三次函数零点存在性探讨

附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。

评价研究新课程NEW CURRICULUM三次函数的零点问题是函数零点问题的常见问题，挖掘有关三次函数零点理论有助于快速、准确地求解相关问题.下面就三次函数零点存在的条件做一推理和题例应用.一、三次函数零点存在的条件设关于x的三次函数为f（x）=ax2+bx2+cx+d（这里取a<0），其定义域为R，f（x）的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，该导函数是一个二次函数，其判别式为Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）.1.当Δ≤0时，f′（x）≥0（“=”仅能对x=-b3a成立）恒成立（函数的图象如图1所示），所以函数y=f（x）在实数集R上是增函数，函数没有极值点，只有一个零点，图象如图2所示，呈“立式S”形，且当x→-∞时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞.图1图22.当Δ=0时，如图3所示，函数y=f′（x）的图象的对称轴为x=-b3a，与x轴有两个交点x1、x2（x1<x2），由函数y=f′（x）的图象（图3）可知函数y=f（x）的图象大致如图4所示，图象呈“倒写S”形，且当x→-∞f（x）→+∞.图4根据图4可得函数f（x）下述性质：（1）在（-∞，x1）和（x2，+∞）上是增加的，在（x1，x2）上是减少的；（2）函数有两个极值点，一个是x1（极大值点），另一个是x2（极小值点）同时可知，此时三次函数y=f（x）的零点存在情况如下：函数f（x）有三个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）<0函数f（x）有两个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）=0函数f（x）有一个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）>0综上可知：对于三次函数f（x）=ax2+bx2+cx+d（这里取a>0）而言（下面的Δ是函数f（x）导函数的判别式）：（1）当Δ≤0时，函数y=f（x）为R上的单调增函数，其有且只有一个零点；（2）当Δ>0时，函数y=f（x）有两个极值点，其零点可以是一个、两个、三个，条件分别为：函数f（x）有三个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）<0函数f（x）有两个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）=0函数f（x）有一个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）>0二、应用举例例1.设函数f（x）=x2-ax2+3x，x∈R.（1）若f（x）恰好有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）没有极值点，求实数a的取值范围.解：f（x）=3x2-2ax2+3，其判别式Δ=4（a2-9）.(1)要f（x）恰好有两个极值点，需Δ>0，解得a<-3或a>3，即所求实数a的取值范围为（-∞，-3）∪（3，+∞）.（2）要f（x）没有极值点，需Δ≤0，解得-3≤0≤3，即所求实数a 的取值范围为［-3，3］.例2.设函数f（x）=13x2-12x2-2x+a，x∈R.（1）若f（x）恰好有三个零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）恰好有两个零点，求实数a的值.解：f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）解f′（x）=0，得x1=-1，x2=2.（1）要f（x）恰好有三个零点，需f（-1）f（2）<0，解得-56<a<103，即所求实数a的取值范围为（-56，103）.（2）要f（x）恰好有两个零点需f（-1）f（2）=0解得a=-76或a=103故实数a的值是-76或103例3.已知函数f（x）=13x3-a+12x2+ax+1（a<0）有两个大于0的零点，求实数a的取值范围.解：f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）解f′（x）=0，得x1=a，x2=1.因为a<1，所以根据三次函数的性质与图象可知，函数f（x）在x=a处取得极大值，在x=1处取得极小值.要满足题意，需f（0）>0f（1）<0{，解得a<-53故所求实数a的取值范围是（-∞，-53）.•编辑薛直艳三次函数零点存在的条件董超（陕西省乾县杨汉中学）210--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。

