难点:初中数学知识与高中数学知识的衔接,学生需要跨越知识的边界,理清逻辑关系。
教学准备:教师准备好教案、教材、多媒体设备等教学工具;学生准备好课本、笔记本和笔等学习用具。
教学步骤:1.复习初中数学知识。
教师可以通过课堂互动让学生回顾和巩固初中数学知识,如方程、函数、几何等内容。
2.引入高中数学知识。
教师可以简要介绍高中数学的内容和学习方法,让学生做好学习准备。
3.进行知识衔接。
教师可以通过案例讲解初中数学知识与高中数学知识的联系和衔接,引导学生拓展思路,加深理解。
4.分组讨论。
教师让学生小组合作讨论与解决一些涉及初中和高中数学知识的问题,培养学生的合作与解决问题的能力。
5.总结与反思。
教师带领学生总结本节课的学习内容,学生反思自己的学习收获和不足之处,并提出问题。
教学评价:通过教师的现场观察、学生的表现以及课后作业的完成情况,对学生的学习情况进行评价,并提出建议和指导。
教学反思:教师根据教学过程和学生的反馈,总结本节课的教学效果和不足之处,为下一节课的教学改进提供参考。
扩展活动:为学生提供相关拓展资料或参加数学竞赛等活动,激发学生学习兴趣,促进数学能力的提升。
教学结束语:本节课的目标是让学生理清初中数学与高中数学之间的联系,帮助学生顺利过渡到高中数学学习阶段。
希望大家在今后的学习中能够积极探索,勇攀高峰!谢谢大家的认真听讲,下节课见!。
高中初中数学衔接教案一、教学目标:1. 知识与技能:使学生掌握初高中数学衔接知识点,理解初中和高中数学的差异,提高数学思维能力。
2. 过程与方法:通过对比分析、讨论交流等方法,引导学生自主探究初高中数学知识点,提高学生的数学素养。
3. 情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的自主学习能力,树立学生的自信心。
二、教学内容:1. 初高中数学差异:数与代数、几何、统计与概率等方面的差异。
2. 初高中数学衔接知识点:实数、函数、方程、不等式、解析几何、概率统计等。
三、教学过程:1. 导入:通过向学生介绍初高中数学的差异,引起学生的兴趣,激发学生的学习动机。
2. 对比分析:引导学生对比初中和高中数学的知识点,使学生了解初中和高中数学的差异。
3. 自主探究:让学生自主学习初高中数学衔接知识点,引导学生通过小组合作、讨论交流等方式,加深对知识点理解。
4. 案例分析:通过分析典型题目,使学生掌握初高中数学衔接知识点的应用。
5. 总结提升:对本节课的内容进行总结,强化学生的记忆,提高学生的数学素养。
6. 课后作业:布置适量作业,巩固所学知识,提高学生的实际应用能力。
四、教学策略:1. 情境教学:创设生动有趣的情境,激发学生的学习兴趣。
2. 启发式教学:引导学生自主探究,培养学生的数学思维能力。
3. 合作学习:组织学生进行小组合作、讨论交流,提高学生的合作能力。
4. 激励评价:关注学生的学习过程,给予及时的表扬和鼓励,提高学生的自信心。
五、教学评价:1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况,了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况:检查学生作业的完成质量,了解学生的掌握程度。
3. 考试成绩:通过考试,评估学生对知识的掌握程度和应用能力。
4. 学生反馈:听取学生的意见和建议,不断调整教学方法,提高教学质量。
六、教学资源:1. 教材:选用符合新课程标准的教材,为学生提供全面、系统的学习资源。
初中与高中衔接数学教案
教学目标:
1. 了解初中数学与高中数学的联系与区别;
2. 掌握初中数学知识在高中学习中的运用方法;
3. 培养学生数学思维和解题能力。
教学重点:
1. 初中数学知识在高中学习中的延伸和拓展;
2. 高中数学学习的思维方式和方法。
教学难点:
1. 高中数学知识与初中数学知识的衔接;
