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21.1 二次函数(第一课时)一、教学目标：（1）经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
（2）知道实际问题中存在的二次函数关系中，对自变量的取值范围可能有不同的要求。
二、教材分析：（1）内容分析：本节从实际问题入手，结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念，以及二次函数的一般表达式y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)，并使学生从中体会函数的思想。
（2）教学重点：二次函数的概念。
（3）教学难点：具体地分析、确定实际问题中函数关系式。
三、教学过程：1、基础回顾，铺垫新知（教师）在八年级我们已经学习了函数的相关知识，那么哪位同学能帮助大家回忆一下函数的基本概念？（学生）在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
（教师）那么目前为止，我们已经学习了哪种函数类型？（学生）一次函数以及一次函数的特殊形式—正比例函数今天我们将学习一种新的函数【设计意图：本课时内容是九年级的第一节，先帮助学生回忆函数的基本概念以及已经学习过的一次函数，能让学生更好地接受新知识】2、设置情景，引入新知问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。
要使围成的水面面积S最大，它的长应是多少米?解：设长为x m，则宽为（20-x）m由题意，得：S=x（20-x）= -x2 + 20x问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个。
问增加多少人可使每天装配总数最多？最多时是多少个？解：设增加x人，装配总数为y由题意，得：y=（190-10x）（15+x）= -10x2 + 40x + 2850【设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，同时能让学生感受到身边的数学。
21.1 二次函数教学目标知识与技能1.掌握二次函数概念。
正确理解y=ax2+bx+c中a≠0的作用与要求，初步体会二次函数与一次函数的区别.过程与方法经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学方法描述变量之间的数量关系.情感态度与价值观1.体会数学与人们生活的联系.2.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究收获发现的乐趣.重点难点重点二次函数的概念.难点寻找发现生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应关系.教学设计情景引入：请同学们欣赏课件中的两个图片：节日的喷泉和腾空的篮球教师活动：展示课件，出示问题，喷泉中水流的路线和篮球的运动路线相似，它们是否和某种函数有联系？学生活动，观察图片，初步了解本节所要研究的问题设计意图：创设问题情境，让学生从生活中发现数学问题。
激发好奇心和求知欲.复习旧知：请同学回忆函数的概念，并说出我们学过的函数类型设计意图：复习旧知，为新课做好铺垫.问题探究一（1）已知正方体的棱长为xcm,表面积为ycm2，请列出,y与x之间的关系式。
（2）某水产养殖户用长为40cm的围网，在水库中围成一块矩形水面，投放育苗，要使围成使得水面面积最大，它的长应是多少米？（3）有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果每增加一人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数做多？玩具总数最多是多少？教师活动：教师让同学们独立思考，选三位同学回答，在学生回答的基础上，教师提出问题，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？学生活动：学生在在自主探究的基础上，尝试分析问题，解决问题，同桌之间可小声讨论。
设计意图：体会引入二次函数的现实背景，感受其实际意义，对概念有初步的认识，体会到二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.问题研究二1.思考上面所列式子表示的是函数关系，但不是我们学过的一次函数，请你观察这三个函数表达式，它们有什么共同特点？请你结合一次函数的定义，给它下个定义。
21.1 二次函数教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边得出矩形的面积2．试将计算结果填写在下表的空格中，BC的长，进而3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。
形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
沪科版数学九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》复习教学设计一. 教材分析《二次函数与反比例函数》是沪科版数学九年级上册第21章的内容，本章主要让学生掌握二次函数和反比例函数的性质、图象和应用。
内容涵盖了二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标的求法，以及反比例函数的定义、图象、性质等。
这一章内容在初中数学中占有重要地位，对于学生来说，理解掌握二次函数和反比例函数的知识，对于高中阶段的学习有着重要的铺垫作用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基础知识，对于函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数和反比例函数的性质、图象和应用，部分学生可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学设计，帮助学生理解和掌握二次函数和反比例函数的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用，能够熟练运用二次函数和反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方式，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生认识到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数和反比例函数的定义、性质、图象和应用。
2.难点：二次函数和反比例函数的性质、图象和应用的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数和反比例函数的定义和应用。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究二次函数和反比例函数的性质、图象，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
