下载文档原格式
教学准备1. 教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．2. 教学重点/难点学重点：直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3. 教学用具4. 标签教学过程新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．学生：积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角形解决．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？学生：观察、思考、感悟．活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．（3）边角之间的关系：学生活动：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）：（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义”．例题讲解例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5．解这个直角三角形．例2 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49．（1）求c的值（精确到0.01）；（2）求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）．学生：1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．积极思考解决办法——运用本节课所学数学知识解决问题，关键要对知识灵活运用．课堂小结课后习题（1）必做题：习题7.5第2、3题；（2）选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为425px的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）。
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的根底，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 〔1〕tan 2cot 1αα-=，且α22tan cot 2αα+-的值。
〔2〕化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。
分析 〔1〕由可以求出tan α22tan cot 2αα+-1tan cot αα=⋅；〔2〕先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。
解 〔1〕由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。
又α是锐角，∴tan 2α=22tan cot 2αα+-＝22tan 2tan cot cot αααα-⋅+2(tan cot )αα-tan cot αα-。
由tan 2α=，得1cot 2α=22tan cot 2αα+-tan cot αα-＝13222-=。
〔2〕()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。
说明 在化简或求值问题中，经常用到“1〞的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。
二、三角函数值，求角例2 在△ABC 中，假设223cos sin 022A B ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。
分析 几个非负数的和为0，那么这几个数均为0。
由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
解 由题意得2cos 0,23sin 0.2A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2cos ,23sin .3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。
锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。
一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。
分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。
解 （1）由t a n 2c o t 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。
又α是锐角，∴tan 2α=＝tan cot αα-。
由t an 2α=，得1c o t 2α=tan cot αα-＝13222-=。
（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。
说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。
二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若2cos sin 02A B ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。
分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。
由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
解由题意得cos 0,2sin 0.2A B ⎧-=⎪⎪-=⎩解得cos ,2sin 3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。
∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。
利用特殊角的三角函数解三角形同学们在解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如︒30、︒45、︒60、︒90。
一般满足条件：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，就可以利用作辅助线互相求解。
1．满足SSS 条件，求角例1 已知：如图1，2=BC ，6=AC ，13+=AB ，求ABC ∆各内角度数。
解：作AB CD ⊥，垂足为D ，设x BD =，则x AD -+=1322222AD AC CD BD BC -==- ，22)13(64x x -+-=-∴，解得1=x ，3=AD21cos ==BC BD B ，∴︒=∠60B 22cos ==AC AD A ， ︒=∠∴45A由三角形内角和定理得︒=∠75ACB答：︒=∠45A ，︒=∠75ACB ，︒=∠60B 。
2．满足SAS 条件，求面积例2 已知：如图2，ABC ∆中︒=∠150A ，5=AB ，4=AC ，求ABC ∆的面积。
