九下26.1二次函数水平测试题 2(经典)

26.1二次函数同步练习一、选择题 1.函数432-+=x xy ( )A ．一次函数B ．二次函数C ．正比例函数D ．反比例函数答案：B解析：解答：因为函数中二次项的系数03≠，函数形式符合二次函数． 故选：B ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．2．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．2x y =B ．21xy =C ．2kx y =D ．x k y 2= 答案：A解析：解答：A.符合二次函数定义形式，是二次函数；B.是分式方程，故B 错误；C.当k =0时，不是函数，故C 错误；D.当k =0是常函数，故D 错误． 故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．3.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( ) A ．()221xm y -=B ．()221xm y +=C ．()221x m y +=D ．()221x my -=答案：C解析：解答：A.当m =1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；B.当m =-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C.无论m 取何值，12+m 总大于或等于1，即无论m 取何值，12+m 都不等于0，符合二次函数概念，是二次函数，故正确．故选：C ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数．4. 二次函数532+=x y 的二次项系数是( ) A.3 B.2 C.5 D.0 答案：A解析：解：二次函数532+=x y的二次项系数是3，一次项系数是0．故选：A ．分析：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．22=+x xy B ．0222=+-y xC ．21xy =D ．02=-x y答案：B解析：解：A.整理为y=22x x x-+不是二次函数，故A 错误； B.0222=+-y x变形，得1212+=x y ，是二次函数，故B 正确；C.分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D.y 的指数是2，y 不是x 的二次函数，故此选项错误． 故选：B ．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 6．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．x y 2=B ．()()312-+=x x yC ．23-=x yD ．xx y 12+=答案：B 解析：解：A.xy 2=是反比例函数，故本选项错误； B.()()6423122--=-+=x xx x y ，是二次函数，故本选项正确；C.23-=x y 是一次函数，故本选项错误；D.xx x x y 112+=+=，不是二次函数，故本选项错误．故选：B ．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 7．已知函数()5621--+=m m xm y 是二次函数，则m 等于（ ）A ．7B ．-2或7C ．﹣1D ．以上都不对答案：A解析：解：∵()5621--+=m m xm y 是二次函数，∴2562=--m m ，∴m =7或m =﹣1（舍去）． 故选A ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 8．下列函数是二次函数的是（ ） A ．12+=x y B ．12+-=x y C ．22+=x y D ．221-=x y 答案：C解析：解：A.12+=x y ，是一次函数，故此选项错误； B.12+-=x y ，也是一次函数，故此选项错误； C.22+=x y 是二次函数，故此选项正确；D.221-=x y ，是一次函数，故此选项错误． 故选：C ．分析：直接根据二次函数的定义判定即可． 9．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A ．32-=x y B ．()221x x y -+= C ．x xy 722-= D ．22xy -= 答案：C解析：解：A.函数32-=x y 是一次函数，故本选项错误； B.由原方程化简，得12+=x y ，属于一次函数，故本选项错误； C.函数x x y 722-=符合二次函数的定义；故本选项正确；D.22xy -=不是整式；故本选项错误． 故选:C ．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为c bx ax y ++=2，()0≠a ．10．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．x xy +=21 B ．c bx ax y ++=2 C ．()227+-=x x y D ．()()121-+=x x y 答案：D解析：解答：解：A.x xy +=21中未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B.c bx ax y ++=2二次项系数a =0时，c bx ax y ++=2不是二次函数，故本选项错误；C.∵()()4914121--=-+=x x x y ，即4914--=x y ，没有二次项，故本选项错误；D.由原方程得，122--=x x y ，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D ．分析：根据二次函数的定义解答．11．已知函数①45-=x y ，②x x t 6322-=，③38223+-=x x y ，④1832-=x y ，⑤2132+-=xx y ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：解：①45-=x y ，③38223+-=x xy ，⑤2132+-=xx y 不符合二次函数解析式， ②x x t6322-=，④1832-=x y 符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可． 12.下列函数关系中，可以看做二次函数c bx ax y++=2，()0≠a 模型的是（）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系 答案：C解析：解：A.距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B.设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则()x a y%11+=，是正比例函数；C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D.设半径是r ，则周长r C π2=，是一次函数关系．故选C ．分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断． 13.若函数()1222--+=m m xm m y是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.1- 答案：C 解析：解：∵()1222--+=m m xm my 是二次函数，∴2122=--m m ，∴m =3或m =-1． 当m =-1时02=+m m ，所以m =3故选C ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可． 14.下列函数中,是二次函数的是( ) A.182+=x yB.18+=x yC.x y 8=D.28xy =答案：A解析：解答：A 符合二次函数定义形式，是二次函数；B 一次函数，故B 错误；C 是反比例函数，故C 错误；D 不符合二次函数定义形式，故D 错误． 