专题1由面积产生的函数关系问题答案

1. 如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH的边长分别是12O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M，7ME =-，当正方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变． （1）在开始运动前，12O O = ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．第26题图3．如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE AB <），连结EG 并延长交DC 于点M ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ，MN 交BD 于点P ．设正方形ABCD 的边长为1。

（1）证明△CMG ≌△NBP ；（2）设BE=x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域。

由面积产生的函数关系问题例1 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)． 由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)． 将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,88 3.b c b c -+=⎧⎨++=⎩ 解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--． （2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45． 当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ．由于S △APQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？”除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4例2 如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=． 而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ， 所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE m-==．因为△CDE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD m S AD m∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818． 此时E 是AB 的中点，92BE =． 如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以3313sin 1313B ==． 在Rt △BEH 中，93132713sin 21326EH BE B =⋅=⨯=． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．例3 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=． 探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________． 拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案 探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x +=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14． 所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．例4 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________； （2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？图1思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工． 2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4． （2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t =．所以24S t =． ②如图2，当66115t ＜≤时，2EF EH t ==，2AE t =-，33(2)44NE AE t ==-． 于是31132(2)442NH EH NE t t t =-=--=-，211422233NHQS NH QH NH NH NH =⨯=⨯=△22113342t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以22221132511343422422S t t t t ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭．③如图3，当625t ＜≤时，4EF =，2AE t =-，2AF t =+．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t =-=-=△△．图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t =．图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t =-，2EH EF t ==，由2324t t =-，得611t =．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t =+，2GF EF t ==，由2324t t =+，得65t =．图8 图9例5 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？图1思路点拨1．用含有t 的式子表示线段的长，是解题的关键．2．第（2）题求S 与t 的函数关系式，容易忽略M 在OC 上、Q 在BC 上的情况．3．第（2）题建立在第（2）题的基础上，应用性质判断图象的最高点，运算比较繁琐．满分解答（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43y x =． （2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502t ＜≤．在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43PM t =． 在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65AE t =． 于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153S PE PM t t =⋅=+．②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532t ＜≤．因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-．因此2132223S PF PM t t =⋅=-+． ③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163t =． 因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-． 所以16322S MQ PM t =⋅=-+．图2 图3 图4 （3）①当502t ＜≤时，222162160(20)153153S t t t =+=+-．因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52t =时，S 最大，最大值为856． ②当532t ＜≤时，2232812822()339S t t t =-+=--+．因为抛物线开口向下，所以当83t =时，S 最大，最大值为1289． ③当1633t ＜≤时，16322S MQ PM t =⋅=-+． 因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14．综上所述，当83t =时，S 最大，最大值为1289．考点伸展第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？此时161332t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322S MQ PM t =⋅=-．图5例6 如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线P A 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线P A 的同侧．设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由． 图1思路点拨1．运动全程6秒钟，每秒钟选择一个点F 画对应的等边三角形EFG ，思路和思想以及分类的标准尽在图形中． 2．用t 表示OE 、AE 、EF 、AH 的长，都和点E 折返前后相关，分两种情况． 3．探求等腰三角形AOH ，先按顶点分三种情况，再按点E 折返前后分两种情况． 4．本题运算量很大，多用到1∶2∶3，注意对应关系不要错乱．满分解答（1）在Rt △ABC 中，233tan63BC BAC AB ∠===， 所以∠BAC ＝30°．如图2，当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时， 在Rt △BCF 中，∠BFC ＝60°，BC =23，所以BF ＝2．因此PF ＝3－2＝1，运动时间t＝1． 图2（2）①如图3，当0≤t ＜1时，重叠部分为直角梯形BCNE ，2343S t =+． ②如图4，当1≤t ＜3时，重叠部分为五边形BQMNE ，234333S t t =-++． ③如图5，当3≤t ＜4时，重叠部分为梯形FMNE ，43203S t =-+． ④如图6，当4≤t ＜6时，重叠部分为等边三角形EFG ，23(6)S t =-．图3 图4 图5在△AOH 中，∠A ＝30°为定值，AO ＝3为定值，AH 是变化的．△AEH 的形状保持不变，AH ＝3AE ．当E 由O 向A 运动时，AE ＝3－t ；当E 经A 折返后，AE ＝t －3．图6 图7 图8①当AO ＝AH 时，解3(3)3t -=，得33t =-（如图7）； 解3(3)3t -=，得33t =+（如图8）．②当OA ＝OH 时，∠AOH ＝120°，点O 与点E 重合，t ＝0（如图9）．③当HA ＝HO 时，H 在AE 的垂直平分线上，AO ＝3AH ＝3AE ．解3(3)3t -=，得t ＝2（如图10）；解3(3)3t -=，得t ＝4（如图11）．图9 图10 图11考点伸展图3，图4中，点E 向A 运动，EF ＝6；图5，图6中，点E 折返，EF ＝12－2t ．。

