高三物理复习-04-共点力平衡

2011高三物理一轮复习教学案（4）--共点力的平衡【学习目标】1、理解共点力作用下的物体平衡条件及其在解题中的应用。

2、掌握几种常见的平衡问题的解题方法。

【自主学习】1．共点力物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的 或者它们的作用线交于 ，这几个力叫共点力。

2．平衡状态：一个物体在共点力作用下，如果保持 或 运动，则该物体处于平衡状态．3．平衡条件：物体所受合外力 ．其数学表达式为：F 合＝ 或F x 合= F y 合= ，其中F x 合为物体在x 轴方向上所受的合外力，F y 合为物体在y 轴方向上所受的合外力． 平衡条件的推论(1)物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向.(2)物体在同一平面内的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力.(3)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形.4．力的平衡：作用在物体上的几个力的合力为零，这种情形叫做 。

若物体受到两个力的作用处于平衡状态，则这两个力 ．若物体受到三个力的作用处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 ．5.解题途径当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法.【典型例题】例 1.一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。

探测器通过喷气而获得推动力。

以下关于喷气方向的描述中正确的是A.探测器加速运动时，沿直线向后喷气B.探测器加速运动时，竖直向下喷气C.探测器匀速运动时，竖直向下喷气D.探测器匀速运动时，不需要喷气 解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F 合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。

共点力作用下物体的平衡教学目的：1、掌握共点力的概念及共点力作用下物体的平衡条件，并以熟练运用。

2、学会用力的合成与分解的方法、正交分解求解平衡问题教学重点、难点：平衡条件、合成与分解的方法、图解法、正交分解方法的应用 自主学习： 1、共点力：作用于物体上 的力，或力的 相交于一点的力叫做共点力。

平衡状态：物体处于 叫做平衡状态。

物体的 和 都为零的状态叫做静止状态。

物体的 为零，而 不为零，且保持不变的状态是 。

2、 共点力作用下的物体平衡条件是 。

即F 合=0。

在正交分解形式下表达式为： 和 。

若物体受两个力作用而平衡，则这两个力的关系： 。

若一个物体受三个力而平衡，则三个力中任意两个力的合力必与第三个力 ， 如果将三个力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的 。

若物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中某一个力跟其余力的合力 。

如果一个物体受到三个不平行外力的作用而平衡，则这三个力的作用线必须教学过程：典型例题例1．如图所示，用三根细绳将质量为m 的物体挂起，OA 与竖直方向的夹角为300，OB 沿水平方向， 1）当在C 点挂5kg 重的物体时，AC 、BC 两绳中的拉力各为多大？（2）若两绳的最大承受能力均为100N ，则在C 点最多能挂起多重的物体？（3）若AC 绳的承受能力为150N 、BC 绳的承受能力为200N ，在C 点最多能挂多重的物体？小结1：练习1：如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止P 点。

设滑块所受支持力为F N 。

OP 与水平方向的夹角为θ。

下列关系正确的是 （ ）A ．tan mg F =θB ．F ＝mgtan θC ．tan N mg F =θD ．F N =mgtan θ例2：拓展：例1中若缓慢将B 点上移，则三绳中的张力如何变化？小结2、练习2如图所示，挡板AB 和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m ，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB 板及墙对球压力如何变化。

第四课时 共点力作用下物体的平衡【教学要求】1．了解共点力作用下物体平衡的概念，知道共点力作用下物体的平衡条件，并用来计算有关平衡的问题。

（不要求解决复杂连接体的平衡问题）2．用共点力平衡的条件解释生活中的有关问题。

【知识再现】一、平衡状态、平衡力物体在几个力作用下处于静止或匀速直线运动状态，叫做平衡状态，这几个力互相叫做平衡力（或其中一个力叫其余几个力的平衡力）二、物体的平衡条件共点力作用下平衡条件：1、合外力为零，即：∑F=0 或 ∑F x =0 ∑F y =02、共点力平衡的几何条件：根据共点力作用下物体的平衡条件和力的合成的多边形定则可知，共点力平衡的几何条件是：各力首尾相接自行构成封闭的力多边形下列情况可作平衡来处理：（1）静止：v =0，a =0；（2）匀速直线运动：v =恒量，a=0；（3）匀速转动：ω=恒量。

【应用1】（合肥市2007年教学质量检测一）在下列运动状态下，物体处于平衡状态的有（ ）A ．蹦床运动员上升到最高点时B ．秋千摆到最低点时C ．相对静止于水平匀速运动的传送带上的货物D ．宇航员费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号进入轨道做圆周运动时选择C 。