故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数．15.若()222--=m xm y 是二次函数,则m 等于( ) A ．2B ．-2C ．±2D ．不能确定答案：B解析：解答：根据二次函数的定义,得222=-m ,解得m =2或m =-2,又2-m ≠0,即m ≠2,故当m =-2时,这个函数是二次函数.故选：B ．分析：根据二次函数的定义可得答案． 二、填空题 16. 关于x 的函数()()m x m x m y+-++=112,当m =0时,它是________函数;当m =-1时,它是________函数. 答案：二次|一次解析：解答：当m =0时,函数关系式可化为x x y -=2,是一个二次函数;当m =-1时,函数关系式可化为12--=x y,是一次函数．分析：将m =0和m =1分别代入等式中再进行判断． 17．已知()ax x a y++=21是二次函数，那么a 的取值范围是_________答案：a ≠﹣1解析：解答：根据二次函数的定义可得a +1≠0， 即a ≠﹣1．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可． 18．已知()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，则常数a 应满足的条件是_________． 答案：a ≠﹣2 解析：解答：由()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，得02≠+a ．解得a ≠﹣2， 故答案为：a ≠﹣2． 分析：根据形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数，可得答案．19．已知()kk xk y ++=22是二次函数，则k 的值为_________．答案：1解析：解答：∵()kk xk y ++=22是二次函数，∴22=+k k 且k +2≠0，解得k =1，故答案为：1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可． 20．已知方程02=++cy bx ax（0≠a ，b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是 _________函数． 答案：x cbx c a y --=2|a ≠0，c ≠0|二次． 解析：解答：整理得函数表达式为x cbx c a y --=2，成立的条件是a ≠0，c ≠0，是二次函数．故答案为：x cbx c a y --=2；a ≠0，c ≠0；二次． 分析：函数通常情况下是用x 表示y ．注意分母不为0，二次项的系数不为0． 三、解答题 21.已知函数()35112-+-=+x xm y m y 是二次函数，求m 的值． 答案：解答：()35112-+-=+x xm y m 是二次函数，得21012m m ì-?ïïíï+=ïî 解得m =﹣1．解析：本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2． 分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2的形式，可得答案．22. 已知函数()2222+-+=m m x m my ．(1)当函数是二次函数时,求m 的值． 答案：解答：(1)依题意,得2222=+-m m ,解得m =2或m =0; 又02≠+m m ,解得m ≠0且m ≠-1;因此m =2.(2)当函数是一次函数时,求m 的值． 答案：解答：依题意,得1222=+-m m ,解得m =1; 当m =1时,02≠+m m ,因此m =1.解析：本题考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2，所以令2222=+-m m 且02≠+m m 即可．同理第二问令1222=+-m m 即可求解.分析：根据二次函数是c bx ax y ++=2,()0≠a 的形式，可得答案．23．己知()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．求：（1）m 的值． 答案：解答：（1）∵()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，∴22=m ，解得m =，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m+1＜0，m =﹣，m =（不符合题意，舍）；（2）求函数的最值．答案：解答：当x =0时，y 最大=m =﹣．解析：（1）根据()m xm y m ++=21是关于x 的二次函数，可得22=m ，再由当x ＞0时，y随x 的增大而减小，可得m +1＜0，从而得出m 的值； （2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．分析：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质． 24．已知()()212232m x m x m my m x +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式．答案：解答：根据二次函数的定义可得：2122=--m m ，且02≠-m m ，解得 m =3或m =﹣1； 当m =3时，962+=xy ；当m =﹣1时，1422+-=x x y ；综上所述，该二次函数的解析式为：962+=x y 或1422+-=x x y ．解析：本题考查二次函数的定义．一般地，形如c bx axy ++=2,()0≠a 的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx axy ++=2,()0≠a 也叫做二次函数的一般形式．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 25．函数()()31--=x kx y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？当k 为何值时，y 是x 的二次函数？ 答案：解答：∵()()()313333122++-=+--=--=x k kx x kx kxx kx y ，∴k=0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．解析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．。

九年级二次函数检测题（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53， 当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫'⎪⎝⎭；②45°【解析】【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．（3）①由（2）可知m＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．【详解】（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m ＝52时，S 取得最大值258． （3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）． ②设直线l′为直线l 旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l 1∥l′，过点B 作BF ⊥l 1于点F ，根据题意知：d 1+d 2＝BF ， 此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒，∴点F 在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值， 此时BM′⊥l 1，∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74）， ∴由勾股定理可求得：AB 10，M′B 55M′A ＝854， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴851610﹣x ）2＝12516﹣x 2，∴x ＝5108， cos ∠M′BG ＝'BG BM 2，∠M′BG= 45︒此时图像如下所示，∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1∴∠B M′P=∠BCA＝90︒，又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒∴∠BAC＝45︒．