一诊答案(文科数学)

2024届成都市高三数学（文）上学期一诊联考试卷2023.12（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()11f f -+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为12000~，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A ．52B ．82C ．162D ．2523．已知复数41i i i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 4．若数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，则234a a a ++=（）A ．6B ．14C ．22D ．375．已知向量((),2,0a b =-= ，则cos ,a b =（）A ．32B ．12C ．12-D．6．若实数,x y 满足2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最小值为（）A ．0B ．37C ．35D ．17．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（）A ．()22e e 1x x x f x =-B ．()22e e 1xxx f x =+C ．()()()241ln 2xf x x x -=++D ．()()24ln 11x f x x +=+8．已知平面,,,,a b αβγαβγβ⋂=⋂=，则α γ是a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若11ln 22a =，22ln 33b =，1e c =-，则（）A ．c b a <<B ．b<c<a C ．c<a<bD ．b a c<<10．已知()0,πα∈，且sin 2αα=，则tan α=（）A ．B ．33C D 11．若[)20,,1e xx x ax ∞∈+++≤恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．eB ．2C ．1D ．e 2-12．已知圆22:40C x y +--=经过椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为12,24N NF NF ⋅=，则椭圆Ω的离心率为（）A ．B ．63C ．22D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知集合{2},{lg }A x xB x y x =<==∣∣，则A B =．14．曲线()321f x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为．15．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和.若714S =，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则2024a 的值为.16．已知侧面积为的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则球O 的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =.(1)求证：1C M ⊥平面BDM ；(2)求三棱锥1M BC D-的体积.18．某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0250.0100.0050.0010k 5.0246.6357.87910.82819．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()1f A =.(1)求A 的值；(2)若1b =，求a c +的取值范围.20．在平面直角坐标系中，动点C 到点()1,0F 的距离与到直线=1x -的距离相等.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)若直线:l y x m =+与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，当PQF △的面积为2时，求直线l 的方程.21．已知函数()2e e x f x x=-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：()()e ln cosf x x x >+.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=．(1)当π3α=时，求直线1C 的普通方程；(2)已知点()2,0P ，若直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，且4PA PB ⋅=，求α的值．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()21,f x x a x a =-++∈R．(1)当4a =时，求不等式()7f x ≥的解集；(2)若()2f x a>，求a 的取值范围．1．B【分析】根据分段函数分段求值即可.【详解】由于函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()()()2π1sin1,11212f f ==-=--=-，则()()11110f f -+=-+=.故选：B.2．C【分析】根据系统抽样的特点确定第三个号码段中抽出的号码即可．【详解】采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为20008025=，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是2280162+⨯=．故选：C.3．A【分析】利用虚数单位的幂的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到答案.【详解】∵()()()22421i 1i 1i 12i i 12i 1i i i i 11i 1i 1i 1(1)z ----+--======-+++----，∴z 的虚部为-1，故选：A.4．D【分析】根据条件求出234,,a a a ，即可得出结果.【详解】∵113,21n n a a a n +==-+，∴212116a a =-+=，3222111a a =-+=，4323120a a =-+=，∴2346112037a a a ++=++=.故选：D.5．C【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为((),2,0a b =-=，所以1cos ,2a b a b a b-⨯⋅===-.故选：C.6．B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后令x y z +=，当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，观察图象可得答案.【详解】作出不等式2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域如图：令x y z +=，则y x z =-+，即当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，即y x z =-+过点21,77A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，x y +取最小值213777+=.故选：B.7．B【分析】由图可知，函数的定义域为R ，是奇函数，当0x >时()0f x >，由此判断各选项可得出结果.【详解】对于A ，当0x =时，02e 1e 10x -=-=，()22e e 1xxx f x =-无意义，故A 错误；对于B ，()22e ,e 1x x x f x x =∈+R ，()()()222122e 2e e 1e 1e 11e xx x x x x x x x f x f x ---⋅--===-=-+++，则()f x 是奇函数，当0x >时，20e 0,e x x >>，则()0f x >；对于C ，当0x >时，()210,ln 2ln10x x +>+>=，则()0f x <，故C 错误；对于D ，()()24ln 1,1x f x x x +=∈+R，则()()()()224ln 14ln 1()11x x f x f x x x -++-===-++，则()f x 是偶函数，故D 错误，综上，B 正确.故选：B.8．A【分析】结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断.【详解】因为α γ，,a b αβγβ⋂=⋂=，所以由面面平行的性质定理可得a b ，则充分性成立；因为a b ，,a b αβγβ⋂=⋂=可知，所以a b γγ⊄⎧⎨⊂⎩，则a γ∥，又b a αα⊄⎧⎨⊂⎩，则b αP ，当l αγ= 时，由线面平行的性质定理可知a l b ，则必要性不成立；综上所述，α γ是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．C【分析】根据,,a b c 的特征可构造函数()ln f x x x=，利用导数求得函数单调性即可比较它们的大小.【详解】易知111lne e e c =-=，构造函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞，则()ln 1f x x '=+；令()0f x '=，解得1e x =，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又易知112e 23<<，所以112e 23c f a f b f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c<a<b .故选：C10．B【分析】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【详解】由题设222(sin )sin cos 3cos 4αααααα=-+=，所以4=，且()0,πα∈，故22tan 34tan 4ααα-+=+，即223tan 11)0ααα++=+=，所以tan α=.故选：B 11．D【分析】先确定0x =时的情况，在当0x >时，参变分离可得2e 1x x a x --≤，构造函数()2e 1x f x x x -=-，求出函数()f x 的最小值即可.【详解】当0x =时，01e ≤，不等式成立；当0x >时，2e 1x x a x --≤恒成立，即min 2e 1x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-，令()2e 1x f x x x -=-，则()()()()()2222e e 1e 11x x x x x f x x x x x x -------'==，因为0x >时，e 10xx -->（后证）所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，故()()1mine 1e 2111f x f --===-，所以e 2a ≤-，即实数a 的最大值为e 2-.证明当0x >时，e 10xx -->，令()=e 1--x g x x ，0x >，则()=e 10x g x '->，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10xx -->.故选：D.12．C【分析】先根据圆与x 轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出12cos F NF ∠，进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出a ，则离心率可得.【详解】对于圆22:40C x y +--=，即(2216x y +-=，圆心为(0,，半径为4当0y =时，2x =±，当0x =时，124,4y y ==，即如图点()0,4B 即椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为()()122,0,2,0F F -，即2c =，又圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为N ，由圆周角的性质可得1212F NF F BF ∠=∠，则2212121cos cos 2cos 1212F NF F BF F BO ⎛⎫⎪∠=∠=∠-=⨯-=又由121122124cos 2N NF NF F NF F NF NF ⋅==∠=得1232NF NF =-，又()(()22212121212326c 22o 224s 1NF NF NF NF F NF NF NF +-∠=---=-+得(()2422163224a -=--，解得a =所以离心率c ea ==.故选：C.13．{}|02x x <<【分析】求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}|2|22A x x x x =<=-<<，{}{}lg |0B x y x x x ===>∣，则{}|02A B x x ⋂=<<.故答案为：{}|02x x <<.14．52y x =-【分析】首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-.【详解】因为2()32f x x x '=+，所以所求切线的斜率(1)325k f '==+=，而(1)1113f =++=，故所求的切线方程为35(1)y x -=-，即52y x =-.故答案为：52y x =-.15．2022【分析】根据等差数列的性质可得42a =，结合等比中项可得1d =，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则74714S a ==，可得42a =，设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，则2436a a a =，即()()4222=-+d d ，解得1d =或0d =（舍去），所以4202420202022=+=a a d .故答案为：2022.16．100π【分析】结合圆锥的几何性质求出圆锥的底面半径，作出轴截面结合勾股定理即可求解.【详解】设底面半径为r，因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则圆锥的高为2rh =，母线为2l r==，则其侧面积为1(2π)2r r =，解得4r =，作出圆锥的轴截面，如下图所示：则球的半径为2222()4(2)2rR r R R =+-=+-，解得5R =则球O 的表面积为224π4π(5)100πR =⋅=.故答案为：100π17．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得1C M DM⊥，1C M BM⊥，再根据线面垂直判定定理即可证得结论；（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.【详解】（1）如图，连接11A C .正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =，∴221111112AC A D D C =+11122A M AM AA ===，222DM AD AM ∴=+=又22115C D DC CC =+22111123MC AC A M=+.22211C M DM DC +=，∴1C M DM ⊥.同理可得1C M BM⊥.DM BM M = ，DM ⊂平面BDM ，BM ⊂平面BDM ，∴1C M ⊥平面BDM .（2）由（1）知，BM DM BD ===1C M ⊥平面BDM .∴(112111433M BC D C BDM BDM V V S C M --==⋅=⨯⨯=△.三棱锥1C BDM-的体积为4.18．(1)有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)35.【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论即可；（2）由古典概型中的列举法求概率即可.【详解】（1）由列联表数据可得，()222006080402010033.33310.828100100120803K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）设篮球模块课程的前3名为1A ，2A ，3A ，羽毛球模块课程的前3名为1B ，2B ，3B .从这6人中随机选2人的基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15个.其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共9个.故所求概率为93155P ==.19．(1)π3A =(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）由三角函数的诱导公式和辅助角公式计算可得；（2）首先由正弦定理和（1）求出122tan2a c B+=+，然后用锐角三角形和（1）求出B 的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.【详解】（1）()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭.由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 22π6A ⎛⎫+=⎪⎝⎭.ABC 为锐角三角形，ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π5π266A +=.∴π3A =.（2）由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==.∴32sin a B =，2πsin sin 3sin sin B C c B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.)22πsin cos 111132sin 2sin 2224sin cos 2tan 222B B B a c B B B B B ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+++==++，.ABC 是锐角三角形，∴π02B <<，且2ππ32C B =-<.∴ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,2124B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⨯，()22Btan∈.∴322tan 2B ⎝.∴31,22a c ⎛+∈+ ⎝.综上，a c +的取值范围为1,22⎛+ ⎝.20．(1)24y x =(2)y x =或y x =或y x =.【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由题知，动点C 的轨迹是以F 为焦点，=1x -为准线的抛物线.∴动点C 的轨迹方程为24y x =.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y由24y x m y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y y m -+=.由16160m ∆=->，得1m <.∴124y y +=，124y y m =.由FPQ △的面积121122S PQ d y y =⋅⋅=⋅-∴14+=.∴14+=，即()210m m m +-=.1m <，∴0m =或m =.∴直线l 的方程为y x =或152y x -=+或152y x -=+.21．(1)单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数()()2e e e ln 1x h x x x =--+，利用导数判推得()0h x >，进而得证.