2018秋华师大版八年级数学上册课件：小专题12 等腰三角形的小综合(共10张PPT)

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我们，还在路上……
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线 和底边上的高互相重合”.
三条边都相等的三角形是等边三角形。 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都 等于60°.
练习
1.在△ABC中，AB＝AC， (1)若∠A＝72°，其余两角各是多少度？
(2)若有一个角为72°，其余两角各为多少 度？
(3)BD为△ABC的底角平分线，且△ABD也是 等腰三角形，各角的度数可能会是多少？
A
解：
B
D
C
(1) ∵AB = AC，D是BC边上的中点（已知）
∴AD⊥BC, ∠BAD =∠CAD(等腰三角形 “三线合一”)
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义)
(2) ∵∠BAD +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°
2.等腰三角形各部分的名称是什么？
相等的两条边 腰
A 顶角
两腰的夹角
顶角
第三条边 腰与底的夹角
底
腰
底角
底角
腰 底角
B底 C
3.请大家观察自己所画的等腰三角形，能发现 它有什么特征吗？
实验：请同学们把自己画的等腰三角形剪下 来，再用折纸的方法把它的两腰叠在一起， 从实验中能得到什么结论？
A
A
B
C
B BBB
∵ AB=AC （已知）, B D C
∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）, 此时AD还是什么线?
∴ △ABD≌△ACD（SAS）.
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.

A
C D
求证
A 等腰三角形的两个底角相等
如图，△ABC中，已知 AB=AC 求证：∠B=C
B
C 分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的AD，
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC ∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是 10cm、11；cm
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是 19cm。
活动1： 实践观察，认识等腰三角形
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕AD对折，除两腰重合 外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
D
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
D
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
D
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
13.3等腰三角形
三角形的三角及三边关系： 三角形的三个内角之和为180度；两边之和
大于第三边，两边之差小于第三边。
按边分类:
三角形
不等边三角形: 三条边都不相等 等腰三角形 底边和腰不等的等腰三角形
三条边都相等的等边三角形
温故而知新
有两边相等的三角形是等腰三角形
A
顶
腰
角
腰

如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分 ∠ACB。
（１）请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论?并说明理由.
①AB=AC, △ABC是等腰三角形。 ② ∠1= ∠2= ∠3= ∠4 ③BF=CF,△BCF是等腰三角形。
（２）如果过点F作EG ∥BC，你又会 发现什么结论？
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
DC
证法二：作BC边上的高AD
∴ ∠ADB＝∠ADC=90°
A
在△BAD和△CAD中
∠B＝∠C
∠ADB＝∠ADC=90°
∟
AD＝AD ∴ △BAD≌△CAD（A.A.S）
B
D
C
∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理2：
注意：在同 一个三角形
2、如图，△ABC中，AB=AC，∠ACD=120°，则 （ C）
A
A. △ABC是钝角三角形
B. △ABC是直角三角形
B
C. △ABC是等边三角形
C
D
D. △ABC是不等边三角形
思考
如图，已知△ABC是等边三角形，点D
是AC的中点，EC⊥BC，且EC=BD。求
证：△ADE是等边三角形。 A
E
D
B C
13.3.2 等腰三角形的判定
教学目标
知识与技能：通过动手操作，探索并掌握辨认一个三角 形是等腰三角形的方法
过程与方法：理解并掌握“等角对等边”，体会与 “等边对等角”的互逆关系，能够利用三角形的辨认方法 去解决问题
情感、态度与价值观：提高学生的动手能力，学会数 学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角 形的对称美。

B
D
C
∴ ∠ADC = ∠ADB= 90°
∵ ∠ 1 =180° - ∠A数学教材编写】 13
随堂演练
1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_° 2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 __3_5_°__,3_5_°
13.3 等腰三角形
1. 等腰三角形的性质
华东师大八年级上册
【根据最新版数学教材编写】 1
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【根据最新版数学教材编写】 2
推进新课
一.基本概念
等腰三角形
1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , ABC 就是等腰三角形
顶角
2.等腰三角形的基本要素: 相等的两边叫做腰 另一边叫做底边
合。
【根据最新版数学教材编写】 10
等腰三角形的性质
A
①在ΔABC中，∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
②在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD⊥BC，
∴∠B__A_D_ = ∠C_A__D_，_B_D_= _C_D_ B D C
（2）∵AD是中线，
等腰三角形底边上
的中线和高线、顶
∴_A_D_⊥_B_C_ ，∠_B_A_D_ =∠_C_A_D_ 角的平分线互相重
在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰 AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
A
A
观察后你发现了什么现象？
B D CB
D
C
【根据最新版数学教材编写】 5
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD AD＝AD