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．3．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．4．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12-x 2+2x 上， 则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移． 当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=2122 77 -=．∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．5．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=151515-+-舍)或y=151515+，∴t=32﹣12×1y，∴t =9﹣∴P (0，9﹣．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．6．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】 （1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=， 解得：m=2当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32， 解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2-②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-； （3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．7．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】 （Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩ ∴设直线AC 的解析式为3y x将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．8．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC 的函数解析式；（3）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）223y x =+；（3）存在，(35,22-) 【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C 点坐标，设直线AC 的函数解析式y=kx+b ，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ，然后求出△ACP 面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2； （2）∵当x=0时，y=2，∴C （0，2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223y x =+； （3）存在．如图: 连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N设点P 坐标为（m ，n ）,则n=224233m m --+），PN=-m ，AO=3 当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C 的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯-∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）． 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】【分析】 （1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′== 此时aP92-+）． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)时间90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共10小题,每小题３分,共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2,-1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（2, 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2,1）B ．（-2,1）C ．（2,-1）D ．（-2,-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=15．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位,得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中,当x>0时,y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中,当x=0时,y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数,抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图,小芳在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题,每小题３分,共12分） 11．一个正方形的面积为16cm 2,当把边长增加x cm 时,正方形面积为y cm 2,则y 关于x 的函数为 。

P B CQ A 练习26.1（一）1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式。

2.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式.(二)在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:y=221x ,2212+=x y ,y=2212-x .观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。

你能说出抛物线k x y +=221的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线221x y =有什么关系？ （三） 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象: 222)2(21,)2(21,21-=+==x y x y x y 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。