【详解】（1）因为()2e e x f x x=-，所以()2e ex f x =-'，当(),1ln 2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1ln 2,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以()f x 的单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.（2）设函数()()2e e e ln 1xh x x x =--+，则()e2e e x h x x '=--，0x >，易得()h x '在()0,∞+上单调递增，且()10h '=，所以当()0,1x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 10h x h ==，故()2e e e ln 10x x x --+≥，当且仅当1x =时等号成立，即()()e ln 1f x x ≥+，当且仅当1x =时等号成立，因为1cos x ≥，所以()()()e ln 1e ln cosf x x x x ≥+≥+，由于上述不等式取等条件不能同时成立，所以()()e ln cosf x x x >+，得证.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用中间函数()e ln 1y x =+作为桥梁，简化了证明过程，从而得证.22．0y --=(2)π6α=或π3【分析】（1）将π3α=代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；（2）先求2C 的普通方程，再把1C 代入2C 得到一元二次方程，从而根据t 的几何意义得到α的值.【详解】（1）当π3α=时，求直线1C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得直线1C0y --=.（2）因为曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=，所以()2222cos2cos sin 2ρθρθθ=-=.又因为=cos ,=sin x y ρθρθ，所以曲线2C 的普通方程为222x y -=.将直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）代入222x y -=，得()()2222cos sin t t αα+-=，化简得2222cos sin 244cos t t t ααα+-+=，即2cos 24cos 20t t αα++=.因为直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，所以cos20α≠，即π4≠α，又()2Δ16cos 8cos 281cos 28cos 280.αααα=-=+-=>设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12124cos 2,cos 2cos 2t t t t ααα+=-=.因为点()2,0P 在直线1C 上，所以1224cos 2PA PB t t α⋅===，即1cos 22α=，又π02α<<，所以π6α=或π3.23．(1)410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ (2)2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）代入4a =，分类讨论去绝对值解不等式即可；（2）分2a <-，2a >-，2a >-讨论，通过单调性求出()f x 的最小值，然后利用()min 2f x a>解不等式求出a 的取值范围．【详解】（1）当4a =时，()33,22415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪-+<-⎩，因为()7f x ≥，所以3372x x -≥⎧⎨>⎩或5712x x -+≥⎧⎨-≤≤⎩或3371x x -+≥⎧⎨<-⎩，解得43x ≤-或103x ≥，故不等式()7f x ≥的解集为410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；（2）当2a <-时，12a<-，此时()31,1211,1231,2x a x a f x x a x x a x a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=-++=--≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩，明显函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 2122a a a f x f a ⎫- -==⎪⎭>⎛⎝，解得25a <-，又2a <-，所以2a <-，当2a >-时，12a>-，此时()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-+>⎪⎪⎪=-++=---≤≤⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩，明显函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，故()()min 1121f ax f =--=>--，解得23a <-，又2a >-，所以223a -<<-；当2a =-时，此时()312f x x a=+>，综上所述，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。

2022年四川省巴中市高考数学一诊试卷（文科）1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.已知i为虚数单位，若复数z满足，则( )A. B. 5 C. D.3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，4.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.设等差数列的前n项和为，若，则( )A. 4B. 17C. 68D. 1366.已知函数是奇函数，当时，，则( )A. 1B.C. 3D.7.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积．他将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.B.C.D.8.在正方体中，M，N分别为，的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.9.已知，则( )A. B. C. D.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得，且，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.C.D.11.已知等比数列的公比为q，前n项和为，则下列命题中错误的是( )A.B.C.，，成等比数列D. “”是“，，成等差数列”的充要条件12.已知，，，则a、b、c的大小关系为( )A. B. C. D.13.已知函数，若，则______.14.已知向量，，，若，则______.15.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A、B两点点A在点B的上方，若，则直线l的方程为______.16.在长方体中，，，M为CD的中点，动点P在侧面内，且，则动点P的轨迹的长度为______.17.为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表：跳绳一般良好优秀50米往返跑一般131良好b32优秀31a由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为求a，b的值；从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．18.在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，求A；若角A的平分线AD交BC于D，且，，求19.如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，于M，于证明：平面平面AMN；若，求三棱锥的体积V的最大值．20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点满足，且的面积为求椭圆C的方程；设椭圆C上的顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点．21.已知函数若曲线在点处的切线方程为，求a的值；若，证明：22.在直角坐标系xOy中，圆C：，直线l的参数方程为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求圆C和直线l的极坐标方程；若圆C的圆心到l的距离为，求直线l的直角坐标方程．23.已知，若在R上恒成立．求实数a的取值范围；设实数a的最大值为m，若正数b，c满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，故选：利用交集定义、不等式性质直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，，，，，故选：样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，判断平均数大小；由A中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，判断方差的大小；求出极差，判断极差的大小．本题考查平均数、方差、极差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度，故选：根据函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，考查学生基本的运算能力，属于基础题．由题意易知，从而根据即可求解．【解答】解：由是等差数列，得，又，得，所以故选：6.【答案】D【解析】解：根据题意，当时，，，又由是奇函数，则；故选：根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，为直三棱柱，，平面，，该几何体的体积是故选：由三视图还原原几何体，其中为直三棱柱，，平面，，再由棱柱与棱锥的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】D【解析】解：如图，取AB 的中点G ，连接NG ，MN ，，，M ，N 分别为，的中点，所以，所以，，所以四边形AGNM 是平行四边形，所以，所以或其补角就是异面直线AM 与CN 所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，又，所以在中，，所以异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为故选：取AB 的中点G ，连接NG ，MN ，GC ，则，则或其补角就是异面直线AM 与CN 所成的角，运用余弦定理可求出答案．本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C 【解析】解：由，得，代入，得，解得，则，，则故选：由已知结合平方关系求得与的值，进一步得到，再由二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由双曲线的定义可得，，由，，则有，即有，即有，即，则，则故选：由双曲线的定义可得，，两边平方，再由条件，即可得到a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系式，结合离心率公式，即可求解．本题考查双曲线的定义、性质、离心率，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，……，A正确；对于B，…………，B正确；对于C，当公比时，，，，不成等比数列，C错误；对于D，当时，，反之，若，，成等差数列，其公比一定不为1，则有，即，变形可得，即“”是“，，成等差数列”的充要条件，D正确；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列前n项和的性质，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：，，，，，，，即，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．13.【答案】1【解析】解：函数，，若，则，故答案为：先求出函数的解析式，再根据，求得a的值．本题主要考查求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由向量，，则，又，，则，则，故答案为：由平面向量共线的坐标运算求解即可．本题考查了平面向量共线的坐标运算，属基础题．15.【答案】【解析】解：的焦点，设直线AB的方程为，，，且，，由可得，可得，，①由，且A在B点的上方，可得，即有，②由①②解得，，，所以直线l的方程为，即为故答案为：求得抛物线的焦点坐标，设直线AB的方程为，，，且，，联立直线l的方程和抛物线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m，进而得到所求直线l的方程．本题考查抛物线的方程和运用，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由线面垂直的性质可知，，，又，所以与相似，由得出，以B为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，由，，，可得，化简得出，则点P的轨迹为EF，因为，所以，则的长度为故答案为：由线面垂直的性质以及相似三角形的性质得出，再建立坐标系得出动点P的轨迹，利用係长公式得出动点P的轨迹的长度．本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意得：，解得，根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为1，2，3，4，5，6，其中5，6表示这6人中跳绳为优秀的学生，从这6人中抽取2人的所有情况为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种情况，其中至少有一位跳绳优秀的情况有：15，16，25，26，35，36，45，46，56，共9种情况，其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率【解析】根据总数和概率列方程组可求出a，b的值．求出基本事件总数，根据古典概型能求出其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率．本题考查频数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：在中，由于，故，转换为，整理得，由于：，所以根据角平分线定理得：，故；利用三角形的面积公式：，整理得，故，即，所以，，利用余弦定理：，解得【解析】直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出A的值；利用内角平分线的定理和三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，内角平分线定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：所在平面，，，是圆周上的点，，，面PAC，平面PAC，，，，平面PBC，面PAC，，，平面AMN，平面PAB，平面平面三棱锥的体积，当的面积取最大值时，三棱锥的体积V取最大值，的面积的最大值为，三棱锥的体积V的最大值为：【解析】要想证明平面平面AMN，即要证明面AMN，即要证明，即要证明面PBC，即证明，即证明平面PAC，由题意得，，由此能证明平面平面当的面积取最大值时，三棱锥的体积V取最大值，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：由，则，所以，又，则点M在椭圆上，所以，又，联立解得，，所以椭圆C的方程；证明：由题意，根据条件直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为，，，由，得，所以，，由，则，，所以，即，即或舍，将代入成立．所以直线AB的方程为，所以直线AB恒过点【解析】由可得，由题意点M在椭圆上，将点M坐标代入椭圆，结合可得答案．由题意，根据条件直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为，，，将直线AB的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由，则，将韦达定理代入，可得出答案．本题主要考查椭圆方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：，将代入，，解得；要证：，即证：，继而转化为：，，构造，，故在R上单调递增，故仅需证明：，即证明：，故仅需证明：，构造，，令，解得：，故在递增，单调递减，在取得最大值，由已知有，，故得证，故得证．【解析】对函数求导，将代入导函数即得到切线斜率；对函数进行变形移项可得：，从而构造函数进行证明．本题主要考查导函数中切线问题及利用构造函数证明不等式，属于中档题．22.【答案】解：圆C：，转换为，根据，转换为极坐标方程为；参数方程为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为；利用圆心到直线的距离，解得；故直线的方程为【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：令，则，由解析式易知，，因为在R上恒成立，所以，即，故a的取值范围是；由可知，，则，，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为【解析】令，求出由可得a的取值范围；由，结合基本不等式得出最小值．本题考查了不等式的恒成立问题以及基本不等式的应用，属于中档题．。

