向量的概念及表示 高中数学 必修四 苏教版 含答案

第2章 平面向量 §2.1 向量的概念及表示课时目标1．掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意 数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作________．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就惟一确定．(2)向量的有关概念：向量AB →的________称为向量AB →的长度(或称为模)，记作|AB →|.长度为________的向量叫做零向量，记作0.长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．3．平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a . 4．相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量． 5．相反向量我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的________________，记作________，a 与－a 互为________________，并且规定零向量的相反向量仍是____________．于是，对任一向量a 有____________．一、填空题1．下列命题中正确的个数为______．①向量a 与向量b 平行，则a 、b 方向相同或相反；②若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于0方向不确定，故0不能与任何向量平行； ⑤若向量a 与向量b 方向相反，则a 与b 是相反向量． 2．下列结论中，正确的是________．(填序号) ①向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →同义； ②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线； ③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →； ④只要向量a ，b 满足|a |＝|b |，就有a ＝b .3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________． 4．下列说法正确的有________．(填序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． 5．下列四个命题 ①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ，或a ＝－b ； ③若a ∥b ，则|a |＝|b |； ④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是________．6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0； ⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填写序号) 7．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号) ①向量的模一定是正数；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 8．下列命题正确的是________．(填写正确命题的序号) ①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④有相同起点的两个非零向量不平行．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．二、解答题 11.在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. (1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 12.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点． (1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．能力提升 13.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.14.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . (1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．第2章 平面向量 §2.1 向量的概念及表示知识梳理 1．(1)方向2．(1)AB →(2)大小 0 1 3．相同 相反 平行 4．(1)长度 (2)直线5．相反向量 －a 相反向量 零向量 －(－a )＝a 作业设计 1．0 2．①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确． 3．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 4．②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的． 5．2解析 ②③错，①④正确． 6．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立． 7．②解析 ①错误.0的模|0|＝0.②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD→必须在同一直线上． 8．③解析 若b ＝0，则a 与c 不共线，①不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，②不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，③正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，④不正确． 9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线 10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 11．解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(如图)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(如图)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →. 13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

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修4基础达标1.下列物理量，其中不是向量的有（）①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功A.1个B.2个 C。

3个 D.4个解析：质量、路程、密度、功都只有大小没有方向，不是向量.答案:D2.下列说法中正确的是（）A.只有方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量解析:A项零向量平行于任意向量，但它的方向是任意的.C项长度相等、方向相同才是相等的向量。

