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全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
三角形全等的解题方法及技巧如下：1. 掌握全等三角形的判定条件：全等三角形的判定条件是全等三角形的基础知识，必须熟练掌握。
2. 学会利用已知条件寻找全等三角形：根据已知条件，通过构造或变换，使两个三角形满足全等条件，从而解决问题。
3. 掌握辅助线的构造方法：在解题过程中，有时需要添加辅助线来帮助解决问题。
常见的辅助线包括中线、高线、角平分线等。
4. 学会利用全等三角形的性质：全等三角形的性质是解题的重要依据，如对应边相等、对应角相等、对应高相等、对应中线相等等。
5. 掌握一些常见的解题技巧：如利用角平分线的性质、利用高线的性质、利用中线的性质等。
6. 理解并掌握全等三角形的不同类型：全等三角形有多种类型，如SSS、SAS、ASA、AAS等。
每种类型都有其特定的判定条件，理解并掌握这些类型有助于更灵活地解决全等三角形问题。
7. 注重解题步骤和思路：在解决全等三角形问题时，要注意解题步骤和思路的清晰。
要明确问题的需求，确定所使用的判定条件和辅助线，然后逐步推导并证明。
8. 练习大量的题目：通过大量的练习，可以加深对全等三角形判定条件和性质的理解，提高解题的速度和准确性。
同时，也可以掌握一些常见的解题技巧和方法。
9. 善于总结和归纳：在解决全等三角形问题时，要及时总结和归纳所使用的判定条件、辅助线、性质和技巧。
这样可以加深对全等三角形知识的理解和记忆，并为以后解决类似问题提供帮助。
10. 保持耐心和细心：全等三角形问题有时可能会比较复杂和繁琐，需要耐心和细心地推导和证明。
在解题过程中，要注意细节，避免因为粗心大意而犯错。
总之，三角形全等的解题方法及技巧需要多练习、多总结，通过不断的实践来提高自己的解题能力。
三角形全等证明的解题思路关键信息项1、三角形全等的定义及性质定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、三角形全等的判定方法SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
RHS（直角、斜边、边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等的两个三角形全等。
3、常见的辅助线添加方法连接两点构造全等三角形。
作平行线构造全等三角形。
延长某边构造全等三角形。
作垂线构造全等三角形。
11 三角形全等的定义和性质的深入理解三角形全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，这意味着它们的所有对应边长度相等，所有对应角的度数相等。
这是判断两个三角形是否全等的根本依据，也是在证明过程中需要最终证明的结论。
111 对应边和对应角的准确识别在给定的两个三角形中，正确找出对应边和对应角是至关重要的。
通常可以通过图形的位置关系、已知条件中的描述或者通过已经证明的相等关系来确定。
112 性质在解题中的应用一旦证明了两个三角形全等，就可以利用其对应边相等和对应角相等的性质来解决相关的问题，如求边长、角度大小、证明线段或角的相等关系等。
12 三角形全等的判定方法详解121 SSS（边边边）判定法当两个三角形的三条边分别对应相等时，可以判定这两个三角形全等。
在实际解题中，需要准确测量或通过已知条件推导出三边的长度，并进行比较。
122 SAS（边角边）判定法如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
这里的夹角必须是两条已知相等边的夹角。
123 ASA（角边角）判定法两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
需要注意的是，这里的夹边是两角之间的边。
124 AAS（角角边）判定法两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。
一、全等三角形的性质与判定。
五种判定方法： SSS， SAS， AAS，ASA，HL，其中 HL是边边角（ SSA的特例）。
全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。
二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向：线段相等角相等度数线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。
2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。
记住一句话：“充分利用已知条件”。
3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。
4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。
三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。
（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线（中位线）（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置（2）过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形（1）找中点，倍长中线（2）过顶点作底边的垂线（3）过某已知点作一条边的平行线（4）三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。
证明全等三角形的公式全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，要证明两个三角形全等，那可是有不少公式和方法的。
首先咱们来说说“边边边”（SSS）这个公式。
如果两个三角形的三条边都分别相等，那这两个三角形就是全等的。
比如说有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这俩三角形肯定长得一模一样，完全重合，这就是全等啦。
再来讲讲“边角边”（SAS）。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那它们也是全等的。
我给您举个例子啊，就像咱们学校组织的那次三角形模型制作比赛。
有两个小组做的三角形模型，其中一组的模型两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角是 60 度；另一组做的也是这两条边长度分别是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度。
最后评比的时候发现，这两个模型的形状完全一样，这不就是“边角边”证明全等的一个生动体现嘛。
接着是“角边角”（ASA）。
当两个三角形的两个角及其夹边分别相等时，它们全等。
我记得有一次我在课堂上讲这个知识点的时候，有个同学就问我：“老师，这和‘边角边’有啥区别呀？”我就跟他说：“你看啊，‘边角边’是两条边和它们的夹角，‘角边角’是两个角和它们的夹边，顺序可不一样哟。
”还有“角角边”（AAS），两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，它们全等。
这个理解起来也不难，就像我们拼图的时候，知道了几个关键的角度和一条对应的边，就能把整个图形确定下来。
在实际做题的时候，咱们得灵活运用这些公式。
有时候题目不会直接告诉我们边或者角相等，这就需要我们通过一些已知条件去推导。
比如说给了我们平行线，那就能得出同位角、内错角相等；给了我们中线，那就能得出线段相等。
我还记得之前有个学生，在做证明全等三角形的题目时总是出错。
我就专门给他找了一些类似的题目，陪着他一道一道地分析，告诉他怎么找条件，怎么运用公式。
最后他终于掌握了，那开心的样子，让我也特别有成就感。
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
怎样学好全等三角形证明题
全等三角形证明题是初中数学的重要内容之一，学好全等三角形证明题需要掌握以下几个方面的知识和技能： 1. 熟练掌握全等三角形的性质和判定条件。
全等三角形具有对应边相等、对应角相等的性质，而判定全等三角形的条件包括SSS、SAS、ASA、AAS 和HL 等。
要熟练掌握这些性质和条件，以便在证明题中灵活运用。
2. 掌握几何证明的基本方法和步骤。
几何证明需要运用逻辑推理和几何知识，要掌握基本的证明方法和步骤，如分析法、综合法、反证法等。
3. 多做练习，提高解题能力。
做练习是学好全等三角形证明题的关键，可以通过做大量的练习题来加深对知识的理解和掌握，提高解题能力和思维能力。
4. 注意细节，避免常见错误。
在证明题中，要注意细节，如画图要准确、标注要清晰、推理要严密等，避免常见的错误，如误用判定条件、忽略隐含条件等。
5. 学习借鉴优秀的证明方法和思路。
可以通过阅读教材、参考书、论文等，学习借鉴优秀的证明方法和思路，提高自己的证明水平和思维能力。
