高中数学选修(2-3)综合测试题(2)附答案

选修2－3模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)的解集为()1．方程C x14＝C2x－414A．{4} B．{14}C．{4,6} D．{14,2}得x＝2x－4或x＋2x－4＝14，解得x＝4或x＝6.经检验知x＝4或解析：由C x14＝C2x－414x＝6符合题意．答案：C2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种I C电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种B．8种C．6种D．9种解析：要完成的“一件事”是“至少买一张I C电话卡”，分3类完成：买1张I C卡、买2张I C卡、买3张I C卡．而每一类都能独立完成“至少买一张I C电话卡”这件事．买1张I C卡有2种方法，买2张I C卡有3种方法，买3张I C卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．答案：A3．如果χ2＝5.024，那么认为“X与Y有关系”的把握有()A．75% B．90%C．95% D．99%解析：∵χ2＝5.024>3.841，∴有95%的把握认为“X与Y有关系”．答案：C4．已知离散型随机变量ξ的分布列如下，则其数学期望Eξ＝()A.1C．2＋3m D．2.4解析：由分布列的性质知0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，所以Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案：D5．(2x －12x )6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：由题知(2x －12x)6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3， 故常数项为(－1)3C 36＝－20. 答案：B6．3个人坐在一排6个座位上，3个空位只有2个相邻的坐法种数为( ) A ．24 B ．36 C ．48D ．72解析：先将三个人排好，共有6种排法，空出4个位，再将空座位插空，有4×3＝12种排法，故有6×12＝72种排法．答案：D7．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A ．110B ．310C ．35D ．910解析：“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因而所求的概率P ＝1－C 33C 35＝1－110＝910.答案：D8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A ．35B ．25C ．110D ．59解析：记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59. 答案：D9．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：A ．99.9%B ．99%C ．95%D ．90%解析：利用题中列联表，代入公式计算．χ2＝100×(50×25－10×15)265×35×60×40≈22.16>6.635，所以我们有99%的把握认为吸烟量与年龄有关． 答案：B10．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则Eη和Dη的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析：∵ξ～B (10,0.6) ∴Eξ＝10×0.6＝6， Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4. ∵ξ＋η＝8， ∴η＝－ξ＋8，∴Eη＝－Eξ＋8＝－6＋8＝2.Dη＝(－1)2Dξ＝2.4. 答案：B11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的件数，则Dξ＝( )A ．35B ．1115C ．1415D ．2875解析：ξ的所有可能取值是0,1,2.则 P (ξ＝0)＝C 27C 210＝715.P (ξ＝1)＝C 17C 13C 210＝715.P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115.所以，ξ的分布列为于是E ξ＝0×715＋1×715＋2×115＝35，D ξ＝ i ＝1n(x i －EX )2P i ＝2875.答案：D12．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：基本事件共有A 55＝120种，同一科目的书都不相邻的情况可用间接法求解，即A 55－A 22A 22A 23×2－A 22A 22A 33＝48，因此同一科目的书都不相邻的概率是25. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2012·浙江高考]若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10.答案：1014．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P (12<ξ<52)的值为__________．解析：P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝115＋215＝15.答案：1515．在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________．(精确到0.001)解析：设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝5，于是中奖的概率为P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 45C 15C 510＋C 55C 510≈0.103.答案：0.10316．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.解析：设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则Eξ＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果．现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用．问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？解：由于要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序依次放入某种液体中，因此需要分步计数．由于同一类物质不同的放入顺序，反应结果可能会不同，因此这是一个排列问题．第1步，放入甲类物质，共有A 23种方案； 第2步，放入乙类物质，共有A 35种方案．根据分步乘法计算原理，共有A 23A 35＝360种方案．因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果．18．(12分)[2014·深圳高二检测]在二项式(3x －123x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n(3x )n －r(－123x )r ＝(－12)r C r n x 13n －23r 由前三项系数的绝对值成等差数列，得 C 0n ＋(－12)2C 2n ＝2×12C 1n ，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第4项为： T 4＝(－12)3C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为(－12)4C 48＝358. 19．(12分)[2014·湖南高考]某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的分布列为数学期望为EX ＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋132015＝210015＝140.20．(12分)某运动项目设计了难度不同的甲乙两个系列，每个系列都有K ，D 两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每位运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作情况如下表：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；(2)若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列．解：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列． 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40>115， 可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20<115，不可能获得第一名． 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A ， 记“该运动员完成D 动作得40分”为事件B ，则P (A )＝34，P (B )＝34，由事件A 与事件B 相互独立，记“该运动员获得第一名”为事件C ，法一：依题意得P (C )＝P (AB )＋P (A B )＝34×34＋14×34＝34.∴该运动员获得第一名的概率为34.法二：由题意可知，该运动员只要D 动作得40分就获得第一名，则P (C )＝P (B )＝34.(2)若该运动员选择乙系列，ξ可能取得的值为50,70,90,110. 则P (ξ＝50)＝110×110＝1100，P (ξ＝70)＝110×910＝9100，P (ξ＝90)＝910×110＝9100，P (ξ＝110)＝910×910＝81100ξ的分布列为：21.(12分)km 时，租车费为10元；若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km .某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收费用为η.(1)求费用η关于行车路程ξ的关系式； (2)若随机变量ξ的分布列为求所收费用η(3)已知某旅客实付费用38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计多长时间？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10， 即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N ；(2)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝E (2ξ＋2)＝2Eξ＋2＝34.8(元)， 故所收费用η的数学期望为34.8元． (3)由38＝2ξ＋2，解得ξ＝18，故停车时间t 转换的行车路程为18－15＝3 km ， ∴3×5≤t <4×5，即出租车在途中因故停车累计时间t ∈[15,20)．