2020年高考理科数学专题训练 大题每日一题规范练(第五周)

2020年⾼考数学（理）模拟考试（解析版）2020年⾼考模拟考试理科数学本试卷共4页，23⼩题，满分150分，考试⽤时120分钟。

⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1.已知集合，则=A. B.C. D.1.C 由题意得，，则．故选C．2.设复数z满⾜，z在复平⾯内对应的点为(x，y)，则A. B.C. D.2.C 则．故选C．3.已知，则A. B.C. D.3.B 则．故选B．4.古希腊时期，⼈们认为最美⼈体的头顶⾄肚脐的长度与肚脐⾄⾜底的长度之⽐是（≈0.618，称为黄⾦分割⽐例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美⼈体的头顶⾄咽喉的长度与咽喉⾄肚脐的长度之⽐也是．若某⼈满⾜上述两个黄⾦分割⽐例，且腿长为105cm，头顶⾄脖⼦下端的长度为26 cm，则其⾝⾼可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm4.B 设⼈体脖⼦下端⾄肚脐的长为x cm，肚脐⾄腿根的长为y cm，则，得．⼜其腿长为105cm，头顶⾄脖⼦下端的长度为26cm，所以其⾝⾼约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．5.函数f(x)=在[—π，π]的图像⼤致为A. B.C. D.5.D 由，得是奇函数，其图象关于原点对称．⼜．故选D．6.我国古代典籍《周易》⽤“卦”描述万物的变化．每⼀“重卦”由从下到上排列的6个⽘组成，⽘分为阳⽘“——”和阴⽘“——”，如图就是⼀重卦．在所有重卦中随机取⼀重卦，则该重卦恰有3个阳⽘的概率是A. B. C. D.6.A 由题知，每⼀⽘有2中情况，⼀重卦的6⽘有情况，其中6⽘中恰有3个阳⽘情况有，所以该重卦恰有3个阳⽘的概率为=，故选A．7.已知⾮零向量a，b 满⾜=2，且（a–b ）b，则a与b的夹⾓为A. B. C. D.7.B 因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹⾓为，故选B．8.如图是求的程序框图，图中空⽩框中应填⼊A. A = B. A =C. A = D. A =8.A 执⾏第1次，是，因为第⼀次应该计算=，=2，循环，执⾏第2次，，是，因为第⼆次应该计算=，=3，循环，执⾏第3次，，否，输出，故循环体为，故选A．9.记为等差数列的前n 项和．已知，则A. B.C. D.9.A 由题知，，解得，∴，故选A．10.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的⽅程为A. B.C. D.10.B 法⼀：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆⽅程为，故选B．法⼆：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，⼜互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆⽅程为，故选B．11.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最⼤值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③11.C 为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有⼀个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，⼜为偶函数，的最⼤值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球⾯上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三⾓形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A. B. C. D.12.D 解法⼀:为边长为2的等边三⾓形，为正三棱锥，，⼜，分别为、中点，，，⼜，平⾯，平⾯，，为正⽅体⼀部分，，即，故选D．解法⼆:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三⾓形，⼜中余弦定理，作于，，为中点，，，，，⼜，两两垂直，，，，故选D.⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：匸專題孤先将自已的魅名、准君证号.宮场号准确的填写在蓉期k上.并认奠核准条形妈上的姓名.准為祛号、君场号、座位号及科目，在规定位霍阳上条形码.L选捧翼的作答：琶小題迭出答案J&.请用用2B铅笙把答题卡上对应嚴目的答峯标号涂黑口如果需宴改说L用像攻拯擦干净后.勇选涂其他蓉案标号，写在本U<.L无效乜3. 斗选择觀的件容：屈黒色签宁笙直摟特血蓉題h上对应的蓉趣区域内、写赴本试卷上无效。

4. 本试題卷共23建，全雇满分150分，考试吋问为120分钟。

5話试结東后，将本试卷和管題牍一井收回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1 •抛物线C : y2 2x的焦点为F，点P为C上的动点，点M为C的准线上的动点，当VFPM 为等边三角形时，其周长为（）A. 2B. 2C. 3一2D. 62•我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为，如图是解决该问题的程序框图，贝U输出的结果为（）1, M N 为线段BC , CG 上的动点，过点A 1, M, N 的平 面截该正方体所得截面记为S ,贝U 下列命题正确的个数是（） ①当BM 0且0 CN 1时，S 为等腰梯形；②当M, N 分别为BC, CG 的中点时，几何体1AD 1MN 的体积为一；③当M N 分别为BC , CG 的中点时,异面直线 AC 与 MN 成角60°;12④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面 ADM 平面BCQ2x 3y 10 0 7.若存在(x,y)满足x 2y 9 0,且使得等式3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0成立，其中为3x y 6 0自然对数的底数，则实数的取值范围是（） 33B. [—，)C. ( —% ,0)D. (0, ]2e2e8.记数列｛%｝的前n 项和为S n .已知a 1 1 , (S n 1 S 间 2n (n N ),则()3.观察下列各式: 3125 , 56 15625 , 57 78125 , …,则52019的末四位数字为（） A. 3125 B. 5625C. 0625D. 81254.如果不等式组9x 8x a 0,c 的整数解有n ( n N )个,b 0那么适合这个不等式组的整数的有序数对（a,b ）共有 ()个 A. 17 个B. 64 个C. 81个D. 72 个5.设复数z 满足条件z 1，那么 A. 4B. 162.2 C.i 的最大值是 ()D. 2.26.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 A. 1B. 2C. 3D. 43A. (,0) U[—，)2eA. 121B. 81C. 74D. 4911.在Rt ABC 中，CA 4，CB 3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 2，则 UUJU UHT ―，+,CM CN 的取值范围为（）数，则下列结论不可能的是（） A. {S}=1 且{T}=0 B. {S}=1 且{T}=1 C. {S}=2 且{T}=2 D. {S}=2 且{T}=3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学三轮每日一卷满分150分 时间120分钟一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数2zi =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A I ( ) A ．），（210 B ． ），（121 C ．]121，（ D ．]121[， 3．若4log 3a=，0.33b =，3log cos19π20c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．dx x x ))1(1(212---⎰的值是（）A.314-πB.14-πC.312-πD.12-π5．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（ ）A.45B.15－C. 35D.156．给出下列四个命题： ①命题“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题为假命题； ②命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤．则0:p x ⌝∃∈R ，使0sin 1x >；③在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >；④命题：“0x ∃∈R ，使003sin cos 2x x +=”．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在中，，，，为边上一点，且，则（）A.B.C.D.8．函数f (x )＝21x x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知:1p a =±，:q 函数22()()f x ln x a x =+为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．使函数)cos(3)sin()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的ϕ的一个值为（ ） A ．3π-B ．π32 C ．π65 D ．6π-11.关于函数()cos cos 2f x x x =+有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在35[,]44ππ上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.312．函数22()()e x f x x ax ax a =--+（e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞ D ．