数值方法课后习题答案第3章
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李庆扬-数值分析第五版第3章习题答案(20130702)
b
( f , g) f (x)g(x)dx a
函数族{ 0, 1, …, n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵 G 的行列式不等于 0
(1,1) (1,2 ) ... (1,n )
G (2,1)
(2 ,2 )
...
(2
,
n
)
， det G 0 。
...
... ... ...
|| f (x) p*(x) ||2 min || f (x) pn(x) ||2
取 2-范数，则
b
|| f (x) p*(x) ||2 min { f (x) pn (x)}2 dx a
问题：为什么选择不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。 5、什么是[ a , b ]上带权 (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要 性质？ 解：
3 k 0
f
(
k 3
)
3 k
xk
(1
x)3k
f
(0)
3 0
x0
(1
x)30
f
(
1) 3
3 1
x1
(1
x)2
f
(
2 3
)
3 2
x
2
(1
x)1
f
(1)
3 3
x3
(1
x)0
3 x 1 x2 x3 22
注意：伯恩斯坦多项式在0,1 上有效，如果区间超出，则应进行区间不变。那么常系数 1
（8）三角最小平方逼近与三角插值都要计算 N 点 DFT，所以他们没有任何区别。
（9）只有点数 N 2p 的 DFT 采能用 FFT 算法，所以 FFT 算法意义不大。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
数值计算与MATLAB方法课后答案
第一章习题1. 序列满足递推关系，取及试分别计算，从而说明递推公式对于计算是不稳定的。
n1 1 0.01 0.00012 0.01 0.0001 0.0000013 0.0001 0.000001 0.000000014 0.000001 0.0000000110-105 0.00000001 10-10n1 1.000001 0.01 0.0000992 0.01 0.000099 -0.000099013 0.000099 -0.00009901-0.010000994 -0.00009901 -0.01000099-1.00015 -0.01000099-1.0001初始相差不大，而却相差那么远，计算是不稳定的。
2. 取y0=28，按递推公式，去计算y100，若取（五位有效数字），试问计算y100将有多大误差？y100中尚留有几位有效数字？解：每递推一次有误差因此，尚留有二位有效数字。
3．函数，求f(30)的值。
若开方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？设z=ln(30-y)，，y*， |E(y)| 10-4z*=ln(30-y*)=ln(0.0167)=-4.09235若改用等价公式设z=-ln(30+y)，，y*， |E(y)|⨯10-4z*=-ln(30+y*)=-ln(59.9833)=-4.094074．下列各数都按有效数字给出，试估计f的绝对误差限和相对误差限。
1)f=sin[(3.14)(2.685)]设f=sin xyx*=3.14, E(x)⨯10-2, y*=2.685, E(y)⨯10-3,sin(x*y*)=0.838147484, cos(x*y*)=-0.545443667⨯(-0.5454) ⨯⨯10-2+3.14(-0.5454) ⨯⨯10-3|⨯10-2⨯10-2|E r(f)| ⨯10-2⨯10-2<10-22)f=(1.56)设f = x y ,x*=1.56, E(x)⨯10-2, y*=3.414, E(y)⨯10-3,⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|⨯⨯⨯10-2⨯⨯⨯10-3|=0.051|E r(f)| =0.01125．计算，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好，为什么？6．下列各式怎样计算才能减少误差？7. 求方程x2-56x+1=0的二个根，问要使它们具有四位有效数字，至少要取几位有效数字？如果利用伟达定理， 又该取几位有效数字呢？解一:若要取到四位有效数字,如果利用伟达定理,解二:由定理二,欲使x1,x2有四位有效数字,必须使由定理一知，∆至少要取7位有效数字。
数值分析答案第三章习题
u=
x1 − x2 s1 s2 − n1 n2
2 2
~ N (0,1)
(3)给定显著水平α = 0.01，查得u α = 2.575, 使 p u ≥ uα ≈ α
2
{
2
}
2
ˆ ˆ (4)由样本计算, p1 = 0.53, p2 = 0.87 ˆ ˆ ˆ ˆ s1 = p1q1 = 0.53 × 0.47, s2 = p2 q2 = 0.87 × 0.13
( x − µ1 ) 2
3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为 x(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布。问在下α = 0.01 能 否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。 解：设 ， 未知，计算 2 x ~ N (µ ,σ ) σ 2 x ＝３.252， =0.013。 （1）建立假设
∴
323 / 24
142 × 24 = = 2.1537 > t0.025 (23) = 2.069) 323
试问：从这组数据能否说明新安眠药的睡眠时 间已达到新的疗效（假定睡眠时间服从正态分 布，取 α = 0.05 ）？ 2 x1 ~ (20.8,1.6 2 ) 解： x2 ~ ( µ , σ 2 ) 1、（1）建立假设 H 0 ：σ = σ = 1.6
∴ 接受
6 × 2.296 2 2 χ2 = = 12.355 < χ α (6) = 14.49 2 1.6 2
H0
x − µ0 t= * ~ t (n − 1) s / n
（3）给定 α = 0.05，查得 t (6) = 2.4469 （4）由样本计算，= 24.2 − 23.8 = 0.4 × 7 = 0.46 < t t
数值分析第三章习题
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
舍入误差 • 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行 运算 • 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位 字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处 理 • 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍 入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差
误差
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026… 就是舍入误差。 上述种种误差都会影响计算结果的准确 性，因此需要了解与研究误差，在数值计算 中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它 们的传播与积累作出分析
二、误差、有效数字 定义 1 绝对误差，简称误差：
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f (0) f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) Pn ( x) f (0) x x x 1! 2! n! f ( n1) ( ) n1 x 截断误差： Rn ( x) (n 1)! 舍入误差 R 3.14159 0.0000026. 数制转换、机器数.
e* x * x, 其中x * 为准确值x的近似值.
