(课堂设计)-高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法学案 新人教a版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法（一）一、教学目标知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；能力目标：通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。

二、教学重点、难点1.教学重点：一元二次不等式的解法2.教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系三、教学过程设计1.一元二次不等式概念的引入（1）创设情境，引入概念播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。

现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析可得如下数学模型：设与墙平行的栅栏长度为x（0<x<20）则依题意得：整理得： x2-20x+84≤0x220xx-•≥42师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。

设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。

（2）观察归纳，形成概念观察式子： x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

其一般形式为： ax2+bx+c＞0 (a≠0)ax2+bx+c＜0 (a≠0)ax2+bx+c≥0 (a≠0)ax2+bx+c≤0 (a≠0)师生活动：让学生观察所得式子，抢答以上三个问题。

在此基础上，学生自己归纳一元二次不等式的定义，教师帮助明确一元二次不等式的一般形式。

3.2 一元二次不等式及其解法-----学案一、学习目标1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、自主学习教材整理1一元二次不等式的概念阅读教材P76第一行～P76倒数第四行，完成下列问题．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．做一做1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)x2－x>0为一元二次不等式．()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，有两个相等的实数解没有实数解f (x )＞0或f (x )＜0的步骤x 2x 1＝x 2画函数y ＝f (x )的示意图得等的集不式解f (x )＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR f (x )＜0{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅:三、合作探究探究1：解一元二次不等式例1： 求下列一元二次不等式的解集．(1)x 2－5x >6； (2)4x 2－4x ＋1≤0； (3)－x 2＋7x >6. 【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}．(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0，方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12，∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0，而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为{x |1<x <6}．归纳总结：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．探究2：解含参数的一元二次不等式例2：解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )． 【精彩点拨】【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为：a>0时，{x|－a<x<2a}；a＝0时，x∈∅；a<0时，{x|2a<x<－a}．归纳总结：解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．探究3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x 的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0 解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．这说明： 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．例3： 若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca ＜0，则c ＞0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a ＜0， 即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0， 所求不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12. 法二：由已知得a ＜0 且⎝⎛⎭⎫－13＋2＝－b a ，⎝⎛⎭⎫－13×2＝c a ，知c ＞0， 设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2，－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12，∴x 1＝－3，x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12. 归纳总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 四、学以致用 1．解下列不等式：(1)2x 2－x ＋6>0； (2)(5－x )(x ＋1)≥0.【解】 (1)∵方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上， 与x 轴无交点，∴原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． 2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0).【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －2a ≤0. 当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a，2×3＝c a，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)， 即6x 2＋5x ＋1<0，解得－12<x <－13，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 五、自主小测1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23 2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________. 5．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．参考答案1.【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. 【答案】 A2.【解析】 T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C. 【答案】 C3.【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 【答案】 (1,3)4.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15.【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R.。

3.2 一元二次不等式及其解法（1） 课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式． 2．不等式30ax +>的解集是 ．3．若将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，则不等式化为 ．【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．3．探究不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．0∆> 0∆= 0∆<二次函数 2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程 20ax bx c ++= 无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >．②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则 ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题 课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是（ ）A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩ B ．3050x x +<⎧⎨->⎩ C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩ D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，则关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x xx =-+≥，则AB =（ ）A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．已知集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，则UCA = ．5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ．6．解下列不等式 ① (1)(3)52x x x --<-；② 22(11)3(1)x x x +≥+)；③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x ≤≤=或 5．{3}6．① {|24}x x x <>或；②3{|1}2x x ≤≤；③ ∅3.2 一元二次不等式及其解法（2） 课前预习学案 【知识准备】1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤． 3．探究下面题目的解法例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？2．解答应用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++>(0)a <的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系： 22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．3．补充例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题． 【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．若不等式20ax x a ++<（0a ≠）无解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1122a a ≤-≥或 B ．12a < C ．11 22a -≤≤ D ．12a ≥ 2．关于x 的不等式21mx mx m ++<的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(, 0)-∞B ．4(, 0)(, )3-∞+∞ C ．(, 0]-∞ D ． 4(, 0](, )3-∞+∞3．(1998年上海高考题)设全集U =R ，2{|560}A x x x =-->，{||5|}B x x a =-＜ (a 是常数)，且11∈B ，则（ ） A ．()U C A B =R B ．()U A C B =R C ．()()U U C A C B =R D ．AB =R4．若2()40f x ax ax =--<恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 5．若210ax bx +-<的解集为{|12}x x <<－，则a =________，b =________． 6．已知22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a 的值．答案：1．D 2．C 3．D 4．(16, 0]- 5．11, 22a b ==-6．15a a ==。