2022年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则( )A. B. C. D.3.2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店月的销量单位：件情况．以下描述不正确的是( )A. 这8个月销量的极差为4132B. 这8个月销量的中位数2499C. 这8个月中2月份的销量最低D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4.若角的终边经过点，则( )A. B. C. D.5.向量，满足，，，则向量，的夹角是( )A. B. C. D.6.已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期是B. 直线是图象的一条对称轴C. 点是图象的一个对称中心D. 的单调递减区间是8.曲线在点处的切线方程为，则实数( )A. B. 16 C. D. 209.定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. 8B. 2C.D.10.在直角中，，，，且，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为，，和，，，则它们的关系为( )A. ，B. ，C.， D. ，11.已知以圆C：的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线：上任意一点，BM与直线垂直，垂足为M，则的最大值为 ( )A. 1B. 2C.D. 812.下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则13.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.14.已知等差数列满足，，则______.15.如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为______.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则______.17.已知数列满足，，数列满足，，，求数列及的通项公式；求数列的前n项和18.2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增长率分组企业数1530503817根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例用百分数表示；估计这150个企业同期产值增长率的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率．19.如图，是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将折到DEF的位置，使证明：平面EFCB；若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥的体积．20.已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离之比为求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；，分别过，作斜率为的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形的面积为，求k的值．21.已知函数，判断函数的单调性；当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．22.如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．23.已知函数求不等式的解集；若，，且，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，，故选：由对数函数的性质解出集合A，再求出本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由销量折线图得极差为：，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长件，最大，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．故选：根据销量折线图，结合极差、中位数的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：角的终边经过点，，，故选：由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，，，，向量，的夹角是故选：根据已知条件，对平方，再结合向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，知：对于A，由，，得到：若，过n的平面，则，又，则，，则，若，又，则综上，，故A正确；对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则n与相交、平行或，故C错误；对于D，若，，，则n与相交或，故D错误．故选：根据线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断面面、线面的位置关系，从而求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由图象可知，即，故A错误；由可得，又因为函数图象过点，所以，由五点法作图可知，，即，又，故，所以，当时，，故B错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；令，解得，即函数的单调递减区间为，故D错误．故选：根据函数图象求出周期T，，，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，得，，又，故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，可得k，再由时的函数值相等求解本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，满足，则有，则函数是周期为8的周期函数，则，当时，，则，则，故选：根据题意，分析函数的周期，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令、、，当绕边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为；体积；当绕边旋转时，，体积；当绕边旋转时，，体积；故选：由选项可知，，，和，，的关系唯一，故采用特例法，不妨令、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．本题考查旋转体的表面积与体积的求法，采用特例法求解是关键，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．求得圆心，可得抛物线方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．【解答】解：圆C：的圆心为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线：的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当A，B，在B，F之间三点共线，可得最大值1，故选：12.【答案】C【解析】解：对于A，构造函数，当时，，则在上单调递减，所以，即，故A错误；对于B，函数与函数的图象关于直线对称，则，即，故B错误；对于C，不等式整理为，构造函数，则为增函数，由，得，故C正确：对于D，不等式整理为，构造函数，在上单调递增，则，故D错误．故选：分别构造函数，利用导数研究函数的单调性，再进行大小比较，即可得到答案．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意得，且，解得，则渐近线方程为故答案是：利用双曲线的离心率求出a，然后可求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】6【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以故答案为：设等差数列的公差为d，利用可求出d值，进一步根据即可求解．本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设直角三角形中较大锐角为，则，所以，设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为故小正方形边长为，面积为而大正方形的面积为1，故所求概率为故答案为：利用几何概型的定义，分别求出面积，即可求概率．本题考查几何概型，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，由正弦定理，可得，，，，即，，，由余弦定，即，解得，由正弦定理，得，即，故故答案为：由，及正弦定理可得，再运用余弦定理，以及正弦定理，即可求解．本题主要有考查正弦定理，以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是等差数列，又，，所以公差，所以，所以【解析】根据等比数列的概念与通项公式可得数列的通项公式，由等差中项的性质与等差数列的通项公式可得数列的通项公式；根据分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：估计这些企业中产值负增长的企业比例为这150个企业同期产值增长率的平均数为将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a ，b ，c ，d ，e ，则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：，，，，，共6种，所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查列举法和古典概型的概率公式，以及平均数公式，属于基础题．19.【答案】解：证明：在中，，，，所以，即，又，，所以平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，则由平面DOC ，平面DOC ，得面DOC ，即存在点N ，且，使得平面则，所以三棱锥的体积为【解析】推导出，，由此能证明平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，推导出面DOC ，从而存在点N ，且，使得平面DOC ，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．20.【答案】解：设，由题意得，整理得，即为曲线C 的方程．由题意知，延长交椭圆C于点，由椭圆的对称性知，所以，设，与联立消得：，设，，则，，所以，因为点到直线的距离，所以，平方化简得，解得或舍，所以【解析】设，利用直接法即可求解；延长交椭圆C于点，根据椭圆的对称性，设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而表示出，解方程即可．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：，，，当时，，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，，即恒成立，所以，所以，即恒成立，令，，，令，，因为，所以，，，所以恒成立，所以在上单调递增，时，，，所以，而，所以，使得，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，而，令，，则，，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以b的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的正负，的单调性．根据题意可得当时，恒成立，即恒成立，令，，只需，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，与方程联立代入得，，解得或，曲线和曲线交点的极坐标分别为，曲线为过原点倾斜角为的直线，其极坐标方程为和，联立两曲线和的方程，解得两交点的极坐标分别为，，【解析】根据圆的极坐标方程方程求出，联立曲线和曲线的方程，求出交点即可．写出的极坐标方程，求出M，N的极坐标，由极坐标的意义求出线段MN的长度．本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：解法一：，由，得或或，解得或或，故所求不等式的解集为证明：要证成立，只需证成立，即证，由，，，故只需证，由基本不等式可知，成立当且仅当时“=”成立，故命题得证．解法二：因为，作函数图象与直线，如图所示：其交点为，，所以不等式的解集为证明：，又，，，，成立当且仅当时“=”成立【解析】法一求出的分段函数形式，通过讨论x的范围，去掉绝对值解不等式求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可；法二：画出函数的图象，结合图象求出交点坐标，求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，不等式的证明以及转化思想，是中档题．。

四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。

达州市普通高中2024届第一次诊断性测试文科数学参考答案一、选择题：1.B2.A3.C4.C5.C6.A7.A8.C9.B 10.B 11.D 12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．3π4（答案在ππ2⎡⎫⎪⎢⎣⎭,内均可）14．615．9910016三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由样本中恰有10%的考生专业和文化成绩均为及格，∴总人数5500.1=，∴640.350m ++=，∴5m =，由648343550m n ++++++++=，∴12n =．（2）由题意：专业成绩为优秀和良好的学生人数分别为15，10.∴专业成绩为优秀抽取3人，记为A ，B ，C ，专业成绩为良好抽取2人，记为m ，n .∴5人中选取2人的共有(,)A B ，(,)A C ，(,)A m ，(,)A n ，(,)B C ，(,)B m ，(,)B n ，(,)C m ，(,)C n ，(,)m n 共10种情况.∵选取2人中专业成绩为优秀和良好各占1人的情况为(,)A m ，(,)A n ，(,)B m ，(,)B n ，(,)C m ，(,)C n 共6种情况.设事件D 表示事件“选取2人中专业成绩为优秀和良好各1人”，则63()105P D ==．所以选取2人中专业成绩为优秀和良好各1人的概率为35．18①∵24ABC S △②19在梯形ABCD 中，由1AD DC ==，CD AD ⊥，得AC =，由AB =．ABC △中，222AC AB BC +=∴AC AB ⊥又 MA AB A = ，∴AC ⊥平面MAB ，∵AC ⊂平面NAC .∴平面MAB ⊥平面NAC .（2）解：∵N 为MB 的中点，∴M 到平面ACN 的距离等于B 到平面ACN 的距离.122AN MB ==.设B 到平面ACN 的距离为h ，则N ABC B ACN V V --=.∴111323ABC ANC S AM S h ⨯=⨯，∴1111162322322h ⨯⨯=⨯.∴233h =，即M 到平面ACN 的距离为233．20．解：（1）由题意，曲线C 表示以(2,0),-(2,0)为焦点，长轴为6的椭圆，∴曲线C 的标准方程为22195x y +=.（2）若直线m 与x 轴垂直，则m 的方程为0x =，此时B ,D为椭圆短轴上两点(0,，不符合题意.若直线m 与x 轴不垂直，设m 的方程为1y kx =+，设11(,)B x y 22(,)D x y 221951x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(95)18360k x kx ++-=，1221895k x x k +=-+，1223695x x k =-+，由532PA PB PD =+ ，得3322PA PB PD PA -=- .∴32BA AD = ，∴1232x x =-.∴22118395k x k =-+，222236395x k -=-+.2225454(9595k k k -=++，解得13k =±.∴直线m 的方程为113y x =±+，即330x y -+=或330x y +-=.21．解：（1）∵()ln 2f x x x =-，∴1'()2f x x =-.∴令'()0f x =，得12x =.当12x <时，'()0f x >，当12x >时，'()0f x <.∴()f x 单调递增区间为1(0,2.单调减区间为1(,)2+∞.（2）已知2()ln 2g x x mx mx x =+--，1(21)(1)()221mx x g x mx m x x --'=+--=.①当0m ≤时，()g x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,e)，()g x 最大值为(1)11g m =--=，∴m =-2.②当102e m <<即1e 2m >时，()g x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,e)，()g x 最大值为(1)ln1(21)0g m m =+-+<，不合题意.③当112e 2m <≤即11e 2m <≤时，()g x 单调递增区间为(0,1)1(,e)2m ，单调递减区间为1(1,)2m.()g x 最大值可能在1x =或e x =处取得.所以2(e)ln e e (21)e 1g m m =+-+=，解得111(,)e 22e 2m =∉-不合题意.∴综上所述，2m =-.22．解：(1)π(3,2化为直角坐标为(0,3)，3π)4化为直角坐标为(3,3)-，∴圆的半径为3，∴曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=.∴曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.(2)6sin M OM ρα==6sin()3N ON πρα==+1ππ136sin 6sin()sin sin (sin cos )23322MON S ααααα=⨯⨯+⨯=△21cos 2(sin cos )(sin 2)2222ααααα-==93π1273sin(2)2624α⎡⎤=++⎢⎣⎦≤当ππ262α+=时，即π3α=时取等.23．解：(1)由题意得2(2)(21)10x x x ⎧⎨---+⎩≥，≥，或者122(2)(21)10x x x ⎧<<⎪⎨⎪---+⎩，≥，或者12(2)(12)10x x x ⎧⎪⎨⎪---+⎩≤，≥，∴20x x ⎧⎨⎩≥，≤，或者12243x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩，≤，或者122x x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤，≥，∴1423x <≤或者122x -≤≤．∴不等式的解集为423⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，∴2t =-．(2)由（1）知m ，(2,)n ∈+∞，设2x m =-，2y n =-．∵5m n +=，∴1x y +=．∴222222(2)(2)(3)(3)996622n m y x x y zx y m n x y x y x y ++--=+=+==+++---，99999911()117725y x z x y x y x y x y=+-=++-=++=≥．当x y =时，即m n =时等号成立，所以z 的最小值为25.。

成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。