专题13 由面积产生的函数关系问题模块一：直接利用面积公式构造函数关系式1、常见几何图形面积公式：（1）三角形面积公式：12⨯⨯底高；（2）平行四边形面积公式：⨯底高；（3）梯形面积公式：1+2⨯⨯（上底下底）高；（4）圆的面积公式：2rπ．2、解题思路：（1）先确定所求面积的几何图形的形状；（2）确定求面积时所需的线段，并且添加必要的辅助线；（3）根据题意利用相似或锐角三角比或勾股定理等方法分别表示出线段的长，某些线段是含有未知数的代数式；（4）根据面积公式求出解析式，并根据题意确定定义域．例题1..（2020金山二模）如图，在△ABC中，△C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心，PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），△CPQ的角平分线与AC相交于点D．（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．解析：（1）证明：△PB=PQ，∴∠B=∠PQB，∴∠CPQ=∠B+∠PQB=2∠PBQ，--------（1分）∵PD平分△CPQ，∴△DPQ=∠CPD=12∠CPQ=∠PQB=∠B，∴DP∥BQ，-----------（1分）∵DQ=PB，PB=PQ，∴QD=QP，∴∠QPD=∠QDP，∴∠CPD=∠QDP，∴DQ∥PB，（1分）∴四边形BQDP是平行四边形-------------------------------------------------------------------（1分）（2）作PE⊥BQ，QF⊥DP，垂足分别为E、F，∵DP∥BQ，PE⊥BQ，QF⊥DP，∴PE=QF，∵在△ABC中，△C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，sinB=35，在△BEP中，△BEP=90°，∴PE=PB·sinB=35x，---------------------------------------------（1分）∵DP∥BQ，∴CP DPBC AB=，∴8810x DP-=，∴5104DP x=-，---------------------（1分）∴15310245y x x⎛⎫=⋅-⋅⎪⎝⎭，即2338y x x=-+（254x<<）.--------------------------（2分）（3）∵PE⊥BQ，∴BE=EQ=45x，∴AQ=8105x-，∵DP ∥BQ ，∴BP AD BC AC =，∴86x AD =，∴34AD x =，---------------------------------（1分） 在△ABC 中，cosA =35， 如果DQ =DA ，作DM ⊥AQ ，垂足为M ，则1184=10=52255AM AQ x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 在△AMD 中，△AMD =90°，cos AM AD A =⋅，4335554x x -=⨯，解得4x =，-------------------------------------------------------------------（2分）如果DQ =QA ，作QN ⊥AD ，垂足为N ，则1133=2248AN AD x x =⨯=， 在△ANQ 中，△ANQ =90°，cos AN AQ A =⋅，33810855x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，解得40089x =，----------------------------------------------------------（2分） 综上所述，如果△ADQ 是以DQ 为腰的等腰三角形，PB 的长为4或者40089．-------（1分） 例题2.（2020崇明二模）如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝4，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ⊥AC ，点E 是射线AM 上一点，联结OE 交AB 边于点F ．以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH ．（1）求证：△HDO ≌△EAO ；（2）设BF ＝x ，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG ，当△AEG 是等腰三角形时，求BF 的长．【整体分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，AO＝OD，∠EOH＝90°，OE＝OH，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到AN＝BN＝ON＝AB ＝2，根据勾股定理得到OF＝＝＝，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【满分解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠P AE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．例3.如图，Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，BC = 6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC = 8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；（2）如图2，若12DEEF=，设AC x=，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）若23DEEF=，且点G恰好落在Rt ABC∆的边上，求AC的长．