上海市曹杨二中2020届高三上学期期中考试数学试题+Word版含解析

上海市曹杨二中2023学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}1,3,A m =，{}3,5B =，{}1,2,3,5A B ⋃=，则实数m =______.2.若幂函数的图像经过点)，则此幂函数的表达式为()f x =______.3.已知复数()()3i 34i 13iz +-=-（其中i 为虚数单位），则z =______.4.已知扇形圆心角60,αα=所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.5.将向量(OP = 绕坐标原点O 顺时针旋转30︒得到1OP ，则1OP 的坐标为______.6.已知1a >，则21a a +-的最小值为_______.7.在ABC 中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=______.8.已知()y f x x =+是奇函数，且()11f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=______.9.如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.不大于5000的四位“严格单调数”共有______个.10.已知lg lg lg 5a b ca b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.11.在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q （P 、Q 为不同两点），且AP AB λ=uu u r uu u r，AQ AC μ=，则λμ+的取值范围为______.12.已知,a b ∈R ，设()2ex f x ax =+，若函数()y f x =在区间[]1,2上存在零点，则当22a b +取到最小值时()y f x =的零点为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“1x ≥”是“1x >”的（）A .充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.已知{}n a 是等比数列，公比为q ，若存在无穷多个不同的(),1n n n ∈≥N 满足21n n n a a a ++≤≤，则下列选项之中，不可能成立的为（）A.0q > B.0q < C.1q < D.1q >15.我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒16.若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠、，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹函数”.有如下两个命题：命题p ：若R 上的函数()y g x =的导函数为()y g x '=，满足()2g x '<，则函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”.命题q ：若()y h x =是[]0,1上的“1-利普希兹函数”，满足()()01h h =，则不存在[]12,0,1x x ∈，使得()()2123h x h x -=.下列说法正确的是（）A.命题p 、q 都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p 、q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，112AB BC AD ===.（1）求证：PC CD ⊥；（2）已知三棱锥A PCD -的体积为13，求直线PC 与平面PAB 所成角的大小.18.已知()()sin 0f x x ωω=>.（1）函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2π()()()()2g x f x x f x =+--，求函数()y g x =，π[0,4x ∈的值域.19.已知数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥.（1）证明：数列{}3n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在不同的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m 、k 、p ；若不存在，请说明理由.20.已知双曲线Γ：22143x y -=的左、右焦点为1F 、2F ，直线l 与双曲线Γ交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.（1）已知l 过2F 且垂直于12F F ，求AB ；（2）已知直线l 的斜率为1-，且直线l 不过点()4,3P ，设直线PA 、PB 的斜率分别为PA k 、PB k ，求PA PB k k +的值；（3）当直线l 过2F 时，直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N .是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1g x f x x=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；（3）当1a =-时，设()()T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：()1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .上海市曹杨二中2023学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}1,3,A m =，{}3,5B =，{}1,2,3,5A B ⋃=，则实数m =______.【答案】2【分析】根据并集的定义可求得m 的值.【详解】集合{}1,3,A m =，{}3,5B =，{}1,2,3,5A B ⋃=，则2m =.故答案为：2.2.若幂函数的图像经过点)，则此幂函数的表达式为()f x =______.【答案】4x【分析】设此幂函数的表达式为()f x x α=，从而可得3α=，求解即可.【详解】设此幂函数的表达式为()f x x α=，依题意可得，3α=，即433α=，解得4α=，所以此幂函数的表达式为()4f x x =.故答案为：4x .3.已知复数()()3i 34i 13iz +-=-（其中i 为虚数单位），则z=______.【答案】5【分析】利用复数的乘法运算可计算出43i z =+，再由共轭复数定义及模长公式即可得5z =.【详解】易知()()()()()()23i 34i 139i 13i 912i 3i 4i 139i 13i 13i 13i 13i 13i z +--+-+--====----+221339i 9i 27i 4030i 43i 19i 10+--+===+-，所以43i z =-，可得5z ==.故答案为：54.已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.【答案】54π【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.