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左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

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左孝凌离散数学1

左孝凌离散数学1

4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
公式与翻译
• 联结词旳优先级：┐、∧、∨、→、。
则：
P∧Q→R 是合式公式
等价于Wff ： （（P∧Q）→R ）命题公式外层旳括号能够省略
等价于Wff ： （P∧Q）→R
不等价于Wff ： P∧（Q→R）
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）1.3命题
P Q ┐P∨Q
TT T TF F FT T
P→Q
T F T
FF T
T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
1.4.2 等价公式
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P↔ Q相应旳真值相同，如表1-4.6所示。
表1-4.6
P Q P↔Q TT T TF F FT F FF T
公式与翻译
• 1.3.2 复合命题旳符号化(翻译) • 自然语言旳语句用Wff 形式化：
① 要精确拟定原子命题，并将其形式化。 ② 要选用恰当旳联结词，尤其要善于辨认自然语言中旳联 结词（有时它们被省略），否定词旳位置要放精确。 ③ 必要时能够进行改述，即变化原来旳论述方式， 但要确保体现意思一致。 ④ 需要旳括号不能省略，而能够省略旳括号， 在需要提升公式可读性时亦可不省略。
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。
P Q R PQ (P Q) ∧R
00 0 00 1
01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表 与等价公式
例2：构造公式 (P Q) ∧R旳 真值表。

Chapter2_谓词逻辑2(34谓词公式与变元约束)

Chapter2_谓词逻辑2(34谓词公式与变元约束)

离散数学

从上述两个例子可以看出，命题的符号表达式与论域有关。当 论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为 特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词 。如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。 如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词 有关。 特性谓词的添加方法如下： 如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“→”；如 果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“∧”。

y的辖域为R(x,y)。

xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域
y的辖域
x的辖域
离散数学
一、概念 1、指导变元、作用域、约束变元、自由变元

量 词
约 束 变 元
自 由 变 元
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
通常，一个量词的辖域是公式的子公式。因 此，确定一个量词的辖域即是找出位于该量词之后 的相邻接的子公式，具体地讲： 若量词后有括号，则括号内的子公式就是该 量词的辖域； 若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为 该量词的辖域。 判定给定公式中个体变元是约束变元还是自 由变元，关键是要看它在公式中是约束出现，还是 自由出现。
离散数学

例题2
小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命 题可以表示为D(f(a)).

例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为: xy((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))

像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数，一般地用小写的 英文字母f,g,h….表示客体函数。

离散数学左孝陵第四章

离散数学左孝陵第四章
（1）f：X→Y中，若 x, y f ，则称x为自变量， 与x对应的y称作f作用下的象点（值）； 也可用y=f(x)表示 x, y f ，y称作函数f在x点处的值。
§1 函数的概念
（2）X中每一个元素均有定义， ∴函数f的定义域 domf X （3）对应于某一个 x X ，其值f(x)是唯一的，即
设A=，则A的后继集合可写成： A+={}={}，（A+）+={}{{}}={，{}} （（A+）+）+={，{}}{{，{}}}={，{}，{，{}}} 令：=0 则+=0+=1，（+）+=1+=2 上述求0的后继集合而得到N={0，1，2，} Peano公理 (1)0N (这里规定0=) (2) nNn+N (这里n+是n的后继数) (3)若SN，且(ⅰ)0S (ⅱ)nSn+S，则可得S=N
f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1 f (i )
3
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则： (1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f ( xi ) f ( x j ) 也是双射函数。
1.基数的概念 对于有限集：集合中不同元素的个数。 对于无限集：？ 是否所有无限集的基数都一样？ 为了比较两个集合的“大小”，确定有限集和无限集的概念， 我们首先引进自然数集合。

(完整版)离散数学课堂PPT(左孝凌版)

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例4将下列命题符号化。
(1)只要不下雨，我就骑自行车上班。
(2)只有不下雨，我才骑自行车上班。
(3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。
(3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。
(4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。
(5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。
解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上
∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是”
P Q P ∧Q
TT
T
TF
F
FT
F
FF
F
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。
解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
自然语言中的“或”具有二义性，有时表示
不相容的或。
例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥
性的或。
P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A

