高一数学区统测(2006.6)

山西省2006年高中阶段教育招生统一试卷数学试题一、填空题（每小题2分，共24分） 1．13-的倒数是_________． 2．计算()sin3031+=_________．3．我国2005年国内生产总值达到182300 亿元，此数据用科学记数法可表示为_________亿元． 4x 的取值范围是_________． 5．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b -=_________．6．已知梯形ABCD 内接于O ，梯形的上、下底边的长分别是12cm 和16cm ，O 的半径是10cm ，则梯形ABCD 的高是_________cm ．7．如图所示，要把1000个形状是圆锥体的实心积木的表面刷成红色，每平方厘米需油漆约0.0002升，全部刷完共需油漆约_________升（π取3）．8．一家体育器材商店，将某种品牌的篮球按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出．已知每颗篮球的成本价为a 元，则该商店卖出一颗篮球可获利润_________元．9．小明自制了一个翘翘板，它的左、右臂OA ，OB 的长分别为1米，2米．如图所示，当点B 经过的路径长为1米时，点A 经过的路径长为_________米．10．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩，的解集是11x -<<，则()2006a b +=_________． 11．树木生长过程中，新枝生长及树枝数目变化规律如图所示，据此生长规律，可推知第八年有树枝_________枝．（第5题）10cm 10cm（第7题） OA B（第9题） 第5年8枝 第4年5枝第3年3枝 第2年2枝第1年1枝（第11题）12．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC =，AE 与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________．二、选择题（在下列各小题中，均给出四个备选答案，其中只有一个正确答案，请将正确13．观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是（ ）14．幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的正多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板不能选择．．．．的是（ ） Ａ．正八边形 Ｂ．正六边形Ｃ．正四边形Ｄ．正三角形15．下列运算正确的是（ ） Ａ．()325aa =Ｂ．235a a a =Ｃ．235a a a += Ｄ．623a a a ÷=16．图中圆与圆的位置关系有（ ） Ａ．相交 Ｂ．相离 Ｃ．相交、相离 Ｄ．相切、相交 17．小雨和弟弟进行百米赛跑，小雨比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，小雨肯定赢．现在小雨让弟弟先跑若干米，图中1l ，2l 分别表示两人的路程与小雨追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（ ） Ａ．小雨先到达终点 Ｂ．弟弟的速度是8米／秒 Ｃ．弟弟先跑了10米 Ｄ．弟弟的速度是10米／秒AD FBE C （第12题）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（第16题）s ／米1l2l t ／秒（第17题）18．一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） Ａ．0k >，0b > Ｂ．0k >，0b < Ｃ．0k <，0b >Ｄ．0k <，0b <19．已知a ，b 是方程2210x x --=的两个根，则23a a b ++的值是（ ） Ａ．7Ｂ．5-Ｃ．Ｄ．2-20．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示．有下列结论：①240b ac -<；②0ab >；③0a b c -+=；④40a b +=；⑤当2y =时，x 只能等于0．其中正确的是（ ）Ａ．①④ Ｂ．③④ Ｃ．②⑤Ｄ．③⑤三、解答题（每小题8分，共16分）21．（8分）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当3x =，5-，7+代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．22．（8分）如图1，2所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB 剪下，将AOB △完全展开．（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB △应满足的条件．yxO（第18题）0 2 5 x2y（第图1 图2 图3A BO （第22题）四、应用题（23题12分，24题，25题各9分，共30分） 23．（12分）五一黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算： （1）备用食品费：购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元．现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：请选择最合算的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由． 24．（9分）为选拔两名运动员参加即将举行的十米跳台比赛，教练对甲、乙、丙、丁四名运动员十米跳台技能进行了跟踪测试，连续记录了最近5次的测试成绩，如下表所示（按（2）如果你是教练，你将挑选哪两名运动员参赛？叙述理由（至少两条）． 25．（9分）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB 的高度．如图，在湖面上点C 测得塔顶A 的仰角为45，沿直线CD向塔AB 方向前进18米到达点D ，测得塔顶A 的仰角为60．已知湖面低于地平面．．．．．．．1米，请你帮他们计算出塔AB 的高度（结果保留根号）．C BED A（第25题）五、证明题（本题12分） 26．（12分）已知ABC △内接于以AB 为直径的O ，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点D ，且:1:2DA AB =． （1）求CDB ∠的度数；（2）在切线DC 上截取CE CD =，连结EB ，判断直线EB 与O 的位置关系，并证明； （3）利用图中已标明的字母，连结线段，找出至少5对相似三角形（不包含全等，不需要证明）．多写者给附加分，附加分不超过3分，计入总分，但总分不超过120分．六、综合题（本题14分）27．（14分）如图所示，在平面直角坐标系中有点()10A -，，点()40B ，，以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD 的解析式；（4）设点M 是抛物线上任意一点，过点M 作MN y ⊥轴，交y 轴于点N ．若在线段AB 上有且只有．．．．一点P ，使MPN ∠为直角，求点M 的坐标．D CB A（第26题）y4 xO1- （第27题）BAC山西数学答案一、填空题（每小题2分，共24分） 1．3- 2．323．51.82310⨯ 4．0x ≥且1x ≠5．2a - 6．14或27．458．325a 9．1210．111．3412．9:11二、选择题（在下列各小题中，均给出四个备选答案，其中只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格内．每小题3分，共24分）三、解答题（每小题8分，共16分）21．解：原式()()()()2111121x x x x x -+=+-- ······································································ （4分）12=． ···························································································································· （6分） ∴当3x =，5-，7+12=．························································· （8分） 22．（1）展开图如图所示，它是菱形．（展开图只要求画出示意图即可．） ·············· （2分） 证明：由操作过程可知OA OC =，OB OD =， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又OA OB ⊥， 即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形． ·································································· （6分） （2）AOB △中，45ABO =∠（或45BAO =∠或OA OB =）． ······················· （8分）四、应用题（23题12分，24题，25题各9分，共30分）23．解：（1）设现在每人需分摊x 元食品费，则原来每人需分摊()5x +元食品费． 依题意可得30030025x x -=+． ······················································································ （4分） 去分母，整理得257500x x +-=． ··········································································· （5分） 解得125x =，230x =-． ··························································································· （6分） 经检验125x =，230x =-都是原方程的根．但130x =-不合题意，舍去．所以25x =． ······························································ （7分）C O ABD（第22题）答：现在每人需分摊25元食品费． ············································································· （8分） （2）由（1）可计算旅游人数是3002512÷=（人）． 