【详解】由弧长公式可得π6π183l r r =⇒==，所以扇形面积为116π1854π22S lr ==⨯⨯=，故答案为：54π5.将向量(OP = 绕坐标原点O 顺时针旋转30︒得到1OP ，则1OP的坐标为______.【答案】)【详解】根据三角函数的定义以及两角差的正弦、余弦公式求解.【分析】设OP 为终边的角为α，1OP 为终边的角为β，1(,)Pxy ，所以1sin ,22αα===且30βα=-，12OP OP == ,所以311sin sin(30)sin cos ,222βααα=-=-= 313cos cos(30)cos sin ,222βααα=-=+= 且111sin ,cos ,22y x OP OP ββ====所以1x y ==，即1OP =,故答案为:.6.已知1a >，则21a a +-的最小值为_______.【答案】1+【分析】由111122a a a a +=-++--，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1a >，则111122a a a a +=-++--11≥+=，当且仅当211a a -=-时，即1a =+时取等号，所以21a a +-的最小值为1.故答案为：1+7.在ABC 中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=______.【答案】π3【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解．【详解】因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，变形得222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，又0πC <<，所以π3C =，故答案为：π3．8.已知()y f x x =+是奇函数，且()11f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=______.【答案】1-【分析】先由函数是奇函数求出(1)3f -=-，再将其代入(1)g -求值即可得解.【详解】由题意，()y f x x =+是奇函数，且()11f =，所以()11(1)10f f ++-+-=，则(1)3f -=-，所以(1)(1)2321g f -=-+=-+=-.故答案为：1-．9.如果一个整数的各位数码从左至右是逐渐增大或逐渐减小的，那么这个数称为“严格单调数”.不大于5000的四位“严格单调数”共有______个.【答案】126【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.【详解】先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为1，2，3，4四种情况考虑：若千位数为1，则从剩下8个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3856C =种选法；若千位数为2，则从剩下7个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3735C =种选法；若千位数为3，则从剩下6个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3620C =种选法；若千位数为4，则从剩下5个数字中选3个不重复的从左到右依次增大，共有3510C =种选法；再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过5000，所以分成千位数取值为4和3两种情况：若千位数为4，则从剩下4个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有344C =种选法；若千位数为3，则从剩下3个数字中选3个不重复的从左到右依次减小，共有331C =种选法；所以一共有5635201041126+++++=种情况，故答案为：12610.已知lg lg lg5a b c a b c =，lg lg lg b c a a b c =abc 的值为___________.【答案】10或110【分析】对已知等式左右同时取对数，结合对数运算法则化简可得()2lg 1abc =，由此可求得结果.【详解】由lg lg lg 5a b c a b c =得：()()()222lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg5ab c a b c a b c ++=++=，由lg lg lg b c a a b c =lg lg lg 1lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 22bc a ab c a b b c a c ++=++==，2lg lg 2lg lg 2lg lg lg 2a b b c a c ∴++=，()()()()2222lg lg lg 2lg lg 2lg lg 2lg lg lg lg lg a b c a b b c a c a b c ∴+++++=++()2lg lg 5lg 21abc ==+=，lg 1abc ∴=或lg 1abc =-，10abc ∴=或110abc =.故答案为：10或110.11.在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q （P 、Q 为不同两点），且AP AB λ=uu u r uu u r，AQ AC μ=，则λμ+的取值范围为______.【答案】43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用重心性质有1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，代入已知AP AB λ=uu u r uu u r ，AQ AC μ=得1133AG AP AQ λμ=+ ，由,,P G Q 三点共线，得11133λμ+=，然后λμ+可化为一元函数，再利用导数求得值域．【详解】由题意112λ≤≤，112μ≤≤，延长AG 交BC 于D ，则D 是BC 中点，22111()33233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r,又AP AB λ=uu u r uu u r ，AQ AC μ=，所以1133AG AP AQ λμ=+ ，又,,P G Q 三点共线，所以11133λμ+=，31λμλ=-，31λλμλλ+=+-，设()31f λλλλ=+-，则223133(32)()1(31)(31)f λλλλλλλ---'=+=--，1223λ<<时，()0f λ'<，()f λ递减，213λ<<时，()0f λ'>，()f λ递增，min 24()()33f f λ==，又13()(1)22f f ==，即max 3()2f λ=，所以λμ+的取值范围是43[,32，故答案为：43[,32，12.已知,a b ∈R ，设()2e xf x ax =+-，若函数()y f x =在区间[]1,2上存在零点，则当22a b +取到最小值时()y f x =的零点为______.【答案】512【分析】设函数()y f x =在区间[]1,2上的零点为t ，带入函数变形得到(2t e a t =+，再利用柯西不等式得到222e t a b t t +≥+，构造函数，求2e tt t+取最小值时的t 值即可.