2021年【北师大版】中考数学测试专题14 相交线与平行线、三角形及尺规作图(含解析)

课题：第十四讲相交线与平行线教学目标：1.会从实际问题中构建点、线、面模型，运用概念及相应公理解决问题.2.理解和掌握各种角的概念及性质，会比较角的大小，熟练进行角的和、差、倍、分运算，提高运算能力.3．知道相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质与判定，解答相应证明题及探索类题目.4．会用尺规作图完成既定要求的线段、角、角的平分线.教学重点与难点：重点：熟练运用垂线的性质，平行线的性质与判定，解答相应证明题及探索类题目.难点：解答相应证明题及探索类题目.教学准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：完成导学案内容．教学过程：一、课前热身，知识回顾在初中阶段我们学过最简单的几何图形是什么图形？角、线段、直线、射线…（学生争先恐后的回答）．那么，我们这节课来回顾一下线与角有关的性质．设计意图：通过一个简单的问题来激起学生的学习积极性，同时把角的有关知识回忆起来．1.如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为_________,同角或等角的余角_________；如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为_________，同角或等角的余角_________.2.过直线外一点，_________条直线与这条直线平行.3.平面内，过一点有只有_________条直线与已知直线垂直.4.平行线的性质：两条直线平行，_________相等，_________相等，_________互补.5.平行线的判定：，_________相等，或_________相等，或_________互补，两条直线平行. （生课前完成填空）设计意图：关于线与角的知识点较少，因此，在导学案上以填空题的形式给学生梳理出来，再让学生填空.填空的同时要让学生明确本章的知识点，且明确各知识点间的联系.二、题组训练，夯实基础师：在大家全面梳理知识的基础上，让我们一起来关注几个核心内容.（引领学生完成导学案上的基础题组训练）题组一：1．如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分AOC∠，若76BOD∠=︒，则BOM∠等于（）A.38° B．104° C.142° D.144°3．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A.当∠1=∠2时，一定有a∥bB.当a∥b时，一定有∠1=∠2C.当a∥b时，一定有∠1＋∠2=90°D.当∠1＋∠2=180° 时，一定有a∥b4．如图，直线l1∥l2，则∠α为( )A.150°B.140°C.130°D.120°巡视发现：同学们对前三道题完成的很好，但是有部分同学对于第4道题目无从下手，针对这种情况，探讨如下：要求∠α，可先求∠α的什么角？可先求∠α的邻补角，再用两直线平行，内错角相等即可求出∠α的度数.也可先求∠α的对顶角，再用两直线平行，同旁内角互补即可求出∠α的度数.很好，同学们用不同的方法来完成了这道题目，体现了数学解题方法的多样性.a 12ba12bD设计意图：本题组前3道问题设置比较基础，在回顾已学知识的基础上可以直接得出答案，课堂上可以采取抢答的方式解决，教师在需要时引导学生找出解题的关键点，其中第4题采用平行线的性质与三角形外角的性质相结合.实际效果：同学们对前三道题完成的很好，但是有部分同学对于第4道题目有点困难.题组二：（采取先独立完成，后交流的方式，师巡视时并作适当点拨．）1.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上.如果∠1=25°，那么∠2的度数是（）A.30°B.25°C.20°D.15°2．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( )A.30°B.35°C.40°D.45°3．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°4．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n上，测得∠α=120°，则∠β的度数是( )A.45°B.55°C.65°D.75°巡视发现：同学们对前三道题完成的很好，但是有部分同学对于第4道题目无从下手，针对这种情况，点拨如下：要求∠β的度数，可以先求∠β的对顶角，然后再利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的性质来完成.设计意图：本题组巧妙利用直角三角板中的特殊角，结合平行线的性质根据不同的放置位置找到它们的联系，并且利用互为补角，三角形内角和定理结合起来求角的度数，做这类题目最关键的是运用直角三角板的特殊角来完成．实际效果：从本题组的做题情况来看，其中1、2、3两题完成很好，第4题，有一部分同学没有想到做题思路，不能熟练应用“三角形外角的性质”解题．三、典例剖析，深化知识l11l2 2例1如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A=75°，则∠1＋∠2是（）A.150°B.210°C.105°D.75°师生共同探讨：要求∠1＋∠2的角度是多少？一般要分别求出∠1和∠2的度数.我求不出∠1和∠2的度数.∠1和∠2的度数求不出来，那么我们可以用什么方法求出∠1＋∠2的度数？可以把∠1＋∠2看成一个整体直接求出.想法很好，同学们观察一下图形，由于折叠△ADE与△A′DE存在有什么关系？由图形的折叠观察可知△ADE与△A′DE全等，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE.我知道：在△ADE中，∠AED+∠ADE=180°-75°=105°，所以∠A′ED+∠A′DE=105°.那我也知道∠1＋∠2的度数是360°-2×105°=150°.同学们的回答很好.设计意图：在一个三角形中，通过折叠三角形中某一个角，求两个角度的和或差，在分别求每一个角度求不出来的情况下，往往都采用“整体的思想”来求，但是要注意找清楚在哪个三在角形用三角形内角和定理.实际效果：从学生的回答来看，大多数学生能掌握解题的基本方法，但个别同学找角时出现书写的不规范导致出错，因此教师要板书解题过程，给学生以示范.例 2 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为（）A.先向左转130°，再向左转50°B.先向左转50°，再向右转50°C.先向左转50°，再向右转40°D.先向左转50°，再向左转40°【分析】根据题意画出图形，然后利用“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”，即可判定.如图：A、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2. ∴a∥b，且方向相反；B、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b；C 、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a 不平行于b ；D 、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a 不平行于b .故选B .（A 选项可共同完成，其它的选项可采用分组练习画图来完成.）设计意图：本题在处理时可以先放给学生画图，培养学生画图的能力，在图形中找到角度之间的关系，从而确定平行线的位置关系.实际效果：学生读完题后，不知如何去做，教师通过一个选项的演示，学生的思路明确，思维开阔、热情高涨，从而提高了学习的效率.四、总结收获，提炼反思今天我们复习了哪些数学知识？我最大的收获是……；我表现不足的地方是……；我想进一步研究的问题是…….设计意图：学生互相说出自己的感受和收获，都能说出线与角的各个考点及解决方法，让学生感受到平行线的性质和判定及垂线性质应用．实际效果：能清晰的表述本节课的重难点．五、当堂达标，反馈矫正1．如图，已知a ∥b ，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．2．如图，a ∥b ，∠1=30°，则∠2= ．3．如图，FE ∥ON ，OE 平分∠MON ，∠FEO =28°，则∠MFE = 度.4．如图，∠AOE =∠BOE =15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC =1，则EF = .5．如图所示，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，1题图 M O F E N 3题图2题图 a b 1 2则∠BEF= 度.设计意图：通过达标测试不仅巩固了所要复习的重点知识，更重要的是通过反馈矫正达到进一步查漏补缺、再次提升的目的.实际效果：从题目的完成情况来看，大部分同学用的时间大约6-7分钟，有极个别同学第5题未完成.六、布置作业，课堂延伸必做题：复习指导丛书 76页第2、4、5、6、7、10题； 77页第6、7、8、10题．选做题：复习指导丛书 77页第8、9、11题．设计意图：分层布置作业，对不同学生提出不同的要求，让不同的学生各有所获，实现不同的学生得到不同发展的目标.板书设计:第十四讲相交线与平行线知识梳理：例1例2学生板演处投影区5题图4题图2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．估算9153+÷的运算结果应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间2．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°3．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 2 4．如图，等腰直角三角形的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°5．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠ 6．化简221x -÷11x -的结果是( )A ．21x +B ．2xC ．21x -D ．2(x ＋1)7．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）A ．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查B ．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查C ．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查8．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．1：3：2D ．1：2：3 10．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 11()1323x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。

