函数的递归调用与分治策略

递归与分治算法心得
递归与分治算法都是常用的算法思想，可以很好地解决复杂问题。

递归算法是通过将问题分解为相同或相似的子问题来解决整个问题，然后再逐步合并回原问题的过程。

递归算法通常需要明确边界条件，以确保递归能够正确地停止。

分治算法是将问题分解成若干个相同或相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后合并这些子问题的解来解决原始问题。

通常，分治算法可以高效地解决问题，但需要注意分解问题的方式和合并子问题的解的过程。

在实际应用中，递归和分治算法可以相互结合，以解决更加复杂的问题。

例如，可以使用分治算法来将问题分解成多个子问题，然后使用递归算法来解决这些子问题。

此外，还可以在递归算法中使用分治算法来对子问题进行分解和合并。

总而言之，递归与分治算法都是非常有用的算法思想，可以在许多领域中得到应用。

但是，在实际使用时，需要仔细考虑问题的性质和算法的复杂度，以确保算法的正确性和效率。

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递归与分治算法心得
递归与分治算法是算法设计中常见的两种方法，它们在解决问题时都采用了“分而治之”的思想，将问题分解成更小的子问题，然后通过递归调用或者合并子问题的解来得到原问题的解。

通过我的学习和实践，我深刻认识到了递归与分治算法的重要性和优势。

首先，递归算法可以使问题的描述更加简单明了。

通过将问题转化为自身的子问题，我们可以建立起更为简洁优美的数学模型。

其次，递归算法可以使问题的解决过程更加自然。

在递归过程中，我们可以利用已知的子问题解决同类问题，实现代码的复用和模块化。

此外，递归算法还可以解决一些重要的数学问题，如斐波那契数列和二分查找等。

分治算法则更加注重问题的分解和合并。

它将问题划分成若干个规模相同或相近的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

这种方法在解决某些复杂问题时具有很大的优势。

例如，在排序算法中，归并排序采用了分治算法的思想，将待排序的序列分成两个长度相等的子序列，然后递归地对子序列排序，最后将子序列合并成有序序列。

这种算法具有较高的稳定性和灵活性，常常被应用于海量数据的排序任务中。

总之，递归与分治算法是算法设计中不可或缺的两种方法。

在解决问题时，我们应该根据具体情况选择合适的算法，并在实践中不断探索、总结和优化。

只有这样，我们才能更好地应对日益复杂多变的计算机科学挑战。

递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。

它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。

下面，我们来详细了解一下递归和分治法。

1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。

递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。

分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。

分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。

主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。

2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。

（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。

3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。

分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。

4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。

分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。

总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。

必备算法：递归！⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！递归是⼀种⾮常重要的算法思想，⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它。

在⽇常⼯作中，统计⽂件夹⼤⼩，解析xml⽂件等等，都需要⽤到递归算法。

它太基础太重要了，这也是为什么⾯试的时候，⾯试官经常让我们⼿写递归算法。

本⽂呢，将跟⼤家⼀起深⼊挖掘⼀下递归算法~什么是递归？递归，在计算机科学中是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。

简单来说，递归表现为函数调⽤函数本⾝。

在知乎看到⼀个⽐喻递归的例⼦，个⼈觉得⾮常形象，⼤家看⼀下：❝递归最恰当的⽐喻，就是查词典。

我们使⽤的词典，本⾝就是递归，为了解释⼀个词，需要使⽤更多的词。

当你查⼀个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第⼆个词，可惜，第⼆个词⾥仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有⼀个词的解释是你完全能看懂的，那么递归⾛到了尽头，然后你开始后退，逐个明⽩之前查过的每⼀个词，最终，你明⽩了最开始那个词的意思。

❞来试试⽔，看⼀个递归的代码例⼦吧，如下：递归的特点实际上，递归有两个显著的特征,终⽌条件和⾃⾝调⽤:✿⾃⾝调⽤：原问题可以分解为⼦问题，⼦问题和原问题的求解⽅法是⼀致的，即都是调⽤⾃⾝的同⼀个函数。

✿终⽌条件：递归必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。

结合以上demo代码例⼦，看下递归的特点：递归与栈的关系其实，递归的过程，可以理解为出⼊栈的过程的，这个⽐喻呢，只是为了⽅便读者朋友更好理解递归哈。

以上代码例⼦计算sum（n=3）的出⼊栈图如下：为了更容易理解⼀些，我们来看⼀下函数sum（n=5）的递归执⾏过程，如下：✿计算sum（5）时，先sum（5）⼊栈，然后原问题sum（5）拆分为⼦问题sum（4），再⼊栈，直到终⽌条件sum（n=1）=1，就开始出栈。