22．(12分)[2013·安徽高考]某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n，故P (A )＝P (B )＝1－k n ，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－(1－k n )2＝2kn －k2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为C k n C 2k －mk C m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －k n －k .此时 P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k n －k (C k n )2＝C m －k kC m －kn －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －kn －k ≤C m ＋1－kkC m ＋1－kn －k⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m ) ⇔m ≤2k －(k ＋1)2n ＋2.假如k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t .故P (X ＝m )在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和m ＝2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2k －[(k ＋1)2n ＋2]处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t .因为1≤k <n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0.而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0，故2k －(k ＋1)2n ＋2<n ，显然2k －(k ＋1)2n ＋2<2k .因此k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<1.。

一、选择题1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.22．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39243．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．794．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题中真命题是（ ）（1）在18的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）7．设102x <<，随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2P0.50.5x -x则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ增大，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ减小，()D ξ增大8．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．389．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于 A ．715B ．815C ．1415D ．110．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常12．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X==________.16．若随机变量3~34X B⎛⎫⎪⎝⎭，, 则方差()D x=____________.17．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X的均值EX=_____.18．小李练习射击,每次击中目标的概率均为13,若用ξ表示小李射击5次击中目标的次数,则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是____.19．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____.20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让斑马线"驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”.试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布()~8,9X N ，求该月没能在 14天内缴纳人数. 参考公式：()()()112211ˆˆˆ,nni i i ii i nniii i x x y yx y nxybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑()()()0.6826,220.9544,330.9974P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=-<<+=22．某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．23．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下： 日组装个数 [)155,165[)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[]205,215人数6123430108（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.24．某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A 项技术指标达标的概率为3,4B 项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品.（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列. 25．近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出一周内每一天使用刷脸支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：（1）在推广期内，与y c d =⋅（均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用刷脸支付的人次；（3）已知一瓶该饮料的售价为2元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有10%使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有40%使用扫码支付，使用扫码支付享受8折优惠；有50%使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.参考数据：其中1i i v g y =，7117i i v v ==∑参考公式：对于一组数据1122,),,(,)n n x v x v ，其回归直线ˆˆˆv a bx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆ,ni i i nii x v nxvbxnx==-=-∑∑ˆˆa v bx=-. 26．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.2．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案． 【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次： 两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.3．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.5．C解析：C【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性. 【详解】()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()D ξ增大 故答案选B 【点睛】本题考查了()E ξ和()D ξ的计算，函数的单调性，属于综合题型.8．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．10．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．11．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．【分析】根据题意求出家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家公司排名不变的概率根据题意满足二项分布根据二项分布概率计算即可【详解】解：首先在一轮测试中家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家解析：572【分析】根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意满足二项分布，根据二项分布概率计算即可. 【详解】解：首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为255522011206C A ⨯==， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为16P =, 故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为223155()6672C ⨯⨯=. 故答案为：572. 【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.14．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为 解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.15．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据 解析：20243【分析】根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可． 