【详解】设函数()y f x =在区间[]1,2上的零点为t ，则20e t a t +=，即2e tat =+，两边平方得(2e t at =+，由柯西不等式可得(()()2222e tab t t at ++=≤+，当且仅当0bt -=时等号成立，即222e ta b t t+≥+，[]1,2t ∈，设()2e tg x t t=+，[]1,2t ∈，则()()()()222221515e e 122tt t t t t g x t t t t⎛⎫⎛-+-- ⎪--⎝⎭⎝⎭'==++，[]1,2t ∈令()0g x '>，得1522t +<<，()g x在12⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，令()0g x '<，得1512t +<<，()g x 在151,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当152t +=时，()2e t g x t t =+在[]1,2上取最小值，即22a b +取最小值.证明柯西不等式：()()()22222ax by a b xy +≤++，证明：()()()22222ax by a bxy +-++()2222222222222a x b y abxy a x b y a y b x =++-+++()2222220a y abxy b x ay bx =-+-=--≤，即()()()22222ax by a bxy +≤++故答案为：512.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“1x ≥”是“1x >”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据必要非充分条件的定义，可得答案.【详解】设{}1A x x =≥，{}1B x x =>，由A B ，则“1x ≥”是“1x >”的必要非充分条件.故答案为：B.14.已知{}n a 是等比数列，公比为q ，若存在无穷多个不同的(),1n n n ∈≥N 满足21n n n a a a ++≤≤，则下列选项之中，不可能成立的为（）A.0q > B.0q < C.1q < D.1q >【答案】C【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.【详解】当0q >时，则有：①当1q =，则{}n a 为非零常数列，故21,1n n n a a a q ++===符合题意，A 可能成立；②当1q ≠，则{}n a 为单调数列，故21n n n a a a ++≤≤恒不成立，即0q >且1q ≠不合题意；当0q <时，可得221110n n n a a a q -+=<，则有：①当1q =-，若10,a n >为偶数时，则210n n n a a a ++=<<；若10,a n <为奇数时，则210n n n a a a ++=<<；故1q =-符合题意，B 可能成立；②当1q <-，若10,a n >为偶数时，则1200,0,n n n a a a ++<<>，且()2210n n n a a a q +-=-<，即21n n n a a a ++<<；若10,a n <为奇数时，则1200,0,n n n a a a ++<<>，且()2210n n n a a a q +-=-<，即21n n n a a a ++<<；故1q <-符合题意，D 可能成立；③当10q -<<，若21n n n a a a ++≤≤，可得()()2211010n n n n n n a a a q a a a q ++⎧-=-≤⎪⎨-=-≤⎪⎩，10q -<< ，则210,10q p -<->，可得0n n a a ≥⎧⎨≤⎩，则0n a =，这与等比数列相矛盾，故10q -<<和01q <<均不合题意，C 不可能成立.故选：C.15.我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A【分析】根据两个平面的夹角的知识，结合空间向量法求得正确答案.【详解】平面ABCD 和平面11ADD D 的夹角为90︒，D 选项错误.平面11BDD B 和平面11ACC A 的夹角为45︒，B 选项错误.设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()()()11,0,0,1,1,0,0,0,1A B D ，()()10,1,0,1,1,1AB BD ==--，设平面11ABC D 的法向量为()111,,m x y z =，则1111100m AB y m BD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，故可设()1,0,1m = .()1,0,0CB = ，设平面11A BCD 的法向量为()222,,x n y z =，则212220n CB x n BD x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，故可设()0,1,1n = ，设平面11ABC D 与平面11A BCD 的夹角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅===⋅，由于090θ︒≤≤︒，所以60θ=︒，所以C 选项错误.所以夹角大小不可能为30︒.故选：A16.若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠、，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹函数”.有如下两个命题：命题p ：若R 上的函数()y g x =的导函数为()y g x '=，满足()2g x '<，则函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”.命题q ：若()y h x =是[]0,1上的“1-利普希兹函数”，满足()()01h h =，则不存在[]12,0,1x x ∈，使得()()2123h x h x -=.下列说法正确的是（）A.命题p 、q 都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p 、q 都是假命题【答案】A【分析】由于命题p 中含有导数，因此可结合拉格朗日中值定理进行证明（先证明拉格朗日中值定理），命题q ，利用新函数定义对21x x -按小于23和不小于23分类讨论，前者直接利用新函数定义，后者利用(0)(1)h h =，利用绝对值的性质及新定义证明．