物体处于平衡状态时所受的合力为零。

共点力作用下物体的平衡条件的推论：1、物体受两个共点力作用平衡，这两个力必大小相等，方向相反，作用在一条直线上。

2、物体受三个共点力作用平衡，则三个力的作用线必相交于同一点。

其中任意两个力的合力，一定与第三个力等值反向。

3、三个以上力依次类推，而且三个以上的力最终都可归结为三个力的平衡。

所以，三个力平衡在共点力作用下物体的平衡问题中具有典型性。

考点剖析重点突破4、一个物体受三个共点力而平衡，若其中第一个力为恒力，第二个力方向不变，第三个力大小、方向都改变，则当第三个力与第二个力垂直时最小。

【应用2】(08孝感一中届高三期中检测)如图所示，用两根细线把A 、B 两小球悬挂在天花板上的同一点O ，并用第三根细线连接A 、B 两小球，然后用某个力F 作用在小球A 上，使三根细线均处于直线状态，且OB 细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态。

共点力均衡1. 如图 1 所示，表面粗拙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P 、 Q 用轻绳连结并越过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦） ， P 悬于空中， Q 放在斜面上，均处于静止状态。

当用水平向左的恒力推 Q 时， P 、 Q 仍静止不动，则Ａ . Q 遇到的摩擦力必定变小 Ｂ . Q 遇到的摩擦力必定变大Ｃ . 轻绳上拉力必定变小Ｄ . 轻绳上拉力必定不变2. 如图 2 所示，搁置在水平面上的物体遇到斜向右下方的压力F 的作用后，仍静止在水平面上．则该物体所受的压力F 和地面给它的静摩擦力的协力的方向是A. 斜向右下方B. 竖直向下C. 斜向左下方D. 以上三种状况都有可能出现3. 如图 3 所示，上表面水平的物体 A 独自放在固定斜面上时，恰巧能沿斜面匀速下滑．若将另一个物体 B 轻轻地搁置在物体 A 上，使 A 、 B 共同沿该斜面下滑，以下说法中正确的选项是A. A 和 B 将共同加快下滑B. A 和 B 将共同减速下滑C. A 和 B 将共同匀速下滑D. 物体 A 遇到的协力增大PQB4. 如图 4 所示，圆滑杆ABC 固定搁置在水平面上，∠ ABC =α．用细线相连的两只轻环 P 、Q图 1图 2图 3α分别套在 AB 、BC 上．若用一个沿 BC 方向的力拉轻环 Q ，使轻环 P 、 Q 间的细线被拉直且两环都处于静止时，该拉力的大小为图 4 P 的拉力大小为 _______，杆对轻环 Q 的弹力 F ，则这时细线对环 大小为 _______．5. 如下图，平均圆滑球夹在竖直墙和长木板之间静止，长木板的下端为固定转动轴．将长木板从图示地点迟缓地转到水平地点的过程中，小球对竖直墙的压力F 1 大小的变化状况将是 _______；小球对长木板的压力 F 2 大小的变化状况将是 _______ ．- 1 -6.如下图，一根轻绳左端固定在水平天花板上，挨次穿过不计质量和摩擦的动滑轮和定滑轮后，悬挂重 G1的物体 A，在动滑轮下悬挂重 G2的物体 B，系统恰巧处于静止状态．求：⑴若 G1=G2=10N，静止时细绳与天花板间的夹角α=？⑵若测得 G1=10N，α=37°，那么 G2=？αG1G27. 如下图，两个完整同样的小球，重量都为G，与水平面间的摩擦因数都是μ，两球间用一根轻线相连．在轻线的中点处，使劲 F 竖直向上拉，轻线被拉直时两段线间的夹角为α．求：F起码多大时，两球才会发生滑动？α8.如下图，两个完整同样的小球 A、 B，质量均为 m，半径均为 r ，叠放后静止在竖直搁置的内壁圆滑的圆桶内，圆桶内部的直径为 3r．求B球对桶壁的压力F1和对桶底的压力F2的大小各是多少？9. 可看作质点的两个小球1、 2 用细线相连，搭在圆滑的半圆柱体上，在图示地点两小球- 2 -恰巧都能保持静止。