泸州市高2020级第一次教学质量诊断性考试数 学（文科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：二、填空题：13．12±； 14．2,3k k Z πϕπ=-∈中的任意一个值； 15．(2,)+∞； 16．9π．三、解答题：17．解：（Ⅰ）由()f x 的图象相邻两最高点的距离为π可得()f x 的周期为π，因为2πT πω==， ··········································································· 1分所以2ω=， ·················································································· 2分 又函数图象的一个对称中心为π(,0)3，所以2πsin()03ϕ+=， ······································································ 3分 所以2ππ()3k k Z ϕ=∈+， ·································································· 5分 又0ϕπ<<，所以π3ϕ=； ······························································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)3f x x π=+，因为()6f πθ-=所以sin[2()]sin 263ππθθ-+== ··················································· 7分因为84ππθ<<，所以242ππθ<<， ······················································ 8分所以1cos 23θ==， ···························································· 9分 所以sin(23())f πθθ+= ····································································· 10分1sin 222θθ= ······································································· 11分1312==················································································ 12分 18．解：（Ⅰ）由3()f x ax cx =+，得2()3f x ax c '=+， ················································ 1分因为()f x 在点(1(1))f ，处的切线斜率为9-，所以(1)39f a c '=+=-， ① ····························································· 2分 因为当2x =时，()f x 取得极值，所以(2)120f a c '=+=， ② ····························································· 3分 由①②可得，1a =，12c =-， ··························································· 5分 所以3()12f x x x =-； ······································································ 6分 （Ⅱ）因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+， ················································ 7分所以当(2,2)x ∈-时，有()0f x '<，()f x 在(2,2)-上单调递减， ················· 8分 当(2,)x ∈+∞时，有()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上单调递增， ······················ 9分 所以当2x =时，()f x 取得最小值， ················································· 10分因为()f x 在区间(1,)m -上存在最小值， ···············································11分所以实数m 的取值范围为(2,)+∞． ····················································· 12分19．解：（Ⅰ）因为sin sin sin A B c bC a b--=+，由正弦定理得：a b c b c a b--=+， ················································································· 1分即222b c a bc +-=，·········································································· 3分 所以2221cos 22b c a A bc +-==，································································ 5分 因为(0,)2A π∈，所以π3A =； ····························································· 6分 （Ⅱ）由sin B =，因为ABC △是锐角三角形，所以1cos 7B =，······························································ 7分 则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+ ········································ 8分111107214=-⨯=>， ····························································· 9分 所以C为锐角，且sin C =，4c =，················································ 10分 由正弦定理sin sin a cA C=可得：sin 3a π=， ······································· 11分即285a ==．···································································· 12分 20．证明：（Ⅰ）因为CD SD =，SM CM =，所以DM SC ⊥， ······································ 1分 因为平面SCD ⊥平面SBC ，平面SCD 平面SBC SC =， 所以DM ⊥平面SBC ， ······························ 3分 又因为BC ⊂平面SBC ，所以DM BC ⊥； ······································ 4分 （若有一个条件缺失，如线在面内，平面与平面相交等，总体扣1分） （Ⅱ）因为BC AB ⊥，//AB DC ，所以BC CD ⊥， ·············································································· 5分 由（Ⅰ）可知DM BC ⊥，所以BC ⊥平面SDC ， ······································································ 6分所以BC SC ⊥，在SCB Rt △中，SC === ·········································· 7分 在SDC △中，由余弦定理得，2221cos 22SD DC SC SDC SD DC +-∠===-⋅，所以120SDC ∠=，·········································································· 8分 过点N 作NG CD ⊥于点G ，则//NG BC ，因为DN =所以4DG ==， ·················· 9分 2BN CG ==，所以6AN =， ·························································· 10分 过点S 作SE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ， 因为平面SDC ⊥平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，且sin3033SE SC == ··································11分所以117632D SAN S ADN V V --==⨯⨯⨯⨯=．······································ 12分21．解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0)+∞，，当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，且11()1xf x x x-'=-=， ··························· 1分 由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >； ·································· 2分 所以()f x 在(01)，上是增函数；在(1)+∞，上是减函数， ······························ 3分 所以当1x =时，max ()(1)0f x f ==； ····················································· 4分（Ⅱ）因为对任意()0x ∈+∞，，都有()e xf x x ≤成立，则e ln 1x x x a x --≤恒成立，即min e ln 1()xx x a x--≤， ···························· 5分 令e ln 1()(0)x x x F x x x --=>，则22e ln ()x x xF x x+'=， 令2()e ln (0)x g x x x x =+>，则21()(2)e 0x g x x x x'=++>，························ 6分所以()g x 在(0)+∞，上为增函数， ····················································· 7分 又(1)e 0g =>，12e 1()e 10eg -=-<，所以存在01(,1)ex ∈，使得0()0g x =，即0200e ln 0xx x +=，······················· 8分 所以当0(0,)x x ∈时，()0F x '<，当0()x x ∈+∞，时，()0F x '>， 即()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0()x +∞，上单调递增，所以000min00e ln 1()()x x x F x F x x --==， ··············································· 9分 由0200e ln 0x x x +=可得001ln000000ln 111e ln ln()e x x x x x x x x =-==， ·················· 10分令()e x h x x =，则001()(ln)h x h x =， 又()(1)e 0x h x x '=+>，所以()h x 在(0)+∞，上单调递增， 所以001lnx x =，则00ln x x =-，001e x x =， ········································· 11分 所以000000min001()1e ln 1()()1x x x x x x F x F x x x ⋅-----====，故a 的取值范围是(,1]-∞． ····························································· 12分 方法二：因为对任意()0x ∈+∞，，都有()e xf x x ≤成立，则e ln 1x x x a x --≤恒成立即min e ln 1()xx x a x--≤， ······························· 5分 设()e 1x h x x =--（()0x ∈+∞，），则()e 10x h x '=->，··························· 6分 故()e 1x h x x =--在()0+∞，上是增函数， ·········································· 7分 所以()e 10x h x x =-->即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，取等号， ··························································· 8分 因为ln e ln 1eln 1x x xx x x x x+----= ····················································· 10分 ln 1ln 11x x x x++--≥=，······························································ 11分 当且仅当ln 0x x +=时，取等号，故a 的取值范围是(,1]-∞． ····························································· 12分22．解：（Ⅰ）设点P 的直角坐标是(,)m n ，因为(2,)6P π-，则2cos()36m π=-=，2sin()16n π=-=-，所以点P 的直角坐标是(3,1)-， ····················································· 1分 所以OQ 的直角坐标方程为22(3)(1)4x y -++=， ······························· 2分 且03x ≤≤，01y ≤≤，···························································· 3分 所以OQ 的极坐标方程为2(3cos sin )ρθθ=-， ·································· 4分 且63ππθ≤≤； ··········································································· 5分（只要一处有范围，不扣分，否则扣1分）（Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为：320x y +-=，········································ 5分 其极坐标方程为：(3cos sin )20ρθθ+-=，·········································· 6分 因为OQ 的极坐标方程为2(3cos sin )()63ππρθθθ=-≤≤，所以2(3cos sin )(3cos sin )20θθθθ-+-=， ······································· 7分 即223cos sin 10θθ--=， ····························· 8分 因为63ππθ≤≤，所以4πθ=， ····················· 9分 所以62ρ=-，曲线C 与OQ 交点的极坐标为(62,)4M π-． ······· ····························· 10分23．解：（Ⅰ）因为()|||3|f x x x =+-，（1）所以当0<x 时，5||()x f x x>等价于35x x +->-，该不等式恒成立；1分 （2）当03x <≤时，5||()x f x x>等价于35>，该不等式不成立； ············· 2分 （3）当3x >时，5||()x f x x >等价于3235x x >⎧⎨->⎩，解得4x >，··················· 4分 所以，不等式5||()x f x x>的解集为(,0)(4,)-∞+∞；······························· 5分（Ⅱ）因为32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤， ······································ 6分 所以()f x 的最小值为3，即3M =， ····················································· 7分 所以111123a b c++=， 又a ，b ，c 为正数， 所以11123(23)()23a b c a b c a b c++=++++23233()()()2332a b a c b c b a c a c b=++++++ ····················································· 8分39+≥， ··········································· 9分 当且仅当2,23,32332a bb a ac c a b c c b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即3321a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以239a b c ++≥． ············ 10分。

张掖市2022——2023学年高三年级第一次诊断考试数学试卷(文科）一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,2U M =ð．则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉2．若复数i(32i)z =+（i 是虚数单位），则z 的虚部是（）A ．3iB ．3C ．3i-D ．3-3．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（）A ．3B ．6C ．9D ．124．3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．c a b>>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且2BD CD =，则AD = （）A ．3144AD AB AC=+ B ．1344AD AB AC=+C ．2133AD AB AC=+D ．1233AD AB AC=+6．下列说法中正确的是（）A ．“5x >”是“3x >”的必要不充分条件B ．命题“对R x ∀∈，恒有210x +>”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”C ．在同一直角坐标系中，函数2x y =与lg y x =的图象关于直线y x =对称D ．若幂函数()f x mx α=过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则32m α+=7．把函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移(0)a a >个单位长度，得到函数cos y x =的图象，则a 可以是（）A ．8πB ．4πC ．2πD ．34π8．设m ，n 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误．．的是（）A ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥B ．若m α∥且m β⊥，则αβ⊥C ．若m α∥且n α∥，则m n ∥D ．若αβ∥且m α⊥，则m β⊥9．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（）A ．)1(2-=x e yB ．1-=ex y C ．)1(-=x e y D ．ex y -=10．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是*12(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，其中，121,1.a a ==若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A.13B.23 C.12D.3411．已知抛物线x y 82=的焦点到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x E 的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）A ．]2,1(B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2[+∞12．