(0,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知(),2Pm 为角α终边上一点，且tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=________． 14．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则=a ．15．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是 ．16．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，a=1，且(1)(sin sin ))sin ,b A Bc b C +-=-（则ABC ∆面积的最大值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －b)2＝c 2－ab ． (1）求角C ； (2）若4cos()sin 02c A b C π++=，a ＝1，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段AA 1，CC 1上，且AD ＝13AA 1，DE//AC ，F 是线段AB 的中点． (1）求证：EF//平面B 1C 1D ；(2）若AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AA 1＝3AB ，求直线BC 与平面B 1DE 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分） 函数)2()232sin cos 30f x x x x ωωωω=+->，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π3．（1）求ω的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()g x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间．20.（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从,A B 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买. (Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）； (Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率； (Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.21.（错题再现）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈，在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x >，证明：212e x x ⋅>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23πρθ+=.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求22PM PN +的值23．设()311f x x x =-++的最小值为k . （1）求实数k 的值；（2）设m ，n ∈R ，224m n k +=，求证：2211312m n +≥+.答案一一、1-5 DCDAD 6-10 BBCCC 11-12 BA二、13.552 14. 21 15. ），（44116.43三、17.19.18．（1）函数()223cos 2sin cos 33cos2sin22sin 2(0)3πf x x x x x x ωωωωωωω⎛⎫=+-=+=+> ⎪⎝⎭，其图象上相邻两个最高点之间的距离为2π2π23ω=，32ω∴=，()2sin 3π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）将函数()y f x =的向右平移π6个单位，可得π2sin 32sin 36π36πy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()32sin 2π6y g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象．由4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得311π,266π6πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令32π2π2262πππx k k -≤-≤+，求得4π2π4π4π3939k k x -≤≤+， 故()gx 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为4π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10π4π,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．依题意，函数的定义域为（1，＋∞）． （1）当m ＝4时，()()2154ln 1622f x x x x =-+--．()()()22547106111x x x x f x x x x x ---+=+-==---'， 令，解得或；令，解得．可知函数()f x 的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．（2）()()()2364211x m x m f x x m x x -+++=+-+='--． 若函数()y f x =有两个极值点，则()()()234601360312Δm m m m m =-+-+>⎡⎤⎣⎦-+++⎧⎪⎪⎪⎨>+>⎪⎪⎪⎩，解得3m >． 20.(Ⅰ)由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为为0.050.150.2+=，∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.220⨯=（万人）(Ⅱ)设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C .记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件2A ；购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ；购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B .购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B .则()10.050.150.2PA =+=，()20.10.20.3P A +==，()30.150.350.5P A +==，由用频率估计概率得：()1550.1100PB +==，()215200.35100P B +==，()315400.55100P B +== Q 事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3i j =.()()213132P C P A B A B A B ∴=++()()()()()()213132P A P B P A P B P A P B =++0.30.10.50.10.50.350.255=⨯+⨯+⨯=∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为0.255 ；(Ⅲ)从受访者对A ，B 两款饮料购买期望角度看：A 款饮料购买期望X 的分布列为：B 方案“选择倾向指数”Y 的分布列为：()0.20.20.60.30.90.50.67E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()0.20.10.60.350.90.550.725E Y =⨯+⨯+⨯=，根据上述期望可知()()EX E Y <，故新品推介应该主推B 款饮料.21解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根；即方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根；转化为函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ，只须0a k <<．令切点()00,ln A x x ，故01x x ky x=='=，又00ln x kx =故00ln 1x x x =，解得，0x e =，故1k e =，故a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(2)由(1)可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =， 22ln x ax =，作差得()1122ln x a x x x =-，即1212ln xx a x x =-对于212e x x ⋅>，取对数得12ln 2x x >，即12ln ln 2x x +>又因为()111122ln ln x x x a ax x x a =+=++，所以122a x x >+，得()1212122lnx x x x x x ->+令12x t x =，则1t >，()1212122ln x x x x x x ->+，即2(1)ln 1t t t ->+ 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+， 1t >，22(1)()0(1)t g t t t '-=>+，所以函数()g t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g >=，即不等式2(1)ln 1t tt ->+成立，故所证不等式212e x x ⋅>成立．22（1）由曲线C ：2=2sin 3ρρθ+得直角坐标方程为22+y =23x y +， 即C 的直角坐标方程为：22+(1)=4x y -. 由直线l ：sin()23πρθ+=展开的sin cos 4ρθθ=，40y +-=．（2）由（1）得直线l 的倾斜角为23π.所以l的参数方程为1,24,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C得：250t ++=.设交点M N 、所对应的参数分别为12t t 、，则1212+=5t t t t -⋅=22222121212+=(+)217PM PN t t t t t t +=-⋅=.23.（1）()42,1,31124,11,42,1,x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≥⎩当1x =时，()f x 取得最小值，即()12k f ==.（2）证明：依题意，2242m n +=，则()22416m n ++=.所以22111m n ++()22221114116m n mn ⎛⎫⎡⎤=+++⨯ ⎪⎣⎦+⎝⎭()2222411561n m m n ⎡⎤+⎢⎥=+++⎢⎥⎣⎦(13562≥+=，当且仅当()2222411n m m n +=+，即22m =，20n =时，等号成立. 所以2211312m n +≥+.。