方案1：租两辆A 型车，费用是：50021000⨯=（元）． ········································ （9分） 方案2：租三辆B 型车，费用是：40031200⨯=（元）． ······································· （10分） 方案3：租一辆A 型车，租一辆B 型车，费用是：500400900+=（元）． ········· （11分） 所以，选择方案3最合算． ························································································· （12分）评分说明：每填对一项得一分，共计4分． （2）解：选甲、丁两名运动员参赛． ········································································· （5分） 理由：选甲：①平均成绩最高；②方差最小，成绩最稳定． ····································· （7分） 选丁：①平均成绩较高；②方差较小，成绩比较稳定． ············································· （9分） 25．解法1：如图，延长CD ，交AB 的延长线于点E ，则90AEC =∠，45ACE =∠，60ADE =∠，18CD =． ························································································· （1分）设线段AE 的长为x 米． ······························································································· （2分）在Rt ACE △中，45ACE =∠，CE x ∴=．在Rt ADE △中，tan tan 60AEADE DE==∠， DE x ∴=． ············································································································ （3分）18CD =，且CE DE CD -=，18x x ∴=． ··············································· （6分） 解得：27x =+ ································································································· （7分）1BE =米，(26AB AE BE ∴=-=+（米）． ············································· （8分）答：塔AB 的高度是(26+米． ·········································································· （9分） 解法2：提示：设塔AB 的高为x 米． 五、证明题（本题12分） 26．（1）解：如图，连结OC ． ··················································································· （1分） CD 是O 的切线，90OCD ∴=∠．C B EDA（第25题）设O 的半径为R ， 则2AB R =．:1:2DA AB =，DA R ∴=，2DO R =． 在Rt DOC △中，1sin 2OC CDO OD ==∠， ······························· （3分）30CDO ∴=∠，即30CDB =∠． ··········· （4分）（2）直线EB 与O 相切． ························································································· （5分） 证法一：由（1）可知DC =，33DC DB R ∴==． ····································· （6分）CE CD ==，DE ∴=．3DO DE ∴=············································ （7分） 在CDO △与BDE △中，CDO BDE =∠∠，DC DODB DE=， CDO BDE ∴△∽△． ································································································· （8分）90OCD EBD ∴==∠∠．EB ∴与O 相切． ······································································································ （9分）证法二：如图，连结OC ．由（1）可知30CDO =∠，60COD ∴=∠．OC OB =，30OBC OCB ∴==∠∠．CBD CDB ∴=∠∠．CD CB ∴=． ········································································· （6分）CD 是O 的切线，90OCE ∴=∠，60ECB ∴=∠．又CD CE =，CB CE ∴=． CBE ∴△为等边三角形． ····························································································· （8分）90EBA EBC CBD ∴=+=∠∠∠．EB ∴是O 的切线． ·································································································· （9分） 证法三：如图，连结OE ．OC DE ⊥，CE CD =， OC ∴是线段DE 的垂直平分线． ··············································································· （6分）OE OD ∴=，30OEC D ∴==∠∠．60EOC DOC ∴==∠∠，60EOB ∴=∠．在EBO △与ECO △中，OB OC EOB EOC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∠∠EBO ECO ∴△≌△． ································································································· （8分）90EBO ECO ∴==∠∠．EB ∴与O 相切． ······················································· （9分）DCEBOA （第26题）证法四：提示，利用弦切角定理证明． （3）如图，连结OE ．相似三角形有 CDO △与BDE △，CEO △与BDE △，BEO △与BDE △，CBA △与BDE △，OAC △与BCE △，DAC △与DCB △与DOE △，BOC △与DCB △与DOE △．评分说明：写出其中5组给3分，合计12分．再写出3组或3组以上附加3分，其它情况酌情给分，附加分最多3分，计入总分，但总分不超过120分． 六、综合题（本题14分）27．（1）解：如图，连结AC ，CB ．依相交弦定理的推论可得2OC OA OB =，解得2OC =．C ∴点的坐标为()02，． ······························································································· （2分）（2）解法一：设抛物线解析式是2y ax bx c =++()0a ≠． ··································· （3分）把()10A -，，()40B ，，()02C ，三点坐标代入上式得016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，，．解之得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，．∴抛物线解析式是213222y x x =-++． ··································································· （6分） 解法二：设抛物线解析式为()()14y a x x =+-． ···················································· （3分） 把点()02C ，的坐标代入上式得12a =-． ∴抛物线解析式是213222y x x =-++． ··································································· （6分） （3）解法一：如图，过点C 作CD OB ∥，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形．设点D 的坐标是()2x ，，代入抛物线解析式整理得230x x -=，解之得10x =，23x =．∴点D 的坐标为()32，． ······························································································· （7分） 设过点B ，点D 的解析式是y kx b =+． 把点()40B ，，点()32D ，的坐标代入上式得4032k b k b +=⎧⎨+=⎩，．yC 4 xO1- B D A（第27题）解之得28k b =-⎧⎨=⎩，．············································································································· （9分）∴直线BD 的解析式是28y x =-+． ········································································ （10分） 解法二：如图，过点C 作CD OB ∥，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形． 由（2）知抛物线的对称轴是32x =， ∴点D 的坐标为()32，． ······························································································· （7分） （下同解法一）（4）解：依题意可知，以MN 为直径的半圆与线段AB 相切于点P ． 设点M 的坐标为()m n ，．①当点M 在第一或第三象限时，2m n =． 把点M 的坐标()2n n ，代入抛物线的解析式得210n n --=，解之得12n =． ∴点M的坐标是112⎛++ ⎝⎭，或112⎛ ⎝⎭，． ·········································· （12分） ②当点M 在第二或第四象限时，2m n =-．把点M 的坐标()2n n -，代入抛物线的解析式得2210n n +-=，解之得1n =-±∴点M的坐标是(21--+或(21+-． 综上，满足条件的点M的坐标是1⎛+⎝⎭，1⎛ ⎝⎭，(21--，(21+-． ····························································· （14分）（第27题）AN CyM B x4 PO 1-。