已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.c b a>> C.b c a>> D.a c b>>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBCAD BACBC BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．714．15．[1)，-+∞16．1三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则4S 2=S 1+3S 3，得3a 3=a 2，················3分∴数列{a n }的公比q 31=，·····································································4分由271=a ，数列{a n }的通项公式n n n q a a --=⋅=4113；·································6分（2）令n n a b 3log =，则n b n n -==-43log 43，·········································8分∴当4≤n 时，0≥n b ，········································································9分∴当3=n 或4时，T n 取得最大值：612343=++==T T ．···························12分18．解：（1）∵1)8tan()3(=+=ϕππf ，∴πππϕk +=+48，而2||πϕ<，····························································2分∴8πϕ=，即)883tan()(π+=x x f ，·························································3分∴()f x 的最小正周期为：83T ππω==；··················································4分（2）由题意，33()tan()888g x x πλ=++，····················································5分∵(0)tan tan()88f ππ-=-=-，∴)8tan()883323tan()0(4(ππλππ-=++-=，得由f g ，··································7分∴∈+-=+k k ，πππλ832783Z ，······························································9分∴0381211>∈+-=λππλ，又，Z k k ，·····················································10分∴λ的最小值为74π．··········································································12分19．解：（1）∵232()(2)(2)=22(2)(2)f x x m x m x m x mx m m =+-+--+--为奇函数，∴2(2)0(2)0m m m --=⎧⎨--=⎩，解得：m =2．···························································5分（2）当m >0时，2x 2+m >0，∴函数2()(2)(2)f x x m x m =+-+不可能有两个零点．································6分当m <0时，由()0f x =，解得：x =m -2，·································7分要使得f (x )仅有两个零点，则2m -=，··········································8分即22780m m -+=，此方程无解．故m =0，即32()24f x x x =+，·······························································9分令32()()3243h x f x x x =-=+-，则2()682(34)h x x x x x '=+=+，()0h x '>，解得：0x >或43x <-，()0h x '<解得：403x -<<，故()h x 在4()3，-∞-，(0)，+∞上递增，在4(0)3，-上递减，···························10分又417()0327h -=-<，故函数()3y f x =-仅有一个零点．·························································12分20．解：（1）∵cos(C -B )sin A=cos(C -A )sin B∴(cos C cos B+sin C sin B )sin A=(cos C cos A+sin C sin A )sin B ·································2分∴cos C cos B sin A=cos C cos A sin B ·······························································3分又∵△ABC 为斜三角形，则cos C ≠0，∴cos B sin A =cos A sin B ，·········································································5分∴sin(A -B )=0，又A ，B 为△ABC 的内角，∴A=B ；···························································································6分（2）在△ABC 中，由（1）知，a=b ，由正弦定理sin sin b c B C =，则1sin sin C b c B=，···············································7分又1sin B c=，即sin 1c B =，∴11sin sin()sin 2C A B B a b===+=，∴2211ac -==sin 2B -sin 22B ，·································································9分∴2211a c -=sin 2B -sin 22B=sin 2B -4cos 2B sin 2B=sin 2B -4(1-sin 2B )sin 2B ，············10分令sin 2B=t ，令f (t )=t -4(1-t )t=4t 2-3t ，······················································11分又因为0＜sin 2B<1，即0＜t<1，∴当t=38时，f (t )取最小值，且f (t )min =916-，综上所述：2211a c -的最小值为916-．···················································12分21．解：（1）方法一：a ax x x f x -+-='-21e )(，············································1分因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，∴()0≥f x '恒成立，故：当1x >时，21e 1≥x x a x ---恒成立．·····················································3分设21e ()(1)1x x g x x x --=>-，则max ()≥a g x ，则12(2)(e )()(1)x x x g x x ----'=-，易知1+≥x e x ，所以x e x ≥-1，故令0)(>'x g 得到：21<<x ；令0)(<'x g 得到：2>x ．∴()g x 在(2)，+∞上递减；在(12)，上递增．·············································5分故：当1>x 时，max ()(2)4e g x g ==-．∴实数a 的取值范围：4e ≥a -．···························································6分方法二：12()e x f x x ax a -'=-+-，因为()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()0≥f x '恒成立，等价于：2110e ≤x x ax a --+-在[1)+∞，上恒成立，········································2分设21()1(1)e x x ax a g x x --+=->，则max ()0≤g x ，1()(2)()e x x a x g x ----'=，当2a =时，()0g x '<，∴()g x 在[1)+∞，上递减，max ()(1)0g x g ==，符合题意．····························3分当2a >时，易知()g x 在(12)，上递减，在(2)a ，上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足1()10a ag a e -=-≤（由1+≥x e x易得），符合题意．···················4分当21<<a 时，易知()g x 在(1，a )上递减，在(a ，2)上递增，在）（+∞,2上递减，因为(1)0g =，故只需满足4(2)10ea g -=-≤，即24<≤-a e ，当1≤a 时，易知()g x 在(1，2)上递增，在2+∞（，）上递减，························5分max 4()(2)10a g x g e-==->，不符合题意．综上：实数a 的取值范围：4e a -≥．·····················································6分（2）()f x 的极值点个数等价于()f x '的变号零点个数，令21()1e x x ax a g x --+=-，则等价于()g x 的变号零点个数，···························7分当x →-∞时，()g x →+∞；当+∞→x 时，1)(-→x g ，由（1）可知1()(2)()e x x a x g x ----'=，(1)0g =，当2=a 时，易知()g x 在），（∞+∞-上递减，故()g x 有唯一变号零点1；······8分当2a >时，易知()g x 在），（2∞-上递减，在），（a 2上递增，在）（+∞,2上递减，因为(2)(1)0g g <=，1()10e a ag a -=-≤，故()g x 有唯一变号零点1；当2<a 且1≠a 时，易知()g x 在()a -∞，上递减，在(a ，2)上递增，在2+∞（，）上递减，·············································································································9分01e )(1<-=-a aa g ，4(2)1ea g -=-，若(2)0g ≤，即4e 2a -<≤时，有唯一变号零点1；···································10分若(2)0g >，即4a e <-且1a ≠时，()g x 有三个变号零点1，2x ，3x ，且2312x x <<<。

2022年四川省德阳市高考数学一诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={−2,−1,0,1}，T ={y|y =|x|}，则S ∩T =( )A. SB. {1}C. {0,1}D. {−1,0,1}2. 已知复数z 满足z(1+i)=2，则z 的虚部为(i 为虚数单位)( )A. −12B. −1C. 12iD. −i3. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 0 B. 1 C. −2 D. −14. 已知离心率为32的双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则C 的方程是( )A. x 25−y 24=1 B. x 24−y 25=1 C. x 28−y 210=1 D. x 23−y 26=1 5. 随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习．某大学通过对本校准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间的调查，得到如图所示的频率分布直方图，通过该图的信息，我们可以得到被调查学生课余平均学习时间为( )A. 7.38小时B. 7.28小时C. 8.23小时D. 8.12小时6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 167.由表中三个样本点通过最小二乘法计算得到变量x、y之间的线性回归方程为：ŷ=2x+k，且当x=10时，y的预报值ŷ=23，则2m−n=()A. 6B. −6C. 7D. −78.已知球的内接圆柱(圆柱的底面圆周在球面上)的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为()A. √33B. √34C. 916D. 3√389.在△ABC中，0<A<π2，且tanA+tan(A−π4)=2，则“π4<B<π2”是“△ABC为锐角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知正实数a、b满足a+b=2，则2ab +1a的最小值是()A. 52B. 3 C. 2 D. 9211.已知函数f(x)=πx−π−xπx+π−x，若∀x∈R，f(x2−3x)−f(−x)+f(x−a)>f(x)，则实数a的取值范围是()A. (1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,−1)12.已知关于x的方程x4−2x3−kx2+2x+1=0没有实数根，则实数k的取值范围是()A. (−∞,2)B. (−∞,−3)C. (−∞,1)D. (−3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗、b⃗ 的夹角为π3，且|a⃗|=|b⃗ |=1，c⃗=a⃗−b⃗ ，则c⃗与a⃗的夹角等于______．14.公比为整数的等比数列{a n}满足a1+a3=5，a1−a2=3，则a4=______．15. 将函数f(x)=sinx(√3cosx −sinx)的图象向右平移π12个单位，再向上平移12个单位后得到函数y =ℎ(x)的图象，若x =a 是曲线y =ℎ(x)的一条对称轴，则ℎ(a +π4)+ℎ(π4)=______．16. 已知函数f(x)={mlnx,x >m(2−m e)x,x ≤m (e =2.71828⋯).若对定义域内不相等的x 1、x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则实数m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 随着人民物质生活条件的不断改善，越来越多的人意识到身体健康的重要性．特别是年轻的父母们更是对自家孩子的身体素质要求更高，以便将来有一个健康的身体参加祖国的“强国建设”，近几年，我市陆续开设了多家针对青少年身体素质训练的体育俱乐部，报名训练的青少年络绎不绝．为了检查这些俱乐部的训练效果，某管理部门随机抽取了A 、B 两家俱乐部，并对他们各自学员进行身体素质测试，得到如下结果：(K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d.) (1)分别计算A 、B 两家俱乐部学员测试成绩的优秀率； (2)能否有97.5%的把握认为两家俱乐部的训练效果有差异；(3)将优秀学员按俱乐部分层抽样抽取15名学员进行“训练经验”交流，求两个俱乐部分别抽取的学员人数．18.已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=12，a1、a3、a9成等比数列．(1)求a n；}的前n项(2)若数列{b n}满足：b1+b2+⋯+b n=4(√2a n−1)，求数列{b n(b n−1)(b n−2)和T n．+C)+c=2b．19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2asin(π2(1)求内角A的大小；(2)已知点D在线段BC上，且AD平分内角A，若AD=2，△ABC的面积为3√3，求△ABC2的周长．20.已知曲线f(x)=x3−3x+λ在点A(m,f(m))处的切线与曲线的另外一个交点为B，P为线段AB的中点，O为坐标原点．(1)求f(x)的极小值并讨论f(x)的奇偶性；(2)当函数f(x)为奇函数时，直线OP的斜率记为k，若−3≤k≤4，求实数m的取值范围．21.已知函数f(x)=a x(1−x)(a>0,a≠1)的最大值为1．(1)求常数a的值；(2)若∃x1≠x2，f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2<0．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2−√2y=0，曲线C2的参数方程为：{x=2cosαy=2√33sinα(其中α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1、C2的极坐标方程；(2)曲线C3：θ=φ(ρ>0,0<φ<π)与C1、C2分别交于M、N，令s=|OM||ON|，求s2的取值范围．23.已知函数f(x)=2|x+2|+|x−1|．(1)解不等式f(x)<6．(2)记函数f(x)的最小值为m，若正实数a、b、c满足a+b+c=m3，求证：√a3+b3+c3≥a2+b2+c2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合S ={−2,−1,0,1}，T ={y|y =|x|}={y|y ≥0}， ∴S ∩T ={0,1}． 故选：C ．求出集合T ，利用交集定义能求出S ∩T ．本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z(1+i)=2， ∴z =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴z 的虚部为(i 为虚数单位)为−1． 故选：B ．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：如图，建立平面直角坐标系， 每一个小正方形的边长均为1，则(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1,0)+(2,1)]⋅(−1，2)=(3，1)⋅(−1，2) =−3+2=−1． 故选：D ．建立平面直角坐标系，求出相关向量，然后求解数量积即可．本题考查向量的数量积，向量的坐标运算能够简化解题过程，是基础题．4.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点为(3,0)，则双曲线的c=3，双曲线的离心率等于32，可得a=2，b=√c2−a2=√5，则双曲线的标准方程：x24−y25=1．故选：B．求出抛物线的焦点，可得双曲线的c，运用离心率公式可得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到标准方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得[10,12]的频率为：1−(0.02+0.05+0.15+0.19)×2=0.18，被调查学生课余平均学习时间为：x−=3×0.02×2+5×0.05×2+7×0.15×2+9×0.19×2+11×0.18=8.12(小时)．