浙江省2018年中考数学复习第四单元三角形第18课时等腰三角形含近9年中考真题试题_1178

2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题专题等腰三角形存在性问题题型一：几何图形1、在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．求∠ABC的度数。

解析：由AB=AC，可得∠B=∠C，设∠B=∠C=x，则∠A=180°-2x，又已知∠A=36°，所以180°-2x=36°，解得x=72°，所以∠B=∠C=72°，∠ABC=180°-∠A-∠B=72°。

2、如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．解析：①等腰三角形有△ABD、△CBD、△ACD，以△ABD为例，由AB=AD，∠BDA=∠BAD=x，∠ABD=180°-2x，所以∠ABD=∠CBD=∠ACD=72°。

②存在点P，满足△CDP是以CD为一腰的等腰三角形。

如图（3），连接DP，由对称性可知∠BDP=∠ADP，又∠BDP=∠ABC/2，∠ADP=∠ACB/2，所以∠ABC=∠ACB，即△ABC是等腰三角形，所以CD=BC，所以∠CPD=∠CDP=90°-x。

变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒．1）当t=1时，求△ACP的面积．2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？3）当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？解析：（1）由勾股定理可得AB=10cm，所以△ABC的面积为24cm²，又由正弦定理可得sinA=3/5，所以AC=3cm，AP=2t，所以△ACP的面积为1/2×3×2t=3t。

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第一部分考点研究第四单元三角形第18课时等腰三角形浙江近9年中考真题精选(2009～2017）命题点1等腰三角形的相关计算（杭州2考,台州3考，绍兴3考)1. （2016杭州9题3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m〈n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( ）A。

m2＋2mn＋n2＝0 B. m2－2mn＋n2＝0C. m2＋2mn－n2＝0 D。

m2－2mn－n2＝02。

(2017台州8题4分）如图,已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE＝EC B。

AE＝BEC。

∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE第2题图3。

(2017绍兴8题4分)在探索“尺规三等分角"这个数学名题的过程中，曾利用了上图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA。