4.案例教学法：通过分析实际问题，引导学生运用二次函数和反比例函数解决问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的实际问题，作为教学案例。
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
通过学习，学生能运用二次函数解决一些实际问题，为高中阶段更深入地学习函数打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数有一定的认识。
但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更为复杂，需要学生具有一定的抽象思维能力。
同时，学生需要掌握一些数学解题技巧和方法，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和数学解题技巧。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特点。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的性质；通过案例分析，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.制作课件，展示二次函数的图象和性质。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如抛物线、卫星轨迹等，引导学生思考这些问题的数学模型是什么。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、性质及其图象。
通过课件展示，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，引导学生总结二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的实际问题，将其转化为二次函数模型。
每组选取一个问题，进行解答和分享。
教师在这个过程中给予指导，帮助学生掌握解题方法。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、填空题和解答题。
完成后，教师进行讲解和点评，确保学生掌握所学知识。
二次函数教学目标1．能够表示简单变量间的二次函数关系，并求出函数自变量的取值范围．2．理解二次函数的意义与特征，能判断一个给定的函数是否为二次函数．3．进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在应用中的作用．教学重难点理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；从实例中抽象出二次函数的定义，分析实例中的二次函数关系．教学过程导入新课【导语一】回忆一次函数和正比例函数的定义、图象特征，它们对解决实际问题起了很大的作用，从而导入新课．【导语二】观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片(或在黑板上画出示意图)．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导入新课．【导语三】观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线，……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？推进新课一、合作探究【问题1】想一想：①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2(用含x的代数式表示)．②圆的面积为S，半径为R，则S＝πR2(用含R的代数式表示)．设计意图：从简单的例子感知二次函数的形式．【问题2】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积为75 m2，则它的长应是多少米？(只列方程，不求解)思路分析：矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，就可表示出水面面积为x(20－x)，从而可列出方程．【问题3】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？(列出关系式)思路分析：矩形水面的面积应等于矩形水面的长乘宽，故可设出矩形水面的长为x m，然后用总长表示出水面的宽为(20－x)m，再设它的面积为S m2，就可表示出水面面积与矩形长的关系式为S＝x(20－x)，整理得S＝－x2＋20x.这里的取值应为0＜x＜20.【问题4】一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品涨价多少元，才能使利润最多？思路分析：可设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元．根据“每周获得的利润＝每件的利润×每周卖的件数”，可推理如下：涨价0元时，每件的利润为(10－8)元，每周卖的件数为50件；涨价1元时，每件的利润为(10＋1－8)元，每周卖的件数为(50－5)件；涨价2元时，每件的利润为(10＋2－8)元，每周卖的件数为(50－5×2)件；涨价3元时，每件的利润为(10＋3－8)元，每周卖的件数为(50－5×3)件；涨价4元时，每件的利润为(10＋4－8)元，每周卖的件数为(50－5×4)件；……涨价x元时，每件的利润为(10＋x－8)元，每周卖的件数为(50－5x)件．由此可列关系式为y＝(10＋x－8)(50－5x)，整理得y＝－5x2＋40x＋100.【问题5】一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少元，才能使利润最多？思路分析： 根据上题的分析，同样可进行推理：降价x 元时，每件的利润为(10－x －8)元，每周卖的件数为(50＋5x )件． 从而可列出关系式为y ＝(10－x －8)(50＋5x )，即y ＝－5x 2－40x ＋100.【问题6】 观察比较以下关系式：①y ＝6x 2；②S ＝πR 2；③S ＝－x 2＋20x ；④y ＝－5x 2＋40x ＋100；⑤y ＝－5x 2－40x ＋100.函数①②③④⑤有什么共同点与不同点．共同点：A ．等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式；B ．等式的右边可统一为“ax 2＋bx ＋c ”的形式．师生共同归纳二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数，叫做二次函数．注意： (1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ≠0是必备条件，切不可忽视．