河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学(文)试题

2021年河南省洛阳市汝阳县第一高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若命题“?x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）参考答案：A考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．解答：解：命题“?x0∈R，使得”的否定为：“?x0∈R，都有”，由于命题“?x0∈R，使得”为假命题，则其否定为：“?x0∈R，都有”，为真命题，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．点评：本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．2. 如右图，该程序框图运行后输出的结果是（）A．7 B．15 C．31 D．63参考答案：D略3. 设集合，则（）A． B．C． D．参考答案：D考点：1、集合的表示；2、集合的并集及补集.4. 已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，，，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中的两动点，且，，则（）A. 3B. 4C. 6D. 8参考答案：B【分析】建立直角坐标系，写出B,E,F的坐标，设M(x,y,z)的坐标，由，得出M的轨迹，同理得出N的轨迹，由向量的数量积得出即可.【详解】建立直角坐标系如图所示，，底面为等边三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),点为的中点，所以E（，，0）点为的中点，F（-，-，0），设M（x,y,z）,，所以，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且，所以MN为球的直径，=.故选：B【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，球的几何性质和数量积的运算，属于中档题.5. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（）参考答案：A由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系数为，故选6. “x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x＞0”?“x≠0”；反之不一定成立，因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件，故选A．点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．7. 一质点运动时速度与时间的关系为，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为 ( )A. B. C.D.参考答案：A略8. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：A第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.9. 已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：C10. 设是定义在R上的奇函数，,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A.（，）∪（，）B．（，）∪（，）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点．【考点】线性回归方程．【分析】直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可．【解答】解：由题意可得： =， =4．可得样本中心（）．y与x的回归直线方程必过定点：（）．12. 已知命题，命题成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是_ _ ．参考答案：【知识点】命题的关系.A2【答案解析】-2<m<0 解析：解：由命题的真假可知p且q成立，则p与q都是真命题，所以【思路点拨】根据已知条件，可先判定两个命题的真假，再分别求出两个命题中m的取值范围，最后求出结果.13. 函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是__________．参考答案：14. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故15. 若是奇函数，则实数=_________。

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

精品解析：洛阳市示范高中2020届高三联考数学（文）试题解析（学生版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合{}3,2a M =，{},N a b =，若{}2M N ⋂=，则M N ⋃=（ ）A ．{}0,1,2Ｂ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,32．已知212zi i=-+(z 是z 的共轭复数)，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B 第二象限C 第三象限D 第四象限3．若3sin 5α=，α是第二象限的角，则2) (4cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-παA25-B 725-C25D7256．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ） A.//a b ，//b α，则//a α B. a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ C. a α⊥，//b α，则a b ⊥D. 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a∥b7．函数y ＝cos2x 的图像可以看作由y ＝32cos2x ＋sinxcosx 的图像（ ）得到． A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π单位长度 D ．向右平移6π单位长度 8.已知x 是函数f(x)=2x+ 11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则A ．f(1x )＜0，f(2x )＜0B ． f(1x )＜0，f(2x )＞0C ． f(1x )＞0，f(2x )＜0D ． f(1x )＞0，f(2x )＞09．若4ln ,3ln 2ln ,46ln 22π=•==c b a ,则a,b,c 的大小关系是 （ ） A a>b>cB c>a>bC c>b>aD a>c>b12．定义()()max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足1,1≤≤y x ，设{}max ,2z x y x y =+-，则z 的取值范围是 （ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23 B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,23 C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_______.14.ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且CB CA AB OA O AC AB OA •==++则,,2等于_________15．