扬州市2005—2006学年度第一学期期末测试试题高 一 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页（第1至10题），第Ⅱ卷3至8页（第11至22题）共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在第Ⅱ卷的密封线内．2、 将第Ⅰ卷上每小题所选答案前的字母标号填写在第Ⅱ卷卷首相应的答题栏内．在第Ⅰ卷上答题无效． 3、 考试结束，只交第Ⅱ卷．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在第Ⅱ卷相应的答题栏内． 1． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则AB =A ．(4,3)-B ．(4,2]-C ．(,2]-∞D ．(,3)-∞2． 已知平行四边形ABCD 的三个顶点(2,1),(1,3),(3,4)A B C --，则第四个顶点D 的坐标为 A ．(1,1) B ．(2,4) C ．(2,2)D ．(4,4)3． 圆锥的底面半径是3，高是4，则它的侧面积是A ．152πB ．12πC ．15πD ．30π4． 已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是A ．1710B ．175C ．8D ．25． 已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是A ．-2B ．2或52-C ． 2或-2D ．2或-2或52-6． 函数y =21x y =的图象变换得到，这种变换是A ．向下平移1个单位B ．向上平移1个单位C ．向右平移1个单位D ．向左平移1个单位 7． 圆22420x y x y +-+=关于直线0x y +=对称的圆的方程是A ．22240x y x y +-+=B ．22420x y x y +-+=C ．22240x y x y ++-=D ．22420x y x y ++-= 8． 设有直线m 、n 和平面α、β，则在下列命题中，正确的是A ．若m //n ，α⊥m ，β⊥n ，则βα⊥B ．若m //n ，n ⊥β，m ⊂α，则βα⊥C ．若m //n ，m α⊂，n β⊂，则βα//D ．若m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂β，则βα//9． 已知方程310x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)10．曲线y =与直线34y x b =+有公共点，则b 的取值范围是 A ．[3,1]- B ．[4,1]- C ．[4,0]- D ．1[3,]2-扬州市2005—2006学年度第一学期期末测试试题高一数学第Ⅰ卷答题栏第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．11．设点M是点(2,3,5)N-关于坐标平面xoy的对称点，则线段MN的长度等于．12．函数21()log(2)f xx=-的定义域是．13．正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成的角是．14．函数||1()3xy=的值域是．15．以原点为圆心，并与圆22(1)(2)5x y-+-=相切的圆的方程是．16．如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直．其中，正确命题的序号是______________________．6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，已知三角形的顶点为(2,4)A，(0,2)B-，(2,3)C-，求：（Ⅰ）AB边上的中线CM所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A BC D-中，(Ⅰ) 求证:111//B D BC D平面；(Ⅱ) 求二面角1C BD C--的正切值．得分评卷人得分评卷人19．（本小题满分12分）已知函数2()2||f x x x =-．（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断函数()f x 在(1,0)-上的单调性并加以证明．20．（本小题满分12分）如图，是一个奖杯的三视图（单位：cm），底座是正四棱台．（Ⅰ）求这个奖杯的体积（ 取3.14）；（Ⅱ）求这个奖杯底座的侧面积．21．（本小题满分14分）如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． （Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．得分评卷人22．（本小题满分14分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点A(1，0)．（Ⅰ）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（Ⅱ）若1l 与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，求证:AM AN ⋅为定值．扬州市2005—2006学年度第一学期期末测试高一数学参考答案14．(0,1] 15．2220x y += 16．③④17．（Ⅰ）解：AB 中点M 的坐标是(1,1)M ，……………………………………………2分中线CM 所在直线的方程是113121y x --=---，………………………………………5分 即2350x y +-= …………………………………………6分（Ⅱ）解法一： AB =………………………………8分直线AB 的方程是320x y --=，点C 到直线AB 的距离是d ==………………………10分 所以△ABC 的面积是1112S AB d =⋅=． …………………………12分解法二：设AC 与y 轴的交点为D ，则D 恰为AC 的中点，其坐标是7(0,)2D ，112BD =， ………………………………………………………………………8分11ABC ABD BD S S S =+=△△△C ………………………………………………………12分18．