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2018年挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK ⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c 经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan ∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P 右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x 轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC 于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；=3S△EBC？若存在求出点（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBCF的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B （1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD 上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H 在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M 从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC 上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD 向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；=S△PAQ，求m的值；（2）若两个三角形面积满足S△POQ（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°=，cos55°=）46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，∴a+a=，解得PT=a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴=，。
中考直通车·数学广州分册第八章专题拓展第24讲常见几何模型【考点解读】常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。
几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。
【考点分析】2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。
2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。
【模型介绍】 手拉手模型：1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，【结论】（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠2016 17 2 全等的判定及其性质、旋转模型 填空题、解答题CDABEFECDBA2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。
【结论】 （1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG =CE（3）AG 与CE 之间的夹角为 90 （4）HD 是否平分AHE ∠？旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ︒∠=∠= 【结论】452ACB ACD BC CD AC ︒∠=∠=+=① ②二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等FED CBAG FED CBA ABC D E ABCD E F【条件】：如图，点分别是正方形的边上的点，，连接；【结论】（1）AFE AGE △△≅ （2） ；一线三等角模型:【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）； 【结论】CDE ABC ∽△△1、锐角形一线三等角2、直角形一线三等角3、钝角形一线三等角【真题拾遗】1．（2014•广州）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB=a ，CG=b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③=；④（a ﹣b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）E F 、ABCD BC CD 、45EAF ∠=︒EFEF BE FD =+A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是．三、解答题3．（2011广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．4．（2016广州中考）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题1、C考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE 相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．解答：证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．④∵DC∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故应选B点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．二、填空题2、①②③考点：三角形全等、三角形内角和、菱形分析：首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在RT△ADE和RT△GDE中，，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=67.5°，∴AE=AF，同理EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，故①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误故答案为①②③．点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．三、解答题3、考点：（1）三点共线（2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同（2）分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2）一样．解答：（1）证明：∵AB是直径，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三点共线；（2）连接BD ，AE ，ON ，延长BD 交AE 于F ，如图1，∵CB=CA ，CD=CE ，∴Rt △BCD ≌Rt △ACE ，∴BD=AE ，∠EBD=∠CAE ， ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF ⊥AE ，又∵M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，而O 为AB 的中点， ∴BD 21 =ON ，AE 21=OM ，ON ∥BD ，AE ∥OM ； ∴ON=OM ，ON ⊥OM ，即△ONM 为等腰直角三角形， ∴MN=OM ；（3）成立．理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB ﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1， ∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA ，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1， 与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1=OM1．点评：本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切入点，可以非常顺利的解决本题。
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1弧中点的运用CD⌒F E.⊥是AD的中点，CEAB于点在⊙O中，点C PABEO中，你会发现这些结论吗？1）在图1（；CP＝FP①AP＝H＝AD；②CH2. AB·CB＝AE②AC·＝AP·AD＝CF ABC相似的三角形吗？2）在图2中，你能找出所有与△（1）（图【典例】，AB，CD，E在⊙O⊥上，＝的直径，点（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙OC．CD与线段相交于点F垂足为点D，连接BE，弦BE＝BF；CF（1）求证：．求证：的半径为6＝4，⊙OABEcos∠BM＝，在AB的延长线上取一点M，使2（）若O的切线．直线CM是⊙【变式运用】是半圆的直径，AB如图，·四川宜宾）1.（2018EAB于点AC的中点，DE⊥是一条弦，ACD是，＝，于点交，于点交且DEACFDBACG若）1-2（图则＝．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别·泸州）（.20182平分∠BAD和∠ADC。