2. 高中数学题型的解题方法和策略。
教学准备:
1. 教材:初中数学教材、高中数学教材;
2. 备课资料:连接初中数学与高中数学的知识点和题型;
3. 教学工具:黑板、彩色粉笔、投影仪;
教学步骤:
一、导入(5分钟)
通过回顾初中数学知识,引出初中与高中数学的关系。
二、展示(10分钟)
展示初中数学知识在高中数学学习中的延伸和拓展,包括知识点、题型等。
三、讲解(20分钟)
详细讲解初中数学知识在高中学习中的运用方法和技巧,引导学生掌握解题思路。
四、练习(15分钟)
让学生进行相关练习,巩固初中数学知识并提高解题能力。
五、小结(5分钟)
总结本节课的重点和难点,让学生明确初中与高中数学的衔接之处。
六、拓展(5分钟)
引导学生学会自主拓展学习,发现初中与高中数学之间的联系,并提出问题进行讨论。
七、作业布置(5分钟)
布置相关练习题作业,帮助学生巩固所学内容。
教学反思:
通过本节课的教学,学生对初中与高中数学的衔接有了深入的了解,掌握了相关的解题方法和技巧。
教师要及时总结反思,不断改进教学方法,提高教学效果。
初高中知识衔接数学教案教学内容:初中数学与高中数学知识的衔接教学目标:1. 了解初中数学和高中数学之间的知识衔接关系;2. 掌握数学知识的渐进性和深入性;3. 提高学生对数学学习的兴趣和动力。
教学重点:1. 初中数学和高中数学知识的衔接点;2. 渐进式学习方法的应用。
教学难点:1. 高中数学对初中数学知识的深入理解;2. 如何利用初中数学知识快速适应高中数学学习。
教学准备:1. 教材:初中数学教材、高中数学教材;2. 教具:黑板、彩色粉笔、计算器等。
教学步骤:第一步:导入(5分钟)教师简单介绍初中数学和高中数学之间的知识衔接关系,引导学生对今天的学习内容产生兴趣。
第二步:理论讲解(15分钟)1. 教师通过对几个例题的讲解,让学生了解初中数学和高中数学之间的知识衔接点;2. 教师讲解数学知识的渐进性和深入性,引导学生明确学习目标。
第三步:实例练习(20分钟)1. 学生在教师的指导下完成一些衔接性的习题,加深对知识点的理解;2. 学生自主练习,并彼此交流讨论。
第四步:课堂讨论(10分钟)学生就学习过程中遇到的问题进行讨论和解答,教师及时纠正学生的错误理解。
第五步:拓展延伸(10分钟)1. 学生进行拓展延伸练习,进一步加深对知识点的理解;2. 学生通过实际问题的解决,巩固所学知识。
第六步:作业布置(5分钟)布置相关作业,巩固所学知识。
教学反思:通过本节课的学习,学生对初中数学和高中数学之间的知识衔接有了更深入的了解,对数学学习的兴趣有所提高。
在日后的教学中,要加强对初中数学知识的深度学习,以便更好地适应高中数学学习的要求。
同时,要注重渐进式学习方法的应用,帮助学生更好地掌握数学知识。
初高中数学衔接教案
教学目标:使学生能够顺利过渡从初中数学到高中数学,掌握所需基础知识和方法
重点难点:初中数学基础概念与高中数学深入理解的衔接,数学知识的逻辑性和抽象性,
学习方法和思维方式的转变
教学内容:
1. 复习初中数学重要知识点,如代数、几何、概率与统计等;
2. 讲解高中数学常见概念和方法,如函数、导数、积分等;
3. 拓展初中数学知识,引导学生学习更深层次和抽象性的数学内容;
教学步骤:
一、复习初中数学知识(30分钟)
1. 复习代数知识,如多项式、方程、不等式等;
2. 复习几何知识,如平面几何、立体几何等;
3. 复习概率与统计知识,如排列组合、概率计算等;
二、讲解高中数学概念方法(40分钟)
1. 引入高中数学常见概念,如函数的概念和基本性质;
2. 讲解导数和积分的初步概念和意义;
3. 演示高中数学解题方法和思维方式;
三、拓展深入数学知识(30分钟)
1. 引入高中数学中更深层次和抽象性的内容,如极限、微分方程等;
2. 演示高中数学的解题方法和证明步骤;
3. 指导学生如何应对高中数学学习的挑战和困难;
教学反馈:通过课堂练习和作业检查,评估学生对初高中数学衔接的掌握情况,并及时给