(Ⅰ)证明：由正方体1111ABCD A B C D -得：111////BB AA DD ，且111BB AA DD ==（写成11//BB DD ，且11BB DD =不扣分）∴ 四边形BB 1D 1D 是平行四边形∴ 11//B D BD …………………………………………………………4分 .又∵ 11B D ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D∴ 11//B D 平面1BC D ……………………………………………………………6分（Ⅱ）解：连结AC 交BD 于O ，连结1OC ， ∵ 11BC DC = B C D C =∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ ……………………………………………………9分 ∴ 1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角 …………………………………10分在Rt △1C OC 中，11tan C CC OC OC∠==………………………………12分 19．解（Ⅰ）是偶函数． …………………………………………………………………2分定义域是R ，∵ 22()()2||2||()f x x x x x f x -=---=-=∴ 函数()f x 是偶函数． ……………………………………………………………6分 （直接证明得正确结论给6分） （Ⅱ）是单调递增函数． ……………………………………………………………8分当(1,0)x ∈-时，2()2f x x x =+设1210x x -<<<，则120x x -<，且122x x +>-，即1220x x ++> ∵ 22121212()()()2()f x f x x x x x -=-+-1212()(2)0x x x x =-++< ………………………………………10分∴ 12()()f x f x <所以函数()f x 在(1,0)-上是单调递增函数．……………………………………12分（直接证明得正确结论给6分） 20．解：（Ⅰ）球的体积是34363V r ππ==球； ………………………………………2分 圆柱的体积是164V Sh π==圆柱； ………………………………………4分正四棱台的体积是21()3363V h S S =+=下正四棱台上；…………………6分 此几何体的体积是100336650V π=+=（cm 3）．………………………………8分（Ⅱ）底座是正四棱台，它的斜高是'5h ==，………………10分 所以它的侧面积是1(')'1802S c c h =+=侧（cm 2）．……………………………12分 （不写单位或单位表示不正确共扣1分）21．证明：（Ⅰ）连结1AO ，∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上， ∴ 1AO ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ∴ 1BC AO ⊥………………………………………………………………………2分又1,BC CO AO CO O ⊥=I ，∴ BC ⊥平面1ACD ，又11A D ACD ⊂平面， ∴ 1B C A D⊥……………………………………………………………………４分 （Ⅱ）∵ A B C D 为矩形 ，∴ 11A D A B ⊥由（Ⅰ）知11,A D BC A B BC B ⊥=I∴ 1A D ⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD …………………………………………9分 （Ⅲ）∵ 1A D ⊥平面 1A BC ， ∴ 11A D AC ⊥．∵ 16,10A D CD ==， ∴ 18AC =， ∴ 1111(68)64832A BCD D A BC V V --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………14分 22．（Ⅰ）解：①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．……………2分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即：2=………………………………………………………………4分解之得 34k =． 所求直线方程是1x =，3430x y --=． ……………………………………… 6分 （Ⅱ）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kx y k --=由2200x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得223(,)2121k k N k k --++． ……………………………8分 又直线CM 与1l 垂直， 由14(3)y kx k y x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩得22224342(,)11k k k k M k k +++++． …………………10分∴ 221|0|||M N M N k A M A N y y y y k+⋅=-⋅=⋅ 22224231|()|6121k k k k k k k++=⋅-=++，为定值．………………14分 解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为0kx y k --=由2200x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩ 得223(,)2121k k N k k --++． ……………………………8分 再由22(3)(4)4y kx kx y =-⎧⎨-+-=⎩ 得2222(1)(286)8210k x k k x k k +-+++++=．∴ 12222861k k x x k +++=+ 得22224342(,)11k k k k M k k +++++．……………10分∴ AM AN ⋅=6|21|k ==+为定值．…………………14分 解法三：用几何法，如图所示，△AMC ∽△ABN ，则AM AC AB AN=，可得6AM AN AC AB ⋅=⋅==，是定值．。