解：作BA CD ⊥，垂足为D ，︒=∠150BAC ，︒=∠∴30CAD ，230sin =︒=AC DC521=⨯=∴∆CD AB S ABC 答：5=∆ABC S3．满足AAS 条件，求边例 3 已知如图，ABC ∆中︒=∠60C ，︒=∠75A ，33+=BC ，求AB 和AC 的长。
解：作BC AD ⊥，垂足为D ，则︒=∠45B ，设x DC =，则在A D C ∆Rt ，21cos ==C AC DC x AC 2=∴，x CD C AD 3tan =⋅=.在ABD ∆Rt 中，BD BD B AD =⋅=tan x AD BD 3==∴，x B AD AB 6sin ==由333+=+x x ，得3=x23=∴AB ，32=AC 答：23=AB ，32=AC例4 已知如图4，ABC ∆中︒=∠60B ，5=AB ，1475sin =C ，求AC 和BC 的长。
解：作BC AD ⊥，垂足为D 。
求非特殊角的三角函数值借助初中数学知识，我们可以求出一些非特殊角的三角函数值.由于在求值过程中需综合运用几何、代数知识，因此了解并掌握这些非特殊角的三角函数值的求法对初三数学的综合复习颇有帮助。
笔者现给出18°、22。
5°、36°、75°角正弦值的不同求法，供初三同学参考．1．用“黄金分割"求sin18°值．如图1，作顶角为36°的等腰△ABC，CD为底角C的平分线且交AB于D，AE平分∠A．易证:①△DCA、△CBD均为等腰△；2．用外角定理求sin22。
5°值．如图2,作等腰Rt△ABC，延长CB至D，使BD＝BA,∠ABC＝45°＝∠D+∠DAB＝2∠D故∠D＝22。
5°，令AC＝BC＝13．用角平分线定理求sin36°值.如图3，在等腰△ABC中，∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，CD为∠C平分线，CE⊥AB，易证：AD＝CD＝BC．由角平分线定理可得4．用轴对称图形求sin75°值。
如图4，作正方形ABCD，以CD为边在形内作正△DOC,令正方形边长为2,易知上述四个角的正弦值求法各异，这样做的目的是为了启发同学们学会多种角度地去分析和解决问题。
实际上，上述非特殊角的三角函数值求法还可举出数种,同学们不妨自己动脑筋想一想。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
AB C cb a 锐角三角函数1。
三角函数的定义:在Rt ΔABC 中,如∠C=90°,那么 sinA=c a =斜对； cosA=c b =斜对； tanA=b a =邻对; cotA=a b =对邻。
2．余角三角函数关系 -—-——- “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ；tanA=cotB ； cotA=tanB.3. 同角三角函数关系:sin 2A+cos 2A =1； tanA ·cotA =1。
tanA=Acos A sin 4。
函数的增减性:在锐角的条件下，正弦,正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小。
5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k ， 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们。
6。
解直角三角形:对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边. 7．坡度： i = 1：m = h/l = tan α； 坡角： α.8. 方位角：9．仰角与俯角：北东北偏西30南偏东70lh a i=1:m K 3 K K K K 2 K 230° 45° 60° A B C A B C尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.仰角俯角水平线铅垂线。
求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。
一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） (A) 43 (B) 34 (C) 53 (D) 54 分析：由正方形网格可知角α的对边的长为3，邻边的长为4，要求sin α，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．解：设α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，则a=3，b=4，所以c=54322=+，所以sin α=53=c a ，选(C)． 评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进行求值．二、设参数求解例2、在△ABC 中，∠C =90º，sin B =54，求tan A 的值． 分析：正切函数的定义，sin B =AB AC =54，可设AC=4k ，AB=5k ，再利用勾股定理，求出AB=3k ，根据正切函数的定义可求出tan A 的值。
解：在△ABC 中，∠C =90º，sin B =AB AC =54，则设AC=4k ，AB=5k ，由勾股定理可求，BC =AC AB 22-=3k ，所以tan A ＝43=AC BC ． 评注：在直角三角形中，已知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当已知条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。
三、等角代换法例3、如图2，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，图1设∠ADE ＝∠ACD,且AB ＝3，AD =4，则tan ∠BAC 等于多少分析：要求tan ∠BAC 需求DE 、AE 的长，但计算比较繁，而Rt △ABC 中的边易求出，而由条件易得∠ADE=∠BAC ，所以只需求出tan ∠BAC 即可。
求非特殊角的三角函数值
借助初中数学知识，我们可以求出一些非特殊角的三角函数值.由于在求值过程中需综合运用几何、代数知识，因此了解并掌握这些非特殊角的三角函数值的求法对初三数学的综合复习颇有帮助.笔者现给出18°、22.5°、36°、75°角正弦值的不同求法，供初三同学参考．
1．用“黄金分割”求sin18°值．
如图1，作顶角为36°的等腰△ABC，CD为底角C的平分线且交AB于D，AE平分∠A．
易证：①△DCA、△CBD均为等腰△；
2．用外角定理求sin22.5°值．
如图2，作等腰Rt△ABC，延长CB至D，
使BD＝BA，
∠ABC＝45°
＝∠D+∠DAB＝2∠D
故∠D＝22.5°，
令AC＝BC＝1
3．用角平分线定理求sin36°值.
如图3，在等腰△ABC中，∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，CD为∠C平分线，CE⊥AB，
易证：AD＝CD＝BC．由角平分线定理可得
4．用轴对称图形求sin75°值.
如图4，作正方形ABCD，以CD为边在形内作正△DOC，
令正方形边长为2，易知
上述四个角的正弦值求法各异，这样做的目的是为了启发同学们学会多种角度地去分析和解决问题.实际上，上述非特殊角的三角函数值求法还可举出数种，同学们不妨自己动脑筋想一想。