【详解】先证明预备定理1，设连续函数()g x 在(,)a b 上的导函数是()g x '，()g x 在[,]a b 上连续且()()g a g b =，则存在(,)c a b ∈，使得()0g c '=，用反证法：假设对任意(,)x a b ∈，都有()0g x '>，则()g x 在(,)a b 上单调递增，而()()g a g b =与()g x 在x b =处连续矛盾，所以(,)x a b ∈，()0g x '>不可能恒成立，同理也不可能对所有(,)x a b ∈，()0g x '<恒成立，所以存在12,(,)x x a b ∈，使得12()()0g x g x ''<，由零点存在定理，存在12(,)(,)c x x a b ∈⊆，使得()0g c '=，预备定理2，设()f x 是[,]a b 上的连续函数，()f x 的导函数是()f x '，则存在(,)c a b ∈，使得()()()f b f a f c b a-'=-，构造函数()()()()()()f b f a F x x a f a f x b a-=-+--，()()()()f b f a F x f x b a-''=--，显然()()0F a F b ==，根据预备定理1，存在(,)c a b ∈，使得()0F c '=，所以()()()()0f b f a F c f c b a -''=-=-，即()()()f b f a f c b a-'=-，正面证明命题,p q 的真假，命题p ：假设存在12,R x x ∈，使得1212()()2g x g x x x ->-，即1212()()2g x g x x x ->-，由预备定理2，存在12(,)c x x ∈，使得2121()()()g x g x g c x x -'=-，所以2121()()()2g x g x g c x x -'=>-，与已知矛盾，因此对任意12,R x x ∈，1212()()2g x g x x x -≤-，所以函数()g x 在R 上是“2-利普希兹函数”，命题p 为真．命题q ：对任意[]12,0,1x x ∈，不妨设12x x <，当2123x x -<时，因为()y h x =是[]0,1上的“1-利普希兹函数”，所以12122()()3h x h x x x -≤-<，当2123x x -≥时，由于[]12,0,1x x ∈，因此21213x x ≤-≤，12121212()()()(0)(1)()()(0)(1)()01h x h x h x h h h x h x h h h x x x -=-+-≤-+-≤-+-2111()3x x =--≤，综上，()()2123h x h x -<恒成立，因此命题q 是真命题．故选：A ．【点睛】方法点睛：命题p 中涉及到函数的平均变化率与导数问题，因此联想拉格朗日中值定理进行证明，命题q 中的技巧：利用(0)(1)h h =进行变形然后由绝对值性质进行放缩，从而得到证明：121212()()()(0)(1)()()(0)(1)()h x h x h x h h h x h x h h h x -=-+-≤-+-．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，112AB BC AD ===.（1）求证：PC CD ⊥；（2）已知三棱锥A PCD -的体积为13，求直线PC 与平面PAB 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）2arctan2【分析】（1）利用线面垂直得到先证明线线垂直，然后应用线面垂直的判定在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可.（2）先根据等体积法求出PA 的值，再作出线面角，最后求出线面角的正切值，再求出该线面角即可.【小问1详解】在梯形ABCD 中，由112AB BC AD ===，AD BC ∥，90CBA ∠=︒，得AC CD ==，所以222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC 又PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥.【小问2详解】由（1）知12112ACD S =⨯⨯= ，所以1133A PCDP ACD ACD V V S PA --==⨯⨯=△，解得1PA =，又因为PA ⊥平面ABCD 且BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90CBA ∠=︒，所以BA BC ⊥，因为PA ⊂平面PAB ，BA ⊂平面PAB ，且PA BA A = ，所以BC ⊥平面PAB ，故PB 是PC 在平面PAB 上的投影，所以CPB ∠即为直线PC 与平面PAB 所成的角的平面角，在PAB 中，解得PB ==所以2tan 2BC CPB PB ∠==，所以2arctan 2CPB ∠=所以直线PC 与平面PAB 所成角大小为2arctan 218.已知()()sin 0f x x ωω=>.（1）函数()y f x =的最小正周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2π()()()()2g x f x x f x =+--，求函数()y g x =，π[0,4x ∈的值域.【答案】（1）12ω=，π{|4π3x x k =+或5π4π,Z}3x k k =+∈；（2）1[,0]2-.【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出ω，再求出方程的解集即得.（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出()g x ，再利用正弦函数性质求出值域即可.【小问1详解】依题意，2π4πω=，解得12ω=，则1()sin 2f x x =，由1()2f x =，得1sin 22x =，解得π2π26x k =+或5π2π,Z 26x k k =+∈，即π4π3x k =+或5π4π,Z 3x k k =+∈所以1()2f x =的解集为π{|4π3x x k =+或5π4π,Z}3x k k =+∈.【小问2详解】依题意，()sin f x x =，2π11()sin )sin()cos 2cos 222g x x x x x x x =--=--1131πcos 2sin 2sin(2)22226x x x =--=-+，当π[0,]4x ∈时，ππ2π2[,]663x +∈，则有1πsin(2)126x ≤+≤，11πsin(2)0226x -≤-+≤，所以函数()y g x =，π[0,]4x ∈的值域为1[,0]2-.19.已知数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥.（1）证明：数列{}3n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在不同的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m 、k 、p ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，123n n a +=-（2）不存在，理由见解析【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列{}3n a +为等比数列，确定数列{}3n a +的首项和公比，可求得数列{}3n a +的通项公式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）根据等差数列的定义出n d ，假设存在满足条件的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列），由已知可得出2k m p =+，根据等比数列的定义可得出2k m p d d d =，化简得出()()()2111k m p +=++，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.【小问1详解】解：因为数列{}n a 满足11a =，()1232n n a a n -=+≥，则当2n ≥时，()1323n n a a -+=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，113422n n n a -++=⋅=，故123n n a +=-.