数据库关系运算理论(2)

（运算不仅涉及行而且涉及列）
、求商÷
①
合并
具有相同属性集的两个关系R1，R2
的合并，是由属于R1或属于R2（或属于两
者）的所有元组t（不计重复元组）组成 的一个新的关系，新关系具有和R1相同
的属性名集合。
运算符：“∪” 记为： R1∪R2
例如
R
A 1 B 2 C 3 A 7 4 5 A B 2
S
（2） W=（T╳S）-R （计算T╳S中不在R的元组）
除运算是同时从行和列角度进行运算
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象集
给定一个关系R(X,Y)，X和Y为属性组。定 义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：
Yx ={t[Y]|t∈R,t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Y上各 分量的集合。
Y为R中的一个属性组，Y={yi1,yi2…yik}， t[Y]=(t[yi1],t[yi2]…t[yik])表示R中的元 组t在属性组Y上各分量的集合
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t[Y]
因此，求R÷S的操作步骤如下： (1)将R中属性分为两个集合X和Y， R(X,Y），其中Y就是S中的前半部分
属性的集合,S(Y,Z)。 (2)若X的某个值x的象集Yx Yx={t[Y]∣t∈R∧t[X]=x} 包含S表中t[Y]的所有元组 ，则 将x放入结果集中。
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例如：
X
A a a a b e e B b b b c d d C c e d e c e
什么是自然联结
自然联结是一种特殊的等值联结 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属 性组 在结果中把重复的属性列去掉 自然联结的含义 R和S具有相同的属性组B

R S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[B] =ts[B] }
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一般的联结操作是从行的角度进行运算。
R AθB S={trts |tr∈R∧ts∈S∧tr[A]θts[B]}
其中A和B分别为R和S上度数相等并且可 比的属性组。θ是比较运算符。联结运算 从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取R关系在 A属性组上的值与S关系在B属性组上的值满 足比较运算符θ的元组。
两类常用联结运算

等值联结（equijoin）
投影操作主要是从列的角度进行运算
π

但投影之后不仅取消了原关系中的某些列， 而且还可能取消某些元组（避免重复行）
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投影（续）
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个 属性上的投影 πSname，Sdept(Student) 或 π2，5(Student) 结果：
年 龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sd
选择（续）
课程号 Cno 1 2 3 4 5 6 课程名 Cname 数据库 数学
Course
先行课 Cpno 5 1 6 7 学分 Ccredit 4 2 4 3 4 2
信息系统 操作系统 数据结构 数据处理
7
PASCAL语言
(b)
6
4
19
选择（续）
SC
学 号
Sno 95001 95001
课程号
Cno 1 2
成 绩
Grade 92 85
95001
95002 95002
3
2 3
(c)
88
90 80
20
选择（续）
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生 σSdept = 'IS' (Student) 或 σ5 ='IS' (Student) 结果：
R
S
AθB
自然联结还需要取消重复列，所以是同 时从行和列的角度进行运算。
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[例5]
A a1 a1 a2 a2 B b1 b2 b3 b4 C 5 6 8 12
B b1 b2 b3 b3 b5
E 3 7 10
2 2
R
S
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R
C ＜E
S
A R.B C S.B E
a1
a1 a1 a1 a2
b1
b1 b2 b2 b3
运算符
运算符
运算符
运算符
1.关系代数的基本操作
（1）定义
关系代数是一组建立在关系上的高级 运算，每个运算都以一个或多个关系作为 它的运算对象，并且生成一个关系作为运 算结果。
(a) 运算对象：关系
(b) 运算结果：关系
(2) 关系运算分类
(a)传统的集合运算： 合并∪ 、相交∩ 、求差-（相减）、 笛卡尔积× (运算从关系的水平（行）的角度来进行） (b)专门的关系运算： 选择σ 、投影π 、联接
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投影（续）
Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 Sdept
CS
IS MA IS
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投影（续）
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系 πSdept(Student)
结果：
Sdept CS IS MA
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⑦ 联结
联结也称为θ联结，它是从两个关系的 笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元 组。记作：
Y S
B C
Z
D
A a1
a2
a3 a1 a4 a2
b3
b4 b2 b6 b2
c7
c6 c3 c6 c3
b1 c 2 d1
b2 c 1 d1
b2 c 3 d2
(1)当x=(a1)时 其象集为
B b1 b2 b2 C c2 c3 c1
a1
b2
c1
X可以取值为{a1,a2,a3,a4}
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(2)当x=(a2)时 (3)当x=(a3)时 (4)当x=(a4)时 其象集为 其象集为 其象集为
B 8 5 1 C 3 C 9 6 12
4
7
5
8
6
9
R∪S的结果为：
1
4
7 5
5
8 1
6
9 12
② 差（相减）
具有相同属性集的两个关系R1, R2
的求差，是由属于R1而不属于R2的所有
元组t组成的一个新的关系，新关系具 有和R1相同的属性名集合。
运算符：“－”
记为： R1- R2
例如
R
A 1 B 2 C 3 A 7 4 5
R÷S是满足下列条件的最大关系：最 大关系中每个元组 t 与 S 中每个元组 u 组成 的新元组〈t,u〉必在关系R中。
为了方便起见，我们假设关系 S 的属 性为关系R中后S个属性。
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则R÷S的具体计算过程如下：
（1） T=Π1,2,…m-n（R） （3） V=Π1,2,…m-n（W）
（4） R÷S=T-V 即 R÷S=Π1,2,…m-n （ R ） -Π1,2,…m-n （（Π1,2,…m-n （R）╳ S）-R）
S
B 8 5 1 C 9 6 12
4
7
5
8
6
9
R-S的结果为：
A 1
B 2
C 3
③ 笛卡尔积
两个关系R,S（设R为k1元关系，M个元组，S
为k2元关系，N个元组）的广义笛卡尔积，是一个 （K1+K2）列的元组的集合，是由属于R1的任何一 个元组tk1和属于S的元组tk2连接而成的新元组t所 组成的一个新关系。（新关系中元组的前K1列是关系
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选择运算是从行的角度进行的运算
σ
例如 设有一个学生-课程数据库，包 括学生关系Student、课程关系 Course和选修关系SC。
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选择（续）
学 号 Sno 95001 95002 95003 95004 姓 名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性 别 Ssex 男 女 女 男
Student
Y
D d f e f d f
Y S
C D
R
c
e
d
f
当x=(b,c)时， 其象集Yx为：
C
e
D
f
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当x=(a,b)时， 其象集Yx为：
C c e d D d f e
当x=(e,d)时， 其象集Yx为：
C
c e
D
d f
X
R÷S的结果为：
A a e B b d
45
例： R÷S
X
R
Y
B b1 C c2
自然联接
R
A a d b c B b b b a C c c f d B b b a
S
C c c d D d e b A a
R
B b
S
C c D d
a
d d c
b
b b a
c
c c d
e
d e b
等值联接
R
A a d b c B b b b a C c c f d B
b
S
C
c
R 3=2 S
D
d
A R.B R.C S.B S.C D
5
5 6 6 8
b2
b3 b2 b3 b3
7
10 7 10 10
33
等值联结 R
A
R.B=S.B
S
C S.B E
R.B
a1
a1 a2 a2
b1
b2 b3 b3
5
6 8 8
b1
b2 b3 b3
3
7 10 2
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自然连接 R
A
a1
S
B
b1
C
5
E
3
a1
a2 a2
b2
b3 b3
6
8
7
10
8
2
35