误差限： * | e* | 的一个上界.
例如，毫米尺 765 x 0.5
相对误差：
e * 或e* e * . , r x* x * * | e 相对误差限： r r | 的一个上界.
* er
例如， x 10 1, y 1000 5.
截断误差
• 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式
大学数值计算方法(第3章解线性方程组的数值解法)3
定义3.4.5 设λi(i = 1,2,...,n)为矩阵A的特
征值, 则称 ρ ( A) = max{| λi |}
1≤i ≤ n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
则必存在两正数m, M , 使得 m || x ||β ≤|| x ||α ≤ M || x ||β
向量范数性质 等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 ≤|| x ||∞ ≤|| x ||1 n || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x ||2 ≤ n || x ||∞
lim || x
（k）
− x ||∞ = 0 ⇔ lim max x
* k →∞ 1≤i ≤ n k →∞ (k ) i
(k ) i
− xi = 0
⇔ lim x
=x
* i
(i = 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A ∈ R n×n , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A ||≥ 0，当且仅当A = 0时， A ||= 0; || 2)奇次性： kA ||=| k ||| A || ，k ∈ R; || 3)三角不等式： A + B ||≤|| A || + || B ||, ∀A, B ∈ R n×n ; || 4)相容性： ≤ A B ，∀A, B ∈ R n×n， AB 则称 || A || 为R n×n的一种范数。
算子范数
所以对x ≠ 0有 || ( A + B) x || ≤|| A || + || B || || x || || ( A + B) x || || A + B ||= max ≤|| A || + || B || x ≠0 || x || || AB ||≤|| A |||| B || 。 || I ||= max || Ix ||= 1 x =1
征值, 则称 ρ ( A) = max{| λi |}
1≤i ≤ n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
则必存在两正数m, M , 使得 m || x ||β ≤|| x ||α ≤ M || x ||β
向量范数性质 等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 ≤|| x ||∞ ≤|| x ||1 n || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x ||2 ≤ n || x ||∞
lim || x
（k）
− x ||∞ = 0 ⇔ lim max x
* k →∞ 1≤i ≤ n k →∞ (k ) i
(k ) i
− xi = 0
⇔ lim x
=x
* i
(i = 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A ∈ R n×n , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A ||≥ 0，当且仅当A = 0时， A ||= 0; || 2)奇次性： kA ||=| k ||| A || ，k ∈ R; || 3)三角不等式： A + B ||≤|| A || + || B ||, ∀A, B ∈ R n×n ; || 4)相容性： ≤ A B ，∀A, B ∈ R n×n， AB 则称 || A || 为R n×n的一种范数。
算子范数
所以对x ≠ 0有 || ( A + B) x || ≤|| A || + || B || || x || || ( A + B) x || || A + B ||= max ≤|| A || + || B || x ≠0 || x || || AB ||≤|| A |||| B || 。 || I ||= max || Ix ||= 1 x =1
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析第三章答案
数值分析第三章答案【篇一：常州大学数值分析作业第三章】答：matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程（专）学号：14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答：matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
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第三章直接法解线性方程组
习题3-1
1. 写出列主元消去算法。
For k =1 to n-1 do
1）消元：
(1) 选主元：
(2) 判别： , than stop
(3) 换行： (j=k,k+1,...,n+1)
(4) 计算乘数： (i=k+1,...,n)
(5) 消元：
(i=k+1,...,n; j=k+1,...,n+1) 2) 回代：
(1) ,than stop
(2) 回代：for k=n,n-1,...,1 do
(3) 打印：print x j =a j,n+1
2. 用全主元高斯—约当消元法求下列方程的解
3. 用全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵
4. 请用列全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵
6．如果在解方程组过程中，希望顺便求出系数矩阵A的行列式值det(A)，用什么方法比较方便？需注意一些什么问题？如果用高斯—约当列主元消去法，如何求出det(A)?
高斯消元法解方程时；主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯—约当列主元消去法解方程时，把列主元 记录下来，把换行的次数m记录下来，。
7. 设A x=b是线性方程组
1) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。
2) 求系数矩阵的行列式。
3) 求系数矩阵的逆矩阵。
也是一个指标为k的初等下三角阵，其中I i,j 为排列阵：
证明：
只是m i,k与m j,k换了个位置。
9．试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。
证：
证得 下三角阵的逆阵仍是下三角阵。
当A为单位下三角阵时， ，B也是单位下三角阵。
习题3-2
5. 设A为n阶非奇异阵，且有分解式 A=LU，其中L为单位下三角阵，
U为上三角阵，求证：A的所有顺序主子式均不为零。
证明：U一定是非奇异阵，否则A=LU也奇异。
记A的顺序主子阵为A k ，L的顺序主子阵为L k ，
U的顺序主子阵为U k ，由分块阵的乘法
6. 设A对称正定，试证明A一定可以进行以下分解:A=UU T，其中U是上三角阵，若限定U的对角元为正的，此分解唯一。
证明：若A对称正定，则 `也对称正定，这是因为
也对称，
由 正定， 可进行cholesky分解，
存在唯一具有正对角元的下三角阵L，使 =LL T ，
也是具有正对角元的下三角阵，
记 ， A=(U T)T U T=UU T，
U为具有正对角元的上三角阵，此分解也唯一。
证明:
第三章 直接法解线性方程组。