(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接FG值。
＝8，求，已知CD＝5，AEDF交AE于G AFAD G F CBE9图）（图1-3AD的中点，弦CE⊥ABO的直径，C是（2017·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙3.于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)求证：P是线段AQ的中点；的长。
＝CEO的半径为5，AQ，求弦若⊙(2)，相交于点EBDOABCD内接于⊙，AB是⊙O的直径，AC和?4．（2016泸州）如图，四边形2?且DC＝CECA．1）求证：CD；BC＝（作APAB（2）分别延长，DC交于点，过点，OBPB的延长线于点F，若＝CDCDAF⊥交的长．CD＝DF，求5．（2015?泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；的长．，求OF6，CD＝5（2）若AE＝ACABABPABOC5. ＝是⊙＝的直径，、13是弧，6.如图，上的两点，PAPAB是弧的长；的中点，求(1)如图①，若PAPBC. 是弧的长(2)如图②，若的中点，求ODDABABCOOACBO作⊙内接于⊙的平分线交⊙，且为⊙7.如图，△，过点的直径．∠于点FCDEBBFCDCAPDPAAE，过点于点于点的切线作交的延长线于点．，过点作⊥⊥ABDP；（1）求证：∥PDBCAC 8，求线段的长．（2）若＝6，＝圆压轴题八大模型题（二）往往位于许多省市中考题中的倒数第二题与圆有关的证明与计算的综合解答题，引言：一般都会在固定习题模型的基础上变化是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
广东中考数学专题训练（二）：几何综合题（圆题） 例题训练1．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，BC 为⊙O 直径，BC =4．点D 在⊙O 上，连接OA 、CD 和BD ，AC 与BD 交于点E ，并作AF ⊥BC 交BD 于点G ，点G 为BE 中点，连接OG ．（1）求证：OA ∥CD ；（2）若∠DBC =2∠DBA ，求BD 的长；（3）求证：FG =2DE ．2．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径，AB =4．⊙O 切线CD 交BA 延长线于点D ，∠ACB 平分线交⊙O 于点E ，并以DC为边向下作∠DCF =∠CAB 交⊙O 于点F ，连接AF ．（1）求证：∠DCF =∠D +∠B ；（2）若AF =32，AD =52，求线段AC 的长； （3）若CEAB ⊥CF ．3．如图，⊙O为 ABC外接圆，BC为⊙O直径．作»AD=»AC，连接AD、CD和BD，AB与CD交于点E，过点B作⊙O 切线，并作点E作EF⊥DC交切线于点G．（1）求证：∠DAC=∠G+90°；（2）求证：CF=GF；（3）若EFBD=23，求证：AE=DE．4．如图，⊙O 为 ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径．连接CO ，并作AD ∥CO 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 切线DE 交CO 延长线于点E ，连接BE ，作AF ⊥CO 交BC 于点G ，交BE 于点H ，连接OG ．（1）若CF =2，OF =3，求AC 的长；（2）求证：BE 是⊙O 的切线；（3）若2AF AHDE g =23，求证：OG ⊥AB ．。
圆的相关证明与计算类型一平行线模型★1. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC＝BA，在∠ACB 的内部作∠ACF＝30°，且 CF＝CA，过点 F 作 FH⊥AC 于点 H，连接BF.︵(1)若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是 4，求AG的长；(2)请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．第 1 题图解：(1)如解图，连接OG，∵∠ACF＝30°，∴∠AOG＝2∠ACF＝60°，︵＝nπr＝60π×4＝4π；∵⊙O的半径是4，∴lAG180 180 3(2)直线BF与⊙O相切，理由如下：如解图，连接 OB，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，∵BC＝BA，OC＝OA，∴BO＝12AC，BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵FH⊥AC，∴∠FHC＝∠BOC＝90°，∴BO∥FH，∵在 Rt△FHC中，∠ACF＝30°，∴FH＝12CF，∵BO＝12AC，CF＝CA，∴BO＝FH，∵BO∥FH，∴四边形 BOHF 是平行四边形．∵∠FHC＝90°，∴平行四边形 BOHF 是矩形，∴∠FBO＝90°，∴OB⊥BF，∵OB 是⊙O 的半径，∴直线 BF 与⊙O 相切．★2.在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC 相交于点 D、E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB、FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为 6，求阴影部分的面积．第 2 题图（1）证明：如解图，连接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，第 2 题解图∵AC＝BC，∴∠A＝∠OBD，∴∠ODB＝∠A，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，OB＝OD，∴∠C＝∠DOB＝60°，由(1)知∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∵OD＝6，∴DG＝OD ＝63＝6 3，tan30°1 60π×62∴S 阴影＝S△ODG－S 扇形DOB＝×6×6 3－＝18 3－6π.2360类型二弦切角模型★1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为 3，CD＝4，求BD的长．第 1 题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠BCD，∴∠OCA＝∠BCD，∴∠BCD＋∠BCO＝90°，∴OC⊥CD，∵CO 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵在Rt△OCD中，OC＝3，CD＝4，∠OCD＝90°，由勾股定理得 OD＝OC2＋CD2＝5，∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.第 1 题解图★2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证：∠ABD＝∠ADE；(2)若⊙O的半径为256，AD＝203，求CE的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OD.∵DE 为⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠ADO＋∠ADE＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADE＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD ＝∠ADE;第 2 题解图(2)解：∵AB＝AC＝2×256＝253，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠C，BD＝CD.∵O 为 AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵OD⊥DE，∴AC⊥DE，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝（253）2－（203）2＝5，∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，∴△DEC∽△ADC，CE DC CE5∴DC＝AC，即5＝25，∴CE＝3.类型三双切线模型★1.如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O 上，CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB＝6，CB＝4，求PC的长．解：(1)PC与⊙O相切．理由如下：如解图，连接 OC，第 1 题解图∵CB∥PO，∴∠POA＝∠B，∠POC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠POA＝∠POC，又∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO，∴∠OAP＝∠OCP，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝90°∴PC 是⊙O 的切线；(2)如解图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由(1)知∠PCO＝90°，∠B＝∠OCB＝∠POC，∴△ACB∽△PCO，∴OC BC＝AC PC，又∵在 Rt△ABC中，AC＝AB2－CB2＝62－42＝25，∴PC＝OC·AC＝3×25＝35.BC 4 2★2. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为 C，交⊙O 于点 A，连接 PA，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点D.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若 cos∠CAO＝45，且OC＝6，求PB的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP 是 AB 的垂直平分线，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAO＝∠PBO.∵PB 为⊙O 的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠PAO＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴PA 是⊙O 的切线；(2)解：∵cos∠CAO＝45，∴设 AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知 OC＝3k，∴sin∠CAO＝35，tan∠COA＝43，∴CO OA＝35，即OA6＝35，解得 OA＝10，∵tan∠POA＝tan∠COA＝AO AP＝43，∴AP10＝43，解得 AP＝403，∵PA＝PB，∴PB＝PA＝403.★3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接OB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，∴PO 平分∠APC；第 3 题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝60°，∵PO 平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.类型四其他模型★1.如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接 PC 交 AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD.(1)试判断DP与⊙O的位置关系，并说明理由；若点 C 是︵的中点，AB＝，求 CE CP 的值．(2) AB 4 ·第 1 题图解：(1)PD与⊙O相切．证明如下：如解图，连接 OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∵∠POD＝∠OAP＋∠OPA＝60°，∴在△POD 中，∠OPD ＝180°－∠D －∠DOP ＝180°－30°－60°＝90°，即DP⊥OP，∵OP 是⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线；第 1 题解图(2)如解图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又 C 为︵的中点，CAB＝ABC＝APC＝，∵AB ∴∠∠∠45°∵AB＝4，∴AC＝AB·sin45°＝22，∵∠ACP＝∠ACP，∠CAB＝∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴CA CP＝CA CE，∴CE·CP＝CA2＝(22)2＝8.★2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦CE 平分∠ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的长．第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OC,∵OA=OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC 是⊙O 的切线，∴AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD,∴∠CAD＝∠OCA=∠OAC，即AC 平分∠DAB；（2）解：PC=PF，证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠PCB+∠ACD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAB＝∠CAD=∠PCB,第 2 题解图∵∠ACE＝∠BCE,∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE,∴∠PFC＝∠PCF,∴PC＝PF；（3）解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE,∴ AE BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直径，∴∠AEB=90°，∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，∴△PCB∽△PAC，∴PC PB BC CA，∵tan∠PCB=tan∠CAB=34，设PB=3x，则 PC=4x，在Rt△POC 中，（3x+5）2=（4x）2+52，解得x1=0（舍去），x2= 307，∴PF=PC=1207.★3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O 交 AB 于点 D，E是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F.(1)若BCD＝36°，BC＝10，求的长；∠BD(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第 3 题图(1)解：如解图，连接OD，∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC＝10，∴OB＝5，∴l ︵＝72π×5＝2π；BD180第 3 题解图(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，又∵点 E 是线段 AC 的中点，∴DE＝12AC＝EC，OD＝OC在△DOE 与△COE 中，OE＝OE ，∴△DOE≌△COE(SSS)．DE＝CE ∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE≌△COE，∴OE 是线段 CD 的垂直平分线，DE＝CE，∴点 F 是线段 CD 的中点，已知点 E 是线段 AC 的中点，则 EF＝12AD，∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，则AC AB＝AD AC，即 AC2＝AB·AD，而AC＝2CE，AD＝2EF，∴(2CE)2＝AB·2EF，即 4CE2＝AB·2EF，∴2CE2＝AB·EF.。
题型五圆的证明与计算,命题规律与解题策略) 【命题规律】圆的有关证明与计算是青海中考重点内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现．分值在13分左右，难度在中等偏上．【解题策略】解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线、找到解题思路与方法是关键．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．,重难点突破)与圆的基本性质有关的计算与证明【例1】(2017呼和浩特中考)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( )A．26πB．13πC.96π5D.3910π5【解析】根据条件构造垂径定理基本图，应用勾股定理求半径，最后求周长即可．【答案】B【例2】(2017哈尔滨中考)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是( )A．43°B．35°C．34°D．44°【解析】据题意，由外角关系可求得．【答案】B1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)∵∠AEC＝∠DEB，∠ACE ＝∠DBE，∴△AEC ∽△DEB ； (2)设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －2. ∵CD ⊥AB ，AB ＝8，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4.在Rt △OEB 中，由勾股定理，得(r －2)2＋16＝r 2，解得r ＝5.【方法指导】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．2．(永州中考)如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝( D )A ．45°B ．40°C ．25°D ．20°【方法指导】圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．与圆的切线有关的证明【例3】(2017荆门中考)已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O.(1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝3，BC ＝4，求BE 的长．【解析】(1)作半径证垂直，已知∠C＝90°，只需要证明AC∥OD 即可；(2)先用A 型相似求出半径，再用BE ＝AB －AE 即可．【答案】解：(1)连接OD.