予指导和帮助。
教学延伸:组织学生进行数学竞赛、参加数学社团或研究小组等活动,拓宽学生数学视野,提高数学思维能力和解题能力。
教学评价:通过课后测试和作业绩效,评估学生对初高中数学衔接知识和方法的掌握情况以及学习态度和进步情况。
教学反思:根据学生的学习反馈和表现,调整教学内容和方法,及时帮助学生解决学习困难,推动学生数学学习的持续发展和提高。
初中到高中的数学衔接教案教学目标:1. 复习和巩固初中数学知识,尤其是数学基础知识;2. 引导学生了解高中数学学科的性质和要求,培养学生的学习兴趣和学科自信心;3. 培养学生的数学思维,提高他们的数学问题解决能力;4. 帮助学生树立正确的学习态度,促使他们主动学习和积极思考。
教学重点:1. 复习和巩固初中数学知识点;2. 讲解高中数学学科的性质和要求;3. 引导学生进行数学综合应用训练,提高他们的解决问题能力。
教学难点:1. 如何将初中数学知识与高中数学知识进行衔接;2. 如何引导学生逐步适应高中数学的学习节奏和难度。
教学过程:一、复习阶段1. 复习初中数学知识,包括代数、几何、概率等知识点;2. 引导学生进行相关练习和整理知识点。
二、引入高中数学学科1. 讲解高中数学学科的性质和要求,引导学生了解高中数学学科的内容和发展方向;2. 带领学生了解高中数学课程结构和考试要求。
三、数学综合应用训练1. 给学生提供一些数学综合应用题,让他们运用所学知识进行解答;2. 引导学生讨论解题方法和策略,加深对数学问题解决过程的理解;3. 鼓励学生积极思考和探究,激发他们对数学学科的兴趣和热情。
四、课堂总结1. 总结本节课的学习要点和重点,强调数学学科的学习态度和方法;2. 鼓励学生继续努力,加强数学知识的掌握和应用能力。
五、课后作业1. 布置适量的数学综合应用题,让学生巩固和深化所学知识;2. 鼓励学生主动思考和解决问题,培养他们的自主学习能力。
教学反思:通过本节课的教学,学生对高中数学学科有了初步的了解,对数学问题的解决能力也有所提高。
在后续的教学过程中,应根据学生的实际情况和学习需求,进一步引导他们逐步适应高中数学学科,并努力提高数学能力和综合素质。
初中到高中的数学过渡教案
目标:帮助初中生顺利过渡到高中数学学习,建立良好的数学基础。
一、知识回顾
1. 复习初中数学知识,包括代数、几何、概率、统计等方面的基础知识。
2. 复习重要的数学公式和定理,如勾股定理、二次函数的性质等。
二、引入高中数学知识
1. 引入高中数学的学习内容,包括解析几何、微积分、线性代数等方面的知识。
2. 强调高中数学与初中数学的联系与区别,引导学生逐步适应高中数学的学习模式。
三、解题方法
1. 教授高中数学的解题方法,如建立数学模型、运用数学定理等。
2. 练习高中数学的典型例题,培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、课外拓展
1. 鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动,拓展数学知识。
2. 提供数学学习资源,引导学生通过自主学习提高数学水平。
五、总结反思
1. 总结本次数学过渡教学内容,强调数学学习的重要性。
2. 引导学生反思学习方法,制定学习计划,加强数学学习意识。
本次数学过渡教学旨在帮助学生顺利地过渡到高中数学学习,建立扎实的数学基础,为将来的学习打下坚实的基础。
希望同学们在学习中能够认真对待,勤奋学习,取得优异的成绩。
祝愿各位同学数学学习进步!。
初高中数学衔接知识教案教学目标:1. 知识技能:学生理解和掌握初中数学和高中数学之间的衔接知识,能够运用这些知识解决实际问题。
2. 过程方法:通过教师讲解、学生互动讨论和练习演练等方式,引导学生逐步掌握数学衔接知识。
3. 情感态度:培养学生对数学的兴趣和自信心,激发学生学习数学的积极性和主动性。