2020高考数学三轮每日一卷满分150分 时间120分钟一、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1.已知集合则( )2.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（ ）A. 2B. 1C.12D. 2-3.设，且，则( )4. 函数 ),0()0,(,sin 2)(ππY -∈+=-x xe e xf xx 的图像大致为（ ）5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（ ） A. (2,2)B. (0,2)C. (2,)+∞D.2,2)6. 如图是函数sin()0.02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最小值为 （）A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知命题，命题：双曲线的离心率，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.在ABC ∆ 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且 7c =，3C π=，则ABC ∆ 的面积是 ( )A.33 B. 73 C. 21 D. 33 或 739.若N*的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则10（错题重现）.已知函数()f x 是R 上的偶函数， ()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若(2)2f =,则(2020)f 的值为( )11.已知函数的一个零点是函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是( )12.若函数f(x)满足'()(()ln )f x x f x x =-，且，则+1的解集为A ．（一1，+∞）B ．C ．(0，)D ．（一∞，一1）二、 解答题：（本大题共6小题，共70分） 13．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b _____14.对于实数a 和b ，定义运算(1),{(1),a b a b a b b a a b +≥*=+<，则式子1221ln ()9e -*的值为 .15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．16.ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，则C =________ ,cos B =__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）(错题重现）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求PEPD 11-的值． 18.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（I ）求； （II ）若，，求的面积.19.已知向量(2sin ,1)a x =，(2cos(),1)6b x π=+，函数()f x a b x R =⋅∈，.（1）若2=a ，(,0)x π∈-，求x ； （2）求()f x 在[0,)2π上的值域；（3）将()f x 的图象向左平移6π个单位得到()g x 的图象，设2()(1)2h x g x x x =-+-，判断()h x 的图象是否关于直线1x =对称，请说明理由.20.若函数()f x 对定义域中任意x 均满足()(2)2f x f a x b +-=，则称函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称．（1）已知函数2()x mx mf x x++=的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；（2）已知函数()g x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的图象关于点(0,1)对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()1g x x ax =++，求函数()g x 在(,0)-∞上的解析式；（3）在（1）（2）的条件下，当0t >时，若对任意实数(,0)x ∈-∞，恒有()()g x f t <成立，求实数a 的取值范围．21.如图所示，石城中学积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设小型生态园，点,M N 分别在边,AB AD 上. （1）当点,M N 分别时边AB 中点和AD 靠近D 的三等分点时， 求MCN ∠的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，AMN ∆的周长必须为1.2千米，请研究MCN ∠是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由. 22.已知函数()cos f x x x =-.（1）若21cos11f m ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭，求实数m 的取值范围； （2）若不等式cos x e a x ax +≥对22x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A B A D C C B D13. 1 14. 9 15.,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 16. (1). 2π(2).51-三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17【解答】解：（1）由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，则直线l的普通方程为．由ρsin2θ＝4cosθ得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x．故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）设直线DE的参数方程为（t为参数），代入y2＝4x得．设D对应参数为t1，E对应参数为t2．则，，且t1＞0，t2＜0．∴．18【详解】（1）因为，所以，故，所以，因为，所以，又，且0 < C< π，解得，. （2）由（1）得所以，由，设，由余弦定理得：，所以，所以的面积.19解：（1）24sin 12a x =+=Q 21sin 4x ∴=，1sin 2x =± 又(),0x π∈-，6x π∴=-或56π-. （2）()314sin cos 14sin sin 1622f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23sin22sin 13sin21cos212sin 26x x x x x π⎛⎫=-+=--+=+ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ,72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦, 故()f x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为(]1,2-. （3）()g 2sin 22cos262x f x x x Q ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()2cos 2211h x x x ∴=-+--.()()()()()()222cos 2211cos 2211h x x x x x h x -=-+--=-+--=Q ，()h x ∴的图象关于直线1x =对称.20试题解析：（1）由题设可得()()2f x f x +-=，即222x mx m x mx m x x++-++=-，解得1m =.（2）当0x <时，0x ->且()()2g x g x +-=， ∴2()2()1g x g x x ax =--=-++. （3）由(1)得1()1(0)f t t t t=++>， 其最小值为(1)3f =.222()1()124a a g x x ax x =-++=--++， ①当02a <，即0a <时，2max ()134a g x =+<，得(22,0)a ∈-； ②当02a≥，即0a ≥时，，得[0,)a ∈+∞；由①②得(2,)a ∈-+∞．21【详解】（1）由题意可知11tan ,tan 32DCN MCB ∠=∠=， 所以()11tan tan 32tan 1111tan tan 132DCN MCB DCN MCB DCN MCB +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 由题意可知0,2DCN MCB π⎛⎫∠+∠∈ ⎪⎝⎭，所以4DCN MCB π∠+∠=，所以4MCN π∠=.