云南师大附中2013届高考适应性月考卷(二)理科数学

【考试时间：2012年11月3日09:00～11:30】云师大附中2013届高考适应性月考（二）理科综合（物理部分）满分110分二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合要求，全部选对的得6分，选对不全的得3分，有选错的得0分。

14. a 、b 两物体从同一位置沿同一直线运动，其v t -图线如图3所示，下列说法正确的（） A ．10s 时刻，a 、b 两物体相距最远 B ．前30s ，a 、b 两物体的平均速度相等 C ．30s 时刻，a 、b 两物体速度相等，相距60m D ．a 、b 加速时，物体a 的加速度小于物体b 的加速度15. 如图4所示，长为L 的轻杆一端固定着质量为m 的小球，另一端可绕过o 点的光滑水平轴在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（） A ．小球到达最高点时的最小速度是0 B C ．小球通过最高点时，对轻杆的压力可以为零D ．小球通过最低点时，对轻杆的拉力可以小于小球所受重力16. 中国正在实施的北斗卫星导航系统，将相继发射五颗静止轨道卫星和三十颗非静止轨道卫星，到2020年左右建成覆盖全球的北斗导航系统，将有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖。

关于成功定点后的“北斗静止轨道导航卫星”，下列说法正确的是（） A ．离地面高度一定，相对地面静止 B ．运行速度大于7.9/km s 小于11.2/km sC ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等17. 如图5所示，甲、乙两物体用被压缩的轻质弹簧连接静止置于倾角为θ的粗糙斜面体上，斜面始终保持静止，则下列判断正确的是（） A ．物体甲一定受到四个力作用B ．物体甲所受的摩擦力方向一定沿斜面向下C ．物体乙所受的摩擦力可能为零D ．水平面对斜面体无摩擦力作用18. 我国未来将建立月球基地，并在近月轨道上建造空间站。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭（i是虚数单位）化简的结果是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．36C ．48D ．51 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．20132015 B ．20132014 C ．20122013D ．201120126．已知随机变量130,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则随机变量ξ的方差()D ξ＝A ．56 B ．5 C ．256D ．257．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2⎤⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且在区间()2013,2014上单调递增，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，比较(sin )f α，(cos )f β的大小的结果是A ．(sin )(cos )f f αβ<B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(cos )f f αβ=D ．以上情况均有可能10．已知方程ln (2)20x a x e ---=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．[]1,eD ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有正视图 侧视图俯视图1 1 1A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．15．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．16．以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ．以A 、B 为焦点的椭圆恰好过C 、D 两点，当梯形ABCD 的周长最大时，此椭圆的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．ABEF B 1C 1 A 119．（本小题满分12分）近年空气质量逐渐恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染会引起多种心肺疾病．空气质量指数（AQI ）是国际上常用来衡量空气质量的一种指标，空气质量指数在(0,50)为优良，在(50,100)为中等，在(100,150)为轻度污染，在(150,200)为中度污染，……．某城市2012年度的空气质量指数为110（全年平均值），对市民的身心健康产生了极大影响，该市政府为了改善空气质量，组织环保等有关部门经过大量调研，准备采用两种方案中的一种治理大气污染，以提高空气质量．根据发达国家以往的经验，若实施方案一，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.6的概率分别为0.5，0.3，0.2，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.6，0.4；若实施方案二，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.5的概率分别为0.6，0.3，0.1，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.5，0.5．实施每种方案，第一年与第二年相互独立，设i ξ（1,2i =）表示方案i 实施两年后该市的空气质量指数（AQI ）．（1）分别写出1ξ，2ξ的分布列（要有计算过程）；（2）实施哪种方案，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大？20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ．（1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）当2m <-时，求函数()()()F x f x g x =+在区间[]2,2-上的最值；（3）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O点P ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选D ．5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……1111120132013,2014,11223342013201420142014i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯. 故选B ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选C ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA ACPA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC = PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选A ． 9．22(2)()2(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π2αβ+>，即ππ022βα<-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选A ． 