若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是( ）A. 7°B。

第一部分考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识浙江近9年中考真题精选命题点 1 三角形的三边关系（杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22）1. （2013温州4题4分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A 1 ，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，112. （2017嘉兴2题3分）长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A 4B 5 C. 6 D 93. （2012 杭州20题10分）有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.（1）请写出其中一个三角形的第三条边的长；⑵设组中最多有n个三角形，求n的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率.4. （2016绍兴22题12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.（1）若固定三根木条AB BC AD不动，AB= AD= 2 cm BC= 5 cm如图，量得第四根木条CD= 5 cm判断此时/ B与/ D是否相等，并说明理由；⑵若固定二根木条AB BC不动，AB= 2 cm, BC= 5 cm,量得木条CD= 5 cm / B= 90 °,写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）；（3）若固定一根木条AB不动，AB= 2 cm 量得木条CD= 5 cm如果木条AD BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A, C, D能构成周长为30 cm的三角形•求出木条AD BC的长度.命题点 2三角形内角和及内外角关系（台州2013.13）5. （2012嘉兴8题4分）已知△ ABC 中，/ B 是/A 的2倍，/ C 比/A 大20°,则/A 等于 （ ）A 40 ° B. 60 ° C 80 ° D 90 °6. （2013 台州 13 题 5 分）如图，点 B , C , E , F 在一直线上，AB// DC DE/ GF / B =Z F = 72°, 贝 U ZD =度.7.（2016丽水12题4分）如图，在△ ABC 中，Z A = 63°，直线 M / BC 且分别与 AB AC 相交于点 D, E 若Z AEN= 133°,则ZB 的度数为.4咗一 “------------- C第7题图命题点 3 三角形中的重要线段（杭州2015.22，台州3考，温州2013.18涉及） 8. (2017 台州5题4分）如图，点 P 是Z AOE 平分线 OC 上一点，PDL OB 垂足为 D.若PD=2,贝U 点P 到边OA 的距离是（ ）A. 1 B 2 C. 3 D. 4第6题图9. （2012台州6题5分）如图，点D, E, F 分别为△ ABC 三边的中点，若厶DEF 的周长为10, 则厶ABC 的周长为（）A 5 B. 10 C 20 D 4010. （2014 台州3题4分）如图，跷跷板 AB 的支柱OD 经过它的中点 O,且垂直于地面 BC 垂足为D, OD= 50 cm 当它的一端 B 着地时，另一端 A 离地面的高度 AC 为（）A 25 cm B. 50 cm C 75 cm D 100 cmH11. （2017 湖州 6 题 3 分）如图，已知在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC= BC AB= 6,点 P 是Rt △ ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于（ ）A 1B 返 C. * D 212. （2013 义乌15题4分）如图，ADLBC 于点D D 为BC 的中点，连接 AB / ABC 的平分 线交AD 于点Q 连接OC 若/ AOC= 125°,则/ ABC= ___________ .0 I ） H 第8题图第9题图第10题图第11题图第12题图13. （2015 杭州22 题12 分）如图，在△ ABC中（BOAC，/ ACB= 90° ，点D在AB边上, DE I AC于点E卄AD 1 亠…(1)若DB= 3，2, 求EC的长;⑵设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F, C, G为顶点的三角形与△ EDC有一个锐角相等，FG交CD 于点P•问：线段CP可能是△ CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.第13题图答案1 . C【解析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边. A •/ 1+ 2v 4, •••本组数不能构成三角形. 故本选项错误；B •/4+ 5= 9, •••本组数不能构成三角形. 故本选项错误；C •/4+ 6 >8,二本组数可以构成三角形.故本选项正确； D •/ 5+ 5v 11,.・.本组数不能构成三角形•故本选项错误.2. C【解析】根据三角形的三边关系：三角形的一边大于另外两边之差的绝对值，小于另外两边之和，可得：7-2<x<7 + 2,即卩5<x<9.3 •解：（1）第三边长为6（2<边长<12中，任取整数边长即可）；（3分）⑵设第三边长为L,由三角形的性质可得：7-5<L<7+ 5,即2<L<12，而组中最多有n个三角形且三边长均为整数，••• L = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,则n = 9; （6 分）（3）在这组三角形个数最多时，即n = 9,要使三角形周长为偶数因两条定边的和为以第三边也必须为偶数，则L= 4, 6, 8, 10,4 八• P（A）= 9.（10 分）4 •解：（1）相等.12,所如解图，连接AC, •/ AB= DA= 2, BC= CD= 5, AC= AC,• △ ABC^A ADCSSS,B=Z D; （2 分）⑵答案不唯一，只要满足29 —5< ADC 29+ 5即可，女口AD= 5 cm （5分）【解法提示】I AB= 2 cm BC= 5 cm,且/ B= 90°,•AC= AB2+ B C=29 ,形三边关系可知，.29 —5< ADC 29+ 5.⑶设AD= x cm BC= y cm,根据题意得，根据三角x + 2 = y+ 5x +（y+ 2） + 5= 30x = 13，解得V = 10，（7分）当点C在点D的左侧时,第4题解图此时 AC = 17 cm CD= 5 cm AD= 8 cm ••• 5+ 8V 不合题意.••• AD = 13 cm BC = 10 cm （10 分） 5. A 6. 36【解析】T AB// DC DE// GF, / B=Z F = 72°,A Z DCE=Z B = 72°,/ DEC=Z F=72°，在△ CDE 中,/ D= 180°—/ DCE-/ DEC= 180°— 72°- 72°= 36°. 7.70°【解析】•/ M / BC, •••/ B =/ ADE ：/ A = 63°, / AEN = 133°, •/ ADE=/ AEN—/A = 133°— 63°= 70°, •/ B = 70°.& B 【解析】如解图，过点 P 作PGL OA 于点G 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG= PD= 2.b a第8题解图9. C 【解析】由点 D E 、F 分别为△ ABCE 边的中点可知 DF EF DE 分别为BC AB AC1 1 1的中位线，所以 DF = ^BC EF = 2AB DE= 2AC,又 DF + EF + DE= 10,所以 BC + AB+ AC = 20.故答案为C10. D 【解析】TO 是AB 的中点，ACL BC ODLBC •- OD >^ ABC 的中位线，• AC= 2OD =100 cm11. A 【解析】如解图连接线段 CP 交AB 于点D,则CD 是 AB 边上的中线，CD = AD= 3, 又•••△ ABC 是等腰直角三角形，• CD 是 AB 边上的高，•/ CP= 2DP • DP 为1,即点P 到AB 所在直线的距离等于 1.12.70° 【解析】•/ AD L BC , / AO （= 125°，•/C =/ AO - / ADC= 125°— 90°= 35° , •/ D 为 BC 的中点，AD L B C , • OB= OC •/ OB =/ C = 35°, •/ OB 平分/ ABC •/ABCy= x +5+2/+ （y + 2） + 5=，解得x = 8y = 15 ,（9 分）=2/ OBC= 2X 35°= 70°.13 .解：（1）•••/ ACB= 90° , DEL AC浙江省2018年中考复习R••• DE// BC AD AE• DB = EC （3 分）AD 1 DB T 3,AE = 2,2 1 EC = 3,解得EC= 6; （5分） （2）分三种情况：①当/ ECD=Z CFG 寸，即/ 1 = 7 4,如解图①,• CP =FP,•••/ FCG 90°,•••7 1 + 7 2= 90°,7 3+7 4= 90°,又•••/ 1 = 7 4,•7 2=7 3, （7 分） • CP = PG • CP = FP = PG•。