教学内容:1. 平面直角坐标系:引导学生理解平面直角坐标系的概念,掌握坐标系中点的坐标计算方法。
2. 直线方程:讲解一元一次方程的求解方法,引导学生理解直线的斜率和截距,能够根据斜率截距式写出直线方程。
3. 多项式的加减乘除:通过应用实际例题,让学生掌握多项式的加减乘除运算规则和方法。
4. 函数的概念与性质:解释函数的概念,培养学生对函数的理解能力,讲解函数的性质和分类。
教学步骤:1. 引入:通过生动的例题引入,激发学生的学习兴趣。
2. 讲解:教师讲解相关知识点,引导学生逐步理解和掌握。
3. 练习:学生进行练习和讨论,巩固所学知识。
4. 拓展:通过拓展性的练习,帮助学生加深对知识的理解和应用。
5. 总结:对本节课所学内容进行总结,巩固学生的学习成果。
教学资源:1. 课件资源:使用电子课件展示相关知识点,方便学生理解和记忆。
2. 练习资源:准备相关练习题,让学生进行巩固和提高。
评价方式:1. 学生表现:通过课堂练习和讨论,观察学生对数学衔接知识的理解和掌握情况。
2. 学习态度:在课后作业中,观察学生的学习态度和作业完成情况,对学生进行评价和鼓励。
扩展拓展:教师可以设计一些拓展性的问题和练习,引导学生进行深入思考和探究,拓展数学衔接知识在实际问题中的应用。
同时,鼓励学生积极参加数学竞赛和活动,进一步提高数学学习的兴趣和水平。
初中高中数学衔接教案年级:初中、高中主题:数学知识衔接与拓展教学目标:通过本节课的学习,学生能够了解初中数学与高中数学之间的衔接关系,掌握初中数学的知识点,并为将来的高中数学学习打下良好的基础。
教学内容:1. 复习初中数学的知识点,包括整数、分数、代数、几何等内容。
2. 探讨初中数学与高中数学之间的联系,了解高中数学对初中数学知识点的深度和拓展。
3. 学习高中数学的一些基本概念,如函数、导数、积分等。
教学重点:初中数学与高中数学的知识衔接关系,高中数学基本概念的学习。
教学难点:初中数学知识的深入理解和高中数学概念的把握。
教学过程:1. 导入:通过提出一个数学问题或者对初中数学知识进行简单回顾,引起学生的兴趣和思考。
2. 学习初中数学知识:教师对初中数学知识进行系统地复习和讲解,让学生回顾并巩固知识点。
3. 探讨数学衔接关系:让学生分组或小组讨论初中数学和高中数学之间的联系,引导学生思考其中的规律和逻辑关系。
4. 学习高中数学概念:教师简要介绍一些高中数学基本概念,让学生初步了解高中数学的内容和要求。
5. 练习与巩固:设计一些练习题让学生巩固所学的知识点,帮助他们更好地理解和掌握初中数学和高中数学的衔接关系。
6. 总结与展望:引导学生总结本节课的学习内容,并展望将来高中数学学习的挑战和机遇。
教学方式:讲授、讨论、练习、总结。
教学工具:黑板、书本、习题册等。
教学评价:通过学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多种方式对学生的学习情况进行评价和反馈,及时发现问题和改进教学方法。
教学反思:教师要不断思考和总结教学过程中的不足之处,积极寻求改进和提高教学质量,为学生的数学学习营造更好的环境和条件。
补充说明:本节课仅为初中数学与高中数学衔接教学的一次尝试,希望能够通过合理的设计和教学方式,为学生的数学学习之路打下坚实的基础。
初高中数学衔接课教案设计教学目标:1. 理解初中数学与高中数学的衔接关系;2. 掌握初中数学与高中数学的重要知识点;3. 能够有效地应用初中数学知识解决高中数学问题。
教学内容:1. 初中数学与高中数学的联系与差异;2. 初高中数学知识点的重点复习;3. 初高中数学知识点的拓展应用。
教学重点:1. 理解初中数学与高中数学的衔接关系;2. 掌握初中数学与高中数学的重要知识点;3. 能够应用初中数学知识解决高中数学问题。
教学难点:1. 熟练掌握初中数学知识,将其延伸运用到高中数学;2. 理解并解决初中数学与高中数学的联系问题。
教学方法:1. 讲授结合实例;2. 课堂练习与小组讨论;3. 课后作业与检查。