而b ，c 的值可以为任意实数；(2)定义是关于x 的二次整式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫切不可把y ＝x 2＋1x ＋3也当成二次函数. 二、巩固提高1．二次函数定义的判定及其应用【应用示例】 下列函数是二次函数的是( )．A ．y ＝8x 2＋1B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x 2＋1x 2D ．y ＝3x解析：A 符合二次函数定义，故它是二次函数；B 是一次函数；C ，D 都出现分式，故C ，D 都不是二次函数．答案：A点评：紧扣定义中的两个特征：(1)a ≠0；(2)ax 2＋bx ＋c 是整式(二次三项式)．2．实际问题中的二次函数【应用示例】 一个正方形的边长是12 cm.若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1) cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；(2)当小长方形的长中x 的值为2,4时，相应的剩余部分面积是多少？分析：画出示意图如下，剩余面积＝正方形面积－小长方形面积．解：(1)y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2,4时，相应的y 的值分别为132 cm 2,104 cm 2.点拨：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．三、达标训练1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y ＝5x ＋1；(2)y ＝4x 2－1；(3)y ＝2x 3－3x 2；(4)y ＝5x 4－3x ＋1.2．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝1时，y ＝2，则a ＝__________.3．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x ＋3是二次函数，则常数a 的取值范围是__________．4．已知函数y ＝(m ＋1)232m m x －－＋(m －1)x (m 是常数)．(1)m 为何值时，它是二次函数？(2)m 为何值时，它是一次函数？5．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数)中，当a ，b ，c 满足什么条件时，(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？本课小结1．通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握．2．二次函数的概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量．一、二次函数的取值范围1．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数．如：二次函数y ＝3x 2＋1中自变量x 的取值范围就为全体实数．2．实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围必须使实际问题有意义．如：底面是边长为x cm 的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y cm 3.求y 与x 之间的函数关系式．因为正方形的边长为正数，所以此题自变量x 的取值范围应为x ＞0.二、二次函数的误区警示 二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容，也是各地中考命题的一个热点内容，不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周，遇到相关问题有时感到茫然，从而致使错误百出．现将误区作出警示．【例题】 已知y ＝(m －4)232m m x －－＋2x －3是二次函数，求m 的值．错解：根据题意，有m 2－3m －2＝2，即m 2－3m －4＝0.解得m 1＝－1，m 2＝4.点击：根据二次函数的定义，要使y ＝(m －4)·232m m x －－＋2x －3是二次函数，m 不但应满足m 2－3m －2＝2，而且还应满足m －4≠0，二者缺一不可，上述解法因忽略了隐含条件m －4≠0，而导致错误．正解：根据题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －2＝2，m －4≠0， 解得m ＝－1.警示：解这类题目要特别注意防止漏掉“二次项系数不等于0”这个隐含条件．。
“21.1 二次函数”教学设计一、教学内容分析二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。
许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究。
本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的表达式和自变量的取值范围。
在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。
二、教学目标1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念。
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系。
3.通过回顾旧知和类比迁移，初步理解数学知识内在的联系，体会归纳类比的思想方法。
三、教学重点对二次函数概念的理解。
四、教学难点由实际问题确定函数解析式及自变量的取值范围。
五、教学用具教具、学具、多媒体设备. 六、教学过程1.回顾旧知，复习引入师：我们在八年级上册第12章一次函数里学习过函数概念，你能说说什么是函数吗？ 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果在x 允许取值的范围内，每取一个x 值，y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
追问1：你认为函数概念中有哪些关键词？ 追问2：x 与y 是如何对应的？追问3：我们已经学过了哪些函数？追问4：以一次函数为例，说说主要研究了哪些内容？师：我们学习一次函数经历了这样的过程：从实际问题中，找到两个变量，如果它们存在一定的依赖关系，画出函数图象后，通过直观观察，总结出函数的性质，最终又回到实际问题。
所以数学来源于生活，也必将应用于生活。
今天我们学习一种新的函数，请看实际问题。
2.自主探究，合作交流问题1 已知正方体的棱长为x cm ，表面积为y 为2cm ，y 与x 之间的关系式是 师生：显然y 随x 的变化而变化，当x 的值确定时，y 的值随之确定，因此y 是x 的函数。