ABCD A 1B 1C 1D 1北京市2006年夏季普通高中毕业会考数学试卷一、选择题1. 已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==，那么集合A B 等于 A 、｛1，2｝B 、｛2，3｝C 、｛1，2，3，4｝D 、｛1，2，3｝2. 已知tan 1α=-，且[)0,απ∈，那么角α等于 A 、4πB 、3πC 、23πD 、34π 3. 函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 A 、2πB 、πC 、2πD 、4π4. 22cos 22.5sin 22.5︒-︒的值等于AB 、12C 、13D 、05. 如果函数2xy c =+的图象经过点（2，5），那么c 等于A 、1B 、0C 、-1D 、-2 6. 函数()2cos 1y x x R =+∈的最大值与最小值分别是 A 、2，1 B 、1，-1 C 、3，1D 、3，-1 7. 若0,0a b >>，则下列不等式中一定成立的是 A 、0a b ->B 、0a b ->C 、12a a+≥D 、12b b-≥8. 在等差数列{}n a 中，已知12312a a a ++=，那么2a 等于A 、3B 、4C 、5D 、69. 不等式01x x <-的解集是 A 、{}|1x x > B 、{}|0x x <C 、{}|10x x x ><或D 、{}|01x x <<10. 下列条件中，使平面α平行于平面β成立的是 A 、平面α内的一条直线平行于平面βB 、平面α内的两条相交直线分别平行于平面βC 、平面α内的两条平行直线分别平行于平面βD 、平面α内的无数条直线平行于平面β11. 椭圆2212516y x +=的离心率是 A 、35 B 、45C 、54D 、5312. 函数()()21f x x =-在A 、（0,+∞）上是增函数B 、（0,+∞）上是减函数C 、（－∞, 1）上是增函数D 、（－∞, 1）上是减函数13. 如图，在ABCD-A 1B 1C 1D 1正方体中，异面直线AA 1与BC 1所成角的大小是A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°14. 在平面直角坐标系中，不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域的面积为A 、14B 、12C 、1D 、215. 已知球的半径是5，那么与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的半径是 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 16. 在()41x +的展开式中，3x 的系数是A 、2B 、3C 、4D 、517. “0b =”是“函数()y x b x R =+∈为奇函数”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件18. 某校在开展社会主义荣辱观教育的活动中，要安排三名同学去高中三个年级演讲，每个年级一人，那么不同安排方法的种数是 A 、6种 B 、9种 C 、12种 D 、18种 19. 某公司销售一种产品，为获得更多的利润，决定拿出一定的资金做广告，设()()0y f x x =≥是销售利润y （万元）关于广告费x （万元）的函数，根据市场调查，测得数据如下：A 、20.4 2.41y x x =-++ B 、()210xy x =+≥C 、()210y x x =+≥D 、()()2log 10y x x =+≥20. 如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08千米，距测速区终点B 的距离为0.05千米，且∠APB=60°，现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3秒，则此车的速度介于 A 、60～70km/h B 、70～80km/h C 、80～90km/h D 、90～100km/h二、填空题21. 函数()lg 1y x =-的定义域是 22. 设点(),2P m 在抛物线24y x =上，则m 等于23. 设向量()()1,2,1,3a b =-=-，则2a b + 的坐标是24. 某体育院校去一所中学挑选参加集训队的学生，要求身体素质和文化成绩均合格才能入选，初选结果：身体素质合格率为0.1，文化成绩合格率为0.8，假定两种合格率相互之间没有影响，那么该校学生入选集训队的概率是 三、解答题25. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠ABC=90°,M 为AC 的中点，且PA=1，⑴求证：PB ⊥BC⑵求直线PM 与底面ABC 所成角的大小CB26. 设双曲线()22:10,0y x C a b a b+=>>的两个焦点是F 1，F 2，圆O 是以线段F1F 2为直径的圆，若双曲线C 的两条渐近线将圆O ，⑴求双曲线C 和圆O 的方程⑵设直线1l 1l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB 的值27. ，。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