D项共线向量不一定在一条直线上。

答案：B3。

把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P,其终点构成的图形是( ）A。

一条线段 B。

一段圆弧 C。

两个孤立点 D。

一个圆答案：D4.下列说法不正确的是( ）A.向量AB的长度与向量BA长度相等 B。

任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等、方向相反的向量是共线向量 D。

两个有共同起点且共线的向量终点必相同解析：两个有共同起点且共线的向量其长度不一定相等，方向也不一定相同，因此终点不一定相同。

答案：D5。

一架飞机向西飞行100 km ，然后改变方向向南飞行100 km,则飞行两次的位移和为________. 答案：向西南飞行1002km6。

若a 0是与a 共线的单位向量，则a 与a 0的方向，||a a 与a 0的长度_____________。

[学业水平训练]1．(2014·天津高一检测)下列结论中，正确的是________．(只填序号) ①零向量只有大小而没有方向；②对任一向量a ，|a|＞0总是成立的；③|AB→|＝|BA →|. 解析：对于①，零向量有方向且方向是任意的，故①不正确．对于②，∵|0|＝0，∴对任一向量a ，|a|≥0总成立，故②不正确．对于③，|AB→|，|BA →|分别与线段AB ，BA 的长度相等，且AB ＝BA ，故③正确．答案：③2．下列结论中，正确的是________．(只填序号)①向量AB→，CD →共线与向量AB →∥CD →的意义是相同的； ②若AB→＝CD →，则AB →∥CD →； ③若向量AB→＝CD →，则向量BA →＝DC →. 解析：由共线向量、相等向量的定义知①②正确．对于③，当AB→＝CD →时，AB →与CD →的模相等且方向相同，这时BA →与DC →的模也相等且方向相同，故③正确．答案：①②③3．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的中点，则图中与向量EF→相等的向量为________．解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．答案：BD→与DA → 4．有两个人，同时从同一地点按相反的方向沿直线行走，若他们的速度相同，在某一时刻这两个人的位移分别为向量a ，b ，则这两个向量的模________，方向________，它们的关系是________．解析：两人从同一地点按相反的方向沿直线行走，说明位移方向相反，又他们的速度相同，故在某一时刻两个人的位移向量具有相等的模，再由定义知这两个向量互为相反向量．答案：相等 相反 互为相反向量5. 如图所示，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．解析：互不相等的非零向量为AB→、AC →、AD →、DC →、DB →、DA →共6个． 答案：66．如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形．(1)写出与BC→相等的向量：________； (2)写出与BC→共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：FE →、AD → FE →、AD →、EF →、DA →、CB →7．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段，在所标的向量中：(1)写出与AB→共线的向量； (2)写出与EF→方向相同的向量； (3)写出与OB→，OD →的模相等的向量； (4)写出与EO→相等的向量． 解：等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ∥EF ，AD ＝BC ，(1)图中与AB→共线的向量有DC →，EO →，OF →，EF →，BA →，CD →，OE →，FO →，FE →. (2)图中与EF →方向相同的向量有AB →，DC →，EO →，OF →.(3)图中与OB →的模相等的向量为AO →，OA →，BO →，与OD→的模相等的向量为OC →，CO→，DO →. (4)图中与EO→相等的向量为OF →. 8．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．[高考水平训练]1. 如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)图中所标的向量中，与向量ED →相等的向量有________；(2)若|AB→|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形，根据平行四边形的性质及向量相等的定义，可知AB→＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)中的分析可知AB →＝ED →＝DC →.又E ，D ，C 三点在同一条直线上，∴|EC→|＝|ED→|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB→，DC → (2)6 2．如图所示，O 是正方形ABCD 的中心，则①AO→＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD→共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．解析：∵正方形的对角线互相平分，∴AO→＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；。

姓名，年级：时间：2.1 向量的概念及表示学习目标核心素养（教师独具)1。

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线（平行）向量、相反向量的含义．(重点、难点）3．理解向量的几何表示．(重点）通过学习本节内容提升学生的数学抽象和直观想象核心素养.一、向量的定义及表示定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法（1）几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为错误!；(2）字母表示:用小写字母a，b,c表示模向量错误!的大小称为向量的长度（或称为模），记作|错误!|别？[提示］面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2：两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?［提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．二、向量的有关概念及其表示名称定义表示方法零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(或共线向量）方向相同或相反的非零向量a与b平行（或共线），记作a∥b相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等,记作a＝b相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作－a思考3：已知A,B为平面上不同两点，那么向量AB和向量错误!相等吗?它们共线吗？［提示] 因为向量错误!和向量错误!方向不同,所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．思考4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？［提示] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．1．思考辨析(1)有向线段就是向量．( ）（2）两个向量的模能比较大小．（）（3)有向线段可以用来表示向量．( )(4)若a＝b,b＝c，则a＝c。

【知识梳理】知识点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r .4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算 1.运算定义 运 算 图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质：①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②(垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).注：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题. (1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba bθ⋅=⋅r r r r⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a 222221212121y x y x y y x x +++=222222222(3)(75)0,(4)(72)0.716150730802,112cos .602a b a b a b a b a a b b a a b b a b b a b b a b a b bθθ+-=--=+-=-+===∴===∴=or r r r r r r rg g r r r r g r r r r g r r r r r g r r r g r r r g 由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，例10.已知向量(cos(),sin()),(cos(),sin())22a b ππθθθθ=--=--r r ，（1）求证：a b ⊥r r ;（2）若存在不等于0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =++=-+r r r u r r r 满足x y ⊥r u r 试求此时2k t t+的最小值。