【解析】（1）如图， ∵152AD AB == ∴315544DE FG ==⨯=，33154544416BG FG ==⨯= ∴453551616DG =-=， ∴154DE =，3516EF =； （2）过点D 作DH AC ⊥于点H ，从而3DH =．易得DHE ∆∽ECF ∆，由12DE EF =，可得26EC DH ==，162EH x =-．所以22223(6)64524x x DE x =+-=-+． ∴22212902x y DE EF DE x =⋅==-+． （3）由题意，点G 可以在边BC 或者AB 上．①如左图，若点G 在边BC 上，由3DE =，得92EF =， ∴29AC EF ==； ②如右图，若点G 在边AB 上．记AD DB a ==， 矩形边长2DE b =，3EF b =， 由ADE ∆∽FGB ∆，可得AD FG DE GB =，即223a b b a b=-，∴22340a ab b --=， 解得：4a b =， 即2AD DE =．∵ADE ∆∽FGB ∆，∴2AC BC =，∴12AC =． 综上，AC 的值为9或12．【总结】本题主要考查相似的综合运用，解题时注意进行分析．例4.如图，已知在ABC∆中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交线段AH于点F．设点P为边BC 上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，ABC∆的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【解析】（1）过点H作HG // CD，交AB于点G．∵AB = AC，AH⊥BC，∴BH = CH．又∵HG // CD，AB = 6，AD = 2，∴DG = BG = 2．又∵HG // CD，∴AE = EH = 2．∴AH = 4；（2）联结AP，设BP = t．∵以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，∴2=+．AP t∵以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，∴2=-．AP PC∴4PC t =+．∴24BC t =+．∴122BH BC t ==+．∴2HP =． 在Rt ABH ∆中，222AH AB BH =-，在Rt APH ∆中，222AH AP HP =-，可得22226(2)(2)2t t -+=+-．解得：2t =±（负值舍去），∴BC =． 另解：联结AP ，设BP = a ，BC = b ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与A 外切，∴2AP a =+．∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与A 内切，∴2AP PC =-．∴22a b a +=--．即24b a =+．①在Rt APH ∆中，222AH AP HP =-，在Rt BCH ∆中，222AH AC CH =-， 可得22211(2)()36()22a b a b +--=-，即：4320a ab +-=．②把方程①代入方程②得24160a a +-=解得：2a =±（负值舍去）∴BC b ==；（3）过点B 作BM // DF ，交AH 的延长线于点M ．∵BM // DF ，AB = 6，AD = 2，DF = x ，∴13AD AF DF AB AM BM ===．即：3BM x =，AM = 6． 设HM k =．在Rt ABH ∆中，222BH AB AH =-，在Rt BHM ∆中，222BH BM MH =-，∴22226(6)(3)k x k --=-，即234k x =，∴2223(3)()4BH x x =-，2364AH x =-．∴322BC BH ==∴21133(6)2224y BC AH x =⋅=⨯-，∴y 关于x 的函数解析式为：y =0x <）． 【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含比例线段的运用、两圆相切的考察以 及面积与变量的函数关系式，注意方法的运用及辅助线的合理添加．例5.如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，点C 是AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（2）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【解析】（1）存在．DE 的长保持不变．连接DE （如图一）．∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴12DE BA =． 在Rt AOB ∆中，222AB OB OA =+，∴AB ==DE （2）连接OC ，过点D 作DF OE ⊥于点F （如图二）．∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OA OB OC ==，∴BOD COD ∠=∠，EOC EOA ∠=∠， ∵90AOB BOD COD EOC EOA ∠=∠+∠+∠+∠=，∴45DOE EOC DOC ∠=∠+∠=．∵OD ⊥BC ，BD = x ，2OB =，∴DO =∵DF OE ⊥，45DOE ∠=，∴DF OF =．∴EF =．∴11())22y OF EF DF =⋅+⋅=⋅，即y(0x <<． 【总结】本题主要考查在圆的背景下的综合运用，包含了垂径定理、勾股定理及中位线的性图一DOEC BA图二DOF E C BA质，综合性较强，难度中等，做题时要细心一些，注意理解相关概念．