（2）设,AM x AN y ==，所以 1.2MN x y =-- 在直角三角形AMN 中，222MN x y =+ 所以()222 1.2x y x y +=--，整理得()1.20.72xy x y =+-0.6tan 0.6DN y DCN CN -∠==，0.6tan 0.6MB xMCB BC -∠== 所以()tan tan tan 1tan tan DCN MCBDCN MCB DCN MCB∠+∠∠+∠=-∠⋅∠()()()()1.20.720.60.60.60.60.610.36x yx y y x x y xy ---+==--+--将()1.20.72xy x y =+-代入上式可得()tan 1DCN MCB ∠+∠=， 所以4DCN MCB π∠+∠=，所以4MCN π∠=为定值.22【详解】（1）()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增 不等式21cos11f m ⎛⎫<-⎪-⎝⎭转化为()211f f m ⎛⎫< ⎪-⎝⎭则211m <-，解得()(),13,-∞⋃+∞ （2）()()cos xex x af x a -=≥函数()f x 为单调增函数，且()00,02f f π⎛⎫<>⎪⎝⎭， 故存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()00f x =①当0,2x x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，有()0f x < 所以()cos x xe e af x x x=-≥，令()cos xe g x x x =-，则()max a g x ≥()()()2cos sin 1cos x e x x x g x x x ---'=-()cos 0,sin 10f x x x x =-<--<，所以()0g x '<所以()g x 单调递减，()2max22g x g e πππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以22a eππ--≥②当0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()0f x ≥ 则()cos x xe e af x x x ≤=-，即()min ag x ≤ ()()()2cos sin 1cos x e x x x g x x x ---'=-，cos sin 1x x x ---14x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦03,444x x πππ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，044x ππ+>14x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以cos sin 1222x x x x π≤---<--所以()0g x '<所以()g x 单调递减，()2min22g x g e πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以22a e ππ≤，综上所述，2222,a e e ππππ-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦。

2020届高考理科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、设全集为R ，集合2{20}A x x x =-<，{10}B x x =-≥，则()R A C B =I （ ） A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x <<2、i 是虚数单位，复数z ，则（ ）A ．12z -=B ．z =C ． 32z = D ．34z = 3、设随机变量,X Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ～，若()519P X ≥=，则()D Y =( ) A ．4 B ．5C ．6D ．74、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是( )A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. 13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5、若,,a b c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-≤⋅-a c b c ，则+-a b c 的最大值为( )1B.1D.26、已知正项数列{}n a ，其任意连续三项12n n n a a a ++,,满足:若n 为奇数，则这三个数为等差数列；若n 为偶数，则这三个数为等比数列.若151,6a a ==，则10a =( ) A.15B.18C.21D.4927、61()(1)x x x +-的二项展开式中2x 的系数为( )A.14B.-14C.26D.-268、我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其意思为:一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图就是根据该规律设计的，其中S 为每天截取后剩余木棍的长度(单位:尺)，则①处应填入的结果及执行程序框图后输出的结果分别为( )A.1232S S =；B.1264S S =；C.1132S S i =-；D.1164S S i =-；9、设函数()2sin(),R f x x x ωϕ=+∈,其中0,πωϕ><.若5π11π()2,()088f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则( ) A.2π,312ωϕ==B.211π,312ωϕ==-C.111π,324ωϕ==-D.17π,324ωϕ==10、如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥底面1,,90ABC AB BC AA ABC ==∠=o ,点,E F 分别是棱1,AB BB 的中点,则直线EF 和1BC 的夹角是( )A. 45oB. 60oC. 90oD. 120o11、已知定义在(0)+∞,上的函数()f x 满足()()xf x f x '>恒成立(其中()f x '为函数()f x 的导函数)，对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是( ) A.()()()1212f x x x f x f ≥⋅ B.()()()1212f x x x f x f ≤⋅ C.()()()1212f x x x f f x +>+D.()()()1212f x x x f f x +<+12、已知椭圆()2212:139x y C a a +=>，双曲线2222:19x y C a -=，分别以椭圆的左、右焦点为圆心，以椭圆左焦点与双曲线左焦点间的距离为半径作圆，两圆恰好过原点，且两圆与双曲线的渐近线分别交于点A BC D ,,,，如图，则四边形ABCD 的面积为( )A.95B.95C.1515D.151513、叶子标本模型是一类常见的图形绘制叶子标本模型的过程一般分为两步:首先取正方形ABCD 的两个顶点A C ,，分别以A C ,为圆心，线段AB 的长度为半径作圆，得到图(1)所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏就可以得到图(2)所示的叶子标本模型.若往正方形ABCD 中任意投掷一点，则该点落在叶子上(图(2)中阴影区域)的概率为 .14、已知直线2:l y ,圆22:()1(0)C x a y a -+=>,若直线l 与圆C 相切于点A,则a =__________,点A 的坐标为________.15、已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为_______. 16、已知数列{}n a 的前n 项和n S *1(12)n n S S n n -≥∈N ,，11a =，若不等式11223127111log n n n a a a a a a λ+++⋯+≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为 .17、已知ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,cos cos sin a C c A b B +=,2b c =. (1)求C ;(2)若点D 与点B 在AC 两侧,且满足2,3AD CD ==,求四边形ABCD 面积的最大值.18、如图,四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD ,//AD BC ,3AB AD AC ===,4,PA BC M ==为线段AD 上一点, 2,AM MD N =为PC 的中点.(1)证明//MN 平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.19、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点,斜率为22的直线交抛物线于112212(,),(,)()A x y B x y x x <两点,且9AB =.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r,求λ的值.20、某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位:h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(1216,］内的人数为92.(1)求n 的值.(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01).(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(1624,］内的党员干部给予奖励，且在16,20,20((,24］］内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.21、已知函数2()ln ()2a f x x bx R x ab =-+∈，． （1）若1a b ==，求()f x 点()1(1)f ，处的切线方程； （2） 设0a ≤，求()f x 的单调区间；（3） 设0a <，且对任意的0x >， ()(2)f x f ≤，试比较ln()a -与2b -的大小．22、在极坐标系中，曲线1C 的方程为22123sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线2C的参数方程为142x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程. (2)求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围.23、已知函数()1(1)f x x m x m m=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥-．答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，{}{}{}()02101R A C B x x x x x x =<<<=<<I I ，答案为B2答案及解析：答案：D解析：34z =.3答案及解析： 答案：A解析：由题意可得： ()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=， 解得： 13p =，则： ()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===.本题选择A 选项.4答案及解析： 答案：C解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(),0-∞上单调递增， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减。