1．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________．2．在下列命题中，正确的序号是__________．①若|a |>|b |，则a >b ②若|a |＝|b |，则a ＝b③若a ＝b ，则a 与b 共线 ④若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．下列说法中正确的个数是__________．①零向量是没有方向的②零向量的长度为0③零向量与任一向量平行④零向量的方向是任意的⑤零向量只能与零向量共线4．下列4种说法，其中正确的个数是__________．①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一条直线上 ②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③与已知非零向量共线的单位向量是惟一的 ④四边形ABCD 是平行四边形能得出AB 与CD ，BC 与AD 分别共线的结论5．(1)若AB AD =，且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为__________． (2)已知四边形ABCD 中，12AB DC =，且A D B C =，则四边形ABCD 的形状是__________．6．设O 是正六边形ABCDEF 的中心，那么图中分别与向量OA ，OB ，CO 相等的向量有__________个．7．已知A ，B ，C 是直线l 上的顺次三点，指出AB ，AC ，BA ，CB ，BC 中，哪些是方向相同的向量？哪些互为相反向量？8. 如图，已知AD BC =，E ，F 分别是BC ，AD 上的点，且AB ＝BE ，CD ＝DF ，求证：EA CF =.9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？参考答案1.答案：圆2.答案：③解析：∵向量有大小与方向两要素，∴不能比较大小，①错；模相等，方向不一定相同，∴②错；不相等的向量可以共线，∴④错；相等向量必共线，∴③对．3.答案：3解析：由零向量的特点可知②③④正确．4.答案：1解析：只有④是正确的．5.答案：(1)菱形(2)等腰梯形=知，四边形ABCD的一组对边BA綊CD，∴为平行四边形．解析：(1)由BA CD=，即相邻两边长度相同，∴四边形为菱形．又AB AD(2)四边形ABCD满足一组对边平行且不等，∴为梯形．=，即两腰相等，∴为等腰梯形.又AD BC6.答案：2,2,3解析：由题图知，与OA相等的向量有CB，EF；与OB相等的向量有DC，FA；与CO相等的向量有OF，BA，DE.7.解：AB，AC与BC方向相同，BA与CB方向相同；AB与BA互为相反向量，CB与BC互为相反向量．=，8.证明：∵AD BC=.∴AD∥BC，AD BC∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝DC，又AB＝BE，DC＝DF，∴BE＝DF.∴AF＝AD－DF＝BC－BE＝EC.又AF∥EC，∴四边形AECF为平行四边形．∴AE綊CF..∴EA CF9.解：如图，A，B，C，D分别表示甲地，乙地，丙地，丁地，由题意知，△ABC是正三角形，∴AC＝2 000 km.又∵∠ACD＝45°，CD＝10002km，∴△ACD是直角三角形．∴AD＝10002km，∠CAD＝45°.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地10002km.。