模块二：利用割补法构造函数关系式1、解题思路：（1）判断所求面积的几何图形的形状，可能是一个非规则的图形，也可能是规则图形，但无法确切表示出相应的线段长；（2）通过添加辅助线（通常是做坐标轴的垂线），将所求图形的面积转化为几个规则几何图形（通常为梯形和三角形）的和或者差；（3）根据题意利用相似或锐角三角比或勾股定理等方法分别表示出所需线段的长，某些线段可能是含有未知数的代数式；（4）根据面积公式列出等式，从而求出解析式，并根据题意确定定义域．例1.如图，已知抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），直线y x b =+与抛物线交于A 、C 两点，点P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为x ，PAC ∆的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并指出PAC ∆的面积最大时，点P 的位置．【解析】分别过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ．∵抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴(10)A -，，(40)B ，． ∵直线y = x + b 经过A 点，∴代入(1,0)A -，得直线解析式为：1y x =+．∵直线y = x + b 与抛物线234y x x =-++交于点C ，∴(34)C ，．∴3OE =，4CE =．设2(,34)P x x x -++，则OF x =，234PF x x =-++．∵APCPAFAECPCEF SS SS=+-梯形，∴111=)222S CE PF EF AF PF CE AE ⋅+⋅+⋅⋅-⋅⋅(22111=434)(3)(1)(34)44222x x x x x x ⋅-++⋅-+⋅+⋅-++-⋅⋅( 2=246x x -++2=2(1)8x --+．∴当1x =时，PAC ∆的面积最大，最大值为8，此时点P 的坐标为(16)，．【总结】本题比较基础，主要考查二次函数背景下的点的坐标的确定，通过解析式求出交点 坐标，然后再利用割补法求出几何图形的面积． 例2.如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，3cos 5B =，点D 在AB 边上（点D 与点A ，B 不重合），DE // BC 交AC 边于点E ，点F 在线段EC 上，且14EF AE =，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，联结BG ．（1）当EF = FC 时，求ADE ∆的面积；（2）设AE = x ，DBG ∆的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．【解析】（1）过点A 作AH BC ⊥，分别交DE 、GF 于点M 、N （如下图）．∵AH BC ⊥，53cos =B ，AB = AC = 10，∴8=6AH BH =，．∴2=12BC BH =． ∴111284822ABC S BC AH ∆=⋅⋅=⨯⨯=．∵AE EF 41=，EF = FC ，∴23AE AC =． ∵DE // BC ，∴22439ADE ABC S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴643ADE S ∆=．（2）∵DE // BC ，∴AE AM DE AC AH BC ==，14MN EF AM AE ==．∵AE = x ，AC = 10，812AH BC ==，， ∴4655AM x DE x ==，．∴1145MN AM x ==． ∴485MH AH AM x =-=-，418855NH AH AM MN x x x =--=--=-．∵BDG DEFGDBCE BCFG S S SS ∆=--梯形梯形，∴11()()22y DE BC MH DE MN GF BC NH =⋅+⋅-⋅-⋅+⋅1646116(12)(8)(12)(8)2555525x x x x x x =⋅+⋅--⋅-⋅+⋅-， ∴236255y x x =-+（08x <≤）． 【总结】本题主要考查等腰三角形背景下的面积问题，相对比较基础，第（1）问利用相似性 质求出三角形的面积，第（2）问则要利用割补法确定面积，通过此题要对面积问题的求解方 法进行归纳总结．1.如图，在Rt ABC ∆中，∠ACB = 90°，AC = 4，1cos 4A =，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作P ．若P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP = x ，PCD ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域．【解析】作PM AC ⊥于M （如图）．在Rt PAM ∆中，cos 4x AM AP A =⋅=，∴PM ==．PA PD =，PM AD ⊥，22x AD AM ∴==，42x CD AC AD ∴=-=-，211(4)222PCDx SCD PM x x ∴=⋅⋅=⋅-=．2(08)y x ∴=+<≤． 【总结】本题比较基础，主要考查垂径定理和勾股定理的综合运用，注意常见辅助线的添加． 2.如图，已知抛物线2222y x tx t =-+-的顶点A 在第四象限，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，C 是线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点P ． （1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC = CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出定义域．