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、 (6)．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩……仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是59，则m= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，152433,14,a a a a ⋅=+=n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 若数列{}n a 的公差为正数,数列{}n b 满足1n nb S = , 求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下：（Ⅰ） 现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适?请说明理由；（Ⅱ） 若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A 、B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝4， G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：AG ∥平面PEC ； （Ⅲ）求点G 到平面PEC 的距离.20.（本小题满分12分）行.（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x｜x＞0}，B＝{x｜log2（3x－1）＜2}，则A．A∩B＝（0，53）B．A∩B＝（0，13]C．A∪B＝（13，＋∞）D．A∪B＝（0，＋∞）2．已知复数z满足z（1－i）＝2，其中i为虚数单位，则z－1＝A．i B．－i C．1＋i D．1－i3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（－3，4），则sin2α＝A．－1225B．－2425C．1625D．854．下图是我国第24～30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54．55．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S ＝272，则3915a a a ＋＋＝A ．64B ．48C ．36D ．246．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填A ．S ≥7?B ．S ≥21?C ．S ≥28?D ．S ≥36?7．已知()1252a ＝，259b ＝，2log 33c ＝，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b8．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （6，y 0）是C 上一点，｜AF ｜＝2p ，则p ＝A ．1B ．2C ．4D ．89．函数f （x ）＝lnx －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝A ．－1B ．14C ．12D ．1 10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE u u u r ·AB u u u r ＝A ．－3B ．－6C ．4D ．911．已知直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为A ．10B ．3C ．15D ．6 12．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为()f x '，当x ≥0时，恒有()3x f x '＋f （x ）＞0．则不等式x 3f （x ）－（1＋2x ）3f （1＋2x ）＜0的解集为A ．{x ｜－3＜x ＜－1}B ．{x ｜－1＜x ＜－13}C ．{x ｜x ＜－3或x ＞－1}D ．{x ｜x ＜－1或x ＞－13}第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2log 2121x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩－，＜，＝，≥，，则 f （f （0））＝__________． 14．数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2n －1，n a ＞20182成立，则n 的最小值为__________．15．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0关于直线x ＋y －1＝0的对称圆的标准方程为__________．16．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，点P 在直线l 上的投影为Q ，且当｜PF 2｜＋ ｜PQ ｜取最小值5时，12F QF S △的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－ （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数g （x ）＝f （x ）－m 在[0，2π]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并求tan （x 1＋x 2）的值．18．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，BC ＝4，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将△ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ；（2）若直线AB 与直线MN 所成角为4，求三棱锥P —ABC 的表面积．19．（本小题满分12分）已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，｜AB ｜＝3，BM u u u u r ＝2MA u u u r ．（1）求M 的轨迹C 的方程；（2）过点N （0，1）作两条互相垂直的直线l 1、l 2，与曲线C 分别交于P 、Q （不同于点N ）两点，求证：直线PQ 过定点．20．（本小题满分12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的质量，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．（1）根据乙生产线样本的频数分布表，在治疗指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述图表所提供的数据①绘制两条生产线合格率的等高条形图；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97．5％的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关?若有97．5％的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?21．（本小题满分12分）已知函数()4ln a f x x x x＝＋－，()x a g x e x x＝－－． （1）若f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，求a 的取值范围；（2）求证：当x ＞0时，f （x ）＋g （x ）＞8－8ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为13cos 3sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3πθ＝（ρ＞0），直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，点P （6，6π）． （1）求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 2交于点A ，曲线C 1与曲线C 2交于点B ，求△PAB 的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜＋｜x－1｜．（1）若不等式f（x）≤x＋m有解，求实数m的取值范围；（2）函数f（x）的最小值为n，若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝n，证明：4ab＋bc＋ac≥8abc．。

洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合{}0A x x =>，{}3B x x =≤，则集合A B =（ ）A. {}33x x -≤≤ B. {}30x x -≤< C. {}03x x <≤ D. {}3x x ≥-【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再进行并集运算即可.【详解】依题意，集合{}0A x x =>，{}33B x x =-≤≤，故{}3A B x x ⋃=≥-. 故选：D.2. 若复数()()112z i i =++，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，化简复数z ，从而得出共轭复数z ，再根据复数在复平面上的点的表示，可得选项. 【详解】∵()()21121+3+21+3i z i i i i =++==-，∴13z i =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为（13--，），位于第三象限． 故选：C ．3. 设数列{}n a 是等差数列，首项11a =，且34521a a a ++=，则数列{}n a 的前10项和等于（ ） A. 100 B. 84C. 42D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式计算即可求值.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，11a =，34521a a a ++= 所以13921a d +=，11a =， 解得2d =， 所以10109102=1002S ⨯=+⨯， 故选：A4. 命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，使得200210x x ++> B. 0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C. x R ∀∈，2210x x ++≤ D. x R ∀∈，2210x x ++< 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确书写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，使得200210x x ++≤”. 故选：B.5. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（ ）A. 2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. 2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】确定函数周期，再判断对称性．可得结论．【详解】由三角函数周期性知，C 中函数最小正周期是2412ππ=，其他三个函数的最小正周期都是22ππ=，把6x π=代入A 有2sin 2266y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭是最大值，因此6x π=是函数图象的对称轴； 代入B中有2cos 266y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭不是最值，因此6x π=不是函数图象的对称轴； 代入D 中有2sin 2063y ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，不是最值，6x π=是函数图象的对称轴；． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的周期性与对称性．对于三角函数()sin()f x A x ωϕ=+，可以结合正弦函数的性质求出对称轴和对称中心，如利用,2x k k Z πωϕπ+=+∈求得对称轴，利用,x k k Z ωϕπ+=∈求得对称中心坐标，再判断，也可用代入法，即若0()f x 是函数的最值（最大值或最小值），则0x x =是对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是对称中心．6. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a 平行于α内的无数条直线，则//a α B. 若//a α，//a b ，则b 平行于α内的无数条直线 C. 若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ D. 若//a α，αβ⊥，则a β⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面间平行与垂直的位置关系判断．【详解】当a α⊂时，α内也有无数条直线与a 平行，A 错；//a α，则α内有无数条直线与a 平行，而//a b ，那么这无数条直线中最多有一条与b 重合，其它的都与b 平行，B 正确；αβ⊥，a α⊂，b β⊂，a 与b 可能平行可能垂直，C 错；//a α，αβ⊥，则也可能有//a β，D 错误．故选：B ．7. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 2213y x -=D. 2213x y -=【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，c =，根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，由此可解得双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，c ，由已知条件可得20c ba a ⎧==⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因此，该双曲线的标准方程为2213y x -=.故选：C.8. 已知圆O ：224x y +=交x 轴正半轴于点P ，在圆O 上随机取一点Q ，则使2PQ <成立的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，再结合图形，利用几何概型公式即可得到答案. 【详解】如图所示：若当点Q 在1Q 和2Q 位置时，122PQ PQ ==. 又因为122OQ OQ OP ===，所以1OPQ △和2OPQ △为等边三角形，即1223Q OQ π∠=. 故2PQ <成立的概率2213223P ππ⨯==⨯. 故选：B9. 在ABC 中，2AB =，23A π=，()AB t AC t R -∈的最小值是（ ） A. 1 B.2 C.3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】设AD t AC =，则D 在直线AC 上，AB t AC DB -=，易知BD 最小时BD AC ⊥，由此可得结论． 【详解】设AD t AC =，则D 在直线AC 上，AB t AC AB AD DB -=-=，显然当BD AC ⊥时，BD 最小，如图，此时sin 33BD AB π==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最小值，解题关键是根据向量的线性运算，把AB t AC -转化为点B 到直线AC 上点的距离，由此易得最小值．