10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ，设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e-==-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)xy ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ，图1图2则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则||2cos ,||CD BC θ=，梯形ABCD 的周长为22cos L θ=++22212sin 4sin 22θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭214sin 522θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1πsin,223θθ==时，梯形ABCD 的周长最大，此时，||1,||AD BD == 椭圆的离心率2||12||||c AB e a DB DA ====+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）图317．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||22B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ，11||||3AB B F ==，………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =⋅==△∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分）因为第一年与第二年相互独立，所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．…………………………………………………（3分）所以，1ξ的分布列为：………………………………………………………………………（4分）2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；…………………………（5分）2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ， 2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）所以，2ξ的分布列为：…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤， 12(50)(50)P P ξξ>≤≤，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||111()2222x m x mxmg x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减．由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616m m m mF x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216m m F x F -==+． ………………………………………………………（8分）（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减，从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（9分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==，∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l 的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。

理科数学参考答案·第1页（共6页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】1． 全集U =R ，{}|1M x x =≤，{}|22N x x =-<<，∴{}()|12U M N x x =<< ð，选B. 2．2i 2i (1i)i(1i)1i 1i÷+==-=++ ，选A.3．设i，j的夹角为β，则由(2)0j i i +=，可得22||||cos ||0i j i β+=，得2cos 10β+=，又(0π)β∈，，所以2π3β=，选C.4．数形结合法，在同一坐标系中画出ln 26y x y x ==-+，的图象，估计零点在（1，3）之间，进一步验证55ln126122<-⨯+=，，从而确定零点在532⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，选D.5．由倍角公式直接求得ππ2ππcos 2cos 2πcos 2cos 23333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π172cos 11388α⎛⎫=-++=-+=⎪⎝⎭，选B.6．0002125?k S S k k ====>，，，，否1122+2225?k S S k k ====>，，，，否 011222+22+2+2325?k S S k k ====>，，，，否012012332+2+22+2+2+2425?k S S k k ====>，，，，否…1224122425252+2+2++22+2+2++2+22625?k S S k k ====> ，，，，是输出260225261(12)2+2222112S -=+++==-- ， 选C.7．命题p 真，命题q 假，选A.8．特值法，并考虑到22,xy y x ==的增长速度，因为12221=，22212=，322839=，42214=，选D ．9．由题意知，120122T =，即12π20122ω⋅=，π2012ω=，选C. 10． 阴影部分的面积11112211d 1ln 1ln 2E x xx=+=+=+⎰，1ln 22P +=，选A.11．由||1AM =可知，点M的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则222||||||PA PM AM =+，得22||||1PM PA =-，∴要使得||PM 的值最小，则要||P A的值最理科数学参考答案·第2页（共6页）小，而||P A 的最小值为4a c -=，此时||PM =，故选B.12．数形结合法，题意是()f x 的图象上有几对点关于原点对称，因为()P x y ，关于原点对称的点Q 的坐标为()Q x y --，，在同一坐标系中画出222x y y x x ==--，的图象可看出有两个交点，选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13. 它是一个横放的直棱柱，112222V Sh ==⨯⨯⨯=．14．总的取法35C 10n ==，取出的三个球标号之和为奇数的有两种情况：三个都是奇数；两个偶数，一个奇数．即321323C C C 4m =+=，所以42105P ==．15．数形结合法，画出函数2log y x =的图象，看出当1[]14a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，时，长度b a -最小，最小值是34．16．分段讨论思想．分110122a a ⎡⎫⎡⎤∈∈⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦，，，两种情况，当102a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，1()2f a a =+， 11122a +<≤，由1102122a ⎛⎫--<⎪⎝⎭≤，解得1142a <≤，所以1142a <<；当112a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2(1)f a a =-， 02(1)1a - ≤≤，11102(1)2(1)222a a -<-+若≤，则≥，不满足；若12(1)12a -≤≤，即1324a ≤≤，因为2[12(1)]42a a --=-，由10422a -<≤，得1528a <≤，综上得1548a <<．也可以画出函数的图象，分析.