✿ sum（1）出栈后，sum（2）开始出栈，接着sum（3）。

✿最后呢，sum（1）就是后进先出，sum（5）是先进后出，因此递归过程可以理解为栈出⼊过程啦~递归的经典应⽤场景哪些问题我们可以考虑使⽤递归来解决呢？即递归的应⽤场景⼀般有哪些呢？✿阶乘问题✿⼆叉树深度✿汉诺塔问题✿斐波那契数列✿快速排序、归并排序（分治算法体现递归）✿遍历⽂件，解析xml⽂件递归解题思路解决递归问题⼀般就三步曲，分别是：✿第⼀步，定义函数功能✿第⼆步，寻找递归终⽌条件✿第⼆步，递推函数的等价关系式这个递归解题三板斧理解起来有点抽象，我们拿阶乘递归例⼦来喵喵吧~1、定义函数功能定义函数功能，就是说，你这个函数是⼲嘛的，做什么事情，换句话说，你要知道递归原问题是什么呀？⽐如你需要解决阶乘问题，定义的函数功能就是n的阶乘，如下：2、寻找递归终⽌条件递归的⼀个典型特征就是必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。

MATLAB递归函数1. 引言MATLAB是一种功能强大的数值计算和科学编程语言，具有丰富的函数库和工具箱。

递归函数是一种特殊类型的函数，它在函数体内调用自身。

递归函数在解决一些复杂问题时非常有用，可以将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题进行求解。

本文将详细介绍MATLAB递归函数的定义、用途和工作方式，以及如何编写递归函数来解决实际问题。

2. 函数的定义递归函数是一种在函数体内调用自身的函数。

它可以通过将一个问题分解成更小的子问题来解决复杂的问题。

递归函数通常具有以下几个要素：•基本情况（Base case）：递归函数必须包含一个或多个基本情况，即函数不再调用自身的情况。

基本情况通常是一个简单的问题，可以直接求解而不需要进一步的递归调用。

•递归调用（Recursive call）：递归函数在函数体内调用自身，并将问题规模缩小为一个或多个子问题。

递归调用通常在某个条件满足时发生，否则函数将陷入无限循环。

•问题规模缩减（Problem reduction）：递归函数通过将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题来解决复杂的问题。

每次递归调用都会将问题的规模缩小，直到达到基本情况。

3. 递归函数的用途递归函数在解决一些复杂问题时非常有用，特别是那些可以通过将问题分解成更小的子问题来解决的情况。

递归函数的用途包括但不限于以下几个方面：•分治法（Divide and conquer）：递归函数可以将一个大问题分解成一个或多个更小的子问题，并将子问题的解合并成原问题的解。

