2007届高三第二次联考数学试卷湖南专用新人教

2007年高考数学第二轮复习卷三说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 球的表面积公式 S ＝2π4R 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 3π34R V =其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝R ，集合2|{2-==x x x M ，R}∈x ，21|{≤+=x x N ，R}∈x 则N M C U )(等于（ ）A ．{2}B ．}31|{≤≤-x xC ．{x |x ＜2，或2＜x ＜3}D ．21|{<≤-x x 或}32≤<x2．（理）ii i i +---+1)2(1)21(22等于（ ）A ．-3＋4iB ．-3-4iC ．3＋4iD ．3-4i（文）若1222133lim →=+++x x ax x ，则a 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数x+-111的图像是（ ）4．设三棱柱ABC -111C B A 的体积为V ，P 为其侧棱1BB 上的任意一点，则四棱锥P -11A ACC 的体积等于（ ） A ．V 32 B ．V 31 C ．V 43D ．V 215．不等式组⎩⎨⎧>->-ax a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-1，3）B ．（-3，1）C ．（-∞，1） （3，＋∞）D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 6．直线1l 、2l 分别过点P （-2，3）、Q （3，-2），它们分别绕点P 、Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是（ ）A ．（0，＋∞）B ．（0，25]C ．（25，＋∞）D ．[25，＋∞） 7．已知f （2x ＋1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为（ ） A ．x ＝1 B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（ ） A ．6π7 B ．2π C ．6π D ．3π9．各项都是正数的等比数列{n a }的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a aa ++的值为（ ） A ．215+ B ．215- C ．251- D ．215+或215-10．如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且λ==FDCFEB AE （0＜λ＜＋∞），设α 为异面直线EF 与AC 所成的角，β 为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β 的值是（ ）A ．6π B ．4π C ．2πD ．与λ 有关的变量 11．以三角形的三个顶点和它内部的三个点共6个点为顶点，能把原三角形分割成的小三角形的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．612．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2] ②f （x ）的极值点有且仅有一个 ③f （x ）的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．已知nnx )1(+展开式中3x 项的系数是161，则正整数n ＝________． 14．如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M 、N 分别在BD 、AE 上，有BM ＝AN ，那么①MN AD ⊥；②M N ∥平面C D E ；③M N ∥C E ；④M N 、C E 是异面直线． 以上四个结论中，不正确的是________． 15．设向量a ＝（cos23°，cos67°），b ＝（cos68°，cos22°），u ＝a ＋t b （R ∈t ）则|u|的最小值是________．16．连结双曲线12222=-b y a x 与12222=-ax b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知86)1(2+-=-x x x f ，-∞∈(x ，3]．（1）求f （x ）；（2）求)(1x f -；（3）在f （x ）与)(1x f-的公共定义域上，解不等式f （x ）＞)(1x f -＋2x ．18．（12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．19甲．（12分）已知长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F ．（1）求证：C A 1⊥平面EBD ；（2）求ED 与平面C B A 11所成角的大小；（3）求二面角E -BD -C 的大小．19乙．（12分）如图，在正方体ABCD -1111D C B A 中，E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．（1）证明：AD ⊥F D 1；（2）求AE 与F D 1所成的角；（3）证明：面AED ⊥面11FD A ；（4）设1AA ＝2，求三棱锥F -11ED A的体积11ED A F V -．20．（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．21．（12分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．22．（14分）（理）已知函数2)1()(-=x x f ，数列{n a }是公差为d 的等差数列，数列{n b }是公比为q 的等比数列（q ≠1，R ∈q ），若)1(1+=d f a ，)1(1+=q b ，)1(3-=q f b ．（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）设数列{n c }的前n 项和为n S ，对+∈N n 都有+++2121b b c c …1+=+n n n a b c 求∞→+nnn S S 212lim ．（文）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且11=a ，N)2(41∈+=+n a S n n ．（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{n b }是等比数列；（2）设nnn a c 2=，求证：数列{n c }是等差数列；（3）求∞→-⋅n n nn S 12lim ．参考答案1．D 2．（理）A （文）D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．B 10．C 11．C 12．C 13．4 14．③ 15．2216．2117．解析：（1）设t ＝x -1，得1+=t x ，2](，-∞∈t ． 将上式代入得348)1(6)1()(22+-=++-+=t t t t t f ，（2](，-∞∈t ）． ∴ 34)(2+-=x x x f ，（2≤x ）． （2）令342+-=x x y ，得122)3(4164+±=--±=y y x ．由于2≤x ，∴ 12+-=y x ．)1(-≥y ．∴ 12)(1+-=-x x f ，)1(-≥x ．（3）f （x ）与)(1x f -的公共定义域为[-1，2]．原不等式等价于⎩⎨⎧≤≤-++->+-21123422x x x x x ，∴ ⎩⎨⎧≤≤-->+21141x x x ， ∴ 1691<≤-x ． ∴ 不等式的解集为{}1691|≤≤-x x ． 18．解析：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜． 所求概率为1P ＝20.4)(1-×20.5＝20.3＝0.09 ∴ 乙连胜四局的概率为0.09． （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．