教学过程:一、导入(5分钟)引入初中数学与高中数学的衔接关系,激发学生学习的兴趣。
二、知识点复习(30分钟)1. 复习初中数学知识点,包括代数、几何、函数等;2. 强化初中数学知识点,为接下来的高中数学知识点做铺垫。
三、拓展应用(30分钟)1. 给予学生高中数学知识点的拓展应用题目;2. 让学生灵活运用初中数学知识解决高中数学问题。
四、课堂练习(20分钟)1. 学生个人或小组合作完成练习题;2. 教师指导学生解题方法和思路。
五、课堂讨论(10分钟)1. 学生讨论解题方法和答案;2. 教师及时纠正学生的错误,指导学生正确解题。
六、作业布置(5分钟)布置相关作业并要求学生在规定时间内完成。
教学反思:通过本节课的设计,学生能够更好地理解初中与高中数学的衔接关系,掌握重要知识点,并能够灵活应用数学知识解决问题。
下节课继续巩固和提升学生数学水平。
初中与高中数学衔接中的因式分解高中数学中,式子的恒等变形是非常重要的数学变换,其中因式分解尤为重要。
根据需要,在对一些式子整体分解或局部分解是高中数学学习中作为学生必须具备的基本技能,但由于初中阶段新的课程标准中对因式分解,较以往的标准降低了要求,所以刚上高中的学生来说,在学习数学中遇到或多或少的困难。
为此,本文根据高中阶段所需要的有关因式分解的要求,将初中阶段所学的因式分解的基础上加以补充和拓宽。
现行的初中教材中,因式分解只介绍两种方法,即“提取公因式法”和“运用公式法”。
实际因式分解还有两种方法需要掌握,即“十字相乘法”和“分组分解法”,而这两种方法在高中数学中都有用途,所以本文对因式分解的本质介绍的前提下,重点介绍后两种方法。
一、因式分解的概念在现行初中教材中的因式分解的概念:把一个多项式化为几个整式的乘积形式。
由概念不难看出,因式分解的本质就是经过恒等变形,将一个多项式化成几个整式的“乘积”的形式。
所以过程是恒等变形,结果是化成“乘积”的形式,所以关键是如何进行恒等变形的问题。
“提取公因式法”需要的过程是:将多项式每个项中所含的相同“结构”,即公因式提出来;“运用公式法”是从多项式的特殊“结构”,即逆向运用乘法公式的形式,运用公式分解因式。
这里还需要补充高中阶段能用到的适合分解因式的公式还有:33223322()()()()a b a b a ab b a b a b a ab b +=+-+-=-++二、十字相乘法我们来观察 22256(23)232323x x x x x x x ++=+++⨯=+++⨯ )3)(2()2(3)2(++=+++=x x x x x又有在我们学习乘法运算时有:ab x b a x b x a x +++=++)())((2 因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++注意观察上式的系数。
对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式q px x ++2,它的常数项可看作两个数,a 与b 的积,而一次项系数恰是a 与b 的和,它就可以分解为(x+a)(x+b),也就是令p=a+b ,q=ab 时,))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++,用此方法分解因式关键在于a 与b 的值的确定。
如何确定,看下面的“十字相乘”与分解因式之间的对应关系:1211()()()b a ab x a b x ab x a x b a b <⨯>⇔+++=+++ 即二次项系数和常数项分解以后重新相乘再加得到一次项系数,进而可以分解因式。
这样的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。
用此方法分解因式关键在于a 与b 的值的确定。
所以用“十字相乘法”分解因式的结构必须是“二次三项式”的形式。