（1）设集合A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则A ∩B=（A ）．[0，2] （B ）．[1，2] （C ）．[0，4] （D ）．[1，4](2)已知ni i m -=+11，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni= （A ）1+2i（B ）1－2i （C ）2+i （D ）2－I （3）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（A ）1＜n ＜m （B ）1＜m ＜n （C ）m ＜n ＜1 （D ）n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，表示的平面区域的面积是（A ）24 （B ）4 （C ）22 （D ）2(5) 双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到的左焦点距离的31，则m= （A ）21 （B ）23 （C ）81 （D ）89 （6）函数R x x x y ∈+=,sin 2sin 212的值域是 （A ）]23,21[- （B ）]21,23[- （C ）[]2122,2122++- （D ）]2122,2122[--- （7）“a ＞b ＞0”是“222b a ab +<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）若多项式,)1()1(...)1(10109910102+++++++=+x a x a x a a x x 则a 9=（A ）9 （B ）10 （C ）－9（D ）－10 （9）如图，O 是半径为的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）42π （10）函数f ：|1，2，3|→|1，2，3|满足f （f （x ）=f （x ），则这样的函数个数共有（A ）1个 （B ）4个 （C ）8个 （D ）10个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

沈阳市2006年课改实验区中等学校招生统一考试数学试题考试时间120分钟，试题满分150分一．选择题（每小题3分，共24题）01．下列物体中，主视图为图①的是（ ）。

02．下列计算中，正确的是（ ）。

A 、743)(a a = B 、734a a a =+ C 、734)()(a a a =-⋅- D 、235a a a =÷ 03．图②是几种汽车的标志，其中是轴对称图形的有（ ）。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 04．数据1、6、3、9、8的极差是（ ）。

A 、1B 、5C 、6D 、805．把不等式组⎩⎨⎧-≥-36042＞x x 的解集表示在数轴上，正确的是（ ）。

06．下列事件：(1)阴天会下雨；(2)随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；(3)12名同学中，有两人的出生月份相同；(4)2008年奥运会在北京举行。

其中不确定事件有（ ）。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 07．估算324+的值（ ）A 、在5和6之间B 、在6和7之间C 、在7和8之间D 、在8和9之间 08．已知点I 为△ABC 的内心，∠BIC =130°，则∠BAC 的度数是（ ）。

A 、65°B 、75°C 、80°D 、100° 二．填空题（每小题3分，共24分）09．2006年是我国公民义务植树运动开展25周年，25年来我市累计植树154000000株，这个数字可以用科学记数法表示为 株。

10．分解因式：2x 2－4x ＋2= 。

11．如图③，已知△ABC 的一边BC 与以AC 为直径的⊙O 相切于点C ，若BC =4，AB =5，则cosB = 。

12．如果反比例函数xk y 3-=的图象位于第二、第四象限内，那么满足条件的正整数k 可的值是 。

A B CD图①ABC D 图③13．已知等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD都是等腰三角形，则∠C 的度数是 。

中山市2005-2006学年度第一学期期末统一检测高一数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共100分，考试时间100分钟。

第I 卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、可以使用科学计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．集合的子集的个数有 },{b a A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．若且，则直线不通过0<ab 0>bc 0=++c by ax A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数的零点落在区间62ln )(-+=x x x f A ．（2，2.25）B ．（2.25，2.5）C ．（2.5，2.75）D ．（2.75，3）4．已知长方体的相邻三个侧面面积分别为，则它的体积是6,3,2A ．B ．C ．5D ．6565．若一次函数y=k+b(k ≠0)在R 上是单调递减函数，则点（k ，b ）在直角坐标平面的A ．上半平面B ．下半平面C ．左半平面D ．右半平面6．已知圆内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是4)1(22=+-y x A ． B ． 01=+-y x 03=-+y x C ．D ．03=++y x 2=x7．下列函数中，定义域为[0，∞]的函数是A ．B ．x y =22x y -=C ．D ．13+=x y 2)1(-=x y 8．若，且，则函数R y x ∈,)()()(y f x f y x f +=+)(x f A ． 且为奇函数 B ．且为偶函数 0)0(=f )(x f 0)0(=f )(x f C ．为增函数且为奇函数D ．为增函数且为偶函数)(x f )(x f 9．已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是⊥l α⊂m β（1）（2）m l ⊥⇒βα//m l //⇒⊥βα（3） （4） βα⊥⇒m l //βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）10．向高为H 的容器中注水直到注满为止，如果注水量V 与水深H 的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状应该是下图中的A得 分评卷人得 分评卷人中山市2005-2006学年度第一学期期末统一检测高一数学试卷第II 卷（非选择题共60分）题 号 二 15 16 17 18 19 总分 总分人 复分人二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）11．计算：。