（四）说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：(1)y=2(x+3)2+5;(2)y =－3(x －1)2－2; (3)y=4(x －3)2+7;(4) y =－5(x+2)2－6(五)1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x 为何值时y 的值最小(大)?(1)y=3x 2+2x;(2)y =－x 2－2x;(3)y=－2x 2+8x －8;(4)34212+-=x x y 2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少?习题26.1复习巩固1. 一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.2. 某种商品的价格是2元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:元)随每次降价的百分率x 的变化而变化,y 与x 之间的关系可以用怎样的函数来表示?3. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:y=3x 2,y =－3x 2,y=31x 2. 4. 分别写出抛物线y=4x 2与241x y -=的开口方向、对称轴及顶点. 5. 分别在同一直角坐标系内,描出下列二次函数的图象,并写出对称轴及顶点: (1)y=31x 2+3, y=31x 2－2;(2)2)2(41+-=x y ,2)1(41--=x y (3)y=21(x+2)2－2, y=21(x －1)2+2. 6. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点(用公式),再描点画图:(1)y=－3x 2+12x －3; (2)y=4x 2－24x+26; (3)y=2x 2+8x －6; (4)y=12212--x x 综合运用 7. 如图,在三角形ABC 中,∠B=90°,AB=1.2㎝,BC=2.4㎝,动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2㎜/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4㎜/s 的速度移动,如果P,Q 分别从A,B 同时出发,BDACDCAEF B那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.8.一辆汽车的行驶距离s(单位:m)与行驶时间t(单位:s)的函数关系式是s=9t+221t,经过12s汽车行驶了多远?行使380m需要多少时间?9.从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系式是h=30t－5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?10.如图,四边形的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10,当AC,BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?拓广探索11.钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下,速度每秒增加1.5m/s.(1)写出滚动的距离s(单位:m)与滚动的时间t(单位:s)之间的关系式.(提示:本题中,距离=平均速度v×时间t, v=20tvv+,其中,v是开始时的速度,tv是t秒时的速度)(2)如果斜面的长是1.5m,从斜面顶端滚到底端用多长时间?12.填空:(1)已知函数y=2(x+1)2+1,当x<______时y随x的增大而减小, 当x>_____时y随x的增大而增大, 当x=_____时y最_____.(2)已知函数y=—2x2+x—4,当x<______时y随x的增大而增大, 当x>_____时y随x的增大而减小, 当x=_____时y最_____.习题26.2 复习巩固1.已知函数y=3x2—4x+1.(1)画出函数的图象;(2)观察图象,当x取哪些值时,函数值为0?2.用函数的图象求下列方程的解:(1)x2—3x+2=0 (2)—x2+6x—9=0(3)x2+x+2=0 (4)4—x—x2=0综合运用3.如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是35321212++-=xxy(1)画出函数的图象;(2)观察图象,指出铅球推出的距离.4.抛物线与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.拓广探索5.画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;(2)x取什么值时,函数值大于0;(3) x取什么值时,函数值小于0;6.下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置?(1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根;(2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;(3)方程ax2+bx+c=0无实数根;如果a<0呢?习题26.3 复习巩固1．下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标（用公式）：（1）y=－4x2+3x; (2)y=3x2+x+62.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（200-x）件，应如何定价才能使利润最大？H E C B A E G F D 3．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s=60t-1.5t 2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？综合运用4．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这快废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D ，E ，F 分别在AC ，AB ，BC 上，要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应选在何处？5．如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形.当点E 位于何处时,正方形EFGH 的面积最小? 6.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?拓广探索7. 如图, 厂门的上方是一段抛物线,抛物线的顶点离地面的高度是3.8m,一辆装满货物的卡车,宽为1.6m,高为2.6m,要求卡车的上端与门的距离不小于0.2m,这辆卡车能否通过厂门?8. 分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大?为什么?复习题26 复习巩固 1.如图,正方形ABCD 的边长是4,E 是AB 上一点,F 是AD 的延长线上一点,BE=DF.四边形AEGF 是矩形,则矩形AEGF 的面积y 随BE 的长x 的变化而变化,y 与x 之间的函数关系式可以用怎样的函数来表示?2.某商场第1年销售计算机5000台,如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,写出第3年的销售量y 与每年增加的百分率x 之间的函数关系式.3.选择题 在抛物线y=x 2-4x-4上的一个点是( )(A)(4,4) (B)(3,-1) (C)(-2,-8) (D)(47,21--) 4.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标(用公式),再描点画图:(1)y=x 2-2x-3 (2)y=1+6x-x 2 (3)y=12212+-x x (4)y=4412-+-x x 5.汽车刹车后行使的距离s(单位:m)与行使的时间t(单位:s)的函数关系式是s=15t-6t 2,汽车刹车后到停下来前进了多远?综合运用6.用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大限面积是多少?7.一个滑雪者从85m 长的山坡滑下,滑行的距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)的函数关系式是s=1.8t+0.064t 2.他通过这段山坡需要多长时间?8.已知矩形的周长为36cm ,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长,宽各为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积最大?9.在周长为定植p 的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大?10.对某条线路的长度进行n 次测量,得到n 个结果x 1x 2,…,x n .如果用x 作为这条线路长度的近似值,当x 取什么值时,(x-x 1)2+(x-x 2)2+,,…+(x-x n )2最小?。