左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑

左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑

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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)

离散数学左孝陵版答案公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

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第4页
§1 谓词概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
（3）客体顺序必须是有要求。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 能够将命题函数命题，有两种办法：
第7页
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x) 个体域给定形式有二种： ①详细给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有个体从该域中取得。
第13页
§3谓词公式与翻译
写成符号形式：
x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.因为对个体描述性质刻划深度不同，可翻译 成不同形式谓词公式。
第14页
§4变元约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号能够省去。
第18页
§4变元约束
6.个体域（叙述域，客体域）:用特定集合表示 被约束变元取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题谓词公式形 式不同。 例：“全部人必死。”令D(x)，x是要死。
下面给出不同个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必 须首先从任意域中分离出来，
(b)每一个自然数都是偶数 x(N(x) E(x))

离散数学19.谓词公式与翻译

离散数学19.谓词公式与翻译
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零.
则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为：
（x)(E(x)∧S(x)).
（3）令D(x): x是有理数.F(x):x能表示成分数.则符号化为：
学情分析
学生已经掌握谓词的概念和表示方法，能充分理解量词的含义并能合理运用。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上教学视频，网络微课。
教学过程：
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其中x1,x2,...,xn是客体变元。
4）如果A是合式公式，x是A中的任何客体变元，则(x) A和(x) A也是合式公式；
5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式.
下面都是合式公式：
P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式：
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
谓词公式与翻译
授课章节
§2.3谓词公式与翻译
授课对象
数学与应用数学专业
教学目标
熟练掌握量词与联结词在谓词翻译里面的使用
教学方式
启发式
教学内容
谓词中量词与联结词的使用
教学重点
量词与联结词的使用
教学难点
谓词函数的使用
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，通过例子说明量词和联结词的使用方法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。

左孝凌离散数学PPT课件

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25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。

离散数学讲义第2章

离散数学讲义第2章
例2：H(x, y)：“x比y长得高”，l：“李四”，c：“张 三则” H(l, c)：“李四不比张三长得高”； H(l, c) H(c, l)：“李四不比张三长得高且张三不比 李四长得高”，即“李四与张三一样高”。
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或

左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

左孝凌离散数学课件2.3谓词公式与翻译

再对x和y加以限制
R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书
C(x)：x是红的 E(y)：y是图书
a ：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
a：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
R(a) Q(b) F (a, b)
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练习2
• 2、在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1） P63 (6)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚 的巨著. （2）P63 (7) :f在a点连续，当且仅当对每个ε>0，存在一个
δ >0，使得对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。
解: (1)设：S(x):x是大学生. A(x):x戴眼镜. B(x):x用功. E(y):y是大的. G(y):y是厚的. D(y):y是巨著. F(x,y):x看y.a:那位 b:这本 (1)符号化为: A(a)∧B(a)∧S(a)∧E(b)∧G(b)∧D(b)∧F(a,b)
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
对个体刻划深度 的不同就可翻译成 不同的谓词公式.

离散数学(2.3谓词公式与翻译)

离散数学(2.3谓词公式与翻译)
离散数学(Discrete Mathematics)
1
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and its expression) 2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers) 2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae) 2.4变元的约束(Bound of variable) 2.5谓词演算的等价式与蕴含式(Equivalences &
implications of predicate calculus)
2.6前束范式(Prenex normal form)
2.7谓词演算的推理理论(Inference theory of predicate calculus)
2
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.3谓词公式与翻译(Predicate formulae)
5
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &
Quantifiers)
• 例2：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y)))
(Q(δ,0)∧(Q(δ , x a)Q(ε,
f ( x) f ()a ) ). ))
8
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions &

离散 左孝凌 第2章 谓词逻辑

离散 左孝凌 第2章 谓词逻辑

第2章 谓词逻辑
用归谬法证明。 ⑴¬ (x)B(x) ⑵ (x)¬ B(x) ⑶¬ B(s) ⑷ (x)(A(x)∨B(x)) ⑸ A(s)∨B(s) ⑹ A(s) ⑺ (x)¬ A(x) ⑻¬ A(s) ⑼ A(s)∧¬ A(s)(矛盾)
第2章 谓词逻辑
⑷存在推广规则(EG规则) A(c)(x)A(x) 此式成立的条件是： ① c是个体域中确定的个体。 ② x不能是出现在A(c)中的个体变元。 存在推广规则说明：对于个体域中的某个个体c满足 谓词A，当然有(x)A(x)。
第2章 谓词逻辑
【例2.19】证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉 底是人，苏格拉底要死。 设： H(x)：x是人。 M(x)：x是要死的。 s：苏格拉底。 本题要证明：(x)(H(x)→M(x))∧H(s)M(s) 证明： ⑴ (x)(H(x)→M(x)) P ⑵ H(s)→M(s) US⑴ ⑶ H(s) P ⑷ M(s) T⑵⑶假言推理
第2章 谓词逻辑
【例2.15】证明 (x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) 解： 由第一式可得： (x)¬ A(x)∨(x)B(x)(x)(¬ A(x)∨¬ B(x)) 而 (x)¬ A(x)∨(x)¬ B(x)¬ (x)A(x)∨¬ (x) B(x) ¬ ((x)A(x)∧(x) B(x)) (x)(¬ A(x)∨¬ B(x))(x)¬(A(x)∧B(x)) ¬ (x)(A(x)∧B(x)) 故有 ¬ ((x)A(x)∧(x) B(x))¬ (x)(A(x)∧B(x)) 由双条件否定等价式有 (x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x) B(x) 第三、四式可以类似推出。
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第2章 谓词逻辑
1．命题逻辑中的等价式的推广 如¬ (p∨q)¬ p∧¬ q，故¬ (p∨q)↔(¬ p∧¬ q)为永真式， 用(x)P(x) 代替p，(y)R(y)代替q，得到永真式： ¬ ((x)P(x)∨(y)R(y))↔(¬ (x)P(x)∧¬ (y)R(y)) 所以 ¬ ((x)P(x)∨(y)R(y))¬ (x)P(x)∧¬ (y)R(y) 2．消去量词等价式 设个体域为有限集a1，a2，„，an，A(x)是含自由变元 x的任意谓词公式，有下列等价式成立： (x)A(x)A(a1)∧A(a2)∧„∧A(an) (x)A(x)A(a1)∨A(a2)∨„∨A(an) 3．量词否定等价式 设A(x)是含自由变元x的任意谓词公式。则 ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x) ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x) 约定，量词之前的否定联结词，不是否定该量词，而是 否定该量词及其辖域。

左孝凌离散数学优秀PPT课件

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之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
CHENLI
10
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。
原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。 1.1.3 命题的分类： 简单/原子命题：不能分解为更简单的陈述语句的命题(如
1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
CHENLI
13
在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命
CHENLI
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
CHENLI
4
2021/3/9
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
离散数学( ) Discrete Mathematics
CHENLI
1
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的哲 学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七世纪， 德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称 为数理逻辑(或符号逻辑)。
1.1.2 命题的表示方法

离散数学19.谓词公式与翻译

离散数学19.谓词公式与翻译
谓词合式公式也叫谓词公式，简称ห้องสมุดไป่ตู้式.
下面都是合式公式： P，(P→Q)，(Q(x)∧P)，(x)(A(x)→B(x))，(x)C(x)
而下面都不是合式公式： xyP(x) ，P(x)∧Q(x)x.
为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边 有括号，则此括号不能省. 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号不是最外 层括号，所以不可以省略.
谓词公式与翻译
一、谓词合式公式
定义：称n元谓词A(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式，其 中x1,x2,...,xn 是客体变元。
例如 Q, A(x) , A(x,y), A(x,f(x)), B(x,y,z), B(x,a,b) 都 是原子谓词公式。
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1）原子谓词公式是合式公式； 2）如果A是合式公式，则A也是合式公式； 3）如果A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB)都是合式公式； 4）如果A是合式公式，X是A中的任何客体变元，则(X) A和 (X) A也是合式公式； 5)只有经过有限次地应用规则(1)-(4)所得的公式是合式公式.
P(|x-a|,0))→Q(|f(x)-b|, )).
例1 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零. （2）存在小于2的素数. （3）没有不能表示成分数的有理数. （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩.
解：（1）令F(x): x是正数.M(x):x大于零. 则符号化为：（x）(F(x)M(x)).
（2）令E(x): x小于2. S(x):x是素数.则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)).
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例2 对任意小的正数，存在一个正数，使得当
0<|x-a|<时，有|f(x)-b|<.此时称 lim f x b . xa 解：令P(x,y)表示“x大于y”, Q(x,y)表示“x小于y”,故 lim f x b 可命题符号化为： xa ( )( ) (x)(((P(,0)→P(,0))∧Q(|x-a|,)∧