北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标B 卷）数学试卷第Ⅰ卷（机读卷共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．5-的相反数是（ ）Ａ．5Ｂ．5-Ｃ．15Ｄ．15-2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米．将2 500 000用科学记数法表示应为（ ） Ａ．70.2510⨯Ｂ．72.510⨯Ｃ．62.510⨯Ｄ．52510⨯3．在函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） Ａ．3x ≠ Ｂ．0x ≠ Ｃ．3x >Ｄ．3x ≠-4．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，若155ADE ∠=，则DBC ∠的度数为（ ） Ａ．155 Ｂ．50Ｃ．45Ｄ．255．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ） Ａ．32，31 Ｂ．32，32 Ｃ．3，31 Ｄ．3，32ＡＤＥＣＢ6．把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y +Ｃ．(3)(3)x y y +-Ｄ．(9)(9)x y y +-7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） Ａ．16Ｂ．13Ｃ．14Ｄ．128．将如右图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标B 卷）数学试卷第II 卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）9．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．102(1)0n +=，则m n +的值为．Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．用“>⨯ð”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a >⨯ð21b b +=．例如，7>⨯ð211744+==，那么5>⨯ð3=；当m 为实数时，(m m >>⨯⨯痧2)=．12．如图，在ABC △中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连结DN ，EM ．若13cm AB =，10cm BC =，5cm DE =，则图中阴影部分的面积为2cm ．三、解答题（共5个小题，共25分） 13．（本小题满分5分）11(2006)2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．解： 14．（本小题满分5分） 解不等式组315260.x x -<⎧⎨+>⎩，解： 15．（本小题满分5分） 解分式方程12211xx x +=-+． 解： 16．（本小题满分5分）已知：如图，AB ED ∥，点F ，点C 在AD 上，AB DE =，AF DC =． 求证：BC EF =． 证明：Ｂ17．（本小题满分5分）已知230x -=，求代数式22()(5)9x x x x x -+--的值． 解：四、解答题（共2个小题，共11分．） 18．（本小题满分5分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，CD = 求：BE 的长． 解： 19．（本小题满分6分） 已知：如图，ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30CAD ∠=．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若OD AB ⊥，5BC =，求AD 的长． （1）证明：（2）解：五、解答题（本题满分5分）20．根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：Ａ（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？（2）2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为多少万人？（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．解：（1）（2）（3）六、解答题（共2个小题，共9分．）21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y x=-绕点O顺时针旋转90得到直线l．直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为(3)A a，，试确定反比例函数的解析式．解：22．（本小题满分4分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)x x>．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x=，解得x=成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 解：七、解答题（本题满分6分）23．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解：画图：（1）FE 与FD 之间的数量关系为 ．图4 图5N P M O 图1 图2（2）八、解答题（本题满分8分）24．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点(03)A ，，与x 轴分别交于(10)B ，，(50)C ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解：（1）（2）（3）九、解答题（本题满分8分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论． 解：（1）（2）北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标Ｂ卷）数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第I 卷是选择题，机读阅卷．3．第II 卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第I 卷（机读卷 共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）第II 卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）1311(2006)2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭312=-+ ·················································· 4分 13=+． ························································· 5分 14．解：由不等式315x -<解得 2x <． ······························· 2分由不等式260x +>解得 3x >-． ······························ 4分 则不等式组的解集为 32x -<<． ······························ 5分 15．解：(1)2(1)2(1)(1)x x x x x ++-=+-． ······························· 2分 2212222x x x x ++-=-． ······································· 3分 3x =． ·········································· 4分 经检验3x =是原方程的解．所以原方程的解是3x =． ········································ 5分 16．证明：因为AB ED ∥，则A D ∠=∠． ················································ 1分又AF DC =， 则AC DF =． ················································ 2分 在ABC △与DEF △中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ·············································· 3分 所以ABC DEF △≌△． ······································ 4分 所以BC EF =． ·············································· 5分17．解：22()(5)9x x x x x -+--322359x x x x =-+-- ·········································· 2分 249x =-． ····················································· 3分 当230x -=时，原式249(23)(23)0x x x =-=+-=． ·············· 5分 四、解答题（共2个小题，共11分）18．解：如图，过点D 作DF AB ∥交BC 于点F ． ························· 1分因为AD BC ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形． ····································· 2分 所以1BF AD ==．由DF AB ∥， 得90DFC ABC ∠=∠=．在Rt DFC △中，45C ∠=，CD =由cos CFC CD=， 求得2CF =． ······················································ 3分 所以3BC BF FC =+=． ············································ 4分在BEC △中，90BEC ∠=， sin BEC BC=．求得BE =． ··················································· 5分 19．解：（1）证明：如图，连结OA ．因为1sin 2B =，所以30B ∠=．故60O ∠=． ·················· 1分又OA OC =，所以ACO △是等边三角形．故60OAC ∠=． ··················································· 2分 因为30CAD ∠=， 所以90OAD ∠=．所以AD 是O 的切线． ············································· 3分 （2）解：因为OD AB ⊥， 所以OC 垂直平分AB ． 