故丙三连胜的概率2P ＝0.4×20.6×0.5＋（1-0.4）×20.5×0.6＝0.162． 19．解析：（甲）（1）连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ．又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD ．∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE ．∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED ．（2）连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由（1）是C A 1⊥E B ． 又∵ 11B A ⊥BE ，∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足．连结DF ，则∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角． 由已知AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，512=BF ． ∴ 59=CF ，5161=F B ，则2027=EF ，49=EC ． ∴415=ED ．在Rt △EDF 中，259sin =∠EDF ，∴ ED 与平面C B A 11所成的角为259arcsin ．（3）连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ． ∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角． ∵ 49=EC ，223=OC ， ∴ 在Rt △EOC 中，423tan ==∠OC EC EOC ． ∴ 二面角E -BD -C 的大小为423arctan． （乙）如图所示，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则D （0，0，0），A （2，0，0），F （0，1，0），1D （0，0，2），1A （2，0，2），E （2，2，1）．（1）∵ =（-2，0，0），=D 1（0，1，-2），且21-=⋅D ×0＋0×1＋0×（-2）＝0 ∴ F D AD 1⊥．（2）=（0，2，1），F D 1=（0，1，-2）设与F D 1的夹角为θ ，则，0)2(10120)2(11200||||cos 22222211=-++++-⨯+⨯+⨯==⋅⋅F D AE θ∴ θ ＝90°，即AE 与F D 1所成的角为直角． （3）由（1）知⊥D 1，由（2）知⊥D 1， ∴ F D 1⊥平面AED ．又F D 1⊂面11FD A ，∴ 面AED ⊥面11FD A ． （4）设AB 的中点为G ，连结GE ，1GD ． ∵ FG ∥11D A ，∴ FG ∥面11ED A ． ∴ G E A D ED A G ED A F V V V 111111---==， ∵ 21=AA ， ∴=∆G E A S12321=--∆∆BEG AG A S S ， ∴ 123231311111111-⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GEA D ED A F S D A V V ． 20．解析：（1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<<n ．∴ 2.1＜n ＜17.1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5，…，17． ∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利． （2）方案一：年平均收入)49(240)(nn n n f +-==． 由于1449249=≥+nn n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴1214240)(=⨯-≤nn f （万元）． 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）． 方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一． 21．解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x kk x x ， ②而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 22．解析：（1）数列{n a }为等比数列， ∴ d a a 213=-．为等比数列， 又∵ 2213)2()1()1(--=--+=-d d d f d f a a ， ∴ d d d 2)2(22=--，解得d ＝2，0)1(1==f a ． ∴ )1(2-=n a n ．又∵ }{n b 为等比数列，∴213q b b =．而 2213)2()1()1(qq q f q f b b -=+-=，∴ 222)2(q q q =- ∵ 1≠q ，R ∈q ，∴ 2-=q ，41=b ．∴ 11)2()2(4+--=-=n n n b ． （2）由++2211b c b c …1+=+n n n a b c ①++2211b c b c …n n n a b c =+--11 ② ①-②得21=-=+n n nna abc ．∴ 11)2(8)2(22-+-=-==⋅n n n n b c ． 对于}{n c ，21-=-n nc c ，81=c ，知其为等比数列． ∴ ])2(1[38)2(1])2(1[8n n n S --=----=，])2(1[381212++--=n n S ，])2(1[3822n n S --=．∴ =+∞→n n n S S 212lim ∞→n lim 2)2(1)2(1212-=----+nn ． （文）（1）∵ 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∴ )2(21≥=-n b b n n ．且3232112121=+=-=-=a a S a a b ． ∴ }{n b 是首项为3，公比为2的等比数列． （2）∵ 123-⋅=n n b ，∴ 11232-+⋅=-n n n a a ，∴ 432321)2(21221111111==-=-=--++++++⋅⋅n n nn n n n n n n n a a a a c c ， 且 21211==a c ．∴ {n c }是以21为首项，公差为43的等差数列．（3）∵ 4143-=n c n ，∴ )13(222-==-⋅n c a n n n n ．∴ 2≥n 时，2)43(22]1)1(3[2424131+-=+--=+=---⋅n n a S n n n n ，且n ＝1时，1S ＝1，∴ 2)43(21+-=-n S n n ． 故∞→n lim =-⋅12n n n S ∞→n lim 322)43(211=+---⋅n n n n ．。

俯视图侧视图正视图3342007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学((理科)本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.公差不为0的等差数列{}n a 中,2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．363. 若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A ．2-B ．2C ．-4D ．44．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 123B. 363C. 273D. 65．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．- 1 B ．- 1 C ． - 2 D ．2 6．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()a x x-，展开式中含2x 项的系数是（ ）A. 192-B. 192C. -6D. 6 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）8．