一、选择题1．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125下列结论错误的是（ ） A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根2．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度()ym 与水平距离()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠，则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1mB ．32mC ．138m D ．2m3．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点为D ，其图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3，与y 轴负半轴交于点C ．在下面四个结论中：①0a b c ++<；②13a c =-； ③只有当12a =时，ABD △是等腰直角三角形； ④使ACB △为等腰三角形的a 值可以有两个．其中正确的结论有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1353则代数式﹣2a（4a +2b +c ）的值为（ ） A ．92 B ．152C ．9D ．155．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论： ①2a ＋b ＝0； ②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根； ④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）． 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①③⑤6．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ﹣4＜0 B ．a ﹣4＝0 C ．a ﹣4＞0D ．a 与4的大小关系不能确定7．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）A ．0c >B ．0ab >C ．0a b c ++>D ．0a b +>8．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-9．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >；③13a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．14．已知抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点，则n =__________． 15．若实数m 、n 满足m +n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_____．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．如图，已知点()6,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图像开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当5OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于________．18．把函数y ＝x 2＋3的图像向下平移1个单位长度得到的图像对应的函数关系式为________． 19．将抛物线243y x x =-+沿x 轴向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是__．20．若方程20ax bx c ++=的两个根是3-和1，那么二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线x = _____________________三、解答题21．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点C 的距离．22．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．（1）假设设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?23．已知二次函数2=++y x bx c -的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，与y 轴的交点坐标为(0,3)．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标； （2）直接写出当函数值0y >时，自变量x 的取值范围． 24．如图，在直角坐标系中，已知直线142y x =-+与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，C 点的坐标为()2,0-．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（2）如果M 为抛物线的顶点，连接AM ，BM ，求ABM ∆的面积． （3）抛物线上是否存在一点P ，使12OBP ACO S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，点()2,3A 为二次函数()220y ax bx a =+-≠与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限的交点，已知该抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴正、负半轴分别交于点E 、点D ，交y 轴负半轴于点B ，且1tan 2ADE ∠=． （1）求二次函数和反比例函数的表达式；（2）已知点M 为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点D M B E 、、、，求四边形DMBE 面积的最大值．26．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．D解析：D 【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：1.5930c a c =⎧⎨++=⎩， 解得：1232a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数表达式为：22131(1)2222y x x x =-++=--+，∵a ＜0，故函数有最大值，∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．