第4讲 牛顿第三定律 共点力平衡目标要求 1.理解牛顿第三定律的内容，并能区分作用力和反作用力与一对平衡力.2.熟练掌握受力分析的步骤，会灵活应用整体法、隔离法并结合牛顿第三定律进行受力分析.3.理解共点力平衡的条件，会解共点力平衡问题．考点一 牛顿第三定律1．作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是相互的，一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体一定同时对前一个物体也施加了力．2．内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上． 3．相互作用力的特点 (1)三同⎩⎪⎨⎪⎧同大小同时产生、变化、消失同性质(2)三异⎩⎪⎨⎪⎧反向异体，即作用力、反作用力作用在不同物体上不同效果(3)二无关⎩⎪⎨⎪⎧与相互作用的两物体的运动状态无关与是否和其他物体相互作用无关1．作用力与反作用力的效果可以相互抵消．( × )2．人走在松软土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力．( × ) 3．物体静止在水平地面上，受到的重力和支持力为一对作用力和反作用力．( × )一对平衡力与作用力和反作用力的比较名称项目 一对平衡力 作用力和反作用力 作用对象同一个物体两个相互作用的不同物体作用时间不一定同时产生、同时消失一定同时产生、同时消失力的性质不一定相同一定相同作用效果可相互抵消不可抵消考向1牛顿第三定律的理解例1(多选)如图所示，体育项目“押加”实际上相当于两个人拔河，如果甲、乙两人在“押加”比赛中，甲获胜，则下列说法中正确的是()A．甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力，所以甲获胜B．当甲把乙匀速拉过去时，甲对乙的拉力等于乙对甲的拉力C．当甲把乙加速拉过去时，甲对乙的拉力大于乙对甲的拉力D．甲对乙的拉力大小始终等于乙对甲的拉力大小，只是地面对甲的摩擦力大于地面对乙的摩擦力，所以甲获胜答案BD解析甲对乙的拉力与乙对甲的拉力是一对作用力与反作用力，大小相等，与二者的运动状态无关，即不管哪个获胜，甲对乙的拉力大小始终等于乙对甲的拉力大小，当地面对甲的摩擦力大于地面对乙的摩擦力时，甲才能获胜，故A、C错误，B、D正确．考向2相互作用力与一对平衡力的比较例2(2023·浙江省十校联盟联考)春节晚会上杂技《绽放》表演了花样飞天，如图是女演员举起男演员的一个场景，两位杂技演员处于静止状态．下列说法正确的是()A．水平地面对女演员的摩擦力水平向右B．水平地面对女演员的支持力和女演员所受重力是一对平衡力C．女演员对男演员的作用力大小小于男演员对女演员的作用力大小D．女演员对男演员的作用力大小等于男演员所受重力大小答案 D解析对男、女演员整体分析，根据平衡条件可知，水平地面对女演员的摩擦力为零，水平地面对女演员的支持力与男、女演员重力之和是一对平衡力，故A、B错误；女演员对男演员的作用力与男演员对女演员的作用力是一对相互作用力，根据牛顿第三定律可知，女演员对男演员的作用力与男演员对女演员的作用力大小相等、方向相反，故C错误；对男演员分析，根据平衡条件得，女演员对男演员的作用力大小等于男演员所受重力大小，故D正确．考向3转换研究对象在受力分析中的应用例3(2023·河北邢台市质检)一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示．已知重力加速度为g，环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱子对地面的压力大小为()A．Mg＋mg－ma B．Mg－mg＋maC．Mg＋mg D．Mg－mg答案 A解析环在竖直方向上受重力及箱子内的杆对它的竖直向上的摩擦力f，受力情况如图甲所示，根据牛顿第三定律，环应给杆一个竖直向下的摩擦力f′，故箱子竖直方向上受重力Mg、地面对它的支持力N及环给它的摩擦力f′，受力情况如图乙所示．以环为研究对象，有mg －f＝ma，以箱子和杆整体为研究对象，有N＝f′＋Mg＝f＋Mg＝Mg＋mg－ma.根据牛顿第三定律，箱子对地面的压力大小等于地面对箱子的支持力大小，即N′＝Mg＋mg－ma，故选项A正确．在对物体进行受力分析时，如果不便直接通过分析求出物体受到的某些力时，可先求它的反作用力，再反过来求待求力．如求压力时，可先求支持力，在许多问题中，摩擦力的求解亦是如此．可见牛顿第三定律将起到非常重要的转换研究对象的作用，使得我们对问题的分析思路更灵活、更宽阔．考点二受力分析1．受力分析的一般步骤2．整体法与隔离法整体法隔离法概念将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法选用原则研究系统外的物体对系统整体的作用力或求系统整体的加速度研究系统内物体之间的相互作用力3.受力分析的三个技巧(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆．(2)除了根据力的性质和特点进行判断，假设法是判断弹力、摩擦力的有无及方向的常用方法．(3)善于转换研究对象，尤其是在弹力、摩擦力的方向不易判定的情形中，可以分析与其接触物体的受力，再应用牛顿第三定律判定．例4(多选)如图所示，两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上．关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是()A．A一定受到四个力B．B可能受到四个力C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力D．A与B之间一定有摩擦力答案AD解析由题可知，A、B均处于平衡状态，对A、B整体受力分析，如图甲所示，受到向下的重力和向上的推力F，由平衡条件可知B与墙壁之间不可能有弹力，因此也不可能有摩擦力，C错误；对B受力分析，如图乙所示，受到重力、A对B的弹力及摩擦力，故B受到三个力，B错误；对A受力分析，如图丙所示，受到重力、推力、B对A的弹力和摩擦力，共四个力，A、D正确．