分治法通常用于解决一些需要分解成子问题的问题，例如排序、搜索和图算法等。

•树和图的遍历：递归函数可以用于树和图的遍历，例如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

递归函数可以通过递归调用来遍历树和图的节点，并在每个节点上执行相应的操作。

•动态规划：递归函数在动态规划中也经常被使用。

动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解的优化技术。

递归算法思路一、概念递归算法是指函数自身调用自身的方法，将一个问题分解为更小的同类问题直到问题简单到可以直接解决。

递归算法是由一种表达方式所实现的，这种表达方式就是递归定义。

二、递归算法的思路（1）确定递归函数的参数和返回值确定参数和返回值的关键是看待问题的方法。

递归函数所处理的问题应该是可以分解为若干个子问题的，而这些子问题其实就是原问题的缩小范围。

（2）递归边界问题在递归函数中，我们必须要规定好对应的递归边界，也就是终止条件。

如果没有递归边界，那么整个递归链式结构将不断进行推进，直到系统无法承受，连程序都无法正常运行。

（3）将原问题分解为更小的子问题我们需要在递归函数中对原问题进行分解，即将原问题转化为若干个子问题。

这些子问题与原问题是同类问题，由于子问题的规模比原问题更小，我们可以通过解决子问题来解决原问题。

（4）进行递归调用确定好递归边界和子问题之后，就可以通过递归调用将问题规模不断缩小，使得问题最终可以直接得到解决。

（5）整合所有递归的结果递归算法的最后一步是整合所有递归的结果，将其合并为一个完整的解决方案。

这可能需要对递归结果进行一些计算和转换，然后将它们组合在一起形成最终结果。

三、递归算法的优缺点（1）优点递归算法可以清晰地表达问题的递归结构，很容易理解和实现。

对于复杂的问题，递归算法往往比起迭代算法更具可读性。

同时，递归算法还可以缩小问题的规模，使问题的求解更为高效。

（2）缺点递归算法的缺点在于它可能导致许多不必要的重复计算，这样会大大降低算法的效率。

此外，在调用函数时，需要保存参数、返回值和局部变量等一些额外的信息，这些信息都需要分配内存并占用空间。

当递归调用太深时，可能会引起严重的栈溢出问题。

四、递归算法的应用（1）数学问题递归算法常常在解决数学问题时得到应用。

例如，斐波那契数列、阶乘问题、最大公约数和最小公倍数问题等，都可以通过递归算法来解决。

（2）树形问题当我们需要处理树形问题时，递归算法也可以起到很好的作用。

算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。

实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。

递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。

2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。

②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。

③当问题的规模足够小时，可以直接求解。

3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。

可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。

int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。

1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。

2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。

③递归地解决各子问题。

④将各子问题的解合并成原问题的解。

3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。

排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。

③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。

实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。

五大基础算法算法是计算机科学中的一个重要概念，它是指为解决某一问题而设计的一系列计算步骤的有序集合。

在计算机科学中，算法是非常重要的，它们是计算机程序的核心部分，可以解决各种计算机科学问题，从简单到复杂都有。

基础算法是算法学习中最基本、最常用的一类算法，在日常生活当中也得到广泛应用。

接下来我们就来介绍五大基础算法。

一、排序算法排序算法是将一组数据按照某种规则进行排序的算法。

在日常生活中，我们经常使用排序算法来对一些数据进行排序，例如比赛名次，商品价格等等。

常见的排序算法有冒泡排序、快速排序、选择排序和插入排序等。

冒泡排序是一种较为简单的排序算法，它的基本思想是对相邻的数据进行比较和交换，从而达到排序的目的。

具体实现过程中需要通过两个嵌套的循环来进行比较和交换。

快速排序则是一种比较高效的排序算法，它的基本思想是采用“分治”策略，将数据分为两个子序列，一个比关键字小，一个比关键字大。

通过递归的方式不断进行分治，最终完成排序。

选择排序是通过选择最小的元素放到前面的位置，从而达到排序的目的。

插入排序则是通过将元素插入到已经排好序的序列中，使得整个序列有序。

二、递归算法递归算法是指函数调用自身的一种算法。

在计算机科学中，递归算法是一种基本的算法思想，它可以解决一些复杂的问题。

例如，二叉树的遍历、图的遍历、背包问题等等都可以使用递归算法来解决。

三、查找算法查找算法是在一个数据集中查找某一个元素的算法。

常见的查找算法有线性查找、二分查找和哈希查找等。

线性查找是将数据集中的元素与目标元素逐一比较，直到找到目标元素为止。

二分查找也叫折半查找，它的基本思想是先找到中间元素，再与目标元素进行比较。

通过每次缩小查找范围，最终找到目标元素。

哈希查找则是通过哈希函数将数据集映射到不同的散列表中，从而进行查找的算法。

四、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的算法思想。

贪心策略是指每一步都选择当前局部最优解，从而最终达到全局最优解的策略。

算法分析(第二章)：递归与分治法一、递归的概念知识再现：等比数列求和公式：1、定义：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、与分治法的关系：由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

3、递推方程：(1)定义：设序列01,....na a a简记为{na}，把n a与某些个()ia i n<联系起来的等式叫做关于该序列的递推方程。

(2)求解：给定关于序列{n a}的递推方程和若干初值，计算n a。

4、应用：阶乘函数、Fibonacci数列、Hanoi塔问题、插入排序5、优缺点：优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

二、递归算法改进：1、迭代法：(1)不断用递推方程的右部替代左部(2)每一次替换，随着n的降低在和式中多出一项(3)直到出现初值以后停止迭代(4)将初值代入并对和式求和(5)可用数学归纳法验证解的正确性2、举例：-----------Hanoi塔算法----------- ---------------插入排序算法----------- ()2(1)1(1)1T n T nT=−+=()(1)1W n W n nW=−+−（1）=021n-23()2(1)12[2(2)1]12(2)21...2++2 (121)n n n T n T n T n T n T −−=−+=−++=−++==++=−（1）2 ()(1)1((n-2)+11)1(2)(2)(1)...(1)12...(2)(1)(1)/2W n W n n W n n W n n n W n n n n =−+−=−−+−=−+−+−==++++−+−=−3、换元迭代：(1)将对n 的递推式换成对其他变元k 的递推式 (2)对k 进行迭代(3)将解（关于k 的函数）转换成关于n 的函数4、举例：---------------二分归并排序---------------()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0（1）换元：假设2kn =，递推方程如下()2(/2)1W n W n n W =+−（1）=0 → 1(2)2(2)21k k k W W W−=+−（0）=0（2）迭代求解：12122222321332133212()2(2)212(2(2)21)212(2)22212(2)2*2212(2(2)21)2212(2)222212(2)3*2221...2(0)*2(22...21)22k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k W n W W W W W W W W k k −−−−−−−+−+−−−=+−=+−+−=+−+−=+−−=+−+−−=+−+−−=+−−−==+−++++=−1log 1n n n +=−+（3）解的正确性—归纳验证： 证明递推方程的解是()(1)/2W n n n =−()(1)1W n W n n W =−+−（1）=0,(n 1)=n +n=n(n-1)/2+n =n[(n-1)/2+1]=n(n+1)/2n W W +方法：数学归纳法证 n=1,W(1)=1*(1-1)/2=0假设对于解满足方程，则（）---------------快速排序--------------------->>>平均工作量：假设首元素排好序在每个位置是等概率的112()()()(1)0n i T n T i O n n T −==+=∑ >>>对于高阶方程应该先化简，然后迭代(1)差消化简：利用两个方程相减，将右边的项尽可能消去，以达到降阶的目的。