3．D解析：D 【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0， ∵图像与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为-1，3， ∴对称轴x ＝1， ∴当x ＝1时，y ＜0， ∴a +b +c ＜0； 故①正确；②∵点A 的坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c ＝0， 又∵b ＝﹣2a ， ∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝0， ∴c ＝﹣3a ， ∴13a c =- ∴结论②正确．③如图1，连接AD ，BD ，作DE ⊥x 轴于点E ，，要使△ABD 是等腰直角三角形， 则AD ＝BD ，∠ADB ＝90°， ∵DE ⊥x 轴， ∴点E 是AB 的中点， ∴DE ＝BE ，即|244ac b a-|()312--==2，又∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ， ∴|()()24324a a a a⨯---|＝2，a ＞0，解得a 12=， ∴只有当a 12=时，△ABD 是等腰直角三角形， 结论③正确④要使△ACB 为等腰三角形，则AB ＝BC ＝4，AB ＝AC ＝4，或AC ＝BC ， Ⅰ、当AB ＝BC ＝4时， 在Rt △OBC 中， ∵OB ＝3，BC ＝4，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝42﹣32＝16﹣9＝7， 即c 2＝7，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ， ∴c ＜0，c=，∴a 3c =-=． Ⅱ、当AB ＝AC ＝4时， 在Rt △OAC 中， ∵OA ＝1，AC ＝4，∴OC 2＝AC 2﹣OA 2＝42﹣12＝16﹣1＝15， 即c 2＝15，∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ， ∴c＜0，c =，∴a 3c =-=Ⅲ、当AC ＝BC 时， ∵OC ⊥AB ， ∴点O 是AB 的中点， ∴AO ＝BO ，这与AO ＝1，BO ＝3矛盾， ∴AC ＝BC 不成立．∴使△ACB 为等腰三角形的a ． 结论④正确． 故答案选：D【点睛】二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 2b a=-判断符，（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2﹣4ac ＞0；②1个交点，b 2﹣4ac ＝0；③没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．B解析：B【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2b a -（4a+2b+c ）中即可求出结论． 【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5． ∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2b a-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 5．C解析：C【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝1， ∴2a ＋b ＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b ＝﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x ＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题． 6．A解析：A【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【详解】解：∵抛物线的对称轴为422x -=-=， 抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，124x x +=，2121x x m =+，∴()()()22212121241641x x x x x x m -=+-=-+， ∵210m +>，∴()212x x -的最小值为16， ∴AB ＜4，∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0，∴可知a 表示的点在A 、B 之间，∴40a -<，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 7．A解析：A【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图像与y 轴交于正半轴，则0c >，A 正确；B 、图象的开口向下，则0a <；对称轴在y 轴右边且0a <，根据对称轴=0b a->，得 0b >； a 、b 异号，B 错误；C 、将（1，0）代入函数表达式，得0a b c ++=，C 错误；D 、A 中结论0c >，C 中结论0a b c ++=，所以 0a b +<，D 错误；故选A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键． 8．D【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．【详解】∵函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数，∴a-1≠0，2a 1+=2，∴a≠1，21a =，∴1a =-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 9．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.10．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->， 解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 11．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴22b x a=-=-， ∴b<0，由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大， ∵8323-<-<-， ∴12y y <，故②错误；③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，∵对称轴22b x a =-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)， ∴4b a =，1c =-，∴410a a -->，解得：13a <-，故③错误； ④∵1a =-，1c =-，∴44b a ==-，∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，解方程()2230x -++=得：23x =-±，∴23AB =，根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，∴DB=()223323+=，∴DB=AD=AB=23，∴ABD △是等边三角形．故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第 解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+ ∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 14．