初三数学部审浙教版等腰三角形的有关概念中考真题
1、下列角的平分线中，互相垂直的是（）A．平行线的同旁内角的平分线B．平行线答案A 解析
2、若点P在第二象限，则点Q在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D 解析
3、我国现有人口约1 300 000 000人，用科学记数法表示为（答案C 解析
4、不等式组的解集在数轴上可表示为（;）答案D 解析
5、若互为相反数，那么（）A．B．C．D．答案D 解析
6、如图，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( 答案C 解析
7、下列计算正确的是( )A．B．C．D．答案C 解析
8、下列展开图中，不能围成几何体的是（; 答案B 解析
9、若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( 答案C 解析
10、下列各数中，相反数等于5的数是（;）．A．－5B．5 答案A 解析
11、如图，在△ABC中，DE∥BC交AB、AC于点D、E，AD=1，BD=2，那么，△与△面积的比为（答案D 解析
七年级数学华东师大版二元一次方程组及解法
.下列运算正确的是（）A．B．C 答案B 解析12、若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则x的可能值有（答案B 解析
已知点P位于轴右侧，距轴3个单位长度，位于轴上方，距离轴4个单位长度，则点P坐标是（答案B 解析。

第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形1．等腰三角形2.等边三角形1．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE2．(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是____________________．3．(2015·义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA ＝OB ＝18cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图2，则此时A ，B 两点之间的距离是____________________cm .【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．(1)你能从图中得到哪些信息？(2)求∠CAE的度数；(3)求证：△ADE是等边三角形．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．类型一等腰三角形的性质与判定例1如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．(1)若顶角40°，则一个底角的度数为________；(2)若一个内角50°，则顶角的度数为________；(3)若一个外角为100°，则顶角的度数为________；(4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．(5)若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝________．(6)若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．1．(1)(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44°B．66°C．88°D．92°(2)(2017·绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为( )A．20°B．35°C．40°D．55°(3)(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°(4)(2017·温州模拟)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC 延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝cm.类型二等边三角形的性质与判定例2(1)等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；(2) 如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC 的边长为a，则△ADE的周长是________；(3) 如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E 的度数为________；(4) 如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．2．(1)(2016·本溪模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是.(2)(2017·上海模拟)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是.(请写出正确结论的序号)．3．(2017·河北模拟)如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．类型三等腰三角形构造的分类讨论例3(2016·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长．4．(1)(2017·西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．(2)(2016·丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．类型四等腰三角形的探究问题例4(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD、BE之间的数量关系是________．(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝ 2.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键．它是中考的热点题型．5．(2016·江西模拟)有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是.类型五等腰三角形的综合运用例5(2016·石家庄模拟)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)．6．(2016·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．图1 图2(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．【探索研究题】(2016·菏泽)如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连结BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数．(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋233BN.【方法与对策】(1)①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(2015·西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是.参考答案第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形【考点概要】1．相等一相等等角中线高等边 2.三60°三相等60°【考题体验】1．C 2.100° 3.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性． (2)根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°，∠BAE ＝∠B＝30°，∴∠CAE ＝120°－30°＝90°； (3)根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD ＝12EC ＝ED ＝DC ，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．【例题精析】例1 (1)70° (2)80°或50° (3)80°或20° (4)20 (5)40° (6)7例2 (1)23；43；(2)32a ；(3)30°；(4)60° 例3∵P(2，2)，∴OP ＝22＋22＝22，∴当点Q 在y 轴上时，Q 点的坐标分别为(0，22)，(0，－22)，(0，4)，(0，2)；当点Q 在x 轴上时，Q 点的坐标分别为(22，0)，(－22，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8个．故答案为：8.例4(1) ①60° ②AD＝BE ； (2)∠AEB＝90°；AE ＝2CM ＋BE.理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ，∠BEC ＝∠ADC＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt △DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE. (3)3－12或3＋12.∵PD ＝1，∠BPD ＝90°，∴BP 是以点D 为圆心、以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点．第一种情况：如图1，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD ＝P′B＝1，CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP ′＝12(PB －BP′)＝3－12.第二种情况如图2，可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP′)＝3＋12.例5(1)∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD ＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝180°－（α－60°）2＝120°－α2，∴190°－α＝120°－α2，解得α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【变式拓展】1．(1)D(2)B(3)D(4)10 2.(1)45°(2)①② 3.(1)略．(2)60°.4.(1)120和150 (2)55.25°或40°或10°6.(1)CB的延长线上a＋b (2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4. (3)AM长的最大值是3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．【热点题型】【分析与解】(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB 和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE. ②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC ＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM ＝∠CEM＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM ⊥DE ，∴∠CMD ＝90°，DM ＝EM.在Rt △CMD 中，∠CMD ＝90°，∠CDM ＝30°，∴DE ＝2DM ＝2×CM tan ∠CDM＝23CM.∵∠BEC ＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC ＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CEM ＝150°－30°＝120°，∴∠BEN ＝180°－120°＝60°.在Rt △BNE 中，∠BNE ＝90°，∠BEN ＝60°，∴BE ＝BN sin ∠BEN ＝233BN.∵AD ＝BE ，AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋DE ＝23CM ＋233BN. 【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°－20°＝70°.故答案为：110°或70°.本文档仅供文库使用。