三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设1(1)n a n d =+-，因为23511a a a ++，，成等比数列，所以2325(1)(1)a a a +=+，2(22)(2)(14)d d d +=++，理科数学参考答案·第3页（共6页）解得2d =，于是21n a n =-．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，1111111112335572121n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=21n n +，21n n S n ∴=+．…………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）甲班有4人及格，乙班有5人及格，事件“从每班抽取的10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”记作A ，则1165111010C C 307()11C C 10010P A =-=-=． …………………………………………………（6分）（Ⅱ）X 取值为0，1，2，3.1265121010C C 2(0)C C 15P X ==⋅=；1112165554121210101010C C C C C 19(1)C C C C 45P X ==⋅+⋅=；1211165554121210101010C C C C C 16(2)C C C C 45P X ==⋅+⋅=；2154121010C C 4(3).C C 45P X ==⋅=…………………（8分）所以X10分） 所以1932127().455E X ++==…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：PA ABC D BE ABC D ⊥⊂ 平面，平面，EB PA ∴⊥．又EB AB AB AP A AB AP PAB ⊥=⊂ ，，，平面，EB PAB ∴⊥平面， 又A F P A B ⊂平面， AF BE ∴⊥． 又1PA AB ==，点F 是PB 的中点，AF PB ∴⊥， ……（4分） PB BE B PB BE PBE =⊂ 又，，平面，AF PBE ∴⊥平面.PE PBE AF PE ⊂∴⊥ 平面，. ………………………（6分） （Ⅱ）如图1，过A 作AG DE ⊥于G ，连结P G ，又DE P A⊥ ，则DE ⊥平面PAG ，则PG A∠是二面角P DE A --的平面角，PD 与平面ABC D 所成角是30︒， 30PD A ∴∠=︒， 又1PA AB ==，ABC D 是矩形． AD ∴=CE =DE ∴=1122AD E S =⨯=△，112222D E AG=⇒⨯=，则1A G=，PG∴=在R t PAG△中，cos2A GA G PP G∠===，得二面角P DE A--的大小为45︒. …………………………………………………（12分）解法二:（向量法）（Ⅰ）建立如图2所示的空间直角坐标系，则()001P，，，()010B，，，1122F⎛⎫⎪⎝⎭，，，)00D，.CE=)10E-，，1111)0022PE AF⎛⎫⋅=-⋅=⎪⎝⎭，，，，AF PE∴⊥．………………………………………（6分）（Ⅱ）设平面PDE的法向量为()1m x y=，，，)01PD=-，，)11PE=-，，由m PDm PE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得：(1m=，而平面AD E的法向量为(001)AP=，，，||cos||||m APm APθ⋅∴=2===，又[0180)θ∈︒，，得二面角P DE A--的大小为45︒. …………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为函数的定义域为()0∞，+，2121()2x axf x x ax x+-'=+-=≤0在[12]，上恒成立，令2()21h x x ax=+-，有(1)0(2)0hh⎧⎨⎩≤，≤，得172aa⎧⎪⎨⎪⎩≤-，≤-，得72a≤-. ……………………（6分）（Ⅱ） xaxxg ln)(-=((0])x e∈，有最小值3，又11()axg x ax x-'=-=．①当0a≤时，)(xg在(0]e，上单调递减，31)()(min=-==aeegxg，ea4=（舍去）；②当0a>时，令()0g x'>，解得1xa>，()g x∴在1a⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增；令()0g x'<，解得1xa<，()g x∴在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．m in1()1ln3g x g aa⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭，2ea=，满足条件. …………………………………（10分）理科数学参考答案·第4页（共6页）理科数学参考答案·第5页（共6页）综上，2a e =时，使得当(0]x e ∈，时)(x g 有最小值3. ……………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆C 的半径为r ， 1C ：221(1)4x y ++=，2C ：2249(1)4x y -+=，则由题意有1217||||22CC r CC r=+=-，，124CC CC ∴+=，C∴的轨迹是以12(10)(10)C C -，，，为焦点，24a =的椭圆， ∴C的轨迹方程为22143xy+=．………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，由22143x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 消去y 并整理得222(34)84120k x kmx m +++-=． …………………………………（6分） 直线y kx m =+与椭圆有两个交点，222(8)4(34)(412)0km k m ∴∆=-+->，即2243m k <+，①又122834km x x k+=-+， …………………………………………………………………（8分）M N∴中点P 的坐标为22433434km mkk ⎛⎫-⎪++⎝⎭，．设M N 的垂直平分线l '的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，P在l '上，22314134348mkm kk k ⎛⎫∴=--- ⎪++⎝⎭，即24830k km ++=，21(43)8m k k∴=-+，…………………………………………………………………（10分）将上式代入①得2222(43)4364k k k +<+，2120k ∴>，即10k >10k <-k ∴的取值范围为1010⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图3，PA 与圆相切于点A ，PAD D C A ∴∠=∠. ……………………………………（2分） AB C D ∥，D C A C AB ∴∠=∠， PAD C AB ∴∠=∠． ……………………………………（5分） （Ⅱ）PAD C AB D C A ∠=∠=∠ ，AD BC∴=，AD BC ∴=． ……………………………（6分）理科数学参考答案·第6页（共6页）A B C D是圆的内接四边形，∴PD A C BA ∠=∠， 又PAD C AB ∠=∠ ，PD A ∴△∽C B A △，………………………………………………………………………（8分） AD PD ABBC=故，2A D AB P D∴=⋅． ……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：cos sin ρθθ=+，两边同乘以ρ得：2cos sin ρρθρθ=+， ……………………………………………（3分）220x y x y ∴+--=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………………………（5分）（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 的方程得：2521200t t -+=， ……………………（6分）12122145t t t t ∴+==，，…………………………………………………………………（8分）12||||5M N t t ∴=-==．