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若A B C D12012x x <<<<，则ba的取值范围是（ ） A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—12题）9. 右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出 的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为 .10.已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______．11. 在如下程序框图中，已知：0()x f x xe =，则输出的是_________ _.12. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅= ，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ．（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=.设R 为l 上任意一点，则RP 的最小值 ．14. （不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R )的解集为∅，则a 的取值范围是 ．15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c ，若cos cos A bB a= 且sin cos C A = (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.7 98 4 4 6 4 7 9 3否 是开始 输入f 0 (x ) 0=i )()(1'x f x f i i -= 结束1+=i i i =2009输出 f i (x )17. （本小题满分13分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分,负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为1分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.18. （本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左右顶点分别为A C 、，上顶点为B ，过C B F ,,三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为()n m ,.(Ⅰ)当0m n +≤时，椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线AB 能否和圆P 相切？证明你的结论.19. （本小题满分13分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （III ）求二面角B －A 1P －F 的余弦值. 20. （本小题满分14分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4， 公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列；(Ⅱ) 若()n n n b a f a =⋅，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由． 21. （本小题满分14分）已知函数F (x )=|2x －t |－x 3+x +1（x ∈R ，t 为常数，t ∈R ）.对阵队员A 队队员胜 A 队队员负 1A 对1B 23 132A 对2B 25 353A 对3B 37 35(Ⅰ)写出此函数F (x )在R 上的单调区间；(Ⅱ)若方程F (x )－k =0恰有两解，求实数k 的值．【答案及详细解析】一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分. 文科共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2007年湖南省届高三十校联考第二次考试英语试卷时量: 120分钟总分: 150分2007年4 月7日下午命题学校长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中第I卷(三部分，共115分)第一部分：听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和1.Where did the conversation most probably take place?A. In a plane.B. In a coffee shop.C. In a restaurant.2. How much does one shirt cost?A. $4.50.B. $5.00.C. $9.003. Where are the two speakers talking?A. In the garden.B. In the living room.C. In the garage.4. Which of the following is true?A. The man didn’t like any ice cream.B. The man wanted chocolate ice cream.C. The man didn’t want any ice cream.5. According to the conversation, which of the following best describes the usual weather here in May?A.Cooler and drier.B. Warmer and drier.C. Warmer and rainier.第二节（共12小题，每小题1.5分，满分18分）听下面4段对话，每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)理科数学第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k(1－P)n －k一．选择题 1．sin2100=(A)23 (B) -23 (C)21 (D) -212．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)（－4π，4π） (B) （4π，43π） (C) （ ，23π） (D) （23π，2 ）3．设复数z 满足zi 21+=i ，则z =(A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i4．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln25．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则 =(A)32(B)31 (C) -31 (D) -326．不等式:412--x x >0的解集为(A)( -2, 1)(B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪( 1, +∞)7．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于 (A)64(B)104(C)22(D)32球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径8．已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(A)3(B) 2(C)1(D) 129．把函数y =e x的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )=(A) e x -3+2 (B) e x +3－2 (C) e x -2+3 (D) e x +2－310．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点。