符号语言表示？试一试。
A
注意： 在 一个 三角形中,等边对B 等角。C
用符号语言表示为：
在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C (等边对等角）
自学指点：
自学课本96页例1是如何求∠C 和∠A的度数的，掌握解题格式。组 内分析后练写解题过程。
例1
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。
4 等腰三角形的两边长分别为5cm和6cm,则它的周长为 _1_6c_m_或__17. cm
5 如图，在△ABC中，AB=AC，且∠BAC= 120° AD⊥BC ，求
∠B，∠C ∠BAD ∠cAD的度数．
A
1BDC来自谈谈你本节课的收获。还 有哪些需要反思？
A 12
DC
写一写：
自学课本96页例2，书写解 题过程，有问题的组内互帮。
例2
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30。求∠１和∠ADC的度数．
A 1
B
D
C
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三 角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系 重物的绳子正好经过三角板底边中点，就 说房梁是水平 的，你知道其中 反应了什么数学 原理?
议一议：
在你所画的等腰三角形上，继续视察 折痕AD所分开的两部分，你还有新的发 现吗？组内讨论。
验一验：
A
画出任意一个等
腰三角形的底角平分
线、腰上的中线和高，
看看它们是否重合？
E
D
F
B
C
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠1___=∠_2__，B__Ｄ__=_C_D__； （2）∵AB=AC，AD是中线， ∴（3∠）1＿∵=A∠B2＿=A，C_A，_D_A_⊥D是_B_C角__平；分线，B ∴_A_D__⊥_B_C__，B__Ｄ__=_C_Ｄ__。

BD C
知识运用
1、填空
（1）等腰三角形一个底角为70°,它的另外两个为 。 （2）等腰三角形一个顶角为80°,它的另外两个角为 。 （3）等腰三角形一个角为50°,它的另外两个角为 。
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
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我们，还在路上……
看一看
△ABC有什么特点?
提问：剪出的三角形是等腰三角形吗？ 并指出其中的腰、底边、顶角、底角。
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？ 并指出重合的部分是什么？
A
B
C
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？ 并指出重合的部分是什么？
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时22分22.4.1218:22April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时22分52秒18:22:5212 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
边BC上的中线
求证：AD平分∠BAC ，AD⊥BC
A
C
B
D
归纳： 师生共同归纳等腰三角形的性质
我得出了：等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）。
A
（2）等腰三角形的顶角平线、底边上中线、
底边上的高线相互重合（简写成“三线 合一”）
B
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（底边上

错，因为都不是在同一个三角形中。
我们一起做
1、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC
斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三
角形。
C
A
D
B
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，
OA=OB。
求证：OC=OD。
反馈检测
A1
5.已知：如图，∠CAE 是⊿ABC的外角，
2D
∠1=∠2，AD∥BC。
求证： AB=AC E
B
C
概括整合
1.等腰三角形的判定方法：
①定义法 ②判定定理
2.运用等腰三角形的判定定理 时，应注意 在同一个三角形中
3.“等角对等边”是判定两条线段相等 的又一依据。
4.用“构造法”证明定理
A
证明: 作∠BAC的平分线AD
则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
12
∠1=∠2 ∠B=∠C
B
DC
AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (A.A.S.)
你还有其 他证法吗?
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等 (简写成“等角对等边”)。A
创设情境
思考：如图，位于海上A、B两处的两艘救生船 接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果 这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时
赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
O
A
B
1、等腰三角形的定义：
既是定义又
是判定 A
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。

文字叙述
等腰三角形的性质
几何语言
等腰三角形的两底角相 等（简称在同一个三角 形中，等边对等角）
A BC
在△ABC中，
∵AB=AC ∴∠B=∠C
同步练习
判断下列语句是否正确。
（1）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60 °（ ）.
（2）等腰三角形的底角一定是锐角（ ）. （3）钝角三角形不可能是等腰三角形 （×）.
Ａ
∴ ∠B=∠C
(在同一个三角形中，等边对等角）
Ｂ
Ｄ
Ｃ
例1、已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠ B = 80°.
求: ∠ A和 ∠C的度数。
变式: 已知：等腰三角形的一个内角为 50 ° 求: 另两个角的度A数.
B
C
1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角
为__7__5_°__,_3_0_°____
证明：作底边上中线AD
在ΔBAD和ΔCAD中 AB=AC（已知）
ＢＤ＝ＣＤ（辅助线作法）
A 12
AD=AD（公共边）
∴ ΔBAD ≌ΔCAD（SＳS）B D
C
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等。
简写成：在同一个三角形中，等边对等角.
已知： ΔABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
B
C D
发现1：
等腰三角形是一个
轴对称图形．
A
它的对称轴就是折 痕AD所在的直线．
B
C
D
视察这个等腰三角形，有哪些相等的线段 和相等的角呢?
两腰 对折
发现2：等腰三角形的两个底角相等。
Ａ
Ｂ Ｃ
等腰三角形的两个底角相等。