在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，∴DO ＝AO ＝EO ＝12AE.∵点D 在⊙O 上，且∠DAO＝∠ADO.又AD 平分∠CAB，∴∠CAD ＝∠DAO，∴∠ADO ＝∠CAD，∴AC ∥DO. ∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD⊥BC. 又OD 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)在Rt △ACB 中，∵AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5. 设OD ＝r ，则BO ＝5－r.∵OD ∥AC ，∴△BDO ∽△BCA ，∴DO AC ＝BOBA ，即r 3＝5－r 5，解得r ＝158， ∴BE ＝AB －AE ＝5－154＝54.【例4】(2017枣庄中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F.(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD ＝23，BF ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)连接OD ，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC 是⊙O 的切线；(2)在Rt △OBD 中，设OF ＝OD ＝x ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径．求出圆心角的度数，用Rt △ODB 的面积减去扇形DOF 的面积即可求得阴影部分面积．【答案】解：(1)BC 与⊙O 相切．证明如下：连接OD. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵OD＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA， ∴∠CAD ＝∠ODA，∴OD ∥AC ， ∴∠ODB ＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC 过半径OD 的外端点D ，∴BC 与⊙O 相切； (2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2. 由勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2， 即(x ＋2)2＝x 2＋12，解得x ＝2， 即OD ＝OF ＝2，∴OB ＝2＋2＝4. ∵Rt △ODB 中，OD ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×4360＝2π3，∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×23－2π3＝23－2π3.故阴影部分的面积为23－2π3.3．(2017宜城适应性试题)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A＝2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)解：(1)如图，连接OD. ∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠2， ∴∠DOC ＝2∠1. ∵∠A ＝2∠1， ∴∠A ＝∠DOC. ∵∠ABC ＝90°， ∴∠A ＋∠C＝90°， ∴∠DOC ＋∠C ＝90°， ∴∠ODC ＝180°－90°＝90°，即OD⊥AC.∵OD 为半径，∴AC 是⊙O 的切线； (2)∵∠A＝∠DOC＝60°，OD ＝2， ∴在Rt △ODC 中，tan 60°＝DC OD ＝DC 2， ∴DC ＝2tan 60°＝2×3＝23， ∴S Rt △ODC ＝12OD·DC＝12×2×23＝23，∴S 阴影＝S Rt △ODC －S 扇形ODE ＝23－60π×22360＝23－23π.4．(2017永州中考)如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP⊥AB，交弦AC 于点D ，交⊙O 于点E ，且使∠PCA＝∠ABC.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若∠P＝60°，PC ＝2，求PE 的长．解：(1)连接OC.∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB. 又∠PCA＝∠ABC， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵A B 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ACO ＋∠OCB＝90°，∴∠ACO ＋∠PCA＝90°，即∠OCP＝90°， ∴PC 是⊙O 的切线；(2)在Rt △PCO 中，tan P ＝OCPC ，∴OC ＝PC tan P ＝2tan 60°＝2 3. ∵sin P ＝OC OP ，∴OP ＝OC sin P ＝2332＝4，∴PE ＝OP －OE ＝OP －OC ＝4－2 3.【方法指导】证直线为圆的切线的两种方法：①如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”； ②如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．5．(2017山西中考)如图，△ABC 内接于⊙O，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的⊙O 的切线交于点D.(1)若AC ＝4，BC ＝2，求OE 的长；(2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25， ∴AO ＝12AB ＝ 5.∵OD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠ACB＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△AOE ∽△AC B ， ∴OE BC ＝AO AC ，∴OE ＝BC·AO AC ＝254＝52； (2)∠CDE＝2∠A.理由如下： 连接OC.∵OA＝OC ，∴∠ACO ＝∠A. ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ， ∴∠OCD ＝90°，∴∠DOC ＋∠CDE＝90°. ∵OD ⊥AB ，∴∠DOC ＋∠COB＝90°， ∴∠COB ＝∠CDE.∵∠COB ＝∠A＋∠ACO＝2∠A， ∴∠CDE ＝2∠A.【方法指导】(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得到AB 的长，从而得到半径AO .再由△AOE∽△ACB，得到OE 的长；(2)连接OC，得∠ACO＝∠A，再证∠COB＝∠CDE，从而得结论．。
【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1 如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．满分解答（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209． 此时OD ＝0.6t ＝43．所以BD ＝433-＝53． 作DE ⊥AB 于E ．在Rt △BDE 中，sin B ＝45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43． 因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径．所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．图2 图3考点伸展在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125()3252t --+． 当52t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3． 此时点P 是AB 的中点（如图5）．图4 图5例2如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．满分解答此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ．如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．图7 图8 图9例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =． 在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+． 在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =． 在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+． ①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根． ②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA == ③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ． （1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C AP 的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)224x x -⨯＝2162x x -+． 