密★启用前2007 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（理工农医类）本卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，分150 分.考用120 分 .参照公式 :假如事件、互斥，那么假如事件、互相独立，那么假如事件在一次中生的概率是，那么次独立重复中恰巧生次的概率是球的体公式 ,球的表面公式，此中表示球的半径一、：本大共 10 小，每小 5 分，共 50 分．在每小出的四个中，只有一是切合目要求的．1．复数等于（）A ．B ．C．D．2．不等式的解集是（）A ．B． C． D．3．是两个会合，“”是“”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足又不用要条件4．是非零向量，若函数的象是一条直，必有（）A ．B ．C． D ．5．随机量听从准正散布，已知，=（）A ． 0.025B． 0.050C． 0.950D． 0.9756．函数的象和函数的象的交点个数是（）A ． 4B ．3C． 2 D ．17．以下四个命中，不正确的是（）．．．A．若函数在，B．函数的不点是和C．若函数，足，D．8．棱 1 的正方体的8 个点都在球的表面上，分是棱，的中点，直被球截得的段（）A ．B．C．D．9．分是（）的左、右焦点，若在其右准上存在使段的中垂点，离心率的取范是（）A ．B．C．D．10．会合，都是的含两个元素的子集，且足：随意的，（，），都有（表示两个数中的小者），的最大是（）A．10 B ．11C． 12 D ．13二、填空：本大共 5 小，每小 5 分，共 25 分．把答案填在横上．11．心且与直相切的的方程是．12．在中，角所的分，若，b=，，，．13．函数在区上的最小是．14．会合，，，（1）的取范是；（2）若，且的最大9，的是．15．将三角中的奇数成1，偶数成 0，获得如 1 所示的 0-1 三角数表．从上往下数，第 1 次全行的数都 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都 1 的是第 3 行，⋯，第次全行的数都 1 的是第行；第61 行中 1 的个数是．第 1 行11第 2 行101第 3 行1111第 4 行 1 0001第 5 行 1 10011⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1三、解答：本大共 6 小，共75 分．解答写出文字明、明程或演算步．16．（本小分12 分）已知函数，．（I ）是函数象的一条称，求的．（II ）求函数的增区．17．（本小分12 分）某地域下人免供给会和算机培，以提升低人的再就能力，每名下人能够参加一培、参加两培或不参加培，已知参加会培的有60% ，参加算机培的有75% ，假每一个人培目的是互相独立的，且各人的互相之没有影响．（I ）任 1 名下人，求人参加培的概率；（II ）任 3 名下人， 3 人中参加培的人数，求的散布列和希望．18．（本小分12 分）如2，分是矩形的的中点，是上的一点，将，分沿翻折成，，并，使得平面平面，，且．，如 3．A DFEGB C23（I ）明：平面平面；（II ）当，，，求直和平面所成的角．19．（本小分12 分）如 4，某地了开旅行源，欲修筑一条接景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角（），且，点到平面的距离（ km ）．沿山脚原有一段笔挺的公路可供利用．从点到山脚修路的造价万元 /km，原有公路改建用万元 /km ．当山坡上公路度 km（），其造价万元．已知，，，．（I ）在上求一点，使沿折修筑公路的造价最小；（II ）于（ I ）中获得的点，在上求一点，使沿折修筑公路的造价最小．（ III ）在上能否存在两个不一样的点，，使沿折修筑公路的造价小于（II ）中获得的最小造价，明你的．20．（本小分12 分）已知双曲的左、右焦点分，，点的直与双曲订交于两点．（I ）若点足（此中坐原点），求点的迹方程；（II ）在上能否存在定点，使· 常数？若存在，求出点的坐；若不存在，明原因．21．（本小分13 分）已知（）是曲上的点，，是数列的前和，且足，，⋯．（I ）明：数列（）是常数数列；（II ）确立的取会合，使，数列是增数列；（III ）明：当，弦（）的斜率随增．2007 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（理工农医类）参照答案一、：本大共10 小，每小有一是切合目要求的．1．C2．D3． B4．A5．C 5 分，共6． B50 分．在每小出的四个中，只7．C 8．D9．D10．B二、填空：本大共 5 小，每小 5 分，共25 分．把答案填在横上．11．12．13．14．（ 1）（ 2）15．， 32三、解答：本大共 6 小，共75 分．解答写出文字明、明程或演算步．16．解：（ I ）由知．因是函数象的一条称，因此，即（）．因此．当偶数，，当奇数，．（II ）．当，即（），函数是增函数，故函数的增区是（）．17．解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与互相独立，且，．（I ）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是因此该人参加过培训的概率是．解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是该人参加过两项培训的概率是．因此该人参加过培训的概率是．（II ）由于每一个人的选择是互相独立的，因此 3 人中参加过培训的人数听从二项散布，，，即的散布列是01230.0010.0270. 2430.729的希望是．（或的希望是）18．解：解法一：（Ｉ）由于平面平面，平面平面，，平面，因此平面，又平面，因此平面平面．（II ）过点作于点，连接．由（ I）的结论可知，平面，因此是和平面所成的角．由于平面平面，平面平面，，平面，因此平面，故．由于，，因此可在上取一点，使，又由于，因此四边形是矩形．由题设，，，则．因此，，，．由于平面，，因此平面，进而．故，．又，由得．故．即直线与平面所成的角是．解法二：（ I ）由于平面平面，平面平面，，平面，因此平面，进而．又，因此平面．由于平面，因此平面平面．（I I ）由（ I ）可知，平面．故能够为原点，分别以直线为轴、轴、轴成立空间直角坐标系（如图），由题设，，，则，，，有关各点的坐标分别是，，，．因此，．设是平面的一个法向量，由得故可取．过点作平面于点，由于，因此，于是点在轴上．由于，因此，．设（），由，解得，因此．设和平面所成的角是，则．故直线与平面所成的角是．19．解：（ I ）如图，，，，由三垂线定理逆定理知，，因此是山坡与所成二面角的平面角，则，A ．设，．则O．E D记总造价为万元，据题设有B当，即时，总造价最小．（I I ）设，，总造价为万元，依据题设有．则，由，得．当时，，在内是减函数；当时，，在内是增函数．故当，即（ km）时总造价最小，且最小总造价为万元．（I II ）解法一：不存在这样的点，．事实上，在上任取不一样的两点，．为使总造价最小，明显不可以位于与之间．故可设位于与之间，且 =，，，总造价为万元，则．近似于（ I）、（ II ）议论知，，，当且仅当，同时成即刻，上述两个不等式等同时成立，此时，，获得最小值，点分别与点重合，因此不存在这样的点，使沿折线修筑公路的总造价小于（ II ）中获得的最小总造价．解法二：同解法一得．当且仅当且，即同时成即刻，获得最小值，以上同解法一．20．解：由条件知，，设，．解法一：（ I ）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又由于两点在双曲线上，因此，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也知足上述方程．因此点的轨迹方程是．（I I ）假定在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，因此，，于是．由于是与没关的常数，因此，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．解法二：（ I ）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．P H是上述方程的两个根，因此．．