专题14 相交线与平行线、三角形及尺规作图学校：___________姓名：___________班级：___________1.【辽宁沈阳2015年中考数学试卷】如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40°，∠AED=60°，则∠A的度数是（）A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】C．【解析】考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2.【湖北荆门2015年中考数学试卷】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D．【解析】在△ABP 和△DBQ 中，∵∠BAP =∠BDQ ，AB =DB ，∠ABP =∠ADBQ =60°，∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP =BQ ，∴△BPQ 为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA =60°，∴∠AMC =120°，∴∠AMC +∠PBQ =180°，∴P 、B 、Q 、M 四点共圆，∵BP =BQ ，∴BP BQ =，∴∠BMP =∠BMQ ，即MB 平分∠AMC ，∴④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．3.【2015届湖北省黄冈市启黄中学中考模拟】如图，已知∠MON=60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B ，AB=4．则直线AB 与ON 之间的距离是（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】C ．【解析】试题分析：过A 作AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，∵OP 平分∠MON ，∠MON=60°，∴AC=AD ，∠MOP=∠NOP=30°， ∵BA ∥ON ，∴∠BAO=∠PON=30°，∵∠ABC 为△AOB 的外角，∴∠ABC=60°，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，根据勾股定理得：AC=2224-=23， ∴AD=AC=23，则直线AB 与ON 之间的距离为23，故选C ．考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形．4．【2015届河北省中考模拟二】已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（）A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP【答案】D．【解析】考点：作图—复杂作图．5.【辽宁本溪2015年中考数学试题】如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、C两点．若∠1=42°，则∠2的度数是．【答案】48°．【解析】试题分析：∵∠BAC=90°，∠1=42°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣42°=48°．∵直线a∥b，∴∠2=∠3=48°．故答案为：48°．考点：平行线的性质．6.【黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭2015年中考数学试题】如图，点B、A、D、E 在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF．【解析】考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．7．【2015届河北省邯郸市魏县中考二模】四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，则△BDC为三角形．【答案】直角．【解析】试题分析：如图，连接BD．考点：1．勾股定理的逆定理；2．勾股定理．8.【2015届江苏省南京市高淳县中考一模】如图，在△ABC中，∠C=90°，D 是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③．【解析】试题分析：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．∴①正确；考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．9．【湖北武汉2015年中考数学试题】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC 于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF求证：(1) △ABC≌△DEF (2) AB∥DE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：根据垂直得出∠ACB=∠DFE=90°，结合BC=EF，AC=DF得出三角形全等；根据三角形全等得出∠B=∠DEF，根据同位角相等，两直线平行得到答案.试题解析：(1)、∵AC⊥BC，DF⊥EF ，∴∠ACB=∠DFE=90°，又∵BC=EF，AC=DF，∴△ABC ≌△DEF；(2)、∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF ，∴AB∥DE(同位角相等，两直线平行)考点：1.三角形全等的性质与应用；2.平行线的判定.10.【2015届山东省东营市实验中学中考一模】探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．【答案】探究：证明见解析；应用：∠CGE=60°．【解析】试题解析：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，∵BE=AD，∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在△ACE和△CBD中，∵CE=BD，∠ACB=∠ABC，BC=AC，∴△ACE≌△CBD（SAS）；应用：如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE≌△CBD，∴∠E=∠D，∵∠BAE=∠DAG，∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，∴∠CGE=∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠CGE=60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．几何图形问题；5．综合题；6．压轴题．。