例1:分解因式:(1)652+-x x(2)2142--x x分析:用十字相乘法分解因式时,首先要找准各项的系数和常数项,然后利用来分系数,使得左边两数乘积为二次项系数,右边两项乘积为常数项,交叉相乘后结果作和,应与一次项系数同,这样就分解出来了。
评注:十字相乘时,要注意二次项系数和常数项分解后的搭配问题,比如:(1)中十字相乘也可以有其他的方式,161116617--<⨯>--=-,但这种方式只适合于多项式276x x -+,而不是652+-x x 。
所以对每个二次三项式的分解因式,利用十字项乘法时,需要选择恰当的搭配才能成功。
同步练习:(1)256x x ++(2)232x x -+(3)234x x --(4)212x x --例2:分解因式(1)8224--x x(2)3)(4)(2++-+b a b a分析:要想用十字相乘法分解因式,应具备二次三项式的条件,有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式,也可以照上例方法进行因式分解,如(1)可以看作关于2x 的二次三项式(2)可以看作关于(a+b )的二次三项式。
同步练习:(1)4254x x -+(2)2232x y xy ++(3)2()3()4x y x y +++-例3:分解因式(1)2223y xy x +-(2)2222242153y a xy a x a --分析:当多项式中出现两个字母时,分解同前,只不过常数项也会出现字母,如(1)可以看作关于x 的二次三项式,则y 就当作常数处理。
(2)应先进行公因式的提取,再分解,记住,提取公因式是分解因式的第一步。
同步练习:(1)2256x xy y --(2)4224109x x y y -+例4:分解因式:(1)3722+-x x(2)22224954y y x y x --分析:当二次项系数不是1时,数的分解不太容易,应不断试一试几种可分的情况,同时注意符号的合理匹配。
同步练习:(1)232x x --(2)42244174x x y y -+三、分组分解法先看一个多项式的分解因式: ()()()()a b c a b d a b c d +++=++。
这个题目结构非常清楚,有公因式()a b +,所以直接提取即可。
但如果待分解因式的多项式是ac bc da bd +++,就不能直接提取公因式了,原因是把待分解的多项式由()()a b c a b d +++变形为比这个更原始的结构ac bc da bd +++,但我们知道两个式子是恒等的。
这种情况下,分解因式的过程自然就是:ac bc da bd +++()()()()a b c a b d a b c d =+++=++。
这样分解因式的方法叫做分组分解法,即将多项式适当分组后经过局部分解,化成可以整体分解的结构,最终可以整体分解的方法。
不难看出,运用分组分解法分解因式时,关键是分组,如何分组是这种方法运用当中的难点。
如何突破这个难点呢?分组的方式一般是多样的,其中首先要考虑能够局部分解,将多项式化成可以整体分解的结构。
例5 分解因式:(1)22222222a x b y a y b x +++(2)22224a ab b c -+-(3)222332x xy y x y -+-++(1)分析:在多项式22222222a x b y a y b x +++中,第一项和第三项有公因式2a ,而第二项和第四项也有公因式2b ,这样观察到局部有公因式可提取,即可完成分组这个关键步骤。
评注:这个多项式分组的方式还有一种,即第一项与第四项组合,第二项与第三项组合。
如何分组关键就是能否局部分解。
由于整体分解时运用的是“提取公因式法”,所以这种分组分解法可叫做“间接提取公因式法”。
(2)分析:在多项式22224a ab b c -+-中,前三项是完全平方式,而第四项除了负号也是完全平方形式,这样前三项分成一组,最后一项分成另一组就可以构造平方差的结构。