……………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()21f x x x =+-＝23020132 1.x x x x x x -<⎧⎪-⎨⎪->⎩，，，≤≤，， ……………………………………（3分）当x ＜0时，由2−3x ≤8，得−2≤x ＜0； 当0≤x ≤1时，由2−x ≤8，得0≤x ≤1； 当x ＞1时，由3x −2≤8，得1＜x ≤103．综上，不等式()8f x ≤的解集为1023⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． ………………………………………（5分）（Ⅱ）因为()2f x x x a =+-2302032a x x a x x a x a x a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，…………………………………（8分）可见()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞，+单调递增，所以，当x a =时，()f x 取最小值a ， 所以，a 的取值范围是[6)+∞，． ……………………………………………………（10分）数学命题思想一、每次考试在选择题及填空题侧重于所复习内容。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷理综试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结后，请将本试卷和答题卡并交回。

满分300分，考试用时150分钟。

注意事项：1．答题茄子，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑o如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

以下数据可供解题时参考。

可能用到的相对原子质量：H-I C-12 N-14 0-16 Na-23 S-32 Fe-56第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共1 3小题，每小题6分o在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于生物体内化合物的叙述，正确的是A．肤岛素是在核糖体上合成并经高尔基体分泌的B．细胞内的单糖都可以作为生命活动的能源物质C．噬茵体和质粒的组成元素相同D．酶、载体蛋白在发挥作用后立即失去生物活性2．下列有关细胞生命历程的说法正确的是A．多细胞生物个体的长大，主要原因是细胞的生长B．细胞生物的生命历程中一定会发生细胞的分化C．被病原体感染的细胞的清除，是通过细胞凋亡完成的D．癌变细胞的细胞膜会发生改变，如糖蛋白、甲胎蛋白和癌胚抗原等会减少3．下列有关基因工程和酶的相关叙述，正确的是A．同种限制酶既可以切割目的基因又可以切割质粒，因此不具备专一性B．运载体的化学本质与载体蛋白相同C．限制酶不能切割烟草花叶病毒的核酸D．DNA连接酶可催化脱氧核苷酸链间形成氢键4．利用基因型为aabb与AABB的水稻作为亲本培育基因型为AAbb的新品种，有关叙述不正确的是A．操作最简便的是杂交育种，能明显缩短育种年限的是单倍体育种B．利用F1的花药进行离体培养可获得该新品种C．诱变育种不能定向获得该新品种D．若通过多倍体育种获得AAAAbbbb个体，和该新品种存在生殖隔离5．下列有关人类遗传病的叙述正确的是1PS：双击获取文档，ctrl+a,ctrl+c,然后粘贴到word即可。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（二）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2U =-，{}2|M x x x ==，则U C M ＝A ．{}1,2-B ．{}1,0,2-C ．{}2D ．{}0,22．复数z 满足()2z i i i -=-，则z ＝A ．1i -B ．13i -+C ．1i --D ．12i - 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A ．y x =-B ．31y x =+C ．sin y x =D ．||y x x =4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，则它的离心率是ABCD5．设,x y 满足1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则23z x y =+的最大值是A ．2B ．3C ．12D ．136．设向量(sin ,1)a θ=r 与(1,2sin )b θ=r平行，则cos2θ＝A．2B ．12C ．0D ．17．如果执行图1所示的程序框图，输入6x =，则输出的y 值为A ．2B ．0C ．－1D ．32-8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a =，则3132310log log log a a a +++L ＝A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+9．直线3544y x =-+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度为A．B．CD ．110．下列命题①命题“存在实数x ，使得sin 1x >”的否定是“不存在实数x ，使得sin 1x ≤”； ②若函数()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是增函数，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则(sin )(cos )f f θθ>；③要得到函数cos(21)y x =+的图像，只需将函数cos 2y x =的图像向左平移12个单位． 其中正确的命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，若(lg 2)a f =，1(lg )2b f =，则 A ．0a b -=B ．2a b +=C ．1a b -=D ．1a b +=12．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，若对任意的,x y R ∈，不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是A ．()3,7B ．()9,25C ．()13,49D ．()9,49二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如图2是某学校一名篮球运动员在六场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这六场比赛中得分的方差是 ． 14．设n a 为1(1)n x ++展开式中含1n x-项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ．15．数列{}n a 的通项公式223n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则2012sin S 等于 ． 16．设函数2()4cos sin ()sin 224x f x x x x π=-++，()f x '为()f x 的导函数，若|()|2f x m '-<成立的充分条件是263x ππ≤≤，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且2cos()14cos cos B C B C --=．（1）求角A 的大小；（2）若3a =，2sin sin B C =，求b ，c ．1 4 7 8 82 0 118．（本小题满分12分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PA PB =，E 是PA 的中点． （1）求证：PC ∥平面EBD ；（2）平面EBD 分棱锥P ABCD -为两部分，求这两部分中体积较小者与体积较大者的体积之比．19．