故选：D．由频率分布直方图求出[10,12]的频率，由此能求出被调查学生课余平均学习时间．本题考查被调查学生课余平均学习时间的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解、数据分析能力，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题．根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由古典概型的概率公式计算可得答案．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别记为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种可能，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局，共3种可能，则田忌的马获胜的概率为39=13．故选：A．7.【答案】D【解析】解：∵变量x、y之间的线性回归方程为：ŷ=2x+k，且当x=10时，y的预报值ŷ=23，∴k=3，即ŷ=2x+3，∵x−=12+m+133=25+m3，y−=27+25+n3=52+n3，∴52+n3=2×25+m3+3，∴2m−n=−7．故选：D．根据已知条件，求出k的值，再求出x，y的平均值，并结合线性回归方程过样本中心，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得：圆柱的高与球的半径相等，设为R，圆柱底面直径为√4R2−R2=√3R，所以圆柱的侧面积为：√3πR2，球的表面积为：4πR2，圆柱的侧面积与球的表面积之比为√34．故选：B．圆柱的高与球的半径相等，设为R结合多面体的表面积的公式即可得到答案．本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．9.【答案】A【解析】解：△ABC中，tanA+tan(A−π4)=2，所以tanA+tanA−11+tanA=2，解得，tan2A=3因为0<A<π2，tanA>0，所以tanA=√3，A=π3，B+C=2π3，若π4<B<π2，则π6<C<5π12，此时△ABC为锐角三角形，若△ABC为锐角三角形，取C=7π12，此时B=π12，不满足π4<B<π2，故“π4<B<π2”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件．故选：A．由已知结合两角差的正切公式先求出tanA，进而可求A，然后结合三角形内角和进行求解即可判断．本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由正实数a、b满足a+b=2得12(a+b)=1，由正实数a、b满足a+b=2得a=2−b得2ab +1a=2(2−b)b+1a=4b+1a−2=12(a+b)(4b +1a)−2=2ab +b2a+12≥2√2ab⋅2ba+12=52，当且仅当2ab=b2a且a+b=2即{a=23b=43时等号成立．故选：A．正实数a、b满足a+b=2得a=2−b得2ab +1a=2(2−b)b+1a=4b+1a−2，然后结合12(a+b)=1可解决此题．本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得f(−x)=π−x−πxπ−x+πx=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，∵f(x2−3x)−f(−x)+f(x−a)>f(x)，∴f(x2−3x)+f(x−a)>0，即f(x2−3x)>−f(x−a)，即f(x2−3x)>f(a−x)，又∵f(x)=πx−π−xπx+π−x =π2x−1π2x+1=1−2π2x+1在R上递增，所以有∀x∈R，x2−3x>a−x，即∀x∈R，a<x2−2x，即a<(x2−2x)min，而x2−2x=(x−1)2−1≥−1，所以a<−1，故选：D．先求出函数的奇偶性，再利用函数的单调性列出不等式，通过分离变量利用函数的最值求解即可．本题考查函数的奇偶性，函数的单调性以及恒成立的应用，考查计算能力．12.【答案】C【解析】解：由x4−2x3−kx2+2x+1=0，得k=x4−2x3+2x+1x2=x2−2x+2x+1x2=(x−1x )2−2(x−1x)+2，令t=x−1x(t∈R)，则k=t2−2t+2，关于x的方程x4−2x3−kx2+2x+1=0没有实数根转化为k=t2−2t+2没有实数根，等价于函数y=k与f(t)=t2−2t+2的图象没有交点，分别画出函数y=k与f(t)= t2−2t+2的图象，如图所示，由图可知k<1，所以实k的取值范围是(−∞,1)．故选：C．将方程程x4−2x3−kx2+2x+1=0进行变形可得k=(x−1x )2−2(x−1x)+2，令t=x−1x(t∈R)，则f(t)=t2−2t+2，问题转化为k=f(t)的根的情况，分别画出函数图象即可求解．本题考查函数零点与方程根的关系，属中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵平面向量a⃗、b⃗ 的夹角为π3，且|a⃗|=|b⃗ |=1，c⃗=a⃗−b⃗ ，∴cos<c⃗,a⃗>=c⃗ ⋅a⃗|c⃗ |⋅|a⃗ |=⃗√(a⃗ −b⃗)2=⃗√1−2cosπ3+1=1−cosπ3√1−1+1=12，∵0≤<c⃗,a⃗>≤π，∴c⃗与a⃗的夹角为π3．故答案为：π3．cos<c⃗,a⃗>=c⃗ ⋅a⃗|c⃗ |⋅|a⃗ |=⃗√(a⃗ −b⃗)2=12，由此能求出c⃗与a⃗的夹角．本题考查向量夹角的求法，考查向量夹角余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−8【解析】解：因为等比数列{a n }满足a 1+a 3=a 1(1+q 2)=5，a 1−a 2=a 1(1−q)=3， 两式相除整理得，3q 2+5q −2=0， 解得，q =−2或q =13， 因为q 为整数， 所以q =−2，a 1=1， 则a 4=a 1q 3=−8． 故答案为：−8．由已知结合等比数列的通项公式可求q ，a 1，然后结合通项公式即可求解． 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：f(x)=sinx(√3cosx −sinx)=√32sin2x −1−cos2x2=sin(2x +π6)−12，把函数f(x)的图象向右平移π12个单位，再向上平移12个单位后，得到ℎ(x)=sin2x ， 当2a =kπ+π2，即a =kπ2+π4时(k ∈Z)时，函数达到最值；故a =kπ2+π4(k ∈Z)，所以ℎ(kπ2+π2)+ℎ(π4)=sin(kπ+π)+sin π2=1． 故答案为：1．直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】[e,2e)【解析】解：对于任意不相等的x 1，x 2，有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 即不等式(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立， 所以函数f(x)是定义在R 上的单调增函数， 所以{m >02−m e>0mlnm ≥m(2−m e )，即{0<m <2e lnm ≥2−m e其中lnm ≥2−me ，即lnm −2+m e≥0，令g(m)=lnm −2+me ，0<m <2e ， 易知函数g(m)为增函数，且g(e)=0， 所以e ≤m <2e ， 故m 的取值范围为[e,2e)． 故答案为：[e,2e)．由题意可得函数f(x)是定义在R 上的单调增函数，即可得到{m >02−m e>0mlnm ≥m(2−me )，解得即可．本题考查了函数单调性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由列联表中数据，计算A 家俱乐部学员测试成绩的优秀率为6060+40=0.6， B 家俱乐部学员测试成绩的优秀率为1040+10=0.2； (2)由列联表中数据，计算K 2=150×(60×10−40×40)2100×50×100×50=6>5.024，所以有97.5%的把握认为两家俱乐部的训练效果有差异；(3)根据分层抽样原理知，A 俱乐部抽取的学员人数为15×60100=9(人)， B 俱乐部抽取的学员人数为15×40100=6(人)．【解析】(1)由列联表中数据，分别计算A 、B 两家俱乐部学员测试成绩的优秀率； (2)由列联表中数据计算K 2，对照附表得出结论；(3)根据分层抽样原理分别求出A 、B 两家俱乐部分别抽取的学员人数．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=12，a 1、a 3、a 9成等比数列， 设公差为d ， 所以{3a 1+3×22d =12(a 1+2d)2=a 1⋅(a 1+8d)，解得{a 1=2d =2，故a n =2n ；(2)数列{b n }满足：b 1+b 2+⋯+b n =4(√2a n −1)，当n=1时，解得b1=4；当n≥2时，b n=2n+2−4−(2n+1−4)=2n+1，(首项符合通项)，故b n=2n+1；所以b n(b n−1)(b n−2)=2n+1(2n+1−1)(2n+1−2)=2n(2n+1−1)(2n−1)=12n−1−12n+1−1；故T n=12−1−122−1+122−1−123−1+...+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，列项项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意利用正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)，所以sinC=2sinCcosA，又sinC≠0，所以cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．(2)由题意及(1)可得S△ABC=12bcsinπ3=3√32，解得bc=6，在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc×12，即a2=(b+c)2−18，又S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12bc×√32=12c×2×12+12b×2×12，可得b+c=√32bc=3√3，所以a=3，可得△ABC的周长为3+3√3．【解析】(1)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换可求cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由题意及(1)利用三角形的面积公式可得bc=6，在△ABC中，由余弦定理可得a2= (b+c)2−18，又S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式可求a的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，当−1<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减，当x>1或x<−1时，f′(x)>0，函数单调递增，故当x=1时，函数取得极小值f(1)=λ−2，当λ=0时，f(x)=x3−3x为奇函数，当λ≠0时，f(x)=x3−3x+λ，又f(−1)=2+λ，f(1)=λ−2，此时f(−1)±f(1)≠0，故f(x)为非奇非偶函数；(2)由(1)得，f(x)=x3−3x，f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，故曲线f(x)=x3−3x+λ在点A(m,f(m))处的切线方程为y−(m2−3m)=(3m2−3)(x−m)，与原曲线方程f(x)=x3−3x联立得，(x+2m)(x−m)2=0，所以B(−2m,6m−8m2)，m≠0，所以P(−m2,3m−7m32)，k=7m2−3，因为−3≤k≤4，即−3≤7m2≤4且m≠0，所以0<m≤1或−1≤m<0，所以m的取值范围为{m|0<m≤1或−1≤m<0}．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性，进而可求函数的极小值，然后结合奇偶性定义检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；(2)结合导数几何意义先求出曲线f(x)=x3−3x+λ在点A(m,f(m))处的切线方程，与原曲线方程f(x)=x3−3x联立可求B，P的坐标，结合斜率公式表示出斜率，进而可求m的范围．本题主要考查了导数与单调性及极值关系，还考查了导数的几何意义的应用，函数与导数的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意x∈R，f′(x)=a x[−xlna+lna−1]=a x(−lna)(x−lna−1lna).由于a x>0，所以若−lna >0，即0<a <1， 当x <lna−1lna时，f′(x)<0；当x >lna−1lna时，f′(x)>0；即f(x)在(−∞,lna−1lna)上单调递减，在(lna−1lna,+∞)上单调递增，不合题意；若−lna <0，即a >1， 当x <lna−1lna时，f′(x)>0；当x >lna−1lna时，f′(x)<0；即f(x)在(−∞,lna−1lna)上单调递增，在(lna−1lna,+∞)上单调递减，f(x)max =f(lna−1lna)=alna−1lnalna，所以alna−1lna=lna ，两边取自然对数得：lna −1=ln(lna)，即ln(lna)−lna +1=0， 令ℎ(x)=lnx −x +1， 则ℎ′(x)=1x −1=1−x x，易知0<x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；x >1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=0， 即lnx −x +1=0的根为1， 所以lna =1， 即a =e ；(2)由(1)知f(x)=e x (1−x)，且在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， f(1)=0，f(0)=1，当x →−∞时，f(x)→0；当x →+∞时，f(x)→−∞， 由f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，不妨设x 1<0<x 2<1，则f(−x 2)−f(x 1)=f(−x 2)−f(x 2)=e −x 2(1+x 2)−e x 2(1−x 2)， 令m(x)=e −x (1+x)−e x (1−x)(0<x <1)， 于是m′(x)=x(e x −e −x )>0， 所以m(x)在(0,1)上单调递增， 所以m(x 2)>m(0)=0，所以f(−x 2)>f(x 1)，且x 1，−x 2∈(−∞,0)， 从而x 1<−x 2， 即x 1+x 2<0．【解析】(1)由题可得f′(x)=a x [−xlna +lna −1]=a x (−lna)(x −lna−1lna)，分类讨论可得a >1时，f(x)max =f(lna−1lna)=alna−1lnalna，即lna −1=ln(lna)，然后通过构造函数ℎ(x)lnx −x +1可求；(2)由题可得f(−x 2)−f(x 1)=e −x 2(1+x 2)−e x 2(1−x 2)，构造函数m(x)=e −x (1+x)−e x (1−x)(0<x <1)，利用导数可得m(x 2)>m(0)=0，即得．本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想，第一问利用导数通过分类讨论得到alna−1lna=lna ，通过两边取对数，构造函数ℎ(x)=lnx −x +1，再利用导数求a 的值；第二问关键是构造函数m(x)=e −x (1+x)−e x (1−x)(0<x <1)，然后利用导数与单调性的关系即证，属于难题．22.【答案】解：(1)∵圆C 1：x 2+y 2−√2y =0，{x =ρcosθy =ρsinθ，∴ρ2−√2ρsinθ=0，即ρ=√2sinθ，∵曲线C 2的参数方程为：{x =2cosαy =2√33sinα(其中α为参数)， ∴{x =2cosα√3y =2sinα，即x 2+3y 2=4， ∵{x =ρcosθy =ρsinθ， ∴ρ2+2ρ2sin 2θ=4， ∴ρ2=42sin 2θ+1，故C 1、C 2的极坐标方程分别为ρ=√2sinθ，ρ2=42sin 2θ+1． (2)由题意可得，|OM|2=2sin 2φ，|ON|2=42sin 2ϕ+1， 则s 2=|OM|2|ON|2=8sin 2φ2sin 2ϕ+1=4+−42sin 2ϕ+1， 令t =2sin 2φ+1，t ∈(1,3]， 故s 2=4+−4t∈(0,83],故s 2的取值范围为(0,83]．【解析】(1)根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解．(2)由题意可得，|OM|2=2sin 2φ，|ON|2=42sin 2ϕ+1，则s 2=|OM|2|ON|2=8sin 2φ2sin 2ϕ+1=4+−42sin 2ϕ+1，再结合换元法，即可求解．本题主要考查极坐标方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】(1)解：f(x)=2|x +2|+|x −1|={−3x −3,x <−2x +5,−2≤x <13x +3,x ≥1，f(x)<6⇔{x <−2−3x −3<6或{−2≤x <1x +5<6或{x ≥13x +3<6，解得−3<x <1， 故不等式的解集为(−3,1)．(2)证明：由(1)知m =3，即a +b +c =1，所以由柯西不等式得√a 3+b 3+c 3=√(a 3+b 3+c 3)(a +b +c) ≥√(a √a ×√a +b √b ×√b +c √c ×√c)2=a 2+b 2+c 2(当且仅当a =b =c =13时等号成立)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由(1)可得f(x)的最小值，由柯西不等式即可证明不等式．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式在不等式的证明中的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．。