【分析】由抛物线与x 轴只有一个公共点可知对应的一元二次方程根的判别式△＝b2−4ac ＝0由此即可得到关于n 的方程解方程即可求得n 的值【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个公共点∴△＝4−4×1×n ＝0解解析：1【分析】由抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程220x x n -+=根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，由此即可得到关于n 的方程，解方程即可求得n 的值．【详解】解：∵抛物线22y x x n =-+与x 轴只有一个公共点，∴△＝4−4×1×n ＝0，解得n ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，利用二次函数根的判别式的和抛物线与x 轴的交点个数建立方程是解题的关键．15．﹣6【分析】设y=2m2+mn+m-n 由m+n=2得n=2-m 再由二次函数的性质即可解决问题【详解】设y ＝2m2+mn+m ﹣n ∵m+n ＝2∴n ＝2﹣m ∴y ＝2m2+m （2﹣m ）+m ﹣（2﹣m ）＝m2解析：﹣6．【分析】设y=2m 2+mn+m-n ，由m+n=2得n=2-m ，再由二次函数的性质即可解决问题．【详解】设y ＝2m 2+mn +m ﹣n ，∵m +n ＝2，∴n ＝2﹣m ，∴y ＝2m 2+m （2﹣m ）+m ﹣（2﹣m ）＝m 2+4m ﹣2＝（m +2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m ＝﹣2时，y 有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F 过D 作DE ⊥OA 于E 过C 作CM ⊥OA 于M 则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和BF ∥DE ∥CM 求出AE=OE=3DE=4设P （2x0）根据二次函数的对称性得出OF=P解析：4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF ∥DE ∥CM ，求出AE=OE=3，DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，推出△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，得出BF OF DE OE =，CM AM DE AE=，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ，∵OD=AD=5，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=3， 由勾股定理得：DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ， ∴BF OF DE OE =，CM AM DE AE=， ∵AM=PM=12（OA-OP ）=12（6-2x ）=3-x ， 即43BF x =，343CM x -=， 解得：BF=43x ，CM=4-43x ， ∴BF+CM=4．故答案为4．【点睛】 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．18．y ＝x2＋2【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标再利用顶点式写出解析式即可【详解】解：函数y ＝x2＋3的顶点坐标为（03）∵函数图象向下平移1个单位长度∴得到的函数图象顶点坐标为（0解析：y ＝x 2＋2．【分析】根据向下平移纵坐标减求出平移后函数的顶点坐标，再利用顶点式写出解析式即可．【详解】解：函数y ＝x 2＋3的顶点坐标为（0，3），∵函数图象向下平移1个单位长度，∴得到的函数图象顶点坐标为（0，2），∴得到函数解析式为y ＝x 2＋2．故答案为：y ＝x 2＋2．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，通过平移求出新图象顶点坐标是关键．19．y=x2-1【分析】先把抛物线写成顶点式再写出平移后的顶点根据顶点式可求平移后抛物线的解析式【详解】解：∴原抛物线顶点坐标为(2-1)向左平移2个单位平移后抛物线顶点坐标为(0-1)∴平移后抛物线解解析：y=x 2-1【分析】先把抛物线写成顶点式，再写出平移后的顶点，根据顶点式可求平移后抛物线的解析式．【详解】解：()22-4+3-2-1y x x x ==，∴原抛物线顶点坐标为(2，-1)，向左平移2个单位，平移后抛物线顶点坐标为(0，-1)， ∴平移后抛物线解析式为：21y x =-，故答案为：21y x =-．【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式． 20．【分析】先根据题意得出抛物线与x 轴的交点坐标再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论【详解】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1∴二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别解析：1-【分析】先根据题意得出抛物线与x 轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．【详解】解：∵方程ax 2+bx+c=0的两个根是-3和1，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点分别为（-3，0），（1，0）．∵此两点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x=312-+=-1． 故答案为：-1．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 三、解答题21．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A 的坐标，求得a 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y =0，得关于x 的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A 坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣3）2＋4，将点A 坐标（2，3）代入得：3＝a （2﹣3）2＋4，解得：a ＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）∵y ＝﹣（x ﹣3）2＋4，∴令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣3）2＋4，解得：x 1＝1，x 2＝5，∵起跳点A 坐标为（2，3），∴x 1＝1，不符合题意，∴x ＝5，∴运动员落水点与点C 的距离为5米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．22．（1）2101002000(020)y x x x =-++≤<；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）(6050)(20010)y x x =-+-2(10)(20010)101002000(020)x x x x x =+-=-++≤<．（2）2210100200010(52250y x x x =-++=--+)所以，当5x =时，y 取得最大值为2250．答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润⨯销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．23．