第2章平面向量1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)．3．起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起．问题1：上述实例中的“位移”、“速度”、“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？提示：“位移”、“速度”、“力”既有大小，又有方向；长度、面积、重量只有大小，没有方向．问题2：如何表示上述既有大小又有方向的量？提示：用有向线段表示．向量的基本概念1．对向量的理解向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性且不能比较大小．2．对相等向量的理解(1)平面向量a 与平面向量b 相等，并不要求它们有相同的起点与终点．(2)将相等向量的起点平移到同一点，则这时它们的终点必重合．所以我们可以说：一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(3)若AB ＝CD ，CD ＝EF ，则AB ＝EF ，我们应该理解向量相等是可传递的． 3．共线向量的理解(1)平行(共线)的概念不是平面几何中平行概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关．(2)平行向量就是共线向量，任何一组平行向量都可移到同一条直线上．[例1] 给出下列命题：(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量的模一定是正数；(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(4)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．[思路点拨] 解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[精解详析] (1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误.0的模为零．(3)正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上．[答案] (3)[一点通] 理解向量的有关概念时，注意加以辨析：向量共线(平行)即表示共线(平行)向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以是平行的；而有向线段共线，即在同一直线上，有向线段平行，即所在直线是平行的．1．下列物理量中不是向量的有________(填序号)．①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功解析：由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．答案：①⑥⑦⑧2．下列命题中，正确的是________．(填序号)①若|a|＞|b|，则a＞b②若|a|＝|b|，则a＝b③若a＝b，则a与b共线④若a≠b，则a一定不与b共线解析：向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此①不正确．两个向量的模相等，但方向不一定相同，因此②不正确．相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此③正确．对于选项④，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故④不正确．答案：③3.给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是________．(填所有正确的序号)解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确； |a |＝|b |但方向可以任意， ∴②不成立；a 与b 反向必平行或重合，∴③成立；由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④成立； 两单位向量的模相等但方向不定，∴⑤不成立． 答案：①③④[例2] 如图所示，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中以任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径2倍的向量有多少个？[思路点拨] (1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与i AO (i ＝1,2，…，8)两类，一般地我们易想到i OA (i ＝1,2，…，8)这8个，而易遗漏i AO (i ＝1,2，…，8)这8个．(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量，例如边A 1A 3对应向量13A A 与31A A ，因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．[精解详析] (1)模等于半径的向量有两类，一类是i OA (i ＝1,2，…，8)共8个；另一类是iAO (i ＝1,2，…，8)也有8个．两类合计16个． (2)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A8．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍．所以模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16个．[一点通] (1)准确画出向量的方法：①确定向量的起点；②确定向量的方向；③根据向量的长度确定向量的终点．(2)向量的表示方法：①向量的几何表示在研究向量运算时，为应用向量处理几何问题打下了基础；②字母表示便于向量的运算．4．下图中，小正方形的边长为1，则|AB|＝______；|CD|＝________；|EF|＝________.解析：根据勾股定理可得|AB|＝32，|CD|＝26，|EF|＝2 2.答案：3 2 26 2 25.如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________________________．解析：满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：AC，CA，BD，DB；模长为3的向量有：AD，DA.答案：AC，CA，BD，DB，AD，DA6．如图，已知正方形ABCD边长为2，O为其中心，则|OA|＝________.解析：由于正方形的对角线长为22，∴|OA|＝ 2.答案： 2[例3] 如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量．[思路点拨] 相等向量考虑向量的方向和大小，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向．[精解详析] (1)与DE长度相等的向量是EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB.(2)与FD相等的向量是CE，EB.(3)与DE共线的向量是AC，AF，FC；与FD共线的向量是CE，EB，CB.[一点通] 向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等，同时方向相同时才称为相等的向量．即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．还要注意到零向量与零向量是相等向量．7．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，①图中与AB共线的向量有________________；②图中与AB相等的向量有________________；③图中与AB模相等的向量有________________；④图中与EC相等的向量有________________；⑤图中与AB互为相反向量的有______________．解析：①∵AB∥CD，A，B，E三点共线，∴AB与CD，BE、AE共线．②∵AB＝BE，且AB与BE方向相同，∴AB＝BE.③∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE，∴|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DA|＝|BE|.④∵EC綊BD，∴EC＝BD.⑤∵|AB|＝|CD|，且AB与CD方向相反．∴AB与CD互为相反向量．答案：①BE，CD、AE②BE③BC，CD，DA，BE④BD⑤CD8.如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AB|＝|AD|，则四边形ABCD为________．解析：由AB＝DC，可得AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又|AB|＝|AD|，所以AB＝AD.所以四边形ABCD为菱形．答案：菱形9．如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：(1)与CM模相等且共线的向量；(2)与ED相等的向量．解：(1)与CM模相等且共线的向量有：DE，ED，BF，FB，FA，AF，MC.(2)与ED相等的向量有FB，AF，MC.1．解决共线向量问题应注意以下几点(1)规定零向量与任意向量平行，由于零向量的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况．(2)两个非零向量共线或平行有以下四种情况：两个向量方向相同且模相等；两个向量方向相反且模相等；两个向量方向相同模不相等；两个向量方向相反且模不相等．通过以上的分析得出共线向量与相等向量是两个不同的概念，其区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定．(3)平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条直线上无关．2．向量平行与直线平行的区别(1)直线的平行具有传递性，即a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)向量的平行不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，因为若b＝0，它与任意向量共线，故a，c两向量不一定共线．课下能力提升(十三)一、填空题1．关于零向量，下列说法中正确的是________．①零向量是没有方向的②零向量的长度是0③零向量与任一向量平行④零向量的方向是任意的解析：零向量的方向是任意的，故①错误．答案：②③④2．给出下列五个命题：①两个向量相等就是它们的起点相同，终点相同；②若AB＝DC，则ABCD是平行四边形；③平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；④若m＝n，n＝k，则m＝k.其中不正确的命题是________．(填序号)解析：两向量相等不一定起点相同，终点相同，故①不正确．②也不正确，因为A，B，C，D 可能在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行．③④正确．答案：①②3．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m ＝________.解析：∵A，B，C不共线，∴AB与BC不共线．又∵m与AB，BC都共线，∴m＝0.答案：04．如图，O是正三角形ABC的中心；四边形AOCD和AEBO均为平行四边形，则与向量AD相等的向量有________；与向量OA共线的向量有______；与向量OA的模相等的向量有________．(填图中所画出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴结合相等向量及共线向量定义可知：与AD相等的向量有OC；与OA共线的向量有DC、EB，与OA的模相等的向量有OB、OC，DC，EB，AD.答案：OC DC，EB DC，EB，OB，OC，AD5．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{PQ |P，Q∈M，且P，Q不相等}，则集合T有________个元素．解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量不是各不相等的，它们有12个向量各不相等，即为AO (OC)，OA (CO)，DO (OB)，AD (BC)，DA (CB)，AB (DC)，BA (CD)，BO (OD)，AC，CA，BD，DB，由元素的互异性知T中有12个元素．答案：12二、解答题6．如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．(1)图中与向量AB相等的向量有哪些？(2)图中与向量AB共线的向量有哪些？解：(1)与向量AB相等的向量有CE，DC；(2)与向量AB共线的向量有DE，DC，CE.7．下图是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格顶点处的向量中，试问：与向量AB相等的向量共有几个？与向量AB相反的向量共有几个？与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？解：与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB自身)；与向量AB相反的向量共有6个；与向量AB平行且模为2的向量共有24个；与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．8．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．(1)写出与DA平行的向量；(2)写出与DA的模相等的向量．解：(1)与DA平行的向量有：AD，BC，CB；(2)与DA的模相等的向量有：AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.。