例5(2023·湖南师范大学附属中学高三月考)如图所示，a、b两个小球穿在一根粗糙的固定杆上(球的小孔比杆的直径大)，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面成θ角，不计滑轮的一切摩擦，重力加速度为g.当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为θ，Ob段绳沿竖直方向，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．a一定受到4个力的作用B．b只可能受到2个力的作用C．绳子对a的拉力大小有可能等于mgD．a的质量一定为m tan θ答案 C解析对a和b受力分析可知，a可能受重力、杆的支持力、绳的拉力3个力的作用，可能还受摩擦力共4个力的作用，b受重力、绳的拉力2个力或重力、绳的拉力、杆的支持力、摩擦力4个力的作用，选项A、B错误；对b受力分析可知，b受绳子拉力大小可能等于mg，因此绳子对a 的拉力大小可能等于mg ，选项C 正确；对a 受力分析，如果a 、b 所受摩擦力均为零，则由G a sin θ＝mg cos θ可得G a ＝mg tan θ，即m a ＝mtan θ，选项D 错误．考点三 共点力的平衡条件及应用1．共点力的平衡(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动． (2)平衡条件：F 合＝0或F x ＝0，F y ＝0.(3)常用推论①若物体受n 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n －1)个力的合力大小相等、方向相反．②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形． 2．处理共点力平衡问题的基本思路确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．求解共点力平衡问题的常用方法：1．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡． 2．正交分解法：F x 合＝0，F y 合＝0，常用于多力平衡．3．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形．考向1 合成法例6 (2020·全国卷Ⅲ·17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于( )A．45°B．55°C．60°D．70°答案 B解析取O点为研究对象，O点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示，T1＝T2，两力的合力与F等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故选B.考向2矢量三角形法例7(2023·广东省模拟)如图所示的装置，杆QO沿竖直方向固定，且顶端有一光滑的定滑轮，轻杆OP用铰链固定于O点且可绕O点转动，用两根轻绳分别拴接质量分别为m1、m2的小球并系于P点，其中拴接m1小球的轻绳跨过定滑轮，已知O点到滑轮顶端Q的距离等于OP，当系统平衡时两杆的夹角为α＝120°，则m1∶m2为()A．1∶2 B.3∶2C．1∶1 D.3∶1答案 D解析以结点P为研究对象，受力分析如图所示，则拴接小球m1轻绳的拉力大小等于m1g，由力的平衡条件将杆OP的支持力与轻绳的拉力合成，可得m1g＝2m2g cos 30°，解得m1∶m2＝3∶1，故A、B、C错误，D正确．考向3 正交分解法例8 如图，一物块在水平拉力F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F 的大小不变，而将方向变成与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．则物块与桌面间的动摩擦因数为( )A ．2－ 3 B.36 C.33 D.32答案 C解析 当F 水平时，根据平衡条件得F ＝μmg ；当保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°角时，由平衡条件得F cos 60°＝μ(mg －F sin 60°)，联立解得μ＝33，故选项C 正确．考向4 整体法、隔离法解决静态平衡问题例9 如图所示，两个质量均为m 的小球通过两根轻弹簧A 、B 连接，在水平外力F 作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A 、B 的劲度系数分别为k A 、k B ，且原长相等．弹簧A 、B 与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A 、B 中的拉力分别为F A 、F B ，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g ，则( )A ．tan θ＝12B ．k A ＝k BC ．F A ＝3mgD ．F B ＝2mg答案 A解析 对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得F ＝mg tan 45°＝mg ，F B ＝mg cos 45°＝2mg ；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得tan θ＝F2mg ，又F ＝mg ，解得tan θ＝12，F A ＝(2mg )2＋F 2＝5mg ，由题可知两弹簧的形变量相等，则有x ＝F Ak A＝F B k B ，解得k A k B ＝F A F B ＝52，故A 正确，B 、C 、D 错误．课时精练1.如图所示是厨房用来悬挂厨具的小吸盘，其原理是排开吸盘与墙壁之间的空气，依靠大气压紧紧地将吸盘压在厨房的竖直墙壁上，可用来悬挂比较轻的厨具，安装拆卸都很方便，以下说法正确的是( )A ．