由①②③得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤当，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当，点的坐，足上述方程．当与垂直，，求得，也足上述方程．故点的迹方程是．（II ）假在上存在定点点，使常数，当不与垂直，由（ I）有，．以上同解法一的（ II ）．21．解：（ I ）当，由已知得．因，因此．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①于是．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由②－①得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③于是．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④由④－③得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤因此，即数列是常数数列．（II ）由①有，因此．由③有，，因此，．而⑤表示：数列和分是以，首， 6 公差的等差数列，因此，，，数列是增数列且随意的成立．且．即所求的取会合是．（III ）解法一：弦的斜率任取，函数，，，当，，在上增函数，当，，在上减函数，因此，，进而，因此在和上都是增函数．由（ II ）知，，数列增，取，因，因此．取，因，因此．因此，即弦的斜率随增．解法二：函数，同解法一得，在和上都是增函数，因此，．故，即弦的斜率随增．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．不等式201x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞-- ，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞ ，， D ．(12]-，3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅ ”是“M N ≠∅ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9756．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D．112x =→8．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A．2B ．1C．12+D9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．02⎛ ⎝⎦，B ．03⎛ ⎝⎦，C．12⎫⎪⎪⎣⎭ D．13⎫⎪⎪⎣⎭10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，bc =则B = ．13．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ， （1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ……………………………………… 图1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．18．（本小题满分12分）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2 图3（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，OA ． （I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小． （III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知()n n n A a b ，（n ∈N *）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n aＯAEDBHP1G2GD FCBAE的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N *）的斜率随n 单调递增．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-=12．5π6 13．16-14．（1）[1)+∞，（2）9215．21n-，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，3()0.90.1kk k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是 （或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角． 因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCDAB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥． 因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，15OF =，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．故222222221126810200BG BE EG G G =++=++=，2BG =又110AG =，由11BH AG G E AB = 得81248105BH ⨯==． 故2248sin 525BH BG H BG ∠===1G2GDF C B A E OH即直线2BG 与平面12G ADG所成的角是． 解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥， 1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB =，25BC =，8EG =，则6EB =， 25EF =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，(6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，． 所以(0250)AD =，，，1(608)AG = ，，． 设()n x y z = ，，是平面12G ADG 的一个法向量， 由100n AD n AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，.得250680y x z =⎧⎨+=⎩，故可取(403)n =- ，，． 过点2G 作2G O ⊥平面ABCD 于点O ，因为22G C G D =，所以OC OD =，于是点O 在y 轴上． 因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．设2(08)G m ，， （025m <<），由222178(25)m =+-，解得10m =， 所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，． 设2BG 和平面12G ADG 所成的角是θ，则22sin 25BG n BG n θ=== ． 故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是． 19．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥，由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，1sin PH PB θ==．设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则 PD ==[12]，． 记总造价为1()f x 万元，据题设有2211111()(1)(224f x PD AD AO a x x a =+++=-+ 2143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝当14x =，即1(km)4BD =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km)AE y =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有yαAOE DBHP22131()1224f y PD y a ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．