左孝凌离散数学课件

算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
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-ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
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• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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-
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例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }

例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法2 (1) P→R P (2) P∨Q →R∨Q T(1) I3 (3) Q→S P (4) Q∨R →S∨R T(3) I (5) P∨Q →S∨R T(2),(4) I13 (6) P∨Q P (7) S∨R T(5),(6) I11P,P→Q Q假言 推理
E1 E2 ┐┐P P P∧Q Q∧P E12 E13 R ∨(P∧┐P) R R∧ (P ∨ ┐P) R
E3
E4 E5 E6 E7 E8 E9
P∨QQ∨P
(P∧Q) ∧R P∧ (Q∧R) (P ∨ Q) ∨ R P ∨(Q ∨ R)
E14
E15 E16
R ∨(P ∨ ┐P) T
T T T T T F F
从真值表看到，P→R，Q→R，P∨Q的真值都为T的 情况为第1行、第3行和第5行，而在这三行中R的真值均为 T。故 (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
二、直接证法
• 直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 • 常用的推理规则 P规则:（前提引入规则）前提在推导过程中的任何时候 都可以引用。 T规则（结论引用规则）在推导过程中，如果有一个或多 个公式重言蕴含着公式S，则公式S可以引入推导之。 如 P→Q, Q→R P→R，这时 P→R可引入推导之中
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R P (2) ┐Q∨R T(1),I1 (3) ┐R T(1),I2 (4) ┐Q T(2)(3),I10析取三段论 (5) P→Q P (6) ┐P T(4)(5),I12 (7) ┐(┐P∧┐S) P (8) P∨┐S T(7),E (9) ┐S T(6)(8),I10析取三段论

例如，实数集R上的“>”“<”“≤”“≥”以及集 合上的“”
三、传递性 定义：设RAA, 如果对于任意的x,y,zA, 每当
xRy， yRz 时就有xRz ，称关系R在A上是传递的。
R在A上是传递的 (x)(y)(z)(xAyAzAxRy yRz xRz) R非传递 (x)(y)(z)(xAyAzAxRy yRzxRz)。
传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对 吗？为什么？
不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。
自反性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，
有<x，x>R，则称R是自反的。
对称性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x， yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R，则称R是 对称的。 传递性： 设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX， 每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，z>R，则 称R是传递的。
例：设A={a,b,c}考擦下列关系的传递性 R1={<a,b>,<b,c>,<a,c>} √ R2={<b,a>} R3={<a,c>,<c,b>,<a,b>,<c,a>} ×
√
三、传递性 特点：
如果R是传递关系，如果结点x能通过有向弧组成 的有向路通向结点z，（该有向路包含两条或两条 以上的弧）则x必须有有向弧直接指向z，否则R就 不是传递的；
自反性是说对于每一个xX，有<x，x>R。 对称性是说每当<x，y>R，就有<y，x>R，没 有要求对于每一个xX，传递性是说每当<x， y>R，<y，z>R时就有<x，z>R ，也没有要 求对于每一个xX。因此不能从一个关系是对称 且传递的推出它是是自反的。

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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶与
范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式
为了使任意一个命题公式化成唯一的等价命题的 标准形式，下面给出主范式的有关概念。
1.命题公式的主析取范式
定义1-7.4: n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项， 其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须 出现且仅出现一次。
20
例
1.命题公式的主析取范式-小项
1. 两个命题变元P和Q的小项为： P∧Q，P∧┐Q，┐P∧Q，┐P∧┐Q。 2. 三个命题变元P、Q、R的小项为： P∧Q∧R，P∧Q ∧┐R ， P∧┐Q ∧R ， P∧┐Q ∧┐R ┐P∧Q ∧R ，┐ P∧Q ∧┐R ， ┐P∧┐Q ∧R ，┐P∧┐Q ∧┐R 。
同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式,为了把命题公 式规范化,下面讨论命题公式的范式问题。
第一章 命题逻辑1.7对偶与范式
定义 (1) 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的析取 式。 如：P ∧ ┐Q ， (P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P (2) 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∨ A2 ∨ … ∨ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的合取 式。 如：P∨┐Q ， (P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
3
对合律 幂等律 结合律 交换律

• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
30
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。

3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
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二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
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2
第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
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3
3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
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3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)

从而┐Q（P→Q）为假.
②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
┐ （┐Q（ ┐ P ∨ Q）） ∨ ┐P
（Q ∨（P ┐ Q）） ∨ ┐P
（（Q ∨P） （Q ∨ ┐ Q ）） ∨ ┐P
（Q ∨P） ∨ ┐P
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: （1）用等值演算法判别命题公式的类型。 （2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 （3）等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
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1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。

第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。

之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
CHENLI
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命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志，就称为命题变元。
原子变元：当命题变元表示原子命题时，该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。 1.1.3 命题的分类： 简单/原子命题：不能分解为更简单的陈述语句的命题(如
1.2.1 否定联结词(Negation) ┐ 1.2.2 合取联结词(Conjunction)∧ 1.2.3 析取联结词(Disjunction)∨ 1.2.4 条件联结词(蕴涵联结词Conditional)→ 1.2.5 双条件联结(等值联结词Biconditional)
CHENLI
13
在命题逻辑中,主要研究的是复合命题,而复合命
CHENLI
3
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
CHENLI
4
2021/3/9
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
离散数学( ) Discrete Mathematics
CHENLI
1
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的哲 学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七世纪， 德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称 为数理逻辑(或符号逻辑)。
1.1.2 命题的表示方法