10. 若函数()3211232x b f ax xc x =+++在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，则31b a --的取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求导后导函数为二次函数，根据极值的条件得到关于,a b 的不等式组，利用线性规划方法，画出可行域，将所求式子的值看做区域上点与定点的连线的斜率，根据直线斜率的变化规律求得取值范围. 【详解】∵()3211232x b f ax x c x =+++ ()22f x x ax b ∴=++'∵函数f (x )在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，()()()001020f f f ''⎧'>⎪∴<⎨⎪>⎩，即021020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 在直角坐标系aOb 中画出不等式组所表示的区域如图所示：这是由()()()2,0,1,0,3,1A B C ---为顶点的三角形及其内部区域，31b a --可看作区域上点(),P a b 与点()1,3M 的连线的斜率， 结合图形可知313,122b a -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和简单线性规划问题，属小综合题.关键点在于求得导函数后，结合二次函数的性质和函数取得极大值和极小值的条件，得到()()()001020f f f '''⎧>⎪<⎨⎪>⎩,得到a ,b ,c 满足的不等式组.然后解决由多个二元一次不等式组构成的条件下求表达式的取值范围问题，常见直线型目标函数，斜率型目标函数和距离型目标函数，利用数形结合方法求解是常用的思路.11. 已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.【详解】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-= 故选：A .12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≥时，()1f x '>，若()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫--≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围是（ ）A. ,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. ,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. ,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. ,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()sin g x f x x =-，已知条件可得()g x 是偶函数，在[0,)+∞上递增，不等式化为()3g t g tπ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，然后由单调性可求解． 【详解】设()()sin g x f x x =-，因为()()2sin f x f x x --=，所以()()sin()()sin ()sin()()g x f x x f x x f x x g x -=---=-+=-=，所以()g x 是偶函数，0x ≥时，()1f x '>，则()()cos 0g x f x x ''=->，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数．不等式()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫--≤+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由()g x 是偶函数得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，而()g x 在[0,)+∞上是增函数，所以3t t π≤-，解得6t π≤．故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题关键是构造新函数()()sin g x f x x =-，已知条件推导出()g x 的性质：偶函数，在[0,)+∞是递增，不等式化为与()g x 有关的不等式，应用偶函数定义和单调性质可求解．第Ⅱ卷二、填空题13. 已知函数()201,0x f x x x≥=⎨-<⎪⎩，则()4f =______．【解析】【分析】根据解析式直接求解即可.【详解】因为()2,01,0xxf xxx⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，所以(4)2f=，故答案：214. 已知角α的终边过点()2,1-，则sin cosαα的值是______．【答案】25-【解析】【分析】根据角α终边上的点()2,1-，利用三角函数的定义计算正余弦，即得结果.【详解】角α的终边过点()2,1-，sin5α=，cos5α=，故sin cos5525αα=-⨯=. 故答案为：25-.15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．【答案】12【解析】画出该几何体的直观图,根据椎体体积公式13V Sh =即可求解. 【详解】根据三视图，该几何体的直观图为四棱锥1-D AECD .故该几何体的体积()121111=1=3322V Sh +⨯=⨯. 故答案为：12. 【点睛】三视图的题目重点在于能否准确还原几何体，对于一些棱柱，棱锥等几何体可借助长方体还原. 16. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()tan 2tan 0b A b c B +-=．且ABC 的中线3AP =b c +的最大值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用切化弦得到()sin sin sin sin 2sin 0cos cos A BBB C A B+-=，再由正弦定理得到sin cos sin cos 2sin cos sin A B B A C A C +==，即3A π=，利用向量得到()()()222124AP AB ACAB AC ⎡⎤=++⋅⎢⎥⎣⎦，再由基本不等式可得答案.【详解】因为()tan 2tan 0b A b c B +-=，所以()sin sin 20cos cos A Bb bc A B+-=， 由正弦定理得()sin sin sin sin 2sin 0cos cos A BBB C A B+-=，0B ≠， 化简得sin cos sin cos 2sin cos sin A B B A C A C +==，0C ≠，所以1cos 2A =，0A π<<，所以3A π=， 因为()12AP AB AC =+，所以()()()222124AP AB ACAB AC ⎡⎤=++⋅⎢⎥⎣⎦即()()2222211132cos 4344b c b c b c b c b c b c π⎛⎫⎡⎤=++⋅=++⋅=+-⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22144b c b c ⎡⎤+≥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即4b c +≤，当且仅当b c =时等号成立， 故答案为：4.【点睛】本题考查利用正弦定理、三角形性质解三角形，关键点是利用正弦定理得到3A π=和()12AP AB AC =+得到()2134b c b c ⎡⎤=+-⋅⎣⎦，可考查学生的分析问题能力，解决问题的能力及运算求解能力.