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且△1F AB的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线l 使△1F AB 的面积为43？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）某学校为了研究学情，从高三年级抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2分，对名次不优秀赋分1分，从这20名学生中随机抽取两名学生，用ξ表示这两名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．PABC ED21．（本小题满分12分）已知函数()(21)xf x ax a e =-++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若01a ≤≤，求函数()fx 在[]0,1上的最大值和最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知1O e与2O e 外切于点A，BC 是两圆的外公切线，B 、C 为切点，BC 与12O O 的延长线相交于点D ，延长BA 交2O e 于点E ，点F 在BA 的延长线上，且满足BC BD BA BF ⋅=⋅．（1）求证：AB AC ⊥； （2）若4BA =，1AE =，求BDDF的值． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2π≤）与1,2,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）． （1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别代表什么曲线； （2）求曲线1C 和2C 的交点坐标．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|||1|f x x a x =-+-． （1）当2a =时，解不等式()3f x ≤；（2）若存在实数x 使得()3f x ≤成立，求实数a 的取值范围．。

理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选C ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……1111120132013,2014,11223342013201420142014i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯ . 故选C ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选B ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB ，故选A ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选B ． 9．22(2)()2(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)图1理科数学参考答案·第2页（共9页）上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π2αβ+>，即ππ022βα<-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选B ．10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ，设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e-==-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选C ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴．故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==． 15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+ ……图3图2理科数学参考答案·第3页（共9页）2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则||2cos ,||CD BC θ=，梯形ABCD的周长为22cos L θ=++22212sin 4sin 22θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭214sin 522θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1πsin,223θθ==时，梯形ABCD的周长最大，此时，||1,||AD BD ==椭圆的离心率2||12||||c AB e a DB DA ====+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，①234133333332234(1)2222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦理科数学参考答案·第4页（共9页）31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C ==∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E = ， 1B E ⊥∴平面AEF ．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ===，11||||3AB B F ==，………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =⋅=△∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=，11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯= △∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，理科数学参考答案·第5页（共9页）所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分）因为第一年与第二年相互独立，所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．…………………………………………………（3分）所以，1ξ的分布列为：………………………………………………………………………（4分）2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；…………………………（5分）2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ， 2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）所以，2ξ的分布列为：…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤，12(50)(50)P P ξξ>≤≤，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）理科数学参考答案·第6页（共9页）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||111()2222x m x mxmg x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减．由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616m m m mF x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216m m F x F -==+． ………………………………………………………（8分）理科数学参考答案·第7页（共9页）（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（9分）当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA = ．又∵GC GD GF GA = ， ∴GP GH GC GD = ． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=，理科数学参考答案·第8页（共9页）∴6329GP GH GC GD ⨯=== ， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，理科数学参考答案·第9页（共9页）故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭（i是虚数单位）化简的结果是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．36C ．48D ．51 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．20132015 B ．20132014 C ．20122013D ．201120126．已知随机变量130,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则随机变量ξ的方差()D ξ＝A ．56 B ．5 C ．256D ．257．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2⎤⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且在区间()2013,2014上单调递增，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，比较(sin )f α，(cos )f β的大小的结果是A ．(sin )(cos )f f αβ<B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(cos )f f αβ=D ．以上情况均有可能10．已知方程ln (2)20x a x e ---=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．[]1,eD ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有正视图 侧视图俯视图1 1 1A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．15．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．16．以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ．以A 、B 为焦点的椭圆恰好过C 、D 两点，当梯形ABCD 的周长最大时，此椭圆的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．ABEF B 1C 1 A 119．（本小题满分12分）近年空气质量逐渐恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染会引起多种心肺疾病．空气质量指数（AQI ）是国际上常用来衡量空气质量的一种指标，空气质量指数在(0,50)为优良，在(50,100)为中等，在(100,150)为轻度污染，在(150,200)为中度污染，……．某城市2012年度的空气质量指数为110（全年平均值），对市民的身心健康产生了极大影响，该市政府为了改善空气质量，组织环保等有关部门经过大量调研，准备采用两种方案中的一种治理大气污染，以提高空气质量．根据发达国家以往的经验，若实施方案一，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.6的概率分别为0.5，0.3，0.2，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.6，0.4；若实施方案二，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.5的概率分别为0.6，0.3，0.1，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.5，0.5．实施每种方案，第一年与第二年相互独立，设i ξ（1,2i =）表示方案i 实施两年后该市的空气质量指数（AQI ）．（1）分别写出1ξ，2ξ的分布列（要有计算过程）；（2）实施哪种方案，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大？20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ．（1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）当2m <-时，求函数()()()F x f x g x =+在区间[]2,2-上的最值；（3）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O点P ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选D ．5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……1111120132013,2014,11223342013201420142014i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯. 故选B ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选C ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA ACPA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC = PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选A ． 9．22(2)()2(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π2αβ+>，即ππ022βα<-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选A ． 10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ，设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e-==-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)xy ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ，图1图2则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则||2cos ,||CD BC θ=，梯形ABCD 的周长为22cos L θ=++22212sin 4sin 22θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭214sin 522θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1πsin,223θθ==时，梯形ABCD 的周长最大，此时，||1,||AD BD == 椭圆的离心率2||12||||c AB e a DB DA ====+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）图317．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||22B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ，11||||3AB B F ==，………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =⋅==△∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分）因为第一年与第二年相互独立，所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．