第二章 第6课 函数的单调性

第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0， 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ， 因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， 又因为0<x 1<x 2≤1， 所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数， 所以f (x 1)-f (x 2)>0， 由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， 所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。