墙壁对吸盘的作用力的合力竖直向上B ．大气压变大，吸盘受到的摩擦力也变大C ．吸盘与墙壁之间只有一对作用力与反作用力D ．空气对吸盘的压力与墙壁对吸盘的支持力是一对平衡力 答案 D解析 墙壁对吸盘的作用力有竖直向上的摩擦力和水平方向的支持力，合力方向不是竖直向上，故A 错误；吸盘受到的摩擦力与吸盘和物体所受重力大小相等，不会变化，故B 错误；吸盘与墙壁之间有水平方向和竖直方向两对作用力与反作用力，故C错误；空气对吸盘的压力与墙壁对吸盘的支持力是一对平衡力，故D正确．2.如图所示，一块长木板两端分别固定在水平面上，两块相同的磁体甲和乙各自被吸附在木板正对的两个面上且处于静止状态．若磁体之间的作用力与木板垂直，则()A．磁体乙可能受到三力的作用B．两块磁体受到的摩擦力方向相反C．撤去磁体乙，磁体甲一定保持静止D．木板对磁体甲的作用力大于木板对磁体乙的作用力答案 D解析磁体乙受到重力、磁体甲的吸引力、木板的弹力和摩擦力共四个力的作用，选项A错误．两块磁体受到的摩擦力均沿斜木板向上，方向相同，选项B错误．撤去磁体乙，磁体甲对木板的压力减小，最大静摩擦力减小，则磁体甲不一定保持静止，选项C错误．木板对磁体甲的作用力等于甲向下的重力和磁体乙对甲的垂直木板向下的引力的合力；木板对磁体乙的作用力等于乙向下的重力和甲对乙的垂直木板向上的引力的合力；虽然两磁体的重力相等，乙对甲的引力大小等于甲对乙的引力大小，但甲的重力与磁体乙对甲的引力之间的夹角小于90°，而乙的重力与磁体甲对乙的引力之间的夹角大于90°，可知磁体甲的重力与磁体乙对甲的引力的合力大于磁体乙的重力与磁体甲对乙的引力的合力，即木板对磁体甲的作用力大于木板对磁体乙的作用力，选项D正确．3.(多选)如图所示，在水平力F作用下，A、B保持静止．若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则B的受力个数可能为()A．3个B．4个C．5个D．6个答案BC解析先对A、B整体受力分析，受重力、水平力F、支持力；当水平力F平行斜面向上的分力大于重力沿斜面向下的分力时，有上滑趋势，此时受到沿斜面向下的静摩擦力；当水平力F平行斜面向上的分力小于重力沿斜面向下的分力时，有下滑趋势，此时受到沿斜面向上的静摩擦力；当水平力F平行斜面向上的分力等于重力沿斜面向下的分力时，无相对滑动趋势，此时与斜面间无摩擦力；再对A受力分析，受水平力F、重力、支持力和向左的静摩擦力，共4个力；最后对B受力分析，受重力、A对它的压力和向右的静摩擦力，斜面对B的支持力，若B相对斜面有滑动趋势，则还要受到斜面的静摩擦力，若B相对斜面无滑动趋势，则不受斜面的摩擦力，即B可能受4个力，也可能受5个力，故选B、C.4.(2022·广东卷·1)如图是可用来制作豆腐的石磨．木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态．O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°.下列关系式正确的是()A．F＝F1B．F＝2F1C．F＝3F1D．F＝3F1答案 D解析以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝30°，在竖直方向上，由平衡条件可得F1cos 30°＋F2cos 30°＝F，又F1＝F2，可得F＝3F1，故D正确，A、B、C错误．5.(2022·浙江6月选考·10)如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°.一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的()A ．作用力为33GB ．作用力为36GC ．摩擦力为34G D ．摩擦力为38G 答案 B解析 设斜杆的弹力大小为F ，以水平横杆和物体为整体，在竖直方向上根据受力平衡可得4F cos 30°＝G ，解得F ＝36G ，以其中一斜杆为研究对象，其受力如图所示，可知每根斜杆受到地面的作用力应与F 平衡，即大小为36G ，每根斜杆受到地面的摩擦力大小为f ＝F sin 30°＝312G ，B 正确，A 、C 、D 错误．6．(多选)(2023·福建连城县第一中学模拟)如图所示，将一劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R 的半球形容器底部O ′处(O 为球心)，弹簧另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点．已知容器与水平面间的动摩擦因数为μ，OP 与水平方向间的夹角θ＝30°，重力加速度为g ，弹簧处于弹性限度内．下列说法正确的是( )A ．水平面对容器有水平向左的摩擦力B ．弹簧对小球的作用力大小为12mgC ．容器对小球的作用力大小为mgD ．弹簧原长为R ＋mgk答案 CD解析 对小球受力分析，受重力G 、弹簧的弹力F 和容器的支持力N ，如图，由几何关系知N ＝F ＝mg ，B 错误，C 正确；以容器和小球整体为研究对象，受力分析可知，在竖直方向上整体受总重力、地面的支持力，水平方向上水平面对半球形容器没有摩擦力，A 错误；由胡克定律得，弹簧的压缩量Δx ＝F k ＝mg k ，则弹簧的原长为R ＋Δx ＝R ＋mgk ，D 正确．7.(2023·福建省模拟)对小明家的自建房进行房屋改造，工人们采用如图所示的方式把建材运送到楼上．站在楼上的工人甲(未画出)用细绳AO 把建材缓慢往上提，同时为防止建材与墙碰撞，站在地面上的工人乙用绳BO 把建材拉离墙面一定距离．某时刻细绳AO 与竖直方向的夹角α＝37°，细绳BO 与竖直方向的夹角为β＝53°，已知建材质量为21 kg ，工人甲、乙的质量均为60 kg.两个工人均保持静止，细绳质量忽略不计，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，重力加速度g 取10 m/s 2.则( )A ．细绳AO 中的拉力大小为450 NB ．细绳BO 中的拉力大小为600 NC ．地面对工人乙的支持力大小为300 ND ．