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ．2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+，()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得23a =-．故选A ． 3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()22x x f x -=-B ．()21f x x =-C ．()12log f x x = D ．()sin f x x x =【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆy x =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：x1 2 3 4 y0.1m3.14则m =（ ） A ．0.8 B ．1.8C ．0.6D ．1.6【答案】B【解析】由题意， 2.5x =，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-，可得 2.25y =， 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ．5．若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则1143a a a +=（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =，()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠，1d a ∴=，1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+，选C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223+B ．22243+C ．263+D ．842+【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为222222324223ABC PBC PAC PAB S S S S S =+++=+++=++△△△△，故选A ．9．已知函数()[](]2sin ,π,01,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1πf x dx -=⎰（ ）A ．2π+B ．π2C ．π22-+D ．π24-【答案】D 【解析】()112ππsin 1f x dx xdx x dx --=+-⎰⎰⎰，00ππsin cos |2xdx x --=-=-⎰，1201x dx -⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故12011π4x dx -=⎰，()1ππ24f x dx -∴=-⎰，故选D ． 10．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．()2,-+∞【答案】B【解析】设(),2a A a ，(),2b B b ，则112222ab -=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基本不等式有2222a b a b++>，故221a b+<，所以2a b +<-，选B ．11．在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，2DB DC ==，3AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．4πC ．7πD ．9π【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，由1AB AC ==，2DB DC ==，3AD BC ==，可得AB AD ⊥，AC AD ⊥，易证AD ⊥平面ABC ．在ABC △中，由余弦定理可得2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==⋅，即120BAC ∠=︒， 以AC 为x 轴，以AD 为z 轴建立如图所示的坐标系，则()000A ，，，1302B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()100C ，，，(003D ，，设三棱锥A BCD -的外接球球心为(),,M x y z ， 则()(222222222222131322x y z x y z x y z x y z ⎛⎛⎫++=++-+=-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 解得：12x =，3y =3z =，∴外接球的半径为2227r x y z =++=，∴外接球的表面积为24π7πS r ==，故选C ．12．在等腰梯形ABCD 中//AB CD ，且2AB =，1AD =，2CD x =，其中()0,1x ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈都有不等式()2128e e t +<恒成立，则t 的最大值为（ ）A ．74B ．38C ．58 D ．54【答案】C【解析】如图，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则1AE x =-，1EB x =+，所以22DE x x =-14DB x =+，所以12141e x =+-，2141141x e x +-==++，所以1221412141x e e x +-+=++-，令1412x t +-=，则121e e t t +=+，因510,2t ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故125e e +>，所以58t ≤，选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=_________． 【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】138【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>，138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________． 【答案】136【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=， 则2122CO CA CA ⋅==，21122CO CB CB ⋅==， 综上有：4212x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，求解方程组可得：5643x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故136x y +=．16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax =-有两个不同零点，则a 的范围为__________． 【答案】ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当[)2,4x ∈时，[)1,22x ∈；()ln ln ln 222x x f x f x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下，过点()4,ln 2时，ln 224a =，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=；故ln ln 21x x x-=2e >4x =，故实数a 的取值范围是ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =． （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足2cos n n a nC =，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值． 【答案】（1）π6A =，π3B =，π2C =；（2）4n =或5n =． 【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以π3B =．又由2c a =， 所以2222π42cos33b a a a a a =+-⋅=，所以222c a b =+， 所以ABC △为直角三角形，π2C =，πππ236A =-=．（2）0,π2cos 2cos22,n nn n n n a nC n ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数． 所以()22224221241224020202143kk kn k k S S S ++--===++++⋅⋅⋅++==-，*k ∈N ，由2224203k n S +-==，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望． 【答案】（1）0.008m =，121.8x =；（2）见解析．【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，950.004101050.012101150.024101250.0410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+ 1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．（2）成绩在[)130,140的同学人数为6，成绩在[)140,150人数为4，()0346310C C 10C 6P ξ===，()1246310C C 11C 2P ξ===，()2146310C C 32C 10P ξ===，()3046310C C 13C 30P ξ===；所以ξ的分布列为：()1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，//EF CD ，12EF CD =，DE ⊥平面ABCD 且DE DA =，M N 、分别为棱AE BF 、的中点．