定义域是0＜x ＜8． （2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4，AP ＝4AE图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF 1(16)4x x =-．解得x =．例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,0222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①23,P P ≤x ≤－2 或2 ≤x ≤2，（2）－2≤x ≤1或2≤x ≤本题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===, 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ∴⊙的关联点为2P 和3P ．（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴令y=0得，-x+1=0,解得x=1，令得x=0得，y=0，∴A(1,0) ,B (0,1) ,分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3,∴点C坐标为，C ( -如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ,如图4,当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3,在Rt△OCB中，由勾股定理得=, C点坐标为．考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.2. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=；（2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,B D A B B D =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BECD=（2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F 由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形.O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== A C B ∴∆ 为等腰直角三角形.又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BF BD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，，AE AD ∴=考点：圆的相关知识的综合运用3.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A B、及AB的中点F重合），连接OM.过点M作ME AB⊥于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时；①判断OEM MDN∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCkMN+=，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBNα∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③ 为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：过点B作BG⊥MN,∵过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∵BG⊥MN,∴∠BGM=90°，③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG ≌△BCN, ∴∠GBN=∠CBN, ∵正方形BCDE ， ∴∠EBC=90°， ∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.4. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx +c +1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12； ②.b 为22与x 轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．出△OAM ∽△OMB ，得出OM 2=OA•OB ，由二次函数的图象与x 轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），得出方程（c +1）2=c +1，得出c=0，OM=1，证明△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，得出DE BD OM OD =，OM OADF AD=，得出OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，由x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，得出方程组122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解方程组求出b 的值即可．试题解析：①二次函数y=﹣x 2+bx +c +1的对称轴为x=2b ，当b=1时，2b =12， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM +∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM +∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ， ∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OAOB OM=，∴OM 2=OA•OB ， ∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），∵OM=c +1，∴（c +1）2=c +1， 解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =， ∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ， ∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1， ∵x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1． 考点：二次函数综合题；二次函数的性质．5． （2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MP MQ 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518PM MQ =.试题解析：（1）如图1，连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC BC =，∴∠AOC=∠BOC ，∵OA=OB ，∴OD ⊥AB ，AD=BD ； （2）如图2，延长BO 交⊙O 于点T ，连接PT∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB，又∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；考点：圆的综合题．6.（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴∠MAG=∠ABO ． ∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OA B=90°，即∠MAB=90°． ∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD ． ∴tan ∠FPE=12．∴PF ：PE ：2：1．∴△PEF 的面积=12PE•EF=1215PF 2．考点：二次函数综合题7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）123．【解析】试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ的最小值．试题解析：（1）如图1，连接BC ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC AC =，∴∠A =∠ABC ，∵EC =AE ，∴∠A =∠ACE ，∴∠ABC =∠ACE ，∵∠A =∠A ，∴△AEC ∽△ACB ，∴AC AEAB AC=，∴AC 2=AE •AB ；（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+，x =3，∴BE =PB =3=3，Rt △OPB 中，OP 3，∴PQ ﹣4PQ ．考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．8. （2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BC A=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