地面对工人乙的摩擦力大小为360 N 答案 D解析 以结点O 为研究对象，受到竖直向下的拉力F 、细绳OA 和OB 的拉力，如图所示；由题意知F ＝m 建g ，在竖直方向根据平衡条件可得F A cos α＝m 建g ＋F B cos β，在水平方向根据平衡条件可得F A sin α＝F B sin β，联立解得F A ＝600 N ，F B ＝450 N ，A 、B 错误；以工人乙为研究对象，水平方向根据平衡条件可得工人乙受到地面的摩擦力为f＝F B′sin β＝450×0.8 N＝360 N，方向向左，地面对工人乙的支持力大小为N＝m乙g－F B′cos β＝330 N，C错误，D正确．8.(多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所示的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆．转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面上．∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g.则()A．CO杆所受的压力大小为2mgB．CO杆所受的压力大小为233mgC．AO绳所受的拉力大小为3mgD．BO绳所受的拉力大小为mg答案AD解析以O点为研究对象，O点受到衣服的拉力T、CO杆的支持力F1和绳AO、BO的拉力，设绳AO和绳BO拉力的合力为F，作出O点的受力示意图如图甲所示，根据平衡条件得F1＝mgcos 60°＝2mg，由牛顿第三定律知CO杆所受的压力大小为2mg，故A正确，B错误；由图甲分析可知F＝mg tan 60°＝3mg，将F沿OA、OB方向分解，如图乙所示，设绳AO 和绳BO所受拉力分别为F2、F2′，且F2＝F2′，则F＝2F2cos 30°，解得F2＝mg，故C错误，D正确．9．(多选)(2023·吉林松原市模拟)如图所示，穿过光滑动滑轮的轻绳两端分别固定在M、N两点，质量为m的物块通过轻绳拴接在动滑轮的轴上，给物块施加一个水平向左的拉力F，系统静止平衡时，滑轮到固定点M 、N 的两部分轻绳与水平方向的夹角分别为53°和37°，滑轮质量忽略不计，重力加速度为g ，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8.下列说法正确的是( )A ．跨过滑轮的轻绳中的张力大小为5mg 7B ．作用在物块上的水平拉力大小为mgC ．物块与滑轮间的轻绳中的张力大小为10mg7D ．物块与滑轮间的轻绳与竖直方向夹角的正切值为34答案 AB解析 把动滑轮及物块看作一个整体，设跨过滑轮的轻绳上的张力大小为T ，整体在竖直方向上受力平衡，则有T sin 53°＋T sin 37°＝mg ，解得T ＝57mg ，水平方向上有T cos 53°＋T cos 37°＝F ，求得作用在物块上的水平拉力大小为F ＝mg ，故A 、B 正确；隔离物块进行受力分析，则由平衡条件可得物块与滑轮间的轻绳中的张力大小为T ′＝(mg )2＋F 2＝2mg ，由数学知识可知物块与滑轮间的轻绳中的张力与竖直方向成45°角，则tan 45°＝1，故C 、D 错误． 10.(2023·重庆市西南大学附中高三检测)挂灯笼的习俗起源于西汉．如图所示，由五根等长的轻质细绳悬挂起质量分别为m 、km 、km 、m (k >0)的灯笼A 、B 、C 、D ，下面细绳是水平的，上面两细绳与水平方向夹角均为θ1，A 、B 及C 、D 间两细绳与竖直方向夹角均为θ2.下列关系式正确的是( )A ．θ1＝θ2B ．kθ1＝θ2C ．tan θ1·tan θ2＝k ＋1kD.tan θ1tan θ2＝k k ＋1答案 C解析 对A 、B 整体受力分析，设下面细绳上的拉力为T ，由几何关系得tan θ1＝(k ＋1)mgT ，对B 受力分析，由几何关系得tan θ2＝Tkmg，所以tan θ1·tan θ2＝k ＋1k，故选C.11.(2023·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A 、B ，A 球的质量是B 球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A 和B ，一切摩擦不计，平衡时OA 和OB 的长度之比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶3D ．1∶4 答案 C解析 设绳上拉力为T ，OA 长L 1，OB 长L 2，过O 点作竖直向下的辅助线交AB 于C 点，如图所示，由三角形相似有T m A g ＝L 1OC ，T m B g ＝L 2OC ，得L 1L 2＝13，故A 、B 、D 错误，C 正确．12.如图所示，质量为2m 的物块A 静置于水平台面上，质量为M 的半球体C 静置于水平地面上，质量为m 的光滑小球B (可视为质点)放在半球体C 上，P 点为三根轻绳P A 、PB 、PO 的结点．系统在图示位置处于静止状态，P 点位于半球体球心的正上方，PO 竖直，P A 水平，PB 刚好与半球体相切且与竖直方向的夹角θ＝30°.已知物块A 与台面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g ，则( )A ．绳OP 的拉力大小为mgB ．A 受到的摩擦力大小为2μmgC ．C 受到的摩擦力大小为34mg D ．地面对C 的支持力大小为(M ＋m )g 答案 C解析 对小球B 受力分析，如图所示，绳PB 的拉力大小F ＝mg cos θ＝32mg ，对结点P 受力分析可知，绳AP 的拉力大小为T 1＝F sin θ＝34mg ，绳OP 的拉力大小T 2＝F cos θ＝34mg ，故A 错误；对物块A 受力分析可知，物块A 所受摩擦力f A ＝T 1＝34mg ，故B 错误；对绳PB 、结点P 和小球B 、半球体C 整体受力分析可知，半球体C 受到的摩擦力大小f C ＝T 1＝34mg ，地面对半球体C 的支持力大小为N C ＝(M ＋m )g －T 2＝Mg ＋14mg ，故C 正确，D 错误．。