则()212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭，由2()0f y '=，得1y =． 当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302x y +≤≤，总造价为S 万元，则211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥1322y ≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭))2111114334416x a y y a a ⎛⎫⎡⎤=-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭143416a a ⨯+≥ 6716a =． 当且仅当114x =且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一． 20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111FM F A F B FO =++ 得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得 12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，此时(11CA CB ==- ．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-．21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得22441k x k -=-．…………………………………………………④241k y k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y-=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x yy -⨯-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-．以上同解法一的（II ）．21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ① 于是213(1)n n S S n ++=+． ……② 由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N *成立．12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<． 即所求a 的取值集合是91544M aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n n n nb b e e k a a a a ++++--==-- 任取0x ，设函数00()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()x x x e x x e e f x x x ---=-记00()()()xx x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-， 当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n na a n n e e a a ++-<-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-22n n a a n n e e a a ++->-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．解法二：设函数11()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数，所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．。

湖南省高三数学理科十校第二次联考试卷 新课标 人教版总分：150分 时量：120分钟 2007年4月7日下午 长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 醴陵一中 澧县一中 郴州二中 益阳市一中 桃源县一中一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的. 1．复数1cossin66z i ππ=-的共轭复数z 是 （ ）A.132 B.132 C.3122i + D.3122i - 2．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，31=a ，前三项的和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1893．某一计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中没有使用的概率为p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数是 （ ） A .)1(p np - B.np C.n D.)1(p n - 4．已知m 、n 是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题, ①若m ⊂α, , n ∥α,则m ∥n ， ②若α∩β= n ,m ∥n, 则m ∥α,且 m ∥β ③若m ∥α,m ∥β,则α∥β， ④若m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β其中正确的命题个数是 （ ） A .1 B .2 C.3 D .05．湖南经视台某采访小组共有8名记者，现从8名记者中按性别比例选取4名记者分别派往湘潭、株洲、长沙、常德四个地方执行采访任务，已知共有960种不同的安排方式。

则其中有男记者 ( ) A.2名 B.4名 C.6名 D.2名或6名 6．定义行列式运算：.32414231a a a a a a a a -=将函数xxx f cos sin 13)(----=的图象向左平移m 个单位)0(>m ，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （ ） A. 8π B.3πC.65π D. 32π7．设函数⎩⎨⎧≥-<=)0(12)0(||lg )(x x x x f x，若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）A.),1()1,(+∞--∞B. ),0()1,(+∞--∞C. )1,0()0,1( -D. ),0()0,1(+∞-8．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC AC AB 设MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 （ ）各养鸡场注射了疫苗的鸡的 数量平均数. 125191011o 鸡（万只） 月份 A 2B 2A 1B 1F 1F 2A 2 yO9．对于集合P 、Q, 定义P-Q={}|x x P x Q ∈∉且，()()P Q P Q Q P ⊕=--，设A ＝{}2|4,y y x x x R =-∈，B={}|3,x y y x R =-∈,则A B ⊕等于 （ ） A.(]4,0- B.[)4,0- C.()[),40,-∞-+∞ D.(](),40,-∞-+∞10．椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左准线为l ，左、右焦点分别为21,F F ，抛物线2C 的准线也为l ，焦点为2F ，记1C 与2C 的一个交点为P ，则=-||||||||21121PF PF PF F F ( ) A.12B.1C.2D.与a,b 的取值有关 二、填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.11．如果(x －xa )8的展开式的常数项等于1120，那么实数a 的值为____________。