（1）求证：平面DMN ⊥平面ABFE ；（2）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（210． 【解析】（1）∵//EF CD ，ABCD 是正方形，∴//EF AB ，∵M N 、分别为棱AE BF 、的中点，∴//MN AB ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AB ⊥，∵AB AD ⊥，AD DE D =，∴AB ⊥平面ADE ，∴AB AE ⊥，从而MN AE ⊥， ∵DE DA =，M 是AE 中点，∴DM AE ⊥， ∵MNDM M =，∴AE ⊥平面DMN ，又AE ⊂平面ABFE ，∴平面DMN ⊥平面ABFE ．（2）由已知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 设2AD =，则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2F ， ∴()2,0,0CB =，()0,1,2CF =-，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z ，由00n CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z =⎧⎨-+=⎩，令2y =，则()0,2,1n =，由（1）可知AE ⊥平面DMN ，∴平面DMN 的一个法向量为()2,0,2AE =-，设平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角为θ，则10cos cos<>10n AE θ=⋅=， 所以，平面DMN 和平面BCF 10．20．已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为63，焦距为42，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．【答案】（1）221124x y +=，28x y =；（2183． 【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c ，依题意有242c =，6c a =， 解得23a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=． 又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-，()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，y 整理得，()()2223163120**k x kmx m +++-=． 依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，122631km x x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+， 将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=，解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去） 联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=， 令264320k '∆=-=，解得212k =． 经检验，212k =，1m =-符合要求．21．已知函数()2ln f x x x =-． （1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）在函数()2ln f x x x =-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y x =；（2()1,1． 【解析】（1）∵()11f =，∴()1211f '=-=， 故所求切线方程为()111y x -=⨯-即y x =．（2）设所求两点为()11,x y ，()22,x y ，1x 12x x <，由题意：121211221x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又12x x <，∴()()12f x f x ''<，∴ 解得：112x =，（11x =-舍），21x =，（212x =-舍）()1,1即为所求． （二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1lt 为参数），直线2l 的参数m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ． （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值． 【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠；（2）d的最小值为 【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；(1:l y k x =，①)21:3l y x k =，②①×②消k 可得：213y +=， 因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠． （2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=．由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1Ca 为参数，πa k ≠，k ∈Z ）， 所以曲线1C80x y +-=的距离为：d的最小值为 23（1）当2a= （2M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当23x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤． ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（211,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即11a x a -+≤≤，所以a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

2020⾼考数学（理）必刷试题（解析版）（45）2020⾼考模拟考试数学（理）试题⼀、单选题1．已知集合12M x R x ??=∈<，集合{}4N x R x =∈≥-，则M N =I （） A ．12x x ??≤B ．142x x ??-≤<C ．RD ．?【答案】B【解析】由题意结合交集的定义可得：142M N x x ?=-≤. 本题选择B 选项.2．在复平⾯内，复数z 所对应的点A 的坐标为（3，4），则z z=（）A ．4255i - B ．4355i + C ．3455-i D ．3455i + 【答案】C【解析】先写出复数z 代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果. 【详解】34z i =+，所以5z ==，所以()()()53453434343455i i z i i i z -===-++-. 故选：C 【点睛】本题考查复数⼏何意义、复数的模以及复数除法运算，考查基本分析求解能⼒，属基础题.3．等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1234563,6a a a a a a ++=++=，则12S =（） A ．15 B ．30C ．45D ．60【答案】C【解析】根据题设条件，得到4561232a a a a a a ++=++，进⽽得到78910111212,24a a a a a a ++=++=，即可求解12S 的值，得到答案.【详解】由题意，等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，满⾜1234563,6a a a a a a ++=++=，则456123623a a a a a a ++==++，所以78910111212,24a a a a a a ++=++=，则1212310111245S a a a a a a =++++++=L ，故选C. 【点睛】本题主要考查了等⽐数列的通项公式，及其前n 项和的计算，其中解答中熟记等⽐数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题.4．有⼀批种⼦，对于⼀颗种⼦来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种⼦数的记录：统计每颗种⼦发芽天数得到⼀组数据，则这组数据的中位数是（） A ．2 B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【解析】根据数据以及中位数定义求结果. 【详解】因为这批种⼦共有8262224124298++++++=个，82649,8262249+<++>，所以这组数据的中位数是3，故选：B 【点睛】本题考查中位数定义，考查基本分析求解能⼒，属基础题.5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）⼈，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，⾄今仍是⽐较先进的算法.如图的程序框图给出了利⽤秦九韶算法求某多项式值的⼀个实例，若输⼊的2,2x n ==，则输出的S =（）A ．8B ．10C ．12D ．22【答案】D【解析】根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择. 【详解】模拟程序的运⾏，可得2,2,0,0,2x n k S a =====，2,1S k ==，不满⾜条件2k >，执⾏循环体，4,8,2a S k ===，不满⾜条件2k >，执⾏循环体，6,22,3a S k ===，此时，满⾜条件2k >，退出循环，输出S 的值为22. 故选：D 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能⼒，属基础题.6．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ?是q ?的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．01a ≤≤ B ．13a ≤≤C ．1a ≤D ．3a ≥【答案】C【解析】先解不等式得p ，q ，再根据p 是q 的必要不充分条件得集合包含关系，列出不等式，解得结果. 【详解】:121p x x +>?>或3x <-，:q 当0a ≥时，x a x a >?