3.2 一元二次不等式及其解法一、教学目标：知识与技能：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.过程与方法：采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;情感、态度与价值观：通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.二．重点难点重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.三、教材与学情分析由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的一元二次不等式关系并鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，及数形结合思想，感受函数思想在解决二次不等式的作用。

激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，激发学生的学习兴趣.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。

现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析可得如下数学模型：设与墙平行的栅栏长度为x（0<x<20）则依题意得：整理得：x2师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。

设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。

（2）观察归纳，形成概念观察式子：x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

一元二次不等式及其解法（第二课时）一、复习回顾，引入新课1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？（1）化不等式为标准形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 。

（2）求方程)0(02>=++a c bx ax 的根。

（3）画出函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像。

（4）由图像找出不等式的解集。

即：转化、求根、画图、找解。

二、讲授新课：例题1. 一元二次不等式的解法： 解不等式：10732≤-x x教师展示做题步骤：解：原不等式可化为：010732≤--x x相等的两12x x <（、等的两x 22-=无实根因为010732=--x x 的两根分别为11-=x 、3102=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3101x x 变式训练：解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x 学生演板：（1） 解：原不等式可化为：0222>+-x x 因为0424)2(2<-=⨯--=∆ 所以原不等式的解集为Ø 学生复述做题过程：（2）解：原不等式可化为：0322>+-x x因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或 例题2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。

关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为 {}21<<x x ，则=+b a 。

师生共同参与：解：由题意可知：方程02=++b ax x 的两根分别为11=x 、22=x由根与系数的关系可得： a -=+21，b =⨯21 所以3-=a ，2=b变式训练：关于x 的不等式 0232>+-x ax 的解集为 {}b x x x ><或1 ，求a 、b 的值。

"福建省莆田第八中学高中数学 3.2一元二次不等式及其解法（1）学案新人教A版必修5 "
学习目标
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；
2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.
学习过程
一、课前准备
1.预习教材P76~ P78，找出疑惑之处
2.预习优化设计51页
归纳：这是一个关于x的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.
新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________. 探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？
归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.
※典型例题
例1 求不等式2230
x x
-+->的解集.
变式：求下列不等式的解集.
（1）2230
x x
+->；（2）2230
x x
-+-≤. 例2 求不等式2
4410
x x
-+>的解集.
小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
※动手试试
课本80页练习1，2。

3.2 一元二次不等式及其解法三维目标：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；2.掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系解决综合问题；3.会解高次不等式及分式不等式；4.会解含绝对值的不等式及含参数的一元二次不等式的解法；5.通过对一元二次不等式的解法的学习，使学生了解“函数与方程”、“数形结合”及“等价转换”的数学思想。

重点难点：教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数学结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法。

