湘潭大学数值分析2015年研究生考试试卷(A)

中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

2014/2015 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称 数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有 位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为 ；用ˆπˆe u= 作为πe u =的近似值 具有 位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是 。

5. 取权函数()x ρ=[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的内积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有 次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。

湘潭大学2015年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲科目科目名称考试大纲代码数学分析适用于数学一级学科硕士研究生招生入学考试。

重点考核学生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。

考查的知识要点如下：1．集合与映射：集合与映射的概念及运算，一元函数的概念，初等函数，复合函数，函数的分段表示，隐式表示，参数表示，函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，三角不等式与均值不等式。

2．数列的极限：实数系，最大数与最小数，上确界与下确界的ε-定义, 数列极限的性质，概念，实数系的连续性，数列极限的N数列极限的四则运算法则，无穷小量与无穷大量的概念，Stolz定理,单调有界数列必有极限，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛原理。

3．函数极限与连续函数：函数极限的概念、性质和四则运算法则，函数极限与数列极限的关系，单侧极限，函数极限定义的扩充，连续的概念，连续函数的四则运算法则，不连续点的类型，反函数的连续性，复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最值定理，介值定理，零点存在定理，一致连续概念，Cantor定理.）。

4．导数：导数的概念，几何意义，基本初等函数的求导公式，求导的四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，用参数方程表示的函数的求导法，可导与连续的关系，微分的概念及四则运算法则，复合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数、高阶微分的概念，高阶导数的运算法则，一些简单函数的高阶导数、高阶微分。

5．微分中值定理及应用：罗尔定理、Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，一元函数单调性的概念及判别，极值的概念及求法，函数的最值的求法，函数图形的凹凸性和拐点，渐近线的概念及求法，函数图形的描绘。

6．不定积分：不定积分的概念，不定积分的基本公式及运算法则，换元法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理分式的积分。

武 汉 大 学2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b Î时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。

二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中211625608A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 226768b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、（14分）设方程组123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌其中a 为常数。

（1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；（2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。

四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。

五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分21320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。

六、（12求形如 y bx x=+ 的拟合曲线。

七、（14分）（1）对初值问题00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ìïï=ïÎíïï=ïî验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的；（2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）：(0)1dy dt y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑⎰=≈nk k k ba x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式，并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=ba n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>。

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，1试题__2016_年~__2017__年第1学期课程名称： 数值计算方法 专业年级： 2016级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。

一、选择题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1、设设()849310f x x x =++，则0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦L 为( )。

（A ）、9； （B ）、8； （C ）、1； (D ）、0。

2、设()(0,1,2,,)i l x i n =L 是1n +个互异节点(0,1,2,,)i x i n =L 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（ ）。

（A ）、()230ni ii x l x x ==∑； (B ）、()20ni i j i x l x x ==∑；（C ）、()01ni i l x ==∑； （D ）、()20ni i i x l x x ==∑。

3、设矩阵A=1002-⎛⎫⎪⎝⎭, 则Cond(A)∞为( )。

(A)、-2； (B)、1； (C)、0； (D)、2。

4、下列说法不正确的是（ ）。

(A)、2(31)/2x -是2次Legendre 多项式； (B)、()[()()]2bab af x dx f a f b -=+⎰余项为3(2)()()12b a f η--；注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A),a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为 ( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 20ln cos lim_________.x xx→= (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.(I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分) 设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）24(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr ππθθθθ⎰⎰（D ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz=.12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一13、n 阶行列式2002-1202002200-12=14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。