2024 届南充一诊文科数学参考答案二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上. 13 ． 9 14 ． — 3 15 ． 78兀 16 .三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17―21 题必考题，每个试题考生必 须作答.第 22 、23 题为选考题，考试根据要求作答. (一)必考题17 ．解：(1): 数列{a n }是等比数列且a 4 是6a 2 和a 3 的等差中项: 2a 4 = 6a 2 + a 3 即：2a 1q 3 = 6a 1q + a 1q 2 :2q 2 — q — 6 = 0解得：q = 2 或q = —…………………………………………………………………4分又 : a 1 = 2: a n = 2 . 2n —1 = 2n (n ∈ N *). ………………………………………………………………………6分:由得b n =……………………8分. …………………………………………………………………………12分18 解：(1). 由题意得≈ 9.524 > 7.879 ……………………4分故有 99.5%的把握认为 70 岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关. ……………5分 (2).现从感染支原体肺炎的 60 位老人中按分层抽样的方式抽出 6 人，则抽出的 6 人中有慢性 疾病 4 人，无有慢性疾病 2 人. …………………………………………………………………6分设慢性疾病 4 人编号为A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 ；无有慢性疾病 2 人编号为B 1 ，B 2 . 现从 6 人中随机抽出2 人共 15 种情况.具体情况如下：A 1 A 2 ，A 1 A 3 ，A 1 A 4 ，A 1B 1 ，A 1 B 2 ; A 2 A 3 ，A 2 A 4，A 2 B 1 ，A 2 B 2 ; A 3 A 4 ，A 3 B 1 ，A 3 B 2 A 4 B 1 ，A 4 B 2 ; B 1 B 2 ............................................................................................................................................................................10分其中抽出的 2 人中恰有 1 个人患有慢性疾病，共 8 种情况(划线部分即为所示). 故抽出的 2 人中恰有 1 个人患有慢性疾病的概率为 . ……………………12分19 解： (1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AFAD = AB : AF 丄 BDBD = 4 AD = 2 3 :DF = 2 ……………………………2分DE 丄 平面BCD :DE 丄 BD DE = 2 2: AF // DE ，AF = DE: 四边形FDEA 为矩形 ………………………………………………4分 : AE // BDAE 丈 平面BCD BD 平面BCD: AE // 平面BCD ………………………………………………………6分方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AFAD = AB = 2 BD = 4: AF 丄 BD : AF =……………………………2分DE 丄 平面BCD ，DE 平面ABDE : 平面ABDE 丄 平面BCDAF 平面ABDE ，平面ABDE ∩ 平面BCD = BD: AF 丄 平面BCD ………………………………………………4分 : AF // DE ，AF = DE…………………………………………………5分: 四边形FDEA 为矩形: AE // BDAE 丈平面BCD BD 平面BCD: AE // 平面BCD ………………………………………………………6分(2). AE // BD ，直线BC 与AE 所成角为30 °o: 上CBD = 30BC 丄CD ，BD = 4:BC = 2 ，CD = 2 ………………………………………………………7分过C 作BD 的垂线交BD 于H:CH 丄BDDE 丄平面BCD ，CH 平面BCD:DE 丄CH又BD∩DE = D: CH 丄平面ABDE在ΔBCD 中，由SΔBCD = BC×CD = BD×CH , 得CH = ·、i3: V C-BAE = SΔBAE ×CH = ……………………………………………9分 AF // DE ，DE 丄平面BCD: AF 丄平面BCD: AF 丄CF:ΔABC 为等边三角形，S= 3 ………………………………………………………11分ΔABC设点E 到平面ABC 的距离为h ，由V E-ABC = V C-BAE 得：h =故点E 到平面ABC 的距离为. ……………………………………12分注：以下方法酌情给分由EF // 平面ABC知，E、F到平面ABC的距离相等，如右图，取BC中点M，过F 作FN 丄 AM 于N , 则可证FN 丄 平面ABC ，即E 到平面ABC 的距离等于FN .20 解：(1). 由题意f ’(x ) = xe x —1 ， 得f ’(0) = —1 …………………1分又f (0) = —2故切线方程为y + 2 = —x ，即x + y + 2 = 0 …………………………3分令x = 0得y = —2; 令y = 0得x = —2: 三角形面积S = × — 2× — 2 = 2 …………………………5分(2).方法一：由题意得f ’(x ) = xe x —1，显然x ≤ 0时，f ’(x ) < 0 ……………………6分又x > 0 时，令μ(x ) = f ’(x ) = xe x —1: μ’(x ) = (x +1)e x > 0, 故μ(x )在(0，+ ∞)上单调递增 : f ’(x )在(0,+∞)上单调递增又f ’(0) = —1 < 0，f ’(1) = e —1 > 0 ，故彐x 0 ∈ (0,1)使得f ’(x 0 ) = 0: 当x < x 0 时，f ’(x ) < 0，f (x )单调递减 ；当x > x 0 时，f ’(x ) > 0，f (x )单调递增 …………8分 又+1 > 0，f，f (1) = —2 < 0，f (2) = e 2 — 3 > 0所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ (—2,—1)，x 2 ∈ (1,2) ……………………10分由f (x 1 ) = (x 1 —1)e x 1 — x 1 —1 = 0 知 ，f (—x 1 ) = (—x 1 —1)e — x 1 + x 1 —1 == 0 也成立又由x 1 ∈ (—2,—1)知x 1 ≠ —x 1: —x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………………………12分方法二：: f (1) = —2 ≠ 0:x = 1不是方程f (x ) = 0的根 令 = e x — 则f (x ) = 0 g (x ) = 0 ……………………6分 又= e x +> 0 ，g的定义域为(—∞ , 1) U (1，+ ∞): g (x )在 (∞ ,1) 单调递增，在 (1，+ ∞) 单调递增 ……………………7分 : g (2) =< 0 ，5 < 0 ，g (2) = e 2 1 > 0: g (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2 ，且x 1 ∈ (2， )，x 2 ∈ ( ，2) ……………………9分所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ (2， )，x 2 ∈ ( ，2) ……………………10分若f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 x 1 1 = 0 . 则 f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 + x 1 1 == 0: x 1 ≠ x 1: x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法三：: f (1) = 2 ≠ 0 : 由f (x ) = 0 得 ：: f (x )的零点就是函数h (x ) = e x 与函数图象交点的横坐标 ……………………6分h (x )与φ(x )的图象如右图所示：h (x )在R 上单调递增，φ(x )在(∞ , 1) ，(1，+ ∞)是减函数 7分, h (2) < φ(2)φ(1) = 0 ， h (1) > φ(1)h (2) = e 2 ， φ(2) = 3 ， h (2) > φ(2)所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ , x 2 ∈… … … … … … … …若f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 x 1 1 = 0 . 则 f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 + x 1 1 == 010分 ……………………: x 1 ∈ (一2，一1): 一x 1 ≠ x 1: 一x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法四：在f (x ) = (x 一1)e x 一 x 一1 中，令e x = t ，则x = ln t : f (x )可化为g (t ) = (ln t 一1)t 一 ln t 一1 = (t 一1) ln t 一 t 一1 由t = e x 是R 上的增函数可知：证明f (x )有且仅有两个零点即证明g (t )有且仅有两个零点……………………6分= ln t 一g ,(t )在(0，+ ∞)是增函数由g ,(1) = 一1 ，g ,(e ) = 1一 > 0 知：彐t 0 ∈ (1，e )使得 = ln t 0 一:t ∈(0，t 0 )时，g ,(t ) < 0, g (t )在(0，t 0 )是减函数t ∈(t 0 ，+ ∞)时，g ,(t ) > 0, g (t )在(t 0 ，+ ∞)是增函数……………………8分g (e ) = 一2 < 0 ，g (e 2 ) = e 2 一 3 > 0 : g (t ) 有且仅有两个零点t 1，t 2，且t 1 ∈ (，)，t 2 ∈ (e ，e 2 )所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 = ln t 1 ∈ (一2，一1)，x 2 = ln t 2 ∈ (1，2) ……………10分若f (x 1 ) = (x 1 一1)e x 1 一 x 1 一1 = 0 . 则e 一x 1 + x 1 一1 =: x 1 ∈ (一2，一1): 一x 1 ≠ x 1: 一x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法五：在f (x ) = (x 一1)e x 一 x 一1 中，由f (0) = 一2 ≠ 0知：x = 0不是f (x )的零点 令e x = t ，则x = ln t (t ≠ 1)= 0ln t 一= 0 ………………………………………6分:要证明f (x )有且仅有两个零点即证明 = ln t — 有且仅有两个零点又且g (t )的定义域为(0，1) u (1，+ ∞): g (t )在(0，1)和(1，+ ∞)单调递增 ………………………………………8分g (e ) =—< 0 ，: g (t ) 有且仅有两个零点t 1，t 2，且t 1 ∈, t 2 ∈所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 = ln t 1 ∈ (—2，—1)，x 2 = ln t 2 ∈ (1，2) ……………10分若f (x 1 ) = (x 1 —1)e x 1 — x 1 —1 = 0 . 则e — x 1 + x 1 —1 =: x 1 ∈ (—2，—1) : —x 1 ≠ x 1: —x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分21 解：(1). 由A ( — ,0)，B (0,—1) 得直线AB 的方程为：x + y + = 0 ……………2分故原点到直线AB 的距离: 直线 AB 与圆 O 相切:圆的半径r = d = ·i……………………4分故以 O 为圆心且与 AB 相切的圆的方程为：x 2 + y 2 = ……………………5分 方法一：(2). 由题意可知F 1 (—2，0)，故MN 方程为：y = k (x + 2) ……………………6分设M (x 1, y 1 )，N (x 2, y 2 )则直线MP 的方程为联立得：[5y 12 + (x 1 —1)2 ]x 2 —10y 12x + 5y 12 — 5x 12 +10x 1 —5 = 0……(*)又M (x 1, y 1 )在椭圆E 上，故= 1 ，即5y = 5 — x代入(*) 式整理得：(3 — x 1 )x 2 — 5y 12x + 5x 1 — 3x 12= 0 ……………………8分显然3 — x 1 ≠ 0，Δ > 0故……………………9分同理：:k ’=—= 2k [(x 1 + 2)(x 2— 3) — (x 2 + 2)(x 1 — 3)]x 1 — 3 x 2 — 3……………………11分故 即k = k ’所以：存在常数λ= 满足题意. ……………………12分 方法二：由题意可知F 1 (—2，0)，故MN 方程为：y = k (x + 2) ............................... 6分设M (x 1, y 1 ) ，N (x 2, y 2 ) ，P (x 3, y 3 ) ，Q (x 4, y 4 )设MR = tRP: (1— x 1, — y 1 ) = t (x 3 —1, y 3 ) {l [ —11x ty = t 3(x 3 —1)得+ t… … ……………………7分: (x 1 + tx 3 )(x 1 — tx 3 ) + (y 1 + ty 3 )(y 1 — ty 3 ) = 1— t 253x 1 — 5 — 3x 2 — 5 (3x 1 — 5)(x 2 — 3) — (3x 2 — 5)(x 1 — 3)4将(*)带入上式得+ 0 = 1— t 2 即：x 1 — tx 3 = 5 — 5t …………………9分又 : x 1 + tx 3 = 1+ t设 NR = μRQ ，同理可得： x 4 = 3 — ，y 4 = k…………………………………10分:k ’=k ……………………11分故 ，即k =所以：存在常数λ= 2满足题意 12分5 .22.解：(1).显然C 1 是过原点且倾斜角为α 的直线 ……………………1分: C 1 的极坐标方程为θ= α (0 < α < ，P ∈ R ) ……………………3分 C 2 的极坐标方程为θ= α + (0 < α < ，P ∈ R ) . …………………5分. 由in θ得A 的极坐标为(8sin α, α)由得B 的极坐标为|((8sin(α + ) ，α + ,)|，即8cos α , α + ),| . ……7分: OA = 8sin α , OB = 8 cos α …………………8分 :ΔAOB 的面积为. OB = 32 sin α cos α = 16 sin 2α …………………9分又:α = π时，ΔAOB 面积的最大值为 16. …………………10分23.解：+ 2 - 2 4 ………………2分= -6 ……………………………………3分: 当x ≥ 4时，f(x)min: f(x) - a2 + 5a ≥ 0 恒成立:-6 - a2 + 5a ≥ 0 即a2 - 5a + 6 ≤ 0: 2 ≤a ≤ 3故a 的取值范围为[2，3] .................................. 5分(2) 由(1)知：M = 6. 即a +b + c = 6 ............................... 6分法1：≤ a + b + c + 6 + (a +1) + (b + 2) + (a +1) + (c + 3) + (b + 2) + (c + 3)= 3(a +b + c)+18 = 36 ........................................................................................... 8分当且仅当即时等号成立…………………9分: + + 的最大值为6. ……………………10分法2 ：（柯西不等式）: a > 0 b > 0 c > 0= (a +b + c + 6) ×3 = 36 ………………………………………8分当且仅当，即时等号成立…………………9分: + + 的最大值为6. ……………………10分。

绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试文科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，本试卷收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A.{1,2}B.{1}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2.已知向量()()1,,,2a m b m == ，若4a b =，则实数m 等于（）A. B.0C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的计算规则求解.【详解】由题意：41234,3a b m m m m =⨯+⨯==∴= ；故选：D.3.下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A.sin y x =-B.3y x =C.1y x x=+D.||e x y =【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,]2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x=+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5.“0a b <<”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b>成立，充分性成立；由11a b>，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A6.已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B7.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A8.已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a++4≥，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()111122a a a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9.函数y＝2x x e(其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x x xx e x e x x y e e⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.0.82B.1.15C.3.87D.5.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg 104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12.设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A.12e- B.211e-C.212e -D.212e +【答案】C 【解析】【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x xy x x x ----=+-，即()()0001e e 1x xy x x --=+-+，所以()001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以0002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，14cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：4514.等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=___________．【答案】108【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815.如图，在ABC 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ()m R ∈，则m 的值为___________．【答案】14【解析】【分析】12AP mAC AB =+改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB =即，32AB AD= 所以1324AP mAC AB mAC AD =+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-（2）364n nS n =+【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．【小问2详解】因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据函数图象求出A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【小问1详解】由图易知A =，5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π12M ⎛ ⎝，π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，易知πππ()22333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．（1）求A ；（2）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】∵sin()sin2B C a A B c ++=，即sin sin()sin sin 2B C A A B C ++=由正弦定理，有sin sin sin cos 2A A C C =又sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，2sin cos cos 222A A A =，π(0,22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．【小问2详解】设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴BC =又3ABD ADC S S = ，可知34BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD α=+-⋅，在△ACD 中，271cos()16AD πα=+-⋅-，即271cos 162AD AD α=+-⋅，联立解得334AD =.20.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c ==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21.已知函数()1ln f x x a x x=-+，R a ∈．（1）若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x=+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x a x x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x=-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P .【解析】【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t ≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，。