【小问2详解】解：在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，则()()211123232111n n n n n na a d n n n ++++----===+++，假设数列{}n d 中是否存在不同的三项m d 、k d 、p d （其中m 、k 、p 成等差数列）成等比数列，则2k m p d d d =，即2111222111k m p k m p +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()222222111k m p m p k +++=+++，由已知可得2k m p =+，所以，()()()2111k m p +=++，事实上，()()()()()222111211k m p k k mp m p k mp+-++=++-+++=-()2222240244m p m p m p mp mp mp -+++-⎛⎫=-==> ⎪⎝⎭，即()()()2111k m p +>++，矛盾，假设不成立，故不存在这样的三项m d 、k d 、p d 成等比数列.20.已知双曲线Γ：22143x y -=的左、右焦点为1F 、2F ，直线l 与双曲线Γ交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.（1）已知l 过2F 且垂直于12F F ，求AB ；（2）已知直线l 的斜率为1-，且直线l 不过点()4,3P ，设直线PA 、PB 的斜率分别为PA k 、PB k ，求PA PB k k +的值；（3）当直线l 过2F 时，直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N .是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3（2）0（3）存在，(14y x =±-【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出AB 的值；（2）先设出直线和得到韦达定理，然后列出斜率之和的式子带入即可；（3）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】因为224,3a b ==，所以2227c a b c =+=⇒=所以)2F ，当直线l 过点2F 且12l F F ⊥时，此时l x ⊥轴，所以12x x ==，代入可得123232y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以123AB y y =-=；【小问2详解】设直线y x m =-+，因为直线不经过点()4,3P ，所以1m ≠，联立22143y x m x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284120x mx m -++=，所以()2Δ4810m =->，由韦达定理128x x m +=，212412x x m =+1212121233334444PA PB y y x m x m k k x x x x ---+--+-+=+=+----()()()()2221212221121838248824806412314261x x x x m x x m m m m mm m x x -++++---+++-=+-++-+==故0PA PB k k +=.【小问3详解】如图所示，若直线l 的斜率为0，此时为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设l：x ty =+由221243x ty x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，得()223490t y -++=，满足()22340Δ14410t t ⎧-≠⎪⎨=+>⎪⎩，此时1AF：y x =+，故M ⎛⎫ ⎝，同理N ⎛⎫ ⎝，211121212121122B F F A F A F B F S S S F F y y y y =⨯-=⨯-=-△△△，1112F MN F M N S x y y =⨯-=△--=故由11F AB F MNS S = ，得()21212287t y y yy +++=而12234y y t +=--，122934y y t =-代入可得22229842873434t t t t -+=--，解得2143t =或27t =-（舍），所有3t =±，经检验此时满足0∆>且2340t -≠，故存在满足条件的直线l，其方程为423x y =±+法二：11F AB F MN S S = 即1111111111111sin 21sin 2F AB F MNF A F B AF B S F A F B S F M F N F M F N MF N ∠==⋅∠△△，由相似三角形可知1111F A F B F MF N=所以111F AB F MNS S =△△（*）.若l 斜率不存在，则,A B 均在右支，此时11F AB F MN S S >△△，矛盾，舍去；所以设l ：(yk x =，联立(22143y k x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，可得()22223428120k x x k -+--=（**），需满足22340Δ990k k ⎧-≠⎨=+>⎩，由韦达定理，228743A B x x k +=-，22281243A B k x x k +=-，代入（*2228120k ++=或者()22228121443k k ++=--，解得217k =-（舍）或者2314k =，所以4214k =±，经检验，此时满足Δ0>且2340k -≠.故l方程为：(4214y x =±-.【点睛】关键点睛：碰到面积相等或者成比例的题的时候，往往可以利用同角的边成比例来解决，可以降低思维量和运算量.21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1g x f x x=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；（3）当1a =-时，设()()T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：()1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .【答案】（1）2（2）()00010a x x x =->，1（3）证明见解析【分析】（1）根据导数与函数曲线切线的关系，结合直线垂直斜率的关系，可得答案；（2）根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；（3）利用综合法，整理不等式，构建新函数，利用导数研究函数单调性求最值.【小问1详解】由()ln 1f x x a x =+-，则()1a f x x '=+，由直线230x y ++=，则其斜率为12-，由切线与上述直线垂直，则122a+=，解得2a =.【小问2详解】解法一：由()()11ln 1g x f x x a x x x =+=+-+，则()22111a x ax g x x x x+-=+-='，当0x =时，显然2110x ax +-=-<，则210x ax +-=有两异号实根，设0x 为其正根，则在()00,x 上()0g x '<，在()0,x +∞上()0g x '>，即在()00,x 上()g x 为严格减函数，在()0,x +∞上()g x 为严格增函数，故()00010a x x x =->，()g x 的最小值()00000011ln 1g x x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭.令()11ln 1F x x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，()211ln F x x x '⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在()0,1上()0F x '>，()F x 为严格增函数；在()1,+∞上()0F x '<，()F x 为严格减函数；()F x 的最大值在1x =取到，故()()11F x F ≤=.综上：001a x x =-，()0g x 的最大值为1.解法二：由()()11ln 1g x f x x a x x x =+=+-+，则()22111a x ax g x x x x+-=+-='，当0x =时，显然2110x ax +-=-<，则210x ax +-=有两异号实根，设0x 为其正根，满足在()00,x 上()0g x '<，在()0,x +∞上()0g x '>，即在()00,x 上()g x 为严格减函数，在()0,x +∞上()g x 为严格增函数，且001a x x =-，由求根公式，042a x -+=，令()()()000min14ln 1ln12ah a g x g x x a x a x -===++-=-，由()ln 12a h a a -=-，则()ln2a h a ='，当()0,a ∈+∞时，()2242a a +<+，故()0h a '<，此时()h a 为严格减函数，当(),0a ∈-∞时，()2242a a +>+，故()0h a '>，此时()h a 为严格增函数，故()()01h a h ≤=.综上：001a x x =-，()0g x 的最大值为1.【小问3详解】要证1322n n n a a a ++++>，即证3221n n n n a a a a ++++->-，由()1n n T a a +=，则不等式等价于()()2211n n n n T a a T a a ++++->-.由1a =-，则()()ln 1ln 1T x f x x x x x x =+=--+=-，令()()ln 1G x T x x x x =-=--，则()21311242102G x x x⎫-'--⎪⎝⎭=⨯-=<，对任意0x >恒成立，故()G x 在()0,∞+为严格减函数，要证()()2211n n n n T a a T a a ++++->-，只需证明()()21n n G a G a ++>，即证明21n n a a ++<.由()1n n T a a +=，即证()11n n T a a ++<，即证()10n G a +<，而()10G =，()G x 在()0,∞+为严格减函数，即证11n a +>.由()ln 1T x x =-，则()11122T x x x-=⨯='，在()0,1上()0T x '<，()T x 为严格减函数；在()1,+∞上()0T x '>，()T x 为严格增函数.所以()()11T x T ≥=，又()10,1a ∈，所以()11T a >，同理()11n n a T a +=>.所以1322n n n a a a ++++>.【点睛】本题的解题关键在于导数研究函数的单调性，对于导数的化简一般有两种方法：1、对其进行分解因式；2、当导数为分式时，分子与分母分开研究；3、建立新函数，再次求导研究新函数的单调性和最值.。

高三期中数学卷一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(2，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x>时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8，所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a中，11a=，1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥，nS是数列1nan+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n nn na a n------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nna n-+=，由1123nnan-+=，12(1)133(1)1313nn nS⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mm m n m n n mnnm m n m m n mmnnmS m m m mS m m mm++++ +++--+---+----⋅-===+< -------即(3)3233(3)33n mm n mmm+--⋅-<--，当3m=时，该不等式不成立，当3m≠时有233330133mnnmm⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ） A. ||||42OM ON +≥B. O 到直线MN 的距离不大于2C. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D. MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，M ，N 可看作直线MN 与抛物线的交点,对直线MN 进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M ，N 的坐标，可以求得M ，N 的坐标及直线MN 的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN 过定点()2,0，结合选项得出答案. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax=-+(0)a>的一部分，CD AD⊥，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若30CD=米，245AD=t与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围. 【答案】（1）20t=，149a=；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B，从而可得半径，即50CD t=-，进而解得t；通过圆E 的方程求得A点坐标，从而得到C点坐标，代入抛物线方程求得a；（2）求解出C点坐标后，可知5075tDF ta=-+≤，可整理为162550att≥++，利用基本不等式可求得162550tt++的最大值，从而可得a的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B50BE t∴=-又BE，CD均为圆的半径50CD t∴=-，则503020t=-=∴圆E的方程为：()2222030x y+-=()105,0A∴245105145OD AD AO∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a=-+，解得：149a=（2）由题意知，圆E半径为：50t-，即50CD t=-则C点纵坐标为50t-，代入抛物线方程可得：txa=tODa=5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