北师大版2021年中考数学总复习《相交线与平行线》一、选择题1.P为直线L上的一点，Q为L外一点，下列说法不正确的是( )A.过P可画直线垂直于L B、过Q可画直线L的垂线C.连结PQ使PQ⊥L D、过Q可画直线与L垂直2.观察下图，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）AB + BD ＞AD；（3）射线AC和射线AD是同一条射线；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点；A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可以画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角.其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4.如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OF平分∠DOB，∠EOF=70°，则∠AOC的度数是( )A.20°B.30°C.40°D.50°5.如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( )A.122°B.151°C.116°D.97°6.如图，把长方形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2等于( )A.80°B.70°C.40°D.20°7.设a,b,c是三条不同的直线，则在下面四个命题中，正确的有( )①如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；②如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；③如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直；④如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交.A.4个B.3个C.2个D.1个8.如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设.如果∠ABC=135°，∠BCD=65°，则∠CDE的度数应为( )A.135°B.115°C.110°D.105°二、填空题9.以下四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形共有个10.如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段的长度.11.如图,∠A=700,O是AB上一点,直线CO与AB所夹的∠BOC=820.当直线OC绕点O按逆时针方向旋转时，OC//AD.12.如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=35º，则∠2= º.三、解答题13.如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．14.如图,已知∠1＋∠2=180°,∠DEF=∠A,试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并证明.15.如图，已知∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．16.已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由.（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由.。

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

专题14 尺规作图问题1．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP=12∠BAC．【答案】见解析。

【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．【解析】（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴∠ABP=12∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【答案】见解析。

【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解析】（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD ＝BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF =12AC ，位置关系为：EF ∥AC ．3.如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】见解析。