三、解答题 （一）必考题：17. 已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S 且满足()1*22N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n n b a S =⋅+，求数列{}n b 的前项和n T ．【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）11322n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（ 1）由122n n a S +=+，可得122n n a S -=+，两式相减可化为()132n n a a n +=≥，可得数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，从而可得结果； （2）由（1）可得()13log 123n n n n b a S n -=⋅+=⋅，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和nT.【详解】（1）∵*N n ∈时，122n n a S +=+，∴当2n ≥时，122n n a S -=+． 两式相减得：()132n n a a n +=≥． 又12a =， 21226a a =+=，∴213a a =∴{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列．从而123n n a -=⋅． （2）∵123n n a -=⋅， ∴123nn a +=⋅，31nn S =-，∴()13log 123n n n n b a S n -=⋅+=⋅．∴011123234323n n n T b b b b n -=+++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①∴23234323nn T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅ ②． ①-②，得：011223232323n n n T n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅()011233323n n n -=⋅++⋅⋅⋅+-⋅ 1322313nn n -=⋅-⋅-3123n n n =--⋅∴11322n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭．【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的对应项的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，160C CA ∠=︒，AB AC ⊥，12AC AB AA ===．（1）求证：11CA BC ⊥；（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）42723++ 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出侧面11ACC A 是菱形，得出对角线垂直，再由侧面11AA C C ⊥底面ABC 得出AB ⊥平面11AAC C ，进而得到1CA ⊥平面1C AB ，由线面垂直即可得到线线垂直； （2）依次求出11BCC B S，11BAA B S，1ACC AS，再相加即可.【详解】解：（1）如图所示：连接1AC ， ∵1AC AA =，∴侧面11ACC A 是菱形， ∴11AC CA ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，且平面ABC平面11AAC C AC =，AB AC ⊥，∴AB ⊥平面11AAC C ， 又∵1CA ⊂平面11AAC C ， ∴1CA AB ⊥， 又1AC AB A =，∴1CA ⊥平面1C AB ，又1BC ⊂平面1C AB ，∴11CA BC ⊥；（2）如上图：设棱CA 的中点为D ，连1C D ，BD ， 则1C D AC ⊥，∴1C D ⊥底面ABC ．从而1C D BD ⊥， 由160C CA ∠=︒，12AC AB AA ===， 得：1AD =，1C =∴2222221118BC BD DC BA AD DC =+=++=，在1BCC 中，由余弦定理得:2221111cos 24BC CC BC BCC BC CC +-∠==⋅，即1sin 4BCC ∠=，∴1111sin BCC B SCB CC BCC =⋅∠=，由（1）知AB ⊥平面11AAC C ， ∴1AA AB ⊥，1114BAA B S AB AA =⋅=，又11ACC ASCA C D =⋅=∴三棱柱111ABC A B C -的侧面积为4+．【点睛】关键点点睛：对于线面，线线，面面位置关系熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定定理以及性质定理是关键.19. 设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若OA OB ⊥（O 为坐标原点）．求证：直线l 过定点． 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求出2p =，得到抛物线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x ty s =+，代入抛物线方程得2440y ty s --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用韦达定理和OA OB ⊥得4s =利用直线系方程推出过定点． 【详解】（1）∵()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．∴452p+=， 解得2p =，即抛物线C 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为x ty s =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24x ty s y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty s --=， 则124y y t +=，124y y s ⋅=-．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y ⋅+⋅=，即221212044y y y y ⋅+⋅=．化简得1216y y ⋅=-．由416s -=-得4s =，所以直线l 的方程为4x ty =+， 所以直线l 经过定点()4,0．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理和OA OB ⊥得到4s =，考查学生的分析问题解决问题能力和计算能力.20. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，求所抽取的2名学生中，至少有1人为“体育良好”的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且[)60,70a ∈，[)70,80b ∈，[)80,90c ∈，当三人的体育成绩方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值（不要求证明）. 注：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中121()n x x x x n=+++.【答案】（1）750人. （2）()910P A =. （3）79,84,90a b c ===或79,85,90a b c ===. 【解析】试题分析：（1）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M ，记体育成绩在[60，70）的学生为A 1，A 2，体育成绩在[80，90）的学生为B 1，B 2，B 3，由此利用列举法能求出在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．