电磁场理论讲稿第14讲柱、球坐标分离变量法例题电子信息工程学院例题①图示为一个在z 方向无限长、半径为a ，带有面电荷密度的圆柱面。
若已知1、（常数）2、求：空间的电位分布。
ηϕηη2cos 0=0ηη=)/(2m C )/(2m C解：对于整个空间，除了的圆柱面，都没有电荷分布。
因此将空间分为两个区域。
其电位分布都满足拉普拉斯方程，即有：)/(20m C ηη=a r c =)0(0)(12a r r c <≤=Φ∇)(0)(22a r r c >=Φ∇边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=)()(,)2(21r r a r cΦ=Φ=021)()(,)3(εη=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar在的边界面上，有a r c =crn i i ˆˆ-=系统在z 方向上无限长，所以无限远处，电位不趋于零，而电场趋于零。
2(4),()0c r E r →∞→cr B A r ln )(111+=Φcr B A r ln )(222+=Φ试探解由边界条件，应有：a B A A ln 221+=002εη=-a B 01=B 所以02εηaB -=但是，不确定。
所以得21,A A )0()(11a r A r c <≤=Φ)(ln )(0022a r r a A r c c>-=Φεη解：不确定，但他们的关系为：21,A A aaA A ln 0021εη-=由电位分布可得到电场的分布为：)0(0)(1a r r E c <≤=020ˆ()()cr c ca E r i r a r ηε=>边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=2(2),()0c r E r →∞→)()(,)3(21r r a r cΦ=Φ=ϕεη2cos )()(,)4(0021=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar试探解的形式为：ϕ2cos )()(22cc r B Ar r +=Φ cos ηηϕ=02为了满足边界条件（1）、（2）应选择由边界条件（3）、（4）空间电位分布为：)0(2cos )(211a r r A r c c <≤=Φϕ)(2cos )(22a r r Br c c>=Φϕ3020014,4εηεηaB a A ==)0(2cos 4)(2001a r r a r c c <≤=Φϕεη )(2cos 4)(20302a r r a r c c>=Φϕεη 电场分布为：)0()2sin ˆ2cos ˆ(2)(01a r i i r a r E c r c c<≤+-=ϕϕεηϕ )()2sin ˆ2cos ˆ(2)(3302a r i i r a r E c r c >+=ϕϕεηϕ一个半径为R ，带有面电荷密度η的球面，若已知θηηcos 0=1、（常数）0ηη=)/(2m C )/(2m C 2、求空间电位分布。