【解析】（1）∵22222()2y x tx t x t =-+-=--，∴(2)A t -，． ∵点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，∴2t =， ∴2(2)2y x =--， ∴(11)P -，；（2）根据题意，设(2)(0)C x x t -<<，，2(()2)P x x t --，． 则AC t x =-，2()PC x t =-．∵AC PC =，∴2()x t t x -=-． ∵x t <，∴1t x -=，即1x t =-，∴1AC PC ==． ∵DC // y 轴，∴PC AC EB AB=，∴EB AB t ==， ∴2OE t =-． ∴2111()(3)(1)23222S OE DP OD t t t t =+⋅=--=-+-(12)t <<．【总结】本题比较基础，解题思路也比较简单，计算时细心一些． 3.如图，已知抛物线222433y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，E 是线段AB 上的一个动点，EF // AC 交BC 于F ．设AE 的长为x ，EOF ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．【解析】当点E 在线段OA 上时，过点F 作FG x ⊥轴于点G （如图1）．∵抛物线222433y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴(2,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C ．∵AE x =，∴2OE x =-．∵FG x ⊥轴，∴FG // OC ． 又∵EF // AC ，∴FG BF BEOC BC BA==． ∴545FG x -=，∴445FG x =-． ∴2114214(2)(4)422555y OE FG x x x x =⋅⋅=⋅-⋅-=-+(02x ≤≤)．当点E 在线段OB 上时，过点F 作FH x ⊥轴于点H （如图2）．同理，可得：2OE x =-．∵FH // OC ，EF // AC ，∴FH BF BEOC BC BA==． 即545FH x -=．∴445FG x =-． ∴2114214(2)(4)422555y OE FH x x x x =⋅⋅=⋅-⋅-=-+-（25x <≤）．【总结】本题主要考查二次函数背景下的三角形的面积问题，注意进行分类讨论． 4.已知Rt ABC ∆中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4．点D 在AB 边上，设AD 的长为x ． （1）如图1，如果内接矩形DBFG 的面积为y ，DG // BC ，求y 关于x 的函数关系式； （2）如图2，如果内接矩形DEFG 的面积为S ，DE // AC ，求S 关于x 的函数关系式； （3）当y 和S 分别取得最大值时，请说明点D 的位置．【解析】（1）∵DG // BC ，∴DG AD BC AB =，∵AB = 3，BC = 4，AD x =，∴43DG x =． ∴244(3)433y DB DG x x x x =⋅=-⋅=-+；（2）∵DEFG 是ABC ∆的内接矩形，DE // AC ，∴DG AC ⊥．∵sin BC DG A AC AD ==，又5AC ==，∴45DG x =． ∵DE //AC ，∴DE BD AC AB =，∴553DE x =-．∴2544(5)4353S DE DG x x x x =⋅=-⋅=-+； （3）∵224434()3332y S x x x ==-+=--+，∴当32x =时，面积最大，即当点D 是AB 的中点时，y 和S 均取得最大值，最大值为3．【总结】本题主要考查三角形背景下的面积问题，注意利用相似三角形的性质进行求解，最 后一问则是将问题转化为二次函数的最值问题．5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC = 12 cm ，BD = 16 cm ，动点P 在线段AB 上，由B 向A 运动，速度为1 cm/s ．动点Q 在线段OD 上，由D 向O 运动，速度为1 cm/s ．过点Q 作直线EF ⊥BD 交AD 于E ，交CD 于F ，联结PF ，设运动时间为t (s)（08t <<），问：（1）何时四边形APFD 为平行四边形？求出相应的t 的值； （2）设四边形APFE 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 的函数关系式．【解析】（1）∵菱形ABCD ，AC = 12，BD = 16，∴68OA OB OD AC BD ===⊥，，，∴10AB =．∴10AP AB BP t =-=-．∵EF // AC ，∴EF DQ AC OD =，即128EF t =，∴32EF t =．∵菱形ABCD ，BD 为对角线，EF ⊥BD ，∴1324QF EF t ==．∴54DF t =．∵APFD 为平行四边形，∴AP QF =．即5104t t -=，∴409t =．即当409t =时，四边形APFD 为平行四边形； （2）过点C 作CG AB ⊥于点G （如图）．∵1=2ABCD S AC BD GC AB ⋅⋅=⋅菱形，∴1112164822===105AC BD GC AB ⋅⋅⨯⨯．Q G DOP FEBA∵EF // AC，∴QF DQ DFOC OD DC==，即6810QF t DF==，∴34QF t=，54DF t=．∴32EF t=．∵11()22DEFAPFE APFDS S S DF AP CG EF DQ∆=-=⋅+⋅-⋅⋅四边形梯形，∴154813(10)24522y t t t t=⋅+-⋅-⋅⋅2364845t t=-++．【总结】本题主要考察菱形背景下的动点结合问题，注意利用相关性质进行求解．。