（3）由题意，能写出数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，a ，b ，c 的值． 解答： 试题解析：（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，100030=75040⨯人 （2）设“至少有1人体育良好”为事件A ，总共有10种组合，则()910P A =. （3）当数据,,a b c 的方差2s 最小时, 79,84,90a b c ===或79,85,90a b c ===.21. 已知函数()()1xe f x a x e x=+--．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()f x 在()0,1上存在唯一零点． 【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当0a =时，求导判断单调性即可求出极值；（2）通过构造出一个新函数,讨论新函数的零点以证明原函数零点的唯一性.【详解】（1）当0a =时，()x e f x e x =-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()21x e x f x x-'=由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，且0x ≠，∴()f x 在()1,+∞上单调递增，在(),0-∞，()0,1上单调递减． ∴当1x =时，()f x 取得极小值()10f =，无极大值． （2）证明：当()0,1x ∈时，()()()2100xx e f x a x e e ax a e x x=+--=⇔+-+=．令()()2xg x e ax a e x =+-+，则()f x 在()0,1上的零点即()g x 在()0,1上的零点()2x g x e ax a e '=+--，令()()2xh x g x e ax a e '==+--，则()2xh x e a '=+．当0a >时，则()0h x '>，∴()()h x g x '=在区间()0,1上单调递增． 又()()0010h g a e '==--<，()()110h g a '==>， ∴存在()00,1x ∈使得()()000h x g x '==， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增． 又因为()01g =，()()010g x g <=， ∴在()00,x x ∈上()g x 存在一个零点， 在()0,1x x ∈上()g x 没有零点，∴()g x 在()0,1上存在唯一零点，即()f x 在()0,1上存在唯一零点． 【点睛】函数极值点无法求出时，采用隐零点解决.（二）选考题选修4—4：极坐标与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P的直角坐标为)，过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D 、E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 【答案】（170y -+=；24y x =；（2【解析】 【分析】（1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以ρ，利用cos x ρθ=，cos y ρθ=即得曲线的直角坐标方程；（2）根据点P 坐标写直线DE 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理求11PD PE-的值即可. 【详解】解：（1）由2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数t70y -+=，即直线l70y -+=； 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=， ∵cos x ρθ=，cos y ρθ=，∴24y x =， 即曲线C 的直角坐标方程24y x =；（2）依题意，设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=，设点D 对应的参数为1t ，点E 对应的参数为2t，则12t t +=-12t t =-，且D 在x 轴上方，有10t >，20t <．故12121212111111t t PD PE t t t t t t +-=-=+===， 即11PD PE -的值为4. 【点睛】思路点睛：参数方程法研究直线与曲线交于两点求弦长、距离、面积等问题时，将直线的参数方程代入曲线的一般方程得到关于t 的一元二次方程，再利用韦达定理计算求解即可.选修4—5：不等式选讲23. （1）已知a 、b 、c 是正数，且满足1ab bc ac ++=，求证a b c ++≥（2）已知a 、b 是正数，且满足1a b +=2≤． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）本题可通过基本不等式得出222a b c ab bc ac ++≥++，进而得出()()23a b c ab bc ac ++≥++，最后根据1ab bc ac ++=即可证得不等式成立； （2）本题可通过柯西不等式证得不等式成立.【详解】（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以()2222222a b c ab bc ac ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号，则222a b c ab bc ac ++≥++，()()23a b c ab bc ac ++≥++， 因为1ab bc ac ++=，所以()23a b c ++≥，a b c ++≥（2）因为1a b +=，所以由柯西不等式得()2111122a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()214a b =++=（当且仅当12a b ==时取等号），2. 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式和柯西不等式的应用，在使用基本不等式和柯西不等式要注意取等号的情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.。

2020-2021学年河南省洛阳市汝阳县第二高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A．B．C．D．参考答案：B2. 对于非空集合A，B，定义运算：,已知M=其中a、b、c、d满足a+b=c+d,ab<cd<0,则M N= A．(a,d) B． C． D．参考答案：D3. 下图是一程序框图，若输入的，则输出的值为（）A．B． C．D．参考答案：C运行程序框图，；；，输出．4. 已知F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点，则①．又，②．由①②得，即，，故选B．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．5. 若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6. 函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．参考答案：A【考点】三角函数的最值．【分析】由三角函数公式整体可得f（x）=cosx，可得函数的最大值为1．【解答】解：由三角函数公式可得f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）=cos[（x+）+]+2sin sin（x+）=cos（x+）cos﹣sin（x+）sin+2sin sin（x+）=cos（x+）cos+sin（x+）sin=cos[（x+）﹣]=cosx，∴函数的最大值为1．