总之，学好全等三角形证明题需要掌握基本的几何知识和证明方法，多做练习，注意细节，学习借鉴优秀的证明方法和思路。
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图3图1 图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
全等证明--解题方法归纳【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全图图图等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图3图1 图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线，垂足为D⑶延长AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线，交AC于D⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。
【第2部分 中点条件的运用】1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
（一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。
例1、AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是_________。
例2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE 。
B'AB CD EF例3、如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CD=AB ，∠ADB=∠BAD ，AE 是△ABD的中线。
求证：AC=2AE例4 △ABC 中，AD 、BE 、CF 是三边对应中线。
（则O 为重心） 求证：①AD 、BE 、CF 交于点O 。
（类倍长中线）； ②AOBBOCCOA S SS==练习1、在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =ACABCD2、如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFM3、如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）EBACEFACDMBO FEC2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图，1l ∥2l ，C 是线段AB 的中点，那么过点C直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型”全等例1 已知梯形ABCD ，AD∥BC ，点E 是AB 的中点，连接DE 、CE 。
求证：ABCD 12DECS S =梯例2 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，M 是AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，∠CEM=40°，求∠DME 的大小。
（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）例3 已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE=90°，连接DE ，设M 为DE 的中点。
⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 移至图示位置，此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论。
EABEA CDMBEACDMB练习 1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．若BD=BC ，F 是CD 的中点，试问：∠BAF 与∠BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，过A 点作某直线l ，过B 作BD l ⊥于点D ，过C 作CE l ⊥于点E 。
（1）中的结论是否任然成立？3、如图（1），在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图（1）中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。
（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。
（结合前面“8字型”全等，仔细思考）A BCDF3、构造中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
（全等法）在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，证明：DE ∥BC ，DE=12BC 证明：延长DE 至F 点，使DE=EF ，连接CF （倍长中线）三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。
注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。
例1 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
例2 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F .你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？练习 1、三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6，AC=14，求DE 的长。
BDB2、AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA->AD->DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC->CE->EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？3、等腰Rt △ABC 与等腰Rt △CDE 中，∠ACB=∠EDC=90°，连AE 、BE ，点M 为BE 的中点，连DM 。
（1）当D 点在BC 上时，求DMAE的值 （2）当△CDE 绕点C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明FCBD4、△ABC 、△CEF 都为等腰直角三角形，当E 、F 在AC 、BC 上，∠ACB=90°，连BE 、 AF ，点M 、N 分别为AF 、BE 的中点 （1）MN 与AE 的数量关系（2）将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与AE 的数量关系4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形 如图，△ABC 中，E 为BC 边的中点，那么显然△ABE 和△AEC 有相同的高AD例 E 、F 是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE交于点G ，则AGCD ABCDS S 四边形矩形=BCFA FAF扩展 如图，等腰Rt △ACD 与Rt △ABC 组成一个四边形ABCD ，AC=4，对角线BD 把四边形ABCD 分成了二部分，求ABDBCDS S的值。
【5、等腰三角形中的“三线合一”】“三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。
例 △ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，问∠CBD 和∠BAC 的关系？分析：∠CBD 和∠BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。
例 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN=_____【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。
例 如图Rt △ABC 中，∠ACD=90°，CD 为斜边AB 上的中线 求证：CD=12AB （1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。
BBBBEBAC取AC 的中点E ，连接DE 。
则DE ∥BC （中位线性质）∠ACB=90°∴BC ⊥AC ，DE ⊥AC 则DE 是线段AC 的垂直平分线∴AD=CD （2）全等法，证法略。
例 在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。