>或x a <-，当0a <时，x ∈R ，因为p ?是q ?的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p q ü.从⽽0a <或0,1,013a a a a ≥??≤?≤≤??-≥-?，即1a ≤.故选：C 【点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数，考查基本分析求解能⼒，属中档题.7．将函数2sin 24y x π?=+的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（） A ．52sin 212y x π?=- ??B ．52sin 212y x π?=+ ??C ．2sin 212y x π?=- ??D ．2sin 212y x π?=+ ??【答案】D【解析】先将函数2sin 24y x π??=+ ??中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ??=-+ 化解为2sin 212y x π?=+故选D 【点睛】本题考查三⾓函数平移问题,属于基础题⽬,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换. 8．某⼏何体的三视图如图所⽰，其侧视图为等边三⾓形，则该⼏何体的体积为（）正视图侧视图俯视图 A ．336π+B ．43π+C ．32312π+ D ．243π+ 【答案】A【解析】先根据三视图还原⼏何体，再根据圆锥与棱柱体积公式求解. 【详解】由已知中的三视图可得，该⼏何体由⼀个半圆锥和⼀个三棱柱组合⽽成，如图，其中半圆锥的底⾯半径为1，三棱柱的底⾯是⼀个边长为2的正⽅形，它们的⾼分别为：3与2，则该⼏何体的体积21133322233246V ππ=+=+. 故选：A 【点睛】本题考查三视图以及圆锥、棱柱体积公式，考查空间想象能⼒以及基本分析求解能⼒，属中档题. 9．已知实数a ，b 满⾜不等式()2211a b +-≤，则点()1,1A -与点()1,1B --在直线10ax by ++=的两侧的概率为（）A ．24B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】根据条件列不等式，结合图象确定可⾏域，再根据⼏何概型概率求结果. 【详解】若点A （1，-1）与点B （-1，-1）在直线10ax by ++=的两侧，则()()110a b a b -+--+<，即()()110a b a b -++->，⼜实数a ，b 满⾜不等式()2211a b +-≤，作出图象如图：由图可知，点A （1，-1）与点B （-1，-1）在直线10ax by ++=的两侧的概率为12. 故选：C 【点睛】本题考查⼏何概型概率，考查基本分析求解能⼒，属中档题. 10．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )2*2n n n S a a n N=+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（） A ．20192020-B ．2020-C ．20202021-D ．20212020-【答案】C【解析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代⼊化简n c ，最后利⽤分组求和法求结果. 【详解】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，⾸项为1，所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()()2121111112(1)1nn n n n n a n c s n n n n ++??=-=-=-+ ?++??，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021=-+++-++++=-+=- ? ? ? ?L . 故选：C 【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能⼒，属中档11．设函数()f x 满⾜()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A ．有极⼤值，⽆极⼩值B ．有极⼩值，⽆极⼤值C ．既有极⼤值⼜有极⼩值D ．既⽆极⼤值也⽆极⼩值【答案】D 【解析】【详解】Q 函数()f x 满⾜2'()2()xe xf x xf x x+=， ()2'x e x f x x∴=??，令()()2F x x f x =，则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ?=-，则()()()2'2',x x e x x e F x x-=-=()x ?∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ?∴的最⼩值为()()()22220,0e F x ??=-=∴≥.⼜()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既⽆极⼤值也⽆极⼩值，故选D.【考点】1、利⽤导数研究函数的单调性；2、利⽤导数研究函数的极值及函数的求导法则.【⽅法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题⼀定要耐⼼读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进⾏类⽐、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两⽅⾯着⼿：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进⽽得出正确结论.12．已知函数()ln ,0(2),2x x e<≤=-<()xf x b b R -=+∈的四个实根从⼩到⼤依次为1234,,,x x x x ，对于满⾜条件的任意⼀组实根，下列判断中⼀定成⽴的是（）A ．122x x +=B ．()22432e 1e x x <<-C ．()()340221e x e x <--<D ．2121x x e <<【答案】B【解析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A 不成⽴，根据不等式性质否定C,D,最后根据放缩法证B 成⽴. 【详解】⽅程()()2xf x b b R -=+∈的根可化为函数()y f x =与2x y b -=+图象的交点的横坐标，作图如下：由图象可得，123401212x x e x e x e <<<<<<-<<，故2423(2)e x x e <<；因为121212ln ln ln()001x x x x x x ->?若122x x +=，则可取1213,22x x ==，但132213ln 2ln 222----≠-，所以A 错误，因为()()34ln 2ln 2e x e x ->-，所以()()34ln 2ln 2e x e x ->--，即()()34ln 2ln 20e x e x -+->，()()34221e x e x ∴-->，C 错；()()34221e x e x -->Q ()23434421e e x x x x ∴-++>，即()2223434343434(14244)2e e x x x x e e x x x x x e x <-++<-=，∴()23421x x e <-，∴()2234e 2e 1x x <<-. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数零点情况判断不等式，考查综合分析求解判断能⼒，属中档题.⼆、填空题 13．已知，则.【解析】试题分析：由得，所以.【考点】两⾓和的正切公式、⼆倍公式.14．向量,a b r r 满⾜2,1a b ==r r ，且(22,23a b -∈r r ，则,a b r r的夹⾓θ的取值范围是________.【答案】2,33ππθ??∈【解析】根据向量数量积化简模，再解三⾓不等式得结果. 【详解】因为2(2,23]a b -∈r r ，所以()(]224,12a b -∈r r ，即(]2244448cos 4,12a b a b θ+-?=+-∈r r rr ，所以11cos ,22θ??∈-，故2,33ππθ??∈故答案为：2,33ππθ??∈【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量夹⾓，考查基本分析求解能⼒，属基础题. 15．在()4 212x x +-展开式中，7x的系数是________.【答案】-8【解析】根据分步计数原理求7x 的系数. 【详解】因为()()()()()4222221212121212x xx x x x x x x x +-+-+-+-+-=因此7x 只可由222x x x x 得到，从⽽7x 项系数为()3431C 218-=- 故答案为：-8【点睛】本题考查根据分步计数原理求展开式项的系数，考查基本分析求解能⼒，属中档题. 16．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，过点（0，1）的直线l 与双曲线2231x y -=交于两点A ，B ，若OAB ?是直⾓三⾓形，则直线l 的斜率为____. 【答案】1k =±【解析】先设直线⽅程与双曲线⽅程联⽴⽅程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线l 的斜率. 【详解】直线l 的斜率显然存在，设直线为1y kx =+，联⽴双曲线：2231x y -=，消去y 得：()223220k xkx ---=.①若90AOB ∠=?，则()()0110A B A B OA OB x x kx kx ?=∴+++=u u u r u u u r，()222222(1)10(1)1033A B A B kk x x k x x k k k k -∴++++=∴+?+?+=-- 解得1k =±.②若90OAB ∠=?（A 在左⽀）设A 点坐标（m ，n ）（0m <），则22900OAB m n n ?∠=?+-=，联⽴双曲线⽆解，故不可能出现90OAB ∠=?。

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