备战中考数学（北师大版）巩固复习相交线与平行线（含解析）一、单选题1.已知，∠1和∠2是一对内错角，且∠1=48°，那么∠2的度数是（）A.48°B.42°C.132°D.无法确定2.如图，下列推理错误的是（）A.因为∠1=∠2，因此a∥bB.因为∠4=∠6，因此c∥dC.因为∠3+∠4=180°，因此a∥b D.因为∠1+∠5=180°，因此a∥b3.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或垂直4.如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．A.1B.2C.3D.45.如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°．则∠3等于（）．A.100°B.60°C.40°D.20°6.如图，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有（）A.1个B. 2个C. 3个D.4个7.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的依照是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS二、填空题8.如图：△ABC中，∠A的同旁内角是________ ．9.一个角的补角是140°，则那个角的余角是________；10.如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是________．11.如图，若∠1=∠2，则互相平行的线段是________．12.如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，则∠AOD+∠BOC=_ _______．13.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DO C≌△D'O'C'的依据是________．14.所谓尺规作图中的尺规是指：________15.如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=________度．16.完成下列推理过程．如图，DE∥BC，点D、A、E在同一条直线上，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，证明：∵DE∥BC________∴∠1=∠B，∠2=∠C________∵D、A、E在同一直线上（已知），∴∠1+∠BAC+∠2=180°________∴∠BAC+∠B+∠C=180°________三、解答题17.在下面的方格纸中通过点C画与线段AB互相平行的直线l1 ，再通过点B画一条与线段AB垂直的直线l2 ．18.如图所示，在5×5的网格中，AC是网格中最长的线段，请画出两条线段与AC平行同时过网格的格点．19.已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有几条平行线？四、综合题20.如图，若用A（2，1）表示放置2个胡萝卜，1棵小白菜；点B（4，2）表示放置4个胡萝卜，2棵小白菜：（1）请你写出C、E所表示的意义．（2）若一只兔子从A顺着方格线向上或向右移动到达B，试问有几条路径可供选择，其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的小白菜最多？请你通过运算的方式说明．21.综合题（1）已知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试证明AB与C D平行。