…………………………………………………（3分）所以，1ξ的分布列为：………………………………………………………………………（4分）2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；…………………………（5分）2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ， 2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）所以，2ξ的分布列为：…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤， 12(50)(50)P P ξξ>≤≤，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||111()2222x m x mxmg x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减．由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616m m m mF x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216m m F x F -==+． ………………………………………………………（8分）（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减，从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（9分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==，∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l 的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（二）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2U =-，{}2|M x x x ==，则U C M ＝A ．{}1,2-B ．{}1,0,2-C ．{}2D ．{}0,22．复数z 满足()2z i i i -=-，则z ＝A ．1i -B ．13i -+C ．1i --D ．12i -3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A ．y x =-B ．31y x =+C ．sin y x =D ．||y x x =4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，则它的离心率是ABCD5．设,x y 满足1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则23z x y =+的最大值是A ．2B ．3C ．12D ．136．设向量(sin ,1)a θ= 与(1,2sin )b θ=平行，则cos 2θ＝A．2B ．12C ．0D ．17．如果执行图1所示的程序框图，输入6x =，则输出的y 值为A ．2B ．0C ．－1D ．32-8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a =，则3132310log log log a a a +++ ＝A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+9．直线3544y x =-+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度为 A．B．CD ．110．下列命题①命题“存在实数x ，使得sin 1x >”的否定是“不存在实数x ，使得sin 1x ≤”； ②若函数()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是增函数，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则(sin )(cos )f f θθ>；③要得到函数cos(21)y x =+的图像，只需将函数cos 2y x =的图像向左平移12个单位． 其中正确的命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+，若(lg 2)a f =，1(lg )2b f =，则 A ．0a b -=B ．2a b +=C ．1a b -=D ．1a b +=12．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，若对任意的,x y R ∈，不等式22(621)(8)0f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是A ．()3,7B ．()9,25C ．()13,49D ．()9,49第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．如图2是某学校一名篮球运动员在六场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这六场比赛中得分的方差是 ． 14．设n a 为1(1)n x ++展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ． 15．数列{}n a 的通项公式223n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则2012sin S 等于 ． 16．设函数2()4cos sin ()sin 224x f x x x x π=-++，()f x '为()f x 的导函数，若|()|2f x m '-<成立的充分条件是263x ππ≤≤，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且2cos ()14cos cos B C B C --=．（1）求角A 的大小；（2）若3a =，2sin sin B C =，求b ，c ． 18．（本小题满分12分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PA PB =，E 是PA 的中点． （1）求证：PC ∥平面EBD ；（2）平面EBD 分棱锥P ABCD -为两部分，求这两部分中体积较小者与体积较大者的体积之比．19．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且△1F AB的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线l 使△1F AB 的面积为43？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．PABCED1 4 7 8 82 0 120．（本小题满分12分）某学校为了研究学情，从高三年级抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2分，对名次不优秀赋分1分，从这20名学生中随机抽取两名学生，用ξ表示这两名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．（本小题满分12分）已知函数()(21)xf x ax a e =-++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若01a ≤≤，求函数()f x 在[]0,1上的最大值和最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图4，已知1O 与2O 外切于点A ，BC 是两圆的外公切线，B 、C 为切点，BC 与12O O 的延长线相交于点D ，延长BA 交2O 于点E ，点F 在BA 的延长线上，且满足BC BD BA BF ⋅=⋅． （1）求证：AB AC ⊥；（2）若4BA =，1AE =，求BDDF的值． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线1C 和2C的参数方程分别为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数，02≤≤）与1,,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）． （1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别代表什么曲线； （2）求曲线1C 和2C 的交点坐标．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|||1|f x x a x =-+-． （1）当2a =时，解不等式()3f x ≤；（2）若存在实数x 使得()3f x ≤成立，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力 二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．5 14．21nn + 15．216．14m <<三、解答题 17．。

各地解析分类汇编（二）系列： 圆锥曲线11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为A ．2BCD 【答案】D 【解析】设OA=m −d ，AB=m ,OB=m +d ，由勾股定理，得(m −d )2+m 2=(m +d )2．解得m =4d ．设∠AOF =α，则cos2α=35OA OB =．cos α==e=1cos α=。

选D.2.【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】已知直线221259x y x t =+=与椭圆交于P ，Q 两点,若点F 为该椭圆的左焦点,则FP FQ ⋅取最小值的t 值为A ．—10017B ．—5017C ．5017D ．10017【答案】B【解析】椭圆的左焦点(4,0)F -，根据对称性可设(,)P t y ,(,)Q t y -,则(4,)FP t y =+,(4,)FQ t y =+-，所以22(4,)(4,)(4)FP FQ t y t y t y =++-=+-，又因为22299(1)92525t y t =-=-,所以22229(4)816925FP FQ t y t t t =+-=++-+2348725t t =++,所以当50217b t a =-=-时，FP FQ 取值最小,选B.3。

【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为A.B.C. 2D 。

【答案】D【解析】抛物线212yx =-的准线为3x =，双曲线22193x y -=的两渐近线为3y x =和3y x =-,令3x =，分别解得12y y =，所以三角形的低为(=，高为3，所以三角形的面积为132⨯=选D 。

绝密★启用前 【考试时间：5月6日 15∶00—17∶00】云南省昆明市2013届高三复习适应性检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数ii+12（i 是虚数单位）的虚部是 （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-（2）对某班级50名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查，得到如下表所示：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，解得2250(181967)11.525252426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（A ）在犯错误的概率不超过000.1的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关” （B ）在犯错误的概率不超过000.1的前提下，认为“数学成绩与物理成绩无关” （C ）有00100的把握认为“数学成绩与物理成绩有关” （D ）有0099以上的把握认为“数学成绩与物理成绩无关”（3）把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连结AC ，得到三棱锥C －ABD ，其正视图与俯视图为全等的等腰直角三角形，如图所示，则侧视图的面积为（A ）14 （B ）12 （C ）2（D ）1（4）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，534a a =，则数列{}n a 的前10项的和等于 （A ）23 （B ）95 （C ）135 （D ）138正视图俯视图（5）下列程序框图中，某班50名学生，在一次数学考试中，n a 表示学号为n 的学生的成绩，则（A ）P 表示成绩不高于60分的人数； （B ）Q 表示成绩低于80分的人数； （C ）R 表示成绩高于80分的人数；（D ）Q 表示成绩不低于60分，且低于80分人数.（6）设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于Q R 、两点， S 为C 的准线上一点，若QRS △的面积为8，则p = （A（B ）2 （C） （D ）4（7）已知函数，若()f x ϕ-为偶函数，则ϕ的一个值为 （A ）2π（B ）3π （C ）4π （D ）6π（8）命题1p ：若函数1()f x x a=-在(,0)-∞上为减函数，则(,0)a ∈-∞；命题2p ：(,)22x ππ∈-是()tan f x x =为增函数的必要不充分条件；命题3p ：“a 为常数，R x ∈∀，01)(22>++=ax x a x f ”的否定. 以上三个命题中，真命题的个数是（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（9）三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与AC 、AB 所成角均为60 ，90BAC ∠= ，且11AB AC AA ===，则1A B 与1AC 所成角的余弦值为（A ）1 （B ）1- （C （D ）（10）若函数113()22xxy e e x x -=---≤≤的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是 （A ）56π （B ）34π （C ）4π （D ）6π（11）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左焦点F 斜率为a b 的直线l 分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =，则C 的渐近线的斜率为（A ） （B ）2± （C ）1± （D ）（12）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（A ）11(,)95 （B ）1(0,))9+∞（C ）1(,1)(1,9 （D ）11(,)3)73第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x ，若目标函数()0>+=a y ax z 的最大值为10，则a = .（14）在71)x展开式中，不含2x 的项的系数和是 .（15）某一部件由四个电子元件按如图方式连结而成，已知每个元件正常工作的概率为p ，且每个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为 .（16）数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若10112b b ⋅=， 则21a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=，（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求ABC ∆的周长的取值范围.（18）某种报纸，进货商当天以每份进价1元从报社购进，以每份售价2元售出。