2y x 2x 3=-++；()1,4；（2）13x【分析】（1）将(-1，0)和(0，3)两点代入二次函数y=-x 2+bx+c ，求得b 和c ，从而得出抛物线的解析式；（2）令y=0，解得x 1，x 2，得出此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y>0时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过(-1，0)和(0，3)两点， 得103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，∵()222314y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；（2）令0y =，得2230x x -++=，解得13x =，21x =-，∴此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∵抛物线开口向下，∴当13x时，0y >． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点．24．（1）213442y x x =-++；（2）5；（3）存在，点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A （0，4），B （8，0），再设交点式y=a （x+2）（x-8），然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线解析式；（2）作MD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，再根据ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积得出结论；（3）根据12OBP ACO S S ∆∆=得出2∆=OBP S ，再根据点P 在抛物线上，得出y 1=±P ，从而得出点P 的坐标；【详解】解：（1）当x=0时，142y x =-+=4，则A （0，4）， 当y=0时，142x -+=0，解得x=8，则B （8，0）， 设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-8），把A （0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得14a =-， ∴抛物线解析式为1(2)(8)4=-+-y x x ∴213442y x x =-++ （2）∵213442y x x =-++ ∴2125(3)44y x =--+ ∴25(3,)4M 作MD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，如图，把x=3代入142y x =-+得出52y =； ∴25515424EM =-=， ∴ABM ∆的面积=AEM ∆的面积+BEM ∆的面积=1115815224EM OB ⨯⨯=⨯⨯=； （3）存在理由如下：∵1142422∆=⨯⨯=⨯⨯=ACO S OA OC ， ∵12OBP ACO S S ∆∆=， ∴11y 8y 422P P OB ⨯⨯=⨯⨯=， ∴y 1=P ；∴y 1=±P ；∵点P 在抛物线上， ∴2134=142-++x x 或2134=-142-++x x解得：1x ，2x 3x 4x∴点P 的坐标为：()1或()1或()1或()1 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．25．（1）213222y x x =+-；6y x =；（2）9 【分析】（1）将()2,3A 代入反比例函数解析式即可求出k 值；再根据1tan 2ADE ∠=构建直角三角形即可求出D 点坐标；再讲A 、D 两点坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的表达式；（2）作出辅助线后将所求四边形的面积分为三部分，即DHM △、OEB 和梯形HOBM ，分别求出后求和，即可得出面积S 与M 点横坐标m 的二次函数关系式，有函数性质即可求出四边形DMBE 面积的最大值．【详解】解：（1）如图，过A 点作AC x ⊥轴且与x 轴交于点C ；将()2,3A 代入k y x =中，解得6k =， ∴6y x=， ∴3AC =，2OC = ∵1tan 2ADE ∠=， ∴6DC =，∴4DO DC OC =-=，∴(4,0)D -，将A ，D 代入()220y ax bx a =+-≠中得： 422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴二次函数表达式为：213222y x x =+-； （2）如图，过M 作MH x ⊥轴于H ，并设点M 的坐标为213(,2)22m m m +-， ∵M 点在第三象限 ∴213222MH m m =--+ 则+DMBE HOBM S S S S =+△DHM △OEB 四边形梯形， 4212=222m MH m ++⨯++（）MH （）(-)42=12mMH MH m mMH +--+ =21MH m -+213=2(2)122m m m --+-+ 2=45m m --+2=(2)9m -++∴当2m =-时四边形DMBE 的面积最大，最大面积为9．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数、反比例函数的解析式以及函数的性质和数形结合的能力，对于学生的综合能力要求较高．26．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出 ，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．。

第二十六章二次函数26．1二次函数（第一课时）一、课前小测1．已知函数y=(k+2)x+3是关于x的一次函数,则k_______.2．已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为__ ___. 3．填表:4．在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的函数关系式为_________.5．用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、基础训练121．形如_______ ________的函数叫做二次函数.2．扇形周长为10，半径为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式为_______________。

3．下列函数中,不是二次函数的是( )x 2 B.y=2(x-1)2+4 C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 4．在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y与x 的函数关系式为( )A.y=πx 2-4 B.y=π(2-x)2; C.y=-(x 2+4) D.y=-πx 2+16π 5．若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定三、综合训练1．已知y 与x 2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y 与x 的函数关系式,并求当x=-3时,y的值.当y=8时,求x 的值.2．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？326．1二次函数（第二课时）一、课前小测1．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是（ ）A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠02．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是__ __(其中x 、t 为自变量).3．当k=__ ___时，27(3)k y k x -=+是二次函数。