图形的性质——相交线与平行线2一．选择题（共8小题）1如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A．56°B．48°C．46°D．40°7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED 的度数是（）A．16°B．33°C．49°D．66°二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_________ 度．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= _________ ．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是_________ ．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= _________ ．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF= _________ ．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2= _________ ．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．图形的性质——相交线与平行线2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A． 20°B．40°C．30°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．2．如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A． 30°B．35°C．36°D．40°考点：平行线的性质．分析：过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．解答：解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，∴∠1+∠2=30°．故选：A．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A． 30°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=60°，所以∠2=60°．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选：D．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．4．如图，已知AB∥CD，∠2=120°，则∠1的度数是（）A． 30°B．60°C．120°D．150°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠3，再由邻补角性质得到∠3与∠2互补，即∠1与∠2互补，即可确定出∠1的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=120°，∠3+∠2=180°，∴∠3=60°．故选B点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．5．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A． 10°B．15°C．20°D．25°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据AB∥CD可得∠3=∠1=65，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．故选：D．点评：本题重点考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一道较为简单的题目．6．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A． 56°B．48°C．46°D．40°考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据垂直的定义可得∠GFE=90°，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=42°，∵FG⊥FE，∴∠GFE=90°，∴∠2=180°﹣90°﹣42°=48°．故选：B．点评：本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A． 45°B．54°C．40°D．50°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．解答：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．8．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED 的度数是（）A． 16°B．33°C．49°D．66°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AB∥CD，∠C=33°可求得∠ABC的度数，又由BC 平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠BED的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=33°，∴∠ABC=∠C=33°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABC=66°，∵AB∥CD，∴∠BED=∠ABE=66°．故选D．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等．二．填空题（共6小题）9．如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2= 42 度．考点：平行线的性质；垂线．专题：计算题．分析：根据垂线的性质和平行线的性质进行解答．解答：解：如图，∵AB⊥BC，∠1=48°，∴∠3=90°﹣48°=42°．又∵直线a∥b，∴∠2=∠3=42°．故答案为：42．点评：本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”的性质．10．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= 55°．考点：平行线的性质．专题：常规题型．分析：根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．解答：解：如图，∵∠1=35°，∴∠3=180°﹣35°﹣90°=55°，∵a∥b，∴∠2=∠3=55°．故答案为：55°．点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是63°．考点：平行线的性质．分析：先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．解答：解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= 40°．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13．如图，若AB∥CD∥EF，∠B=40°，∠F=30°，则∠BCF= 70°．考点：平行线的性质．分析：由“两直线平行，内错角相等”、结合图形解题．解答：解：如图，∵AB∥CD∥EF，∴∠B=∠1，∠F=∠2．又∠B=40°，∠F=30°，∴∠BCF=∠1+∠2=70°．故答案是：70°．点评：本题考查了平行线的性质．平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2= 36°．考点：平行线的性质．专题：几何图形问题．分析：过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，即可求出答案．解答：解：过B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，故答案为：36°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中．三．解答题（共9小题）15．如图，在三角形ABC中，点D、F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，AD∥EF，∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行DG∥AB，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．解答：证明：∵AD∥EF，（已知），∴∠2=∠3，（两直线平行，同位角相等），∵∠1+∠FEA=180°，∠2+∠FEA=180°，∴∠1=∠2（同角的补角相等），∴∠1=∠3（等量代换），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠CDG=∠B．（两直线平行，同位角相等）．点评：本题考查了平行线的性质与判定，是基础题，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图是解题的关键．16．已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，那么∠BDC+∠DGF=180°吗？说明理由．考点：平行线的判定与性质．分析：若证∠BDC+∠DGF=180°，则可证GF、CD两直线平行，利用图形结合已知条件能证明．解答：解：∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，（2分）∴∠2=∠DCF，（4分）∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCF，（6分）∴CD∥FG，（8分）∴∠BDC+∠DGF=180°．（10分）点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．17．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定与性质；角平分线的定义．专题：证明题．分析：根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．解答：证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．点评：此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．18．如图，已知AD∥BE，∠CDE=∠C，试说明∠A=∠E的理由．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：易证AB∥DE，根据同旁内角互补和等量代换，即可解答．解答：证明：∵∠CDE=∠C，∴AC∥DE，∴∠A+∠ADE=180°，∵AD∥BE，∴∠E+∠ADE=180°，∴∠A=∠E．点评：本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．19．已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．解答：解：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF，∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．点评：本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．20．已知：OA⊥OB，OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，求∠AOC的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：根据角平分线的性质，可得∠BOE与∠AOB的关系，∠FOB与∠COB的关系，根据角的和差，可得答案．解答：解：OE、OF分别是∠AOB的角平分线，∠EOF=68°，∠BOE=∠AOB，∠BOF=∠BOC，∵∠EOF=（∠AOB+∠BOC）=68°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=136°．点评：本题考查了垂线，利用了角平分线的性质．21．如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=16°，求∠DOE的度数．考点：垂线；角平分线的定义．分析：首先根据垂直定义以及角平分线的性质得出∠BOD 的度数，进而得出∠DOE的度数．解答：解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=16°，∴∠COB=90°+16°=106°，∵OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD=53°，∴∠DOE=53°﹣16°=37°．点评：此题主要考查了角平分线的性质以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．22．如图，已知∠B=30°，∠BCD=55°，∠CDE=45°，∠E=20°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：作CM∥AB，DN∥EF，根据平行线的性质得∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，则∠2=∠BCD﹣∠1=25°，∠3=∠CDE ﹣∠4=25°，即∠2=∠3，根据平行线的判定得到CM∥DN，然后利用平行线的传递性得到AB∥EF．解答：解：作CM∥AB，DN∥EF，如图，∴∠1=∠B=30°，∠4=∠E=20°，∴∠2=∠BCD﹣∠1=45°﹣25°=25°，∠3=∠CDE﹣∠4=30°﹣10°=25°，∴∠2=∠3，∴CM∥DN，∴AB∥EF．点评：本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行．也考查了平行线的性质，熟记定义是解题的关键．23．如图，若∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，试证明：AB∥DE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：延长ED交BC于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CFD=∠CDE﹣∠C，再根据邻补角的定义表示出∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．解答：解：如图，延长ED交BC于F，由三角形的外角性质得，∠CFD=∠CDE﹣∠C，所以，∠BFD=180°﹣∠CFD=180°﹣（∠CDE﹣∠C），∵∠ABC+∠CDE﹣∠C=180°，∴∠ABC=180°﹣（CDE﹣∠C），∴∠ABC=∠BFD，∴AB∥DE．点评：本题考查了平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，邻补角的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．。