离散数学讲义ppt课件

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课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
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课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
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课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
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课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
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NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
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2-3 谓词公式的翻译

2-3 谓词公式的翻译
§2.3.1 个体域的选取
全总个体域
西安电子科技大学 软件学院
为了方便和统一，通常将所有变元的个体域 均指定为全总个体域。
§2.3.2 特性谓词
西安电子科技大学 软件学院
变元的论域统一取全总个体域后，变元所能取的个体范围都 确定为所有可能的个体，但具体的命题讨论的往往是确定的 一类对象，这样首先要将讨论的个体范围具体化，这就用到 了特性谓词。
⇔
¬(∃x)(R(x)∧(∀y)( R(y)→L(x,y))
§2.3.3 谓词公式的翻译
西安电子科技大学 软件学院
【例题】在全总个体域中将下些语句翻译成谓词公式。 （a）每个自然数都有是其直接后继的自然数； （b）每个自然数都有唯一的是其直接后继的自然数； （c）除0以外，每个自然数都有是其直接前驱的自然数。 解答：设P(x): x是自然数，N(x,y): x是y的直接后继, E(x,y):x=y. （a）翻译为: (∀x)(P(x)→(∃y)( P(y)∧N(y,x))) （b）翻译为: (∀x)(P(x)→(∃y)( P(y)∧N(y,x)∧ ¬(∃z)(P(z)∧¬E(z,y)∧N(z,x)))) （c）翻译为: (∀ x)(P(x)∧¬E(x,0) →(∃y)( P(y)∧N(x,y)))
§2.3.3 谓词公式的翻译
【例题】判断下列命题是否等价。 （a）金子都是闪光的； （b）没有不闪光的金子； （c）闪光的不都是金子； （d）有些东西虽然闪光但不是金子。 解答：（a）
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⇔
（b）
（c）
⇔
（d）
在进行谓词公式翻译时，可以将命题转化为 与之等价的另一个命题然后翻译，但要确保 两者是等价的。
西安电子科技大学 软件学院
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对个体刻划深度 的不同就可翻译成 不同的谓词公式.
练习
例1：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。 解：
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（1）凡正数都大于零 解：令M(x):x是正数。F(x): x大于零。则符号化为： （x）(M(x)F(x)) （2）存在小于2的素数。 解：令E(x): x 小于 2 。 S(x):x 是素数。则符号化为： （x)(E(x)∧S(x)) 真值为0。
再对x和y加以限制
R(x)：x是大红书柜 Q(y)：y是古书
C(x)：x是红的 E(y)：y是图书
a ：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
a：这只 b：那些 此时可把命题符号化为：
R(a) Q(b) F (a, b)
例题3 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解 设 M(x)：x是人。 P(x)：x是聪明的。 命题符号化为：
x(M ( x) P( x)) (x( M ( x) P( x)))
由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同，强调的 重点不同，会影响到命题符号化的形式不同。见例题4。
例题4 这只大红书柜摆满了那些古书。
约定：最外层括号可以省略；量词后面如果有括号，则不能省略
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2.3谓词公式与翻译
• 二、谓词公式的翻译（符号化）
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词 逻辑的翻译或符号化；一般，符号化的步骤如下： (1)正确理解给定命题。必要时把命题改述，使其中每个原子 命题、原子命题之间的关系明显表达出来。 (2)把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨 论时，要给出特性谓词。 (3)找出恰当量词。应注意全称量词后跟条件式，存在量词后 跟合取式。 (4)用恰当的联结词把给定命题表示出来。