则5AC BC ==． ··················································· 4分 所以5OA =．······················································· 5分 在OAD △中，90OAD ∠=， 由正切定义，有tan ADAOD OA∠=．所以AD = ··················································· 6分 五、解答题（本题满分5分）20．解：（1）153********-=（万人）． ·································· 1分 故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人．（2）153610.2%156.672157⨯=≈（万人）．故2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为157万人． ······· 3分 （3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高． ······································································· 5分 六、解答题（共2个小题，共9分）21．解：依题意得，直线l 的解析式为y x =． ······························· 2分因为(3)A a ，在直线y x =上， 则3a =． ······················································ 3分即(33)A ，． 又因为(33)A ，在ky x=的图象上， 可求得9k =． ·················································· 4分 所以反比例函数的解析式为9y x=． ································ 5分 22．解：所画图形如图所示．说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分． 七、解答题（本题满分6分．） 23．解：图略．画图正确得1分．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE FD =． ·························· 2分 （2）答：（1）中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ．因为12∠=∠，AF 为公共边， 可证AEF AGF △≌△．所以AFE AFG ∠=∠，FE FG =． ··········· 4分由60B ∠=，AD CE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=． 所以60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=． 所以60CFG ∠=． ················································· 5分 由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△． 所以FG FD =．所以FE FD =． ···················································· 6分 证法二：如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ． ·················· 3分 因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，所以可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． ········ 4分 所以601GEF ∠=+∠，FG FH =．又因为1HDF B ∠=∠+∠， 所以GEF HDF ∠=∠． ······························ 5分 因此可证EGF DHF △≌△．所以FE FD =． ···················································· 6分 八、解答题（本题满分8分） 24．解：（1）根据题意，3c =，所以3025530.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，图4图5解得3518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以抛物线解析式为2318355y x x =-+． ······························· 2分 （2）依题意可得OA 的三等分点分别为(01)，，(02)，． 设直线CD 的解析式为y kx b =+．当点D 的坐标为(01)，时，直线CD 的解析式为115y x =-+； ············· 3分 当点D 的坐标为(02)，时，直线CD 的解析式为225y x =-+． ············ 4分（3）如图，由题意，可得302M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点M 关于x 轴的对称点为302M ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，，点A 关于抛物线对称轴3x =的对称点为(63)A '，． 连结A M ''．根据轴对称性及两点间线段最短可知，A M ''的长就是所求点P 运动的最短总路径的长． ··································································· 5分所以A M ''与x 轴的交点为所求E 点，与直线3x =的交点为所求F 点． 可求得直线A M ''的解析式为3342y x =-． 可得E 点坐标为(20)，，F 点坐标为334⎛⎫ ⎪⎝⎭，．···························· 7分由勾股定理可求出152A M ''=． 所以点P 运动的最短总路径()ME EF FA ++的长为152． ················· 8分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长． ·········································· 3分已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =， 且60AOD ∠=．x'求证：BC AD AC +≥．证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =．连结CE ，BE ． ···················································· 4分 故60EDO ∠=，四边形ACED 是平行四边形．所以BDE △是等边三角形，CE AD =． ······························· 6分所以DE BE AC ==．①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），在BCE △中，有BC CE BE +>．所以BC AD AC +>． ······························· 7分②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC CE BE +=．因此BC AD AC +=． ······························· 8分 综合①、②，得BC AD AC +≥．即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．A DEF CB O图2 A DE F C B O图1。

2006年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】（ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.11. 方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++=的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科数学及参考答案第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(（1）已知集合{}2560A x x x =-+=，集合{}213B x x =->，则集合A B =（A ）{}23x x ≤≤ （B ）{}23x x ≤< （C ）{}23x x <≤ （D ）{}13x x -<< （2）函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是（A ）()()11x f x e x R -=+∈ （B ）()()1101x f x x R -=+∈ （C ）()()11011x f x x -=+> （D ）()()111x f x e x -=+> （3）曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（A ）74y x =+ （B ）72y x =+ （C ）4y x =- （D ）2y x =-（4）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅（5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （A ）30人，30人，30人 （B ）30人，45人，15人 （C ）20人，30人，10人 （D ）30人，50人，10人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(7) 已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120(8) 已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π(9) 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一 个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是 （A ）4π （B ）8π （C ）12π （D ）16π(10) 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（A ）36 （B ）48 （C ）56 （D ）64（11）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件（12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为 （A ）4160 （B ）3854 （C ）3554 （D ）1954第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。