【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验， 故1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即有6612()()()33k kk P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．42641220(4)()()33243P X C ∴==⨯=．故答案为：20243【点睛】本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．16．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可 解析：916【分析】利用方差公式()D x npq =，即可得出答案． 【详解】结合方差()31934416D x npq ==⋅⋅=． 【点睛】本题考查了方差计算公式，记住()D x npq =，即可．17．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．18．【解析】试题分析：的可能取值是012345 0 1 2 3 4 5 考点：期望方差的计算解析：510 , 39【解析】试题分析：ξ的可能取值是0,1,2,3,4,5,012345．考点：期望、方差的计算．19．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552.【解析】分析：由n次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P(ξ=4)=435⎛⎫⎪⎝⎭=0.129 6,P(ξ=3)=33432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.345 6,P(ξ=2)=222432C?·55⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P(ξ=1)=31432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P(ξ=0)=425⎛⎫⎪⎝⎭=0.025 6.由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点 解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）ˆ8124yx =-+；（2）达到“理想状态”；（3）2. 【分析】（1）请根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算6x =时ˆy的值，比较即可得出结论； （3）根据正态分布的性质，结合()2140.9544P X <<=即可得答案. 【详解】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=；12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()nii i nii xx y y bxx ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=； y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124y x =-+；（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=； 且807645-=<，6∴月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为X 服从正态分布()~8,9X N ， 所以()2140.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=， 【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+. 22．（1）710p =；（2）分布列见解析，()116E ξ= 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系得到人数，再计算概率得到答案.（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，计算概率得到分布列，再计算数列期望得到答案. 【详解】（1）根据茎叶图：“高个子”有12个，“非高个子”有18个， 故抽取的“高个子”为125230⨯=个，抽取的“非高个子”有3个. 至少有一人是“高个子”的概率为232537111010C p C =-=-=. （2）身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男，女各有3人和2人， 故ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 故()1113206p ξ==⨯=，()11111321323p ξ=⨯+⨯==， ()1113226p ξ==⨯=， ()1113236p ξ==⨯=，()1113246p ξ==⨯=.故分布列为：故()01234636666E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了分层抽样，概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 23．（1）149204（2）（i ）3173人（ii ）75 【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数185μ=，结合σ公式求得()10.68271980.158652P X ->==，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为185以上的概率为0.5.设三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，增加的日工资总额为η，得到ξ服从二项分布，由50ηξ=求得期望【详解】（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A ，则()3123181491204C P A C =-=，（2）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）又2169σ=，所以13σ=，所以185μ=，13σ=， 所以198μσ+=.（i ）()10.68271980.158652P X ->==， 所以日组装个数超过198个的人数为0.15865200003173⨯=（人）（ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5.设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则50ηξ=，且()~3,0.5B ξ，所以()30.5 1.5E ξ=⨯=，所以()()5075E E ηξ==. 【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题 24．（1）3536；（2）见解析 【分析】(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率； (2)由题意知，2~4,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()0P ξ=，(1)P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，()4P ξ=的值，从而可求出分布列.【详解】(1)设:M 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则38()1-11493635P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)依题意知2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则411(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1314218(1)3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为：本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出ξ每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.25．（1）x y c d =⋅适宜（2）23.210320y =⨯=，活动推出第8天使用刷脸支付的人次为320（3）平均花费为251150（元） 【分析】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜；（2）把x y c d =⋅，两边同时取常用对数，1gy 11gc gd x =+⋅，则lg y 与x 两者线性相关，根据已知条件求出lg y 关与x 的线性回归方程，进而转化为y 关与x 的线性回归方程；（3）记购买一瓶该饮料的花费为Z （元），则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，求出Z 的分布，进而求出Z 的期望. 【详解】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；。

高中数学选修2-3计数原理测试题（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则TS 的值为___________．12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为 ．13．在(x-1)11的展开式中，x 的偶次幂的所有项的系数的和为 .14． 六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是 ． 15. 用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .三、解答题（共计75分） 16．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线? （2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条? （4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量? 17．（12分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项?18．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}， 事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340， 所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数， 则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积， 则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。