曹杨二中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合()()3,2A ,B ,=−∞=+∞,则A B ⋂= . 2.已知复数z 满足15i z =−(i 为虚数单位),则z = . 3.已知向量()()102,210a ,,b ,,==,则a ,b <>= .4.523x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）5.设()y f x =是以1为周期的周期函数.若当01x <≤时,()2f x log x =,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.6.设m 为正实数.若直线0x y m −+=被圆()()22113x y −+−=所截得的弦长为m ，则m = .7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次。

在第一次抽到A 的条件下，第二次也抽到A 的概率为 .（结果用最简分数表示）8.设数列{}n a 前n 项和为n S 。

若()21n n S a n ,n N +=≥∈,则5S = . 9.已知,x y 为正实数,且1x y +=,则当21x y+取最小值时,x = . 10.设(),1a R f x lnx ax ∈=−+.若函数()y f x =的图像都在x 轴下方（不含x 轴），则a 的取值范围是 .11.已知{}n a 是严格增数列,且点()()1n n P n,a n ,n N ≥∈均在双曲线2231x y −=上。

设M R ∈，若对任意正整数n ，都有1n n P P M +>，则M 的最大值为 .12.设(){}2,235a R f x min x ,x ax a ∈=−−+−，其中{}min u,v 表示,u v 中的较小值.若函数()y f x =至少有3个零点,则a 的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知a R ∈，则"1a >"是"11a<"的（ ）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)1213,1314,1415,1516,,,,，[]1617,.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

上海2021-2021学年曹杨二中高三上学期期中仿真密卷数学学科答题一、填空题〔本大题共有 12 小题，第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分〕1．()1,02．i -13．24．-25．606．3π 7．()2,1-8．656ππ或9．[),1+∞10．⎭⎬⎫⎩⎨⎧±0,8111．333212．),22+∞⎢⎢⎣⎡ 二、选择题〔本大题共有4小题，每题5分，共 20 分〕13．B 14．D 15．D 16．C三、解答题〔本大题共5小题，17-19题每题14分，20题16分，21题18分，共76分〕17．解：〔1〕证明：因为11//AD BC ,所以直线1BC 平行于平面AC D 1〔2〕3632211221cos 1111⨯⨯⨯⨯===∆∆CAD C D A S S S S 投θ∴平面AC D 1与长方体底面所成的角为36arccos. 18．解：〔1〕由椭圆的定义可知，点M 的轨迹C 是以)0,1(),0,1(21F F -为焦点，长半轴为2的椭圆，所以2=a ，1=c ，1222=-=c a b ，那么椭圆方程为1222=+y x （2）由题意，直线l 是过点2F 的任意一条直线，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1=x ，此时易得)22,1(),22,1(-B A ，〔设点A 位于第一象限〕，此时222121=⨯⨯=∆OAB S ； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为)1(-=x k y ，联立直线l 与曲线C 的方程，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，得到0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x B y x A ，那么222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+，所以12)1(224)(1122212212212++=-++=-+=k k x x x x kx x k AB原点O 到直线l 的距离12+=k k d ，所以41)21(1412141214422122242424-++=++=+++==∆k k k k k k k AB d S OAB由0>k ，得到22<∆OAB S ，此时OAB ∆无最大值； 综合两种情况得22≤∆OAB S ，所以OAB ∆面积最大值为22。

2019-2020年上海市曹杨二中高三上期中一. 填空题1. 若22i z =- (其中i 为虚数单位)，则||z =2. 函数()f x =的定义域是3. 已知向量(1,0,3)a =r ，(3,1,0)b =r ，则a r 与b r 的夹角4. 函数()31x f x =-（0x <）的反函数是1()f x -=5. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则{}n a 的通项公式n a =6. 幂函数223()mm f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则m 的值为 7. (n x+展开式的二项式系数之和为256，则展开式中2x 的系数为 8. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，ϕ∈R ），点(1,0)是其函数图像的对称中心，y 轴 是其函数图像的对称轴，则ω的最小值为9. 有5条线段，其长度分别为3，4，5，7，9，现从中任取3条，则能构成三角形的概率是10. 记[]x 为不大于x 的最大整数，设有集2{|[]2}A x x x =-=，{|||2}B x x =<，A B =I11. 已知正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是12. 已知实数a 、b 满足：2224b a -=，则|2|a b -的最小值为二. 选择题13. 抛物线28y x =的焦点坐标是（ ）A. (4,0)B. (0,4)C. (2,0)D. (0,2)14. 己知m 、n 是空间中两直线，α是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（ ）A. 已知m ∥α，若n ∥α，则n ∥mB. 已知m ∥α，若n m ⊥，则n α⊥C. 已知m α⊥，若n m ⊥，则∥αD. 已知m α⊥，若n ∥m ，则n α⊥15. 己知函数()(1cos )sin f x m x x =+-，则（ ）A. 仅有有限个m ，使得()f x 有零点B. 不存在实数m ，使得()f x 有零点C. 对任意的实数m ，使得()f x 有零点D. 对任意的实数m ，使得()f x 零点个数为有限个16. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和1a λ=，且21(1)n n n a a n -+=-，若201920192101020192019S a μ-=-，则20191λμ+的最小值（ ）A. B. 4 C.D.三. 解答题17. 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =， 2BC =，14CC =， M 为棱1CC 上—点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的大小；（2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .18. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为1A 、 2A ，过1F 作斜率不为零的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，△2ABF 的周长为8，椭圆上一点P 与1A 、2A 连线的斜率之积1214PA PA k k ⋅=-（点P 不是左右顶点）. （1）求该椭圆方程；（2）已知定点(0,1)M ，求椭圆上动点N 与M 距离的最大值.19. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位m ），如示意图，垂直放置的标杆力BC 高度4h m =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的叫离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，当d 为多少时，αβ-最大.20. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ）.（1）若2a =时()0f x ≤的解集为[,3]n 时，求实数b 的值；（2）若对任意[1,1]a ∈-，存在[2,3]x ∈-，使()0f x >，求实数b 的范围；（3）集合{|()0}A x f x =≤，5{|(())}4B x f f x =≤，若A B =≠∅，求实数a 的取值范围.21. 已知数列{}n a 和{}n b ，记()1122||||||m m m S a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）若21n a n =-，2n b n =-，求(1)S ，(3)S ；（2）若12n n a -=，213n b n =-，求()m S 关于m 的表达式：（3）若数列{}n a 和{}n b 均是项数为m （3m ≥，*m ∈N ）项的有穷数列，现将{}n a 和{}n b 中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到1，2，3，⋅⋅⋅2m .求证：对于给定的m ，()m S 的所有可能取值的奇偶性相同.参考答案一. 填空题1. 2. [0,)+∞ 3. 3arccos 10 4. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩ 6. 1 7. 1120 8. 2π 9. 3510. 1}- 11. (5,7) 12. 2二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. B三. 解答题17.（1）；（2）证明略.18.（1）2214x y +=；（2.19.（1）124H =；（2）d =.20.（1）15b =-；（2）6b >-；（3）a ∈.21.（1）(1)0S =，(3)9S =；（2）2()2393225239356252mm m m m m S m m m ⎧-+-<⎪⎪=⎨-+⎪+≥⎪⎩（*m ∈N ）； （3）证明略.。

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海2021-2021学年曹杨二中高三上学期期中仿真密卷数学学科〔总分值150分，考试时间120分钟〕一、填空题〔本大题总分值54分〕本大题共有12题，第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分.1、集合{}{},log ,1<2x y x B x x A ===那么=⋂B A ． 2、复数z 满足i i z (2)1(=+为虚数单位〕，那么z ． 3、函数x x y cos 3sin -=的最大值为．4、设函数0)<(321)(2x x x f +=的反函数是)(1x f -，那么=-)5(1f ． 5、二项展开式622⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 中第三项的系数是．6、在如下图的正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为．7、定义在R 上的偶函数为)(x f y =，在[),0+∞上单调递增，那么不等式)3(<)22(--f x f 的解集是． 8、ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且222tan bc a ac B -+=，那么B 的值是．9、直线a y =交抛物线y x =2于B A ,两点，假设该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，那么实数a 的取值范围是．10、假设直线1+=kx y 与曲线xx x x y 11--+=有四个不同的交点，那么实数k 的取值集合是． 11、平面上有相异的11个点，每两个连成一条直线，共得48条直线，那么任取其中的三个点，构成三角形的概率是．12、设b a ,都是不为零的实数，且12222=-b ya x，那么()222y x b a -≤-，利用此性质，可求得函数232---=x x y 的值域是．二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题5分.13、某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，期中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，那么该样本中的高三学生人数为〔 〕14、a 、b 均为不等式1的正实数，那么b a 22 是22log log b a 的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15、设函数(),0,10,)(2⎪⎩⎪⎨⎧++≤-= x a x x x a x x f 假设()0f 是()x f 的最小值，那么a 的取值范围为〔 〕 A. []2,1- B. []0,1- C. []2,1 D. []2,016、某同学对函数()x x x f sin =进行研究后，得出以下结论： ①函数()x f y =的图像是轴对称图形；②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立；③函数()x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1 k 时，函数()x f y =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点。