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-CD ．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A B C D 8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B C ．12D 12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007届全国大联考高三第二次联考数学试卷(湖南专用)第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={y| y=x+1}，N={(x ，y)|x 2 +y 2=1}，则M N 中元素的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．多个2．已知复数1z =a+i ，z 2=1+a 2 i ，若12z z 是实数，则实数a 的值等于 A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．23．函数()x log a x f a x +=在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为41-，最大值与最小值之积为83-，则a 等于 A ．2 B ．21 C ．2或21 D ．32 4．若函数f (x)= e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为A ．2π B ．0 C ．钝角 D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式b log a log 32=，下列五个关系式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b ；④ 1<a<b ；⑤ l<b<a ．其中不可能成立的关系式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于A ．0B ．1C ．一1D ．27．设f (x)的定义域为R 且存在反函数，若f (2x －1)与()1x f1+-互为反函数，且已知()x f lim 1x -+∞→存在，则()x f lim 1x -+∞→)等于 A ．1 B ．21 C ．2 D ．23 8．函数()2ax x log y 2a +-=在[2，+∞]上恒为正数，则实数a 的取值范围是 A ．0<a<1 B ．1<a<2 C ．1<a< 25 D ． 2<a<3 9．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1，1)的夹角 90>θ 的概率是A ．21B ．31C ． 127D ． 125 10．已知函数f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f (x) cosx<0的解集是A ．(－3，－2π) (0，1) (2π，3) B ．(－2π，一1) (0，1) (2π，3) C ．(－3，－1) (0，1) (1，3) D ．(－3，－2π) (0，1) (1，3) 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上11．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个.12．已知函数()()()()⎩⎨⎧≥<-+-=1x a 1x 2a 7x 1a 2x f x 在(－∞，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________. 13．若()()()()()11112210921x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ，则 ()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).14．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如y=ax 2+bx+c (a ≠0)的抛物线的概率是_______________.15．购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”(每月须交的固定月租费)50元，在市区通话时每分钟另收话费0.4元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但市区内通话时每分钟另收话费0.6元．若某用户每月手机费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买__________卡较合算.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16．(本小题满分12分)二次函数f (x)满足f (x+1)－f (x)=2x ，且f (0) =1.(1) 求f (x)的解析式；(2) 在区间[－1，1]上，y=f (x)的图象恒在y=2x 十m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．17．(本小题满分12分)小张有一只放有a 个红球，b 个黄球，c 个白球的箱子，且a+b+c =6 (a ，b ，c ∈N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.(1) 用a 、b 、c 表示小张胜的概率；(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a 、b 、c 的值.18．(本小题满分14分)已知函数f (x) = (x －a)(x －b)(x －c).(1) 求证：()x 'f = (x －a)(x －b)+(x －a)(x －c)+(x －b)(x —c)；(2) 若f (x)是R 上的增函数，是否存在点P ，使f (x)的图象关于点P 中心对称? 如果存在，请求出点P 坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由．19．(本小题满分14分)某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p ％的管理费(即销售100元要征收p 元)，于是该商品的定价上升为每件100p 170-元，预计年销售量将减少p 万件. (1) 将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p ％的范围是多少?(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少?20．(本小题满分14分)已知函数y= f (x)对于任意实数x ，y 都有f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy .(1) 求f (0)的值；(2) 若f (1)=1，求f (2)，f (3)，f (4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n ∈N *)；(3) 若f (1)≥1，求证：021f n >⎪⎭⎫⎝⎛ (n ∈N *)． 21．(本小题满分14分) 定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意x ，y∈(－1，1)都有 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+xy 1y x f y f x f (1) 求证：函数f (x)是奇函数；(2) 若当x ∈(－1，0)时，有f (x)>0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数；(3) 在(2)的条件下解不等式：0x 11f 21x f >⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+．。