下载文档原格式
金融衍生品公式金融衍生品公式1. 期权定价公式•黑-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的公式。
•公式为：C(S,t)=S0e−qt N(d1)−Xe−rt N(d2)这里: - C 是期权价格 - S 是标的资产价格 - t 是剩余到期时间 - S0 是标的资产初始价格 - X 是期权执行价格 - r 是无风险利率 - q 是年化红利率 - N 是标准正态分布函数 - d1 和 d2 是黑-斯科尔斯模型中的变量例子：假设某个股票当前市价为100元，期权执行价格为110元，剩余到期时间为1年，无风险利率为5%，年化红利率为2%，标准正态分布函数N(d1)为，N(d2)为。
根据黑-斯科尔斯期权定价模型，可以计算出该欧式期权的价格为：C(100,1)=100e−×−110e−×=2. 期权希腊字母公式•期权希腊字母是用来衡量期权价格对不同因素的敏感度的参数。
delta（Δ）•Delta表示期权价格对标的资产价格变动的敏感度。
•公式为：Δ=∂C ∂S这里，Δ代表期权的delta值，C代表期权价格，S代表标的资产价格。
例子：如果某个欧式认购期权的delta值为，标的资产价格上涨1单位，则期权价格预计上涨单位。
gamma（Γ）•Gamma表示期权价格对标的资产价格变动的delta的变动率。
•公式为：Γ=∂2C ∂S2这里，Γ代表期权的gamma值，C代表期权价格，S代表标的资产价格。
例子：如果某个欧式认购期权的gamma值为，标的资产价格上涨1单位，则期权的delta值将增加单位。
theta（Θ）•Theta表示期权价格对时间变动的敏感度。
•公式为：Θ=∂C ∂t这里，Θ代表期权的theta值，C代表期权价格，t代表剩余到期时间。
例子：如果某个欧式认购期权的theta值为-，时间过去1天，则该期权价格预计下降单位。
vega（ν）•Vega表示期权价格对标的资产价格波动率变动的敏感度。
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。
其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
µ和σ都是已知的。
简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。
6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。
7．所有⽆风险套利机会均被消除。
⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf Sf S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。
S 遵循几何布朗运动，即dS dt dz。
S其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（ dz dt ，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1 的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
和都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5.在期权有效期内，无风险利率 r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
1、 Black-Scholes 期权定价模型一) B-S 期权定价公式Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的 Black-Schole 微分方程：其中 f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程， Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看 涨期权的定价公式： c SN(d 1) Xe r (T t) N(d 2)其中，Ttd ln(S/X) (r 2/2)(T t) dT td 2 d 1T t Tt c 为无收益资产欧式看涨期权价格； N ( x )为标准正态分布变量的累计概率 分布函数(即这个变量小于 x 的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 N( x) 1 N(x) 。
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
bs公式符号理解BS公式，全称为Black-Scholes公式，是金融学中用于计算欧式期权价格的一种数学模型。
它由美国经济学家费雪·布莱克和美国经济学家默顿·斯科尔斯于1973年提出，因此得名Black-Scholes公式。
BS公式的核心思想是通过对期权价格的构建，将期权价格与标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率和标的资产的波动率等因素联系起来。
BS公式的应用范围主要是欧式期权，即只能在到期日行权的期权。
BS公式的符号解释如下：- S：标的资产的价格，也称为标的资产价格。
- K：行权价格，即期权合约规定的买卖标的资产的价格。
- t：当前时间，一般以年为单位，例如0.5表示半年。
- T：期权到期时间，即期权合约有效的时间长度。
- r：无风险利率，表示在无风险投资中可以获得的收益。
- σ：标的资产的波动率，用来衡量标的资产价格的波动程度。
- N(x)：标准正态分布函数，表示随机变量小于等于x的概率。
根据BS公式，欧式期权的价格（C）可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - K * e^(-r*(T-t)) * N(d2)其中，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S/K) + (r + σ^2/2)*(T-t)) / (σ * √(T-t))d2 = d1 - σ * √(T-t)BS公式的原理是基于风险中性定价理论，假设市场上不存在套利机会，即无论市场行情如何，投资者都可以通过组合风险资产和无风险资产来达到相同的收益。
BS公式通过对期权价格进行建模，将期权价格与标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率和标的资产的波动率等因素联系起来，使投资者可以根据市场的情况来确定期权的价格。
需要注意的是，BS公式是一种理论模型，它假设市场是完全有效的，不存在交易成本和税收，并且标的资产的价格服从对数正态分布。
然而，实际市场情况往往复杂，存在许多因素会影响期权价格，因此BS公式在实际应用中可能存在一定的局限性。