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练习2
• 1、 在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有运动员都钦佩某些教练. （2）有些运动员不钦佩教练. 设：L(x):x是运动员 J(y):y是教练 A(x,y):x钦佩y (1) (x)(L(x) （y)(J(y)∧A(x,y))) (2)（x)(L(x) ∧(y)(J(y)A(x,y)))
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
• 小结：本节介绍了谓词合式公式的概念，重 点掌握谓词公式的翻译. 作业: P63 (5)
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练习2
（2）设：P(x,y):x在y连续. Q(x,y):x大于y. f在a点连续，当且仅当对每个ε>0， (2)符号化为:
P(f,a)(ε)(Q(ε,0) x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。 ((δ )Q(δ,0)∧ (x)(Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱)) ))
练习1
（3）没有不能表示成分数的有理数。
解：令D(x): x是有理数。F(x):x能表示成分数。 则符号化为： (x)(D(x) F(x)) 或 (x)(D(x)∧ F(x)) 真值为１。
（4）并不是所有参加考试的人都能取得好成绩。
解：令M(x)：x是人.Q(x):x参加考试。H(x):x能取得好成 绩。则符号化为： (x)( (M(x)∧Q(x))H(x) ) 或 (x)( (M(x)∧Q(x))∧ H(x) )
存在一个δ >0，使得对所有x，若︱
当且仅当： 每个ε>0: (ε)Q(ε,0) 存在δ >0：(δ) Q(δ,0) ∧ 对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε： (x)((Q(δ , ︱x-a︱)Q(ε, ︱f(x)-f(a)︱))
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
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练习2
• 2、在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1） P63 (6)那位戴眼镜的用功的大学生在看这本大而厚 的巨著. （2）P63 (7) :f在a点连续，当且仅当对每个ε>0，存在一个
δ >0，使得对所有x，若︱x-a ︱＜δ,则︱f(x)-f(a)︱＜ε。
解: (1)设：S(x):x是大学生. A(x):x戴眼镜. B(x):x用功. E(y):y是大的. G(y):y是厚的. D(y):y是巨著. F(x,y):x看y.a:那位 b:这本 (1)符号化为: A(a)∧B(a)∧S(a)∧E(b)∧G(b)∧D(b)∧F(a,b)
例题1 并非每个实数都是有理数。
设 R(x)：x是实数。 Q（x）：X是有理数。
每个实数都是有理数表示为： (x)( R( x) Q( x))
(x)( R( x) Q( x)) 并非每个实数都是有理数表示为：
例题2 没有不犯错误的人
解 本语句即为“不存在不犯错误的人”。 设 M(x)：x 是人。 F(x)：x犯错误。 “存在不犯错误的人”表示为： “不存在不犯错误的人”表示为：(x(M ( x) F ( x)) 等价于“任何人都要犯错误”或“所有人都要犯错误”。 所以此命题也可符号化为： (x)(M ( x) F ( x))
解法1 这只大红书柜摆满了那些古书。 解法2 x y 设 A(x)：x是书柜 设 F(x,y)：x摆满了y
解法1中R(x)表示x是大红书柜, 解法2中A(x) ∧B(x) ∧C(x)也 可表示大红书柜,但用A(x) ∧B(x) ∧C(x)将更方便于对 书柜的大小颜色进行讨论
B(x)：x是大的 D(y)：y是古老的 F(x,y)：x摆满了y
离散数学(Discrete Mathematics)
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第二章 谓词逻辑
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式
2.7谓词演算的推理理论
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2.3谓词公式与翻译
一、谓词公式
• 定义1：n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 • 定义2：谓词演算的合式公式,可由下述各条组成: ① 原子公式是合式公式。 ② 若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 ③ 若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A B)， (A B)也是合式公式。 ④ 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元 ,则(x)A , (x)A，也是合式公式。 ⑤ 只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式.