教学难点：深刻理解“三个二次”之间的联系。

课时安排：3课时教学过程：第一课时（一）自主探究：1. 一元二次不等式的定义： 一般表达形式为：2. 一元二次不等式与相应函数、方程的联系：一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： ①ax 2 + b x + c>0(a>0) ② ax 2 + b x + c<0 (a>0)上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2 + b x + c=0的根来确定，设△=ac b 42-，则：（1）当△>0时，方程ax 2 + b x + c=0 有两个 的解21,x x ，设21x x <，则不等式①的解集为 不等式②的解集为 （2）当△=0时，方程ax 2 + b x + c=0有两个 的解，即21x x =，此时不等式①的解集为 不等式②的解集为（3）当△<0时，方程ax 2 + b x + c=0无实数解，则不等式①的解集为 不等式②的解集为方程20(0)a xb xc a ++=> 的判别式及根的情况240b ac ∆=-> 方程有二根x 、x （12x x <）240b a c ∆=-= 方程有一根x （12x x =） 240b ac ∆=-< 方程无实根2(0)y a x b x c a =++> 的图像不等式20(0)a xb xc a ++>> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++≥> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++<> 的解集不等式20(0)a xb xc a ++≤> 的解集3.一元二次不等式的解法步骤：①化二次项系数为正数；②计算判别式∆，分析不等式对应的方程的解的情况； ③结合图象写出解集。

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

一元二次不等式及其解法（第二课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. （2）熟练掌握一元二次不等式的解法.（3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法. （4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重难点：1、一元二次不等式的解法.2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法。

教学过程：一、复习回顾，引入新课1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？acb 42-=∆0>∆0=∆0<∆)0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根不相等的两实根1x )212x x x <（、相等的两实根abx x 221-==无实根2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？（1）化不等式为标准形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 。

（2）求方程)0(02>=++a c bx ax 的根。

（3）画出函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像。

（4）由图像找出不等式的解集。

即：转化、求根、画图、找解。

二、讲授新课：例题1. 一元二次不等式的解法： 解不等式：10732≤-x x教师展示做题步骤：解：原不等式可化为：010732≤--x x因为010732=--x x 的两根分别为11-=x 、3102=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3101x x 变式训练：解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x 学生演板：（1） 解：原不等式可化为：0222>+-x x 因为0424)2(2<-=⨯--=∆所以原不等式的解集为Ø 学生复述做题过程：（2）解：原不等式可化为：0322>+-x x因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或 例题2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。

人教版高中必修5 3.2 一元二次不等式及其解法课程设计一、教学背景与目标1.1 教学背景本课程是人教版高中必修5数学课程的第3章节。

本章节主要学习一元二次不等式及其解法，是高中数学基础课程中比较基础和重要的内容。

课程设计目标是使学生掌握一元二次不等式的性质和解法，能够利用一元二次不等式的解法解决实际问题。

1.2 教学目标1.知道一元二次不等式的性质。

2.掌握利用一元二次不等式的解法解决实际问题。

3.培养学生良好的数学思维和数学分析能力。

二、教学内容与方法2.1 教学内容1.一元二次不等式的定义和性质。

2.一般一元二次不等式的解法。

3.一元二次不等式的图解法。

4.判断一元二次不等式解的存在性和唯一性的方法。

5.利用一元二次不等式解决实际问题。

2.2 教学方法1.讲授法通过讲解一元二次不等式的定义和性质，让学生了解一元二次不等式的基本概念和性质。

2.案例分析法将一些实际问题转化为一元二次不等式来求解，通过案例讲解让学生增强运用一元二次不等式解决实际问题的能力。

3.图像分析法通过图像分析教学法让学生掌握一元二次不等式的图像、不等式的解存在性等相关知识。

三、教学程序3.1 讲解一元二次不等式的定义和性质在课堂中，首先通过PowerPoint展示教师准备好的一元二次不等式PPT，介绍一元二次不等式的定义和性质，让学生能够初步了解一元二次不等式的概念。

3.2 一般一元二次不等式的解法通过示例展现一元二次不等式的解法，让学生掌握一般一元二次不等式的解法。

在例题中，通过分式分离法、配方法、三角函数相关解法，让学生掌握一般一元二次不等式的解法。

示例对于不等式x2−4x+3<0，求实数解。

解：不等式两边加上1，将其转化为x2−4x+4<1。

即(x−2)2<1因此，x−2<1且x−2>−1。

因此1<x<3，所以解为 $x \\in(1,3)$。

3.3 一元二次不等式的图解法在课堂中，我们可以通过具体的图例来让学生了解一元二次不等式的图像。