2.5 共点力作用下的物体平衡一、考点聚焦共点力作用下物体的平衡 Ⅱ级要求二、知识扫描1．共点力：作于物体上同一点的力，或力的作用线相交于一点的力叫做共点力．2．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态．物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态．物体的加速度为零，而速度不为零，且保持不变的状态是匀速直线运动状态．3．共点作用下的物体的平衡条件：共点作用下的物体的平衡条件是物体所受合外力零，即F 合= 0．在正交分解形式下的表达式为F x = 0，F y = 0．4．关于平衡问题的几点说明：(1) 若物体受两个力作用而平衡，则这两个力一定大小相等，方向相反，且作用在同一直线．(2) 若一个物体受三个力而平衡，则三个力中任意两个力的合力必与第三个力小相等，方向相反，且作用在同一直线．若这三个力是非平行力，则三个力一定是共点力，简称为不平行必共点．如果将三个力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭三角形．三、好题精析例1 有一个直角支架AOB ，AO 是水平放置，表面粗糙．OB 竖直向下，表面光滑．OA 上套有小环P ，OB 套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图2-5-1所示．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对P 的支持力F N 和细绳上的拉力F的变化情况是：（ ）A ．F N 不变，F 变大B ．F N 不变，F 变小C ．F N 变大，F 变大D ．F N 变大，F 变小〖解析〗选择环P 、Q 和细绳为研究对象．在竖直方向上只受重力和支持力F N 的作用，而环动移前后系统的重力保持不变，故F N 保持不变．取环Q为研究对象，其受如图2-5-1(解)所示．F cos α = mg ，当P 环向左移时，α将变小，故F 变小，正确答案为B ．〖点评〗利用整体与隔离相结合的方法分析求解是本题解决问题的重要思想方法与手段． 例2 如图2-5-2所示，轻绳的A 端固定在天花板上，B 端系一个重力为G 的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上．已知AB 绳长为l ，大球半径为R ，天花板到大球顶点的竖直距离AC = d ，∠ABO > 900．求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小．（小球可视为质点）〖解析〗小球为研究对象，其受力如图1.4.2(解)所示．绳的拉力F 、重力G 、支持力F N 三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB 相似，则根据相似比的关系得到：l F =R d G +=R F N ，于是解得F = Rd l +G ，F N = Rd R +G ． 〖点评〗本题借助于题设条件中的长度关系与矢量在角形的特殊结构特点，运用相似三角形巧妙地回避了一些较为繁琐的计算过程．图2-5-2 图1.4-2(解) 图2-5-1 图2-5-1(解)例3 如图2-5-3所示，用细线AO 、BO 悬挂重力，BO 是水平的，AO 与竖直方向成α角．如果改变BO 长度使β角减小，而保持O 点不动，角α（α < 450）不变，在β角减小到等于α角的过程中，两细线拉力有何变化？〖解析〗取O 为研究对象，O 点受细线AO 、BO 的拉力分别为F 1、F 2，挂重力的细线拉力F 3 = mg ．F 1、F 2的合力F 与F 3大小相等方向相反．又因为F 1的方向不变，F 的末端作射线平行于F 2，那么随着β角的减小F 2末端在这条射线上移动，如图2-5-3(解)所示．由图可以看出，F 2先减小，后增大，而F 1则逐渐减小．〖点评〗一般情况下，物体已知合力与一个分力的方向，求其中一个合力或两个分力的变化情况时，用图解法可以简化繁琐的数学论证过程，提高解题效率．例4 一表面粗糙的斜面，放在水平光滑的地面上，如图2-5-4所示，θ为斜面的倾角．一质量为m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑．若一推力F 用于滑块上使之沿斜面匀速上滑，为了保持斜面静止不动，必须用一大小为f = 4mg cos θsin θ的水平力作用于斜面上，求推力F 的大小和方向．〖解析〗 因物块恰好能够沿斜面下滑，设斜面与物块间的动摩擦因数为μ，则可得到：mg sin θ = μmg cos θ，即μ = tan θ．设推力F 沿斜面的分量为F x ，垂直于斜面的方向的分量为F y ，其受力分析如图2-5-4(解a )所示，其中支持力为F 1、摩擦力为F 2．根据平衡条件列出方程：F x = mg sin θ + F 2、F 1 = F y + mg cos θ且F 2 = μF 1．斜面的受力如图2-5-4(解b )所示，其中Mg 为斜面所受重力，F 3为地面对斜面的支持力，斜面静止：f = F 2cos θ +F 1sin θ．综合上述各式可解得：F x = 3mg sin θ；F y = mg cos θ，则推力F =22y x F F += mg θ2sin 81+，与斜面方向夹角φ满足：tan φ = x y F F = 31tan θ． 〖点评〗本题利用正交分解的方法并通过隔离法对斜面和物块分别研究后建立方程进行求解．例5 如图2-5-5所示，汽车用绳索通过定滑轮牵引小船，使小船匀速靠岸，若水对船的阻力不变，则下列说法中正确的是：（ ）A ．绳子的拉力不断增大B ．船受到的浮力不断减小C ．船受到的合力不断增大D ．绳子的拉力可能不变〖解析〗小船受重力mg 、浮力F 1、绳索拉力F 2、水的阻力F 3作用．其受力如图2-5-5(解)所示，并建立直角坐标系，且设绳索拉力与水平方向成θ角，则由平衡条件：F 2cos θ = F 3、F 2sin θ + F 1 = mg ，在小船匀速靠的过程中，θ角增大，阻力F 3、重力mg 保持不变，故绳索的拉力F 2增大，浮力F 1减小，船受到的合力一直为零．所以A 、B 正确．〖点评〗本题引入角度θ从而建立函数关系式来判断各物理量的变化情况，这种形式是平衡问题常的手段之一．另外，小船匀速靠，但牵引的汽车却做减速运动，根据运动的合成图2-5-3 图2-5-3(解) 图2-5-4 图2-5-4(解a)图2-5-4(解b) 图2-5-5图2-5-5(解 )与分解可知汽车速度和船的速度关系为v车= v船cosθ，随着θ的增大v车减小，即汽车做减速运动．四、变式迁移1．如图所示，物体m在沿斜面向上的拉力F1作用下沿斜面匀速下滑．此过程中斜面仍静止，斜面质量为M，则水平地面对斜面体：A．无摩擦力B．有水平向左的摩擦力C．支持力为(M+m)g D．支持力小于(M+m)g2．如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G．两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ．一根轻绳两端固结在两个球上．在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直时，两段绳间的夹角为α，问当F至少多大时，两球将会发生滑动？五、能力突破1．如图所示，将一条轻绳悬挂在A、B两点，用一个光滑小滑轮将重物挂在绳上，当物体静止时，关于绳的左右两部分的的受力大小的说法中正确的是（）A．左侧受力大B．右侧受力大C．左、右两侧受力大小相等D．条件不足，无法判断2．如图所示，斜面体P放在水平面上，物体Q放在斜面上，Q受到的一个作用力F．P与Q都处于静止状态，这时Q受到的摩擦力大小为F1，P受到水平面的摩擦力大小为F2，若力F 变大，但不破坏P、Q的平衡状态，则（）A．F1、F2都变大B．F1变大，F2不一定变大C．F2变大，F1不一定变大3．如图所示，两光滑硬杆OA、OB成α角，在两杆上套上轻环P、Q，两环用轻绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，当两环稳定时，轻绳的拉力大小为（）FαsinFC．F cosαD．αcos4．如图所示的装置中，增加B的重力，A仍然保持静止状态，则正确的是（）A．悬挂滑轮的轴对滑轮的作用力一定增大B．绳子对A的拉力增大C．地面对A物体的摩擦力一定增大D．A物体对地面的压力增大5．如图所示，质量m = 10Kg，M = 30Kg的两物体叠放在动摩擦因数为0.50的粗糙水平面上。