由面积公式产生的函数关系问题1、（09北京24题）在平行四边形ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）。

（1）在图1中画图探究：①当P 1为射线CD 上任意一点（P 1不与C 点重合）时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 1。

判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明；②当P 2点为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG 2。

判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。

（2）若AD ＝6，tanB=43，AE ＝1，在①的条件下，设CP 1=x ，11PFG S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

2、（09广州22题）正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两上动点，当M 在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直。

（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ； （2）设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 运到到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大值。

（3）当M 运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求出x 的值。

B DB DB C A D M N3、（09日照23题）某仓库为了保持库内的温度和湿度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施。

该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB ＝2米，BC ＝1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点。

△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆。

（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米时，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由。

专题一：二次函数中的面积问题（一）利用割补：将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD 解法不简便。

）例1：如图抛物线与轴交于两点，与轴交于点, （1）k=___-3_____,点的坐标为___(-1,0)___，点的坐标为____(3,0)____； （2）设抛物线的顶点为，求的面积；（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；解：（2）M （1，-4）；(3)设,,当m =52时，四边形ABDC 面积最大，为52。

练习1、如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，抛物线的对称轴交轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）． （1）求抛物线的表达式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．解：（1）y =-12x 2+32x +2(2)对称轴x =-b 2a =32,\D (32,0)， 令-12x 2+32x +2=0,x 1=-1,x 2=4,\B (4,0) ,设F (a ,-12a 2+32a +2),y =x 2-2x +k x A ,B y C (0,-3)A B M D BCM x D ABDC S D BCM =S D OCM +S D BOM -S D BOC =12´3´1+12´3´4-12´3´3=3D (m ,m 2-2m -3) S 四边形ABDC =S D AOC +S D BOD +S D COD=12´1´3+12´|m 2-2m -3|´3+12´m ´3=-12m 2+52m +3-b 2a =-522´(-12)=52,0<m <3y =-12x 2+mx +n x y xxS四边形CDBF =SD COF+SD BOF-SD COD=12´2´a+12´4´(-12a2+32a+2)-12´2´32=-a2+4a+52∵-42´(-1)=2,0<a<4,-1<0,\当a=2时，S四边形CDBF最大，为132此时，直线BC解析式可求得y=-12x+2,\E(2,1)练习2：已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将B(0,3)代入得a=-1\y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,令y=0得x1=-1,x2=3,\A(3,0)连结OC，SD ABC =SD CBO+SD ACO-SD ABO=3,\SD PAB=54×SD ABC=54´3=154设P(m,-m2+2m+3),连结OP、BP,SD PAB =SD BPO+SD APO-SD AOB=12´3´m+12´3´(-m2+2m+3)-12´3´3=-32m2+92m-32m2+92m=154,整理得2m2-6m+0,D=(-6)2-4´2´5=-4<0,所以不存在这样的点P。