第一次诊断文科数学答案第1页（共5页）2022年甘肃省第一次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. D2. A3. B4. C5. D6. A7. C8. B9. A 10. B 11. B 12. C 11.提示：易知抛物线1C 的焦点为(1,0),其方程为24y x =.由2224,(1)4,y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得点A (1,2).又抛物线2C 焦点为(0,2)F ,准线方程为2y =-,由抛物线定义知BM BF =.如图,可得BM AB -BF AB AF =-≤ (当且仅当,,A B F 三点共线,且点B 在第一象限时,等号成立).故所求最大值为1AF =.故选B .12.提示：对于A ，构造函数ln ()x f x x =，21ln ()xf x x -'=，则()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以(3)(4)f f >，即a b >.故A 错误；对于B ，函数0.5x y =与函数0.5log y x =的图象关于直线y x =对称，则0.20.500.5log 0.2<<，即a b <.故B 错误；对于C ，不等式整理为3434a a b b ---<-，构造函数()34x x f x -=-，则()f x 为增函数，由()()f a f b <，得a b <.故C 正确；对于D ，不等式整理为2222+log 2+log 2a b a b <，构造函数2()2+log xf x x =，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则2a b <.故D 错误.综上可知，答案为C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.30x y ±= 14.6 15.1516.15.提示：设直角三角形中较大锐角为θ，则sin θ=.设大正方形边长为1，则直角三.-=，面积为15，故所求概率为15．16.cos sin 0C c A +=，及正弦定理可得0120C ∠=.由余弦定2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，即2222424cos 3BC BC π=+-⨯⋅⋅，解得2BC =，由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即22sin sin 3A =π，所以sin A =第一次诊断文科数学答案第2页（共5页）三、解答题：共70分。

高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（文科）注意事项：全卷满分为150分；完成时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立；那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ； 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题；共60分）一、选择题：本题共有12个小题；每小题5分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8+3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ；则下列不等式中总成立的是(A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+ (C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ；则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是R 上的增函数；若令)1()1()(x f x f x F +--=；则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α；直线m ⊂平面β；有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象；则向量a 可以是(A) )0,3(π (B) )0,6(π(C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．一组样本数据；容量为150。

2021-2022学年四川省成都市高三上学期一诊数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A ={x|x 2−x >0}，B ={x|e x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,1)B. (−1,1)C. (1,+∞)D. [1,+∞)2.已知复数z =i2i−1(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. √55B. 15C. 125D. √53. 函数f(x)=sinx(sinx +cosx)的最小正周期是( )A. π3B. π2C. πD. 2π4.若实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤03x +2y −5≤02x −y +1≥0，则z =3x +y 的最大值为( )A. −3B. 3C. −4D. 45.在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是( )A. 2πB. 2√2πC. 3√2πD. 4√2π6.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =√2x ，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √62C. 3D. √27.已知实数a ，b 满足log a 2>log b 2>1，则( )A. 1<a <2<bB. 1<a <b <2C. 1<b <a <2D. a <1<b <28.从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为( )A. 15B. 13C. 310D. 259.已知sin(π4−α)=35，则sinα1−tanα的值为( )A. −7√260B. 7√260C. −7√230D. 7√23010. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.811. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−3x 2−x,x ≤0，若函数g(x)=f(x)−m(m ∈R)有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的值为( )A. 0B. −13C. 0或−13D. 0或−1612. 如图，已知三棱锥A −BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且ACBD =m ，AM MB=n ，其中m ，n ∈(0,+∞).有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形； ③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1． 其中假命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =x 3−x 在点(2,6)处的切线方程是______．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(1,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(3,−1)，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______． 15. 已知斜率为−13且不经过坐标原点O 的直线与椭圆x 29+y 27=1相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为______． 16. 在△ABC 中，已知角A =5π6，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +AC 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等差数列{a n }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4−2． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和．18. 某项目的建设过程中，发现其补贴额x(单位：百万元)与该项目的经济回报y(单位：千万元)之间存在着线性相关关系，统计数据如表： 补贴额x(单位：百万元) 2 3 4 5 6 经济回报y(单位：千万元)2.5344.56(Ⅰ)请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)请根据(Ⅰ)中所得到的线性回归直线方程，预测当补贴额达到8百万元时该项目的经济回报． 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 已知抛物线C ：y 2=2x ，过点A(2,0)且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点．(Ⅰ)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为k 1，k 2.若k 1+k 2=0，求点B 的坐标； (Ⅱ)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求|MN||AP|⋅|AQ|的值．20. 已知函数f(x)=sinx −2ax ，a ∈R ．(Ⅰ)当a ≥12时，求函数f(x)在区间[0,π]上的最值；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≤cosx −1在区间(π2,π)上恒成立，求a 的取值范围．21. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =1+sinα，(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2． (Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点A 的直角坐标为(−1,3)，直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE|⋅|AF|的值．22. 已知函数f(x)=|x −1|+2|x +1|．(Ⅰ)求不等式f(x)<5的解集；(Ⅱ)设f(x)的最小值为m.若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：∵A={x|x2−x>0}=(−∞,0)∪(1,+∞)，B={x|e x≥1}=[0,+∞)，∴A∩B=(1,+∞)，故选：C．化简集合A、B，再求A∩B即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：∵z=i2i−1=i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=25−15i(i为虚数单位)，∴|z|=√425+125=√55，故选：A．根据复数的运算求出z，从而求出z的模即可．本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题．3.答案：C解析：因为f(x)=sinx(sinx+cosx)=sin2x+sinxcosx=1−cos2x2+12sin2x=√22sin(2x−π4)+12，所以其最小正周期T=2π2=π．故选：C．利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而根据正弦函数的周期公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦公式以及正弦函数的周期公式的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.答案：D解析：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =03x +2y =5，解得A(1,1)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为4． 故选：D ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.答案：D解析：把△ABC 绕边AC 旋转一周所得几何体为两个同底圆锥的组合体． 在Rt △ABC 中，AC =2√2， ∴圆锥的底面半径r =√2．∴所得到的旋转体的表面积是2π×√2×2=4√2π. 故选：D ．所得几何体为同底的两个圆锥的组合体．本题考查了圆锥的结构特征和表面积计算，属于基础题．6.答案：A解析：双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =ba x ，即为y =√2x ，即ba =√2，则b 2=2a 2， 则双曲线的离心率为e =c a=√a 2+b 2a 2=√3．故选：A ．根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，结合双曲线的渐近线方程是解决本题的关键．解析：log a 2>log b 2>1=log 22， ∴1<a <b <2， 故选：B ．直接根据对数函数的图象和性质即可得到． 本题考查了对数函数图象和性质，属于基础题．8.答案：C解析：从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，基本事件总数n =C 53=10，这三个数能成为一个三角形三边长包含的基本事件有： (2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率P =310． 故选：C ．基本事件总数n =C 53=10，利用列举法求出这三个数能成为一个三角形三边长包含的基本事件有3个，由此能求出这三个数能成为一个三角形三边长的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：由sin(π4−α)=35，得√22(cosα−sinα)=35，所以cosα−sinα=3√25， 所以1−2sinαcosα=1825， 所以sinαcoα=750， 所以sinα1−tanα=sinα1−sinαcosα=sinαcosαcosα−sinα=7503√25=7√260． 故选：B ．由已知可求cosα−sinα=3√25，进而可求sinαcoα=750，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．解析：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2>15(6−2)2=3.2>2.4， ∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确； 对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：x −=15(1+2+3+3+6)=3方差为S 2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6，故D 错误． 故选：C ．根据题意举出反例，即可得出正确选项．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．11.答案：D解析：令g(x)=0，即f(x)=m ，若函数g(x)=f(x)−m(m ∈R)有三个不同的零点x 1，x 2，x 3， 不妨设x 1<x 2<x 3，则f(x)的图象与y =m 的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，当x≤0时，f(x)=−3x2−x∈(−∞,112]，当x>0时，f(x)∈[0,+∞)，由图象可知，当m=112或0时，f(x)的图象与y=m的图象有三个不同的交点，当m=0时，x1=−13，x2=0，x3=1，故x1x2x3=0；当m=112时，x1=−16，由|lnx|=112解得x2=e−112，x3=e112，所以x1x2x3=−16×e−112×e112=−16，故选：D．若函数g(x)=f(x)−m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x)的图象与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象可得m的值，从而求得三个零点，进而计算可得结果．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．。