故选：A．7. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．8. 定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数图象，结合，则有求解.【详解】因为如图所示：则有解得：故选：B【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.9. 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为A. B. C. D.参考答案：【知识点】圆的切线方程．H4 A 解析：圆的圆心为C （2，0），半径为1，以（3，1）、C （2，0）为直径的圆的方程为（x ﹣2.5）2+（y ﹣0.5）2=0.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程，故选：A ．【思路点拨】求出以（3，1）、C （2，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．10. 给出下列四个命题： ①若集合、满足，则； ②给定命题，若“”为真，则“”为真；③设，若，则； ④若直线与直线垂直，则． 其中正确命题的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若函数h （x ）=f （x ）﹣mx ﹣2有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．参考答案：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f （x ）=转化为函数f （x ）与y=mx ﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f （x ）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e ）（0，2），动态变化得出此时的m 的范围．【解答】解：∵f（x ）=∴f（x ）=∵函数h （x ）=f （x ）﹣mx ﹣2有且仅有一个零点， ∴f（x ）与y=mx+2有一个公共点 ∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f （x ）有一个交点 ②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x 0，），m=﹣=﹣+2，x 0＞1x 0=（舍去），x 0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e ），（0，2） m=﹣e当m≤﹣e 时，f （x ）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}12. 过点(-1，2)的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为．参考答案：-1或13. 已知角终边上一点，则的值为．参考答案：14. 函数的定义域是______________．参考答案：略15. 如图，已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为__________参考答案：y＝2sin（2x＋）16. 在直角坐标系中，设为两动圆，的一个交点，记动点的轨迹为，给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于轴对称；③设点，则有．其中，所有正确的结论序号是__________．参考答案：②③①设，，动点，根据题意：，∴根据定义判定，点的轨迹是双曲线的右支，方程为：，，∵不是方程的解，∴①不正确．②设为曲线上任一点，关于轴对称点为，∵也在曲线上，∴曲线关于轴对称，②正确；③∵，∴，故③正确．17. 若两直线x-2y+5=0与2x+my-5=0互相平行，则实数m= ．参考答案：-4三、解答题：本大题共5小题，共72分。

洛阳市2021—2022学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(文)本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试时间120分钟。

第I 卷(选择题，共60分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝sin π3＋icos π3，则|z |＝A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |－2＜x ＜l}，集合B ＝{x |－x 2＋x ＜0}．则A ∪(∁R B )＝A ．(－2，1]B ．(－1，1]C ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)3．某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12．每个小正方形的边长均为2．在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形的概率为A ．19B ．29C ．16D ．136．4．已知数列{a n }是等差数列，且2a 8－a 812＝4．则其前七项和S 7＝A ．42B ．35C ．28D ．215．已知命题p : x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b．下列命题为真的是A ．(¬p )∨q ∧B ．(¬p )∧(¬q )C ．p )∧qD ．p ∨q 6．若右面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．k ≥6B ．k ≥7C ．k ≥8D ．k ≥97．若a ＝(3)23，b ＝e 13，c ＝log 3e ．则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)在[－π，π]上的图象如图所示。

则f (x )的最小正周期是 A ．3π2B ．4π3C ．7π6D ．2π39．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上运动，则△ABP 面积的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．4－2 2k =10, S=1 开始S=S+k k =k －1结束输出S 是 否10．如图，AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ．O 1，O 分别为上、下底面圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三楼锥A －BCD 的体积为43，则该圆柱的侧面积为A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π11．已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上且AF 1→•AF 2→＝0，则△AF 1F 2的内切圆的半径为A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3＋1D ．3－1．12．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －sin x ，若存在x 1，x 2∈[1，π](x 1≠x 2)使得|f (x 1)－f (x 2)|＜k |g (x 1)－g (x 2)|成立．则实数k 的取值范围是 A ．(11－cos l ，12π) B ．(0，12π)C ．(12π，＋∞)D ．(11－cos l，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共20分。