全国第二届中考数学压轴题破解研讨会（2019·大连峰会）中考数学压轴题解题策略12讲之十/马学斌主讲专题训练十由面积产生的函数关系问题例1 如图，已知抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），直线y＝x＋b与抛物线交于A、C两点，点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为x，△P AC的面积为S，求S关于x的函数关系式，并指出△P AC的面积最大时，点P的位置．例2 如图，已知抛物线222433y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，E 是线段AB 上的一个动点，EF //AC 交BC 于F ．设AE 的长为x ，△EOF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．例3 如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝AD ＝5，tan ∠DBC ＝34，点E 为线段BD 上任意一点（点E 与B 、D 不重合），过点E 作EF //CD ，与BC 相交于点F ，联结CE ，设BF ＝x ，y ＝ECFBCDS S △△． （1）求BD 的长；（2）如果BC ＝BD ，当△DCE 是等腰三角形时，求x 的值；（3）如果BC ＝10，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．专题直击（3）例4 如图1，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝3，AB＝16．点E在射线BC4上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．例5 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，53cos =B ，点D 在AB 边上（点D 与点A ，B 不重合），DE ∥BC 交AC 边于点E ，点F 在线段EC 上，且AE EF 41=，以DE 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，联结BG ．（1）当EF ＝FC 时，求△ADE 的面积；（2）设AE ＝x ，△DBG 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．例6 如图1，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝2，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），∠CEB ＝45°，EB 与对角线AC 相交于点F ，设DE ＝x ．（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；（2）如果把△CAE 的周长记作C △CAE ，△BAF 的周长记作C △BAF ，设CAEBAFC C △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE 的正切值是35时，求AB 的长．专题直击（1）（2）例7 如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，cos B＝4，P是边AB上一点，以P为5圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．专题直击（1）（2）例8 如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B、C不重合），平行四边形AFPE的顶点F、E分别在AB、AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．。

与面积有关的函数关系问题函数关系是指一个函数的关系如何受其他函数的影响。

在数学中，函数关系是用来描述两个或多个函数之间的关系或互动机制。

以下我将阐述面积(Area)与函数关系的关系。

首先，我们要明确的是，面积和函数之间的关系是由函数与物理状况定义的。

一般来说，函数与物理状况之间的关系可以表示为：F(H) = A，其中F(H)表示函数，H表示物理状况，A表示面积。

也就是说，面积取决于函数与物理状况的关系，函数与物理状况又决定了物体的性质，而物品的性质又决定面积。

比如，如果我们要求一个圆形物体的面积，我们可以用以下函数来描述它的特征：f (x) = x*3.14，其中x表示圆的半径，3.14是圆周率。

根据此，我们可以得到关于院子面积和半径的函数关系：A = x2* 3.14，其中x是圆的半径，A表示面积。

在这里，我们可以看到，函数与物理状况之间的关系显而易见：函数决定了物理状况，而物理状况又决定了面积。

同样，任何几何体都有自己的函数与物理状况之间的关系，从而形成一种函数与面积之间的关系。

比如，一个平行四边形的面积可以表示为A = a*b，其中a和b分别表示平行四边形的两边长度。

可以看出，函数与物理状况之间的关系又决定了物理状况，而物理状况又决定面积。

总之，有许多要求求面积的情况，其中函数与物理状况之间的关系是重要的。

函数关系可以表示为F(H) = A，其中F(H)是表示函数的物理状况的函数，H表示函数的物理状况，A表示面积。

所以，函数与物理状况之间的关系又决定了物理状况，而物理状况又决定面积。