考点05 函数的单调性与最值1.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)【答案】B【解析】由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.2.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)【答案】B【解析】设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]【答案】C【解析】∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c【答案】A【解析】∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),∴b>c>a.5.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥0【答案】C【解析】当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(log a2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)【答案】B【解析】由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,∵x≥1时,f(x)=2x+,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>0【答案】D【解析】函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为()A.0B.2C.-D.不存在【答案】A【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为()A.2-5B.-5C.2+5D.5【答案】A【解析】对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】∵g(x) ===2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;等价于0<a+2x1-1<对任意x1∈恒成立,即<a<对任意x1∈恒成立,设p(x1)==-1,q(x1)==-,∵x1∈,∴∈,∴p(x1)max=-1=-,q(x1)min=-,∴a∈.故选D.11．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 【答案】B【解析】因为函数y ＝log 2x 与函数y ＝11－x ＝－1x －1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.12．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【答案】C.【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0，2)单调递增B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0，2)．由于f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln(2x －x 2)，从而对f (x )的研究可转化为对二次函数g (x )＝2x －x 2(x ∈(0，2))的研究．因为g (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x ＝1是y ＝g (x )的图象的对称轴．从而排除A ，B ，D ，故选C.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)【答案】A【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a 2，即a ＜－2.故选A.15.设f (x )是定义在R 上的增函数,若f (1-ax-x 2)≤f (2-a )对任意a ∈[-1,1]恒成立,则x 的取值范围为 .【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)【解析】因为f (x )是R 上的增函数,所以1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立.令g (a )=(x-1)a+x 2+1.则解得x ≥0或x ≤-1,即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).16.函数f (x )=-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .【答案】3【解析】因为y=在R 上递减,y=log 2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f (x )在区间[-1,1]上递减.所以f (x )在区间[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.17．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)【解析】由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．18．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．【答案】3【解析】由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．【答案】[0，1)【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0，1)． 20.已知函数f (x )=若函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)【解析】画出f (x )=的图像如图所示,因为函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,所以a+1≤2或a ≥4,解得a ≤1或a ≥4.故实数a 的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).21．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x ＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的所有序号为________．【答案】①③【解析】因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件．②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.22．判断函数f (x )=a x +(a>1),x ∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:任取x 1,x 2∈(-2,+∞),不妨设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,x 1+2>0,x 2+2>0,又a>1, 所以>,即有->0,所以f (x 2)-f (x 1)=+--=(-)+=(-)+>0,故函数f (x )在(-2,+∞)上单调递增.23． (1)函数y=ln(-x 2+2x+3)的单调递增区间是( )A .(-1,1]B .[1,3)C .(-∞,1]D .[1,+∞) (2)设函数f (x )=g (x )=x 2f (x-1),则函数g (x )的单调递减区间是 .【答案】(1)A (2)[0,1)【解析】 (1)令t=-x 2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3).由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x ∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],故函数y=ln(-x 2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].(2)由题意知g (x )=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).24．已知f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x 1,x 2,都有>0.记a=,b=,c=,则 ( )A .a<b<cB .b<a<cC .c<a<bD .c<b<a【答案】B【解析】∵f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x 1,x 2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log 25>2,∴0<0.32<30.2<log 25,∴b<a<c.故选B .25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，（x ≤0）2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】根据题意可画出函数图象， 由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．。

江西省信丰中学2020届高三数学上学期周练五（理B层）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.若|cosθ|=cosθ，|tanθ|=﹣tanθ，则的终边在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上2．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.3．已知函数那么的值为（）A． B． C． D．4.已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A． B．﹣ C．﹣ D．5.已知函数是上的增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．6.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7.已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞）C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）8.已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝________. 10. 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________．12.设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．三、解答题：(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。