(2)解: 2222224()(2)(2)(2)a ab bc a b c a b c a b c -+-=--=-+--评注:这个多项式的分解因式中,其他分组的方式是不能进行分解因式的,比如前两项组合在一起,后两项组合在一起,虽然都能局部分解,但不能进行整体分解,所以这种分组的方式是失败的。
在对多项式的结构没有观察清楚的前提下,分组失败是经常出现的,但只要注意分组的方向,即恒等变形过程中,化成能够在局部分解的前提下,又能整体分解的结构,就能达到分解因式的目的。
由于整体分解时运用的是“运用公式法”,所以这种分组分解法可叫做“间接运用公式法”。
(3)分析:在多项式222332x xy y x y -+-++中,前三项是完全平方的结构,第四和第五有公因式3,最后一项做为常数项,即可构造十字相乘法的结构。
(2)此题是二元二次多项式的特殊结构(三个二次项构成完全平方式),实际只要是可分解的二元二次多项式,其他结构的分解因式也可以经过局部分解,最后整体分解时也可运用十字相乘法分解,所以第一种方法是有局限性的。
由于整体分解时运用的是“十字相乘法”,所以这种分组分解法可叫做“间接十字相乘法”。
同步练习:(1)22ab bc ad c d -+-(2)2222x y yz z -+-(3) 2244362x xy y x y -+-++*例6 分解因式:2232231x xy y x y -+-++分析:根据多项式的结构特点,经过分组和局部分解将它化成关于x 的二次三项的结构(或广义的十字相乘的结构),然后运用十字相乘法。
评注:本题除了上述两种方法之外,只要是经过分组和局部分解把多项式化成二次三项的形式,都能利用十字相乘法分解因式。
比如:经过分组和局部分解化成关于y 的二次三项式的结构22(23(1)(1))y x y x --+-,不难看出,把多项式可以看成关于(1)x -的二次三项式的结构等。
同步练习:(1)22632x xy y x y --+++*例7 分解因式:44x +分析:这个多项式不能直接运用上面所介绍的四种方法分解因式,原因是不属于三种方法的任何一种结构形式。
但由于将这个多项式可以看做关于2x 的二次式:即42224()2x x +=+,则容易想到配方成:42222224()2(2)4x x x x +=+=+-,这样就可以分解因式。
评注:另一个角度看,实际是将合并后的多项式还原成原来的结构:即44224444x x x x +=+-+,这样的过程我们可以说成是“填项或拆项分组法”,是“间接分组分解法”的一种。
初中阶段,我们更多的是“合并”同类项,但实际数学变形当中,“拆同类项”也是非常重要的,而且不同的是:“合并”的结果是唯一的,但“拆”的形式是无穷多种(如:222222211232 (22)x x x x x x x =+=-=-=),所以“拆”的时候要根据我们需要的结构“拆”得准才可以。
除了“填项或拆项分组法”这种“间接分组分解法”以外,有的多项式首先化简才能分组,这种分解因式的方法也属于“间接分组分解法”,这种方法就叫做“化简分组法”。
比如:多项式22()()ax by ay bx ++-的分解因式问题。
同步练习: 4224a a b b ++四、因式分解方法的系统归类综上所述,整个高中阶段的分解因式需要我们掌握的方法可归类为:⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎩提取公因式法运用公式法十字相乘法间接提取公因式法分解因式的方法直接分组法间接运用公式法间接十字相乘法分组分解法填项或拆项分组法间接分组分解法化简分组法 注意:1.因式分解的方法多样性是由多项式结构的多样性引起的,即针对不同结构的多项式,采用不同的方法分解因式,所以如何选择恰当的方法关键是观察多项式的结构特征。
观察的的顺序为:看是否有公因式→看是否公式结构→看是否二次三项式→看是否可分组,以上都行不同就可考虑利用间接分组分解法。