01
集合论
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所组成的 。
详细描述
集合是离散数学中一个最基本的概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所 组成的。这些元素可以是数字、字母、图形等，它们在集合中表示不同的个体或对象。
集合的运算和性质
总结词
详细描述
邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过二维矩阵表示节点之间的关系，矩阵中的元素表示边的权重 或连接状态；邻接表是一种更有效的图表示方法，通过链表或数组等数据结构表示节点和其相邻节点 之间的关系。
图的连通性
总结词
图的连通性是指图中任意两个节点之间是否 存在路径。
详细描述
图的连通性分为强连通和弱连通两种情况。 强连通是指图中任意两个节点之间都存在有 向路径；弱连通是指图中任意两个节点之间 都存在无向路径。判断图的连通性是图论中 的重要问题之一。
左孝凌离散数学课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 逻辑学 • 离散概率论 • 离散统计学
目录CONTENTS
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
总结词
离散数学的起源可以追溯到古代数学，它与连续数学相对应，研究的是非连续的、分离的对象。
置信区间
置信区间是指根据样本数据估计 总体参数的可能范围，用于衡量 估计的准确性。
单侧检验和双侧检
验
单侧检验是指只检验一个方向的 假设，而双侧检验则是同时检验 两个方向的假设。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR

d)(A - B) C =(AC) - (BC)成立. 证明 因为(A - B) C ={<x,y>|(xA-B)∧yC} 所以
<x,y>(A - B) C x(A-B)∧yC xA∧x B∧yC ( xA∧yC∧x B) ∪(xA∧yC∧y C)) (xA∧yC )∧(x B∪yC) (xA∧yC )∧ ┐(x B ∧ y C) <x,y>A C∧ <x,y> B C <x,y> [(AC) - (BC) ]
故|P (AB)|=2mn，即A到B不同的二元关系共
有2mn个
一、二元关系
3.二元关系定义3
A上的二元关系： AA的任意子集R称为A上的二元关系 RAA RP (AA)。
若|A|=m, 则|AA|=m2, 故|P (AA)|= 2 m2 ，即A上不同
的二元关系共有2 m2个。
一、二元关系
A到B的二元关系举例1:
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)

计算机学院
2-2.1 命题函数
定义2-2.1：简单命题函数(simple propositional function)：
由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为 简单命题函数。
比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等 取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它 本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特 殊情况。
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2-2.2 量词
例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): x＞y; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y))) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)))
计算机学院
2-2.2 量词
例5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成:
2-1.1 客体和谓词 在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体
和谓词两部分。 客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概 念。例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑 板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也 可称之为主语。
计算机学院
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2-1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
(1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华
(3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵
(5) R(a,b,c)
(6) S(a,b) a:阿杜。b:阿寺。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，

2. 6前束范式
练习:求下列公式的前束析取范式和前束合取范式.
(1) ((x) F ( x, y) (y)G( y )) (x) H ( x, y) (2) (x){(y) A( x, y ) (x)(y)[B( x, y ) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
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第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2. 6前束范式(Prenex normal form)
•
(6) (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[ B ( x, y ) (y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
(x ){(y ) A( x, y ) ( x )(y )[ B ( x, y ) (y )(A( y , x ) B ( x, y ))]} (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[B ( x, y ) ( y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
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2. 6前束范式
前束析取范式
• 定义 : 任何一个谓词公式 A ，如果具有如下形式则称为 前束析取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∧A12∧…∧A1k1)∨ (A21∧A22∧…∧A2k2 )∨…∨(Am1∧Am2∧…∧Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公 式或其否定,□为量词或量词， xi（i=1，… n）为客 体变元. 例如： (x)(u )(z )((P (x ) Q (x , y )) (P (u ) Q ( y , z ))
离散数学(Discrete Mathematics)
1

40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
左孝凌离散数学课件1知识讲解
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进

2
图7.1.5给出了K3和K4。 从图中可以看出K3有３条边， K4
图 7.1.5 K3与K4示意图
图 7 .1. 6
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同 样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V ,E〉是一个具有n个结点的简单图。 以V为 结点集， 以从完全图Kn中删去G的所有边后得到的图（或由G 中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为 G的补图， 记为 G 。 例如，零图和完全图互为补图。
图 7.1.7给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
图 7.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
2. 图的同构
从图的定义可以看出， 图的最本质的内容是结点 与结点的邻接关系。 例如例7.1.1也可以用图7.1.8中几 种不同形状的图形表示。 它们与图7.1.1一样， 都同样 表示例7.1.1中４个队之间的比赛情况。 从这个意义上 讲， 我们说它们是同一个图， 并称图7.1.1与图7.1.8的 (a)和(b)是同构的。
【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。 。
【例7.1.5】考察图7.1.9中的两个图G＝〈V ,E〉和
G′＝ 〈 V′, E′〉 。
显然， 定义ｇ： V→V′， ｇ（vi）＝v i ′， 可以验 证ｇ是满足定义7.1.6的双射， 所以G≌G′。
对于同构， 形象地说， 若图的结点可以任意挪动

31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
左孝凌离散数学课件1知识讲解
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。—伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