在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。

1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。

为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。

对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。

通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。

2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。

对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。

如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。

3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。

函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。

如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。

其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。

如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。

4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。

为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。

通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。

5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。

当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。

同时，函数可能经过x轴的一次或两次。

通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。

总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。

通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。

三次函数的零点问题
在数学中，三次函数是指一个至多存在三次幂次的多项式函数。

对
于三次函数来说，它的零点问题是一个非常重要的问题，这在许多数
学和工程问题中都有广泛的应用。

三次函数可以表示为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c和d都是
常数，x是一个变量。

三次函数的图像通常是一个S形曲线，在x轴上
存在一个或多个交点，这些交点就是三次函数的零点。

在三次函数中，求解零点问题的一种方法是通过因式分解，通过寻
找a、b、c和d的共同因子来找到零点。

如果三次函数可以因式分解，则不难看出函数的零点。

但是，在大多数情况下，三次函数并不容易
因式分解，因此必须使用其他方法来解决零点问题。

另一种解决零点问题的方法是使用数值方法，例如二分法和牛顿法。

这些方法不需要将三次函数转化为标准的形式，而是直接以数值方式
计算函数的零点。

这种方法通常需要大量的计算，因此需要使用计算
机来进行计算。

除此之外，还有一种特殊的三次函数，称为“卡迈隆函数”。

这个函
数的形式是f(x)=x^3-3x，它只有一个实零点，值为0。

这个函数具有
一些非常有用的性质，因此它在计算机图形学和密码学中经常被使用。

总之，三次函数的零点问题在数学和工程领域中有着深远的影响。

无论是使用因式分解还是数值方法，找到函数的零点都是一个非常重
要的问题。

同时，特殊的三次函数卡迈隆函数也具有非常有用的性质，在许多计算问题中都有广泛的应用。

三次函数零点存在性探讨三次函数是指函数的最高次幂是3的多项式函数，一般表示为f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d是实数且a不等于0。

在这篇文章中，我们将探讨三次函数的零点存在性。

首先，我们来看一下三次函数的图像特征。

由于三次函数的最高次幂是3，因此它的图像通常具有一条弯曲的形状，可能是上凸的也可能是下凸的。

另外，由于三次函数是多项式函数，它的图像是连续的。

这些特征对于探讨零点存在性非常重要。

在进一步探讨三次函数的零点存在性之前，我们先来回顾一下一次和二次函数的零点存在性。

一次函数的零点存在性：一次函数的图像是一条直线，它的零点存在与否取决于函数的斜率是否为零。

如果斜率不为零，那么函数的图像与x轴相交，从而存在一个零点。

如果斜率为零，那么函数的图像与x轴平行，从而不存在零点。

二次函数的零点存在性：二次函数的图像是一个抛物线，它的零点存在与否取决于函数的判别式。

如果判别式大于零，那么函数的图像与x轴有两个交点，从而存在两个零点。

如果判别式等于零，那么函数的图像与x轴有一个交点，从而存在一个零点。

如果判别式小于零，那么函数的图像与x轴没有交点，从而不存在零点。

现在我们来探讨三次函数的零点存在性。

对于一个三次函数f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d而言，它的零点是否存在与a、b、c和d的取值有关。

我们可以通过寻找函数的图像与x轴的交点来确定零点的存在性。

首先，如果三次函数的图像与x轴相交于三个不同的点，那么它必然存在三个不同的零点。

对于一个上凸函数而言，如果函数的极值点（也就是导数为零的点）在两个相邻的交点之间，那么函数的图像与x轴将会相交于三个不同的点。

同样地，对于一个下凸函数而言，如果函数的极值点在两个相邻的交点之间，那么函数的图像与x轴将会相交于三个不同的点。

其次，如果三次函数的图像与x轴相交于两个不同的点，那么它可能存在两个重复的零点。

也就是说，一些x值可以使函数的值等于0两次。

三次函数性质的再探索 —-凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中 我们遇到了这样一道题目:16。

对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点的对称中心点"有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点"，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响,这些影响主要体现在那些方面,我们下面一一道来。

1、曲线的凹凸性从图1(a ），（b ）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。

2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有oxy AB （a ）BA oxy（b ）图1()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的;如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。

从图1还可以看到如下事实:对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少。

而函数)(x f '的单调性又可用它的导数,即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起，他告诉我们求方程的根可以通过求函数的零点产生，当然，求函数的零点也可以通过求方程的根产生。

二分法是通过函数的零点求方程的近似解的一种方法，在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。

函数零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，准确认识零点的概念要注意以下几点：（1）函数的零点是实数，是函数的图像与x轴交点的横坐标，而不是一个点；（2）函数y=f（x）的零点也是方程f（x）=0的实数解；（3）并非所有的函数都有零点。

判断函数零点个数的方法：（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。

令f（x）=0直接求出方程的解，有几个解函数就有几个零点，这里涉及到解方程的问题数零点就是函数的图像与x轴的交点的横坐标就是对应方程的根，函数有几个零点对应方程就有几个根。

对于二次函数的零点非常有研究的价值：它涉及判别式、韦达定理、二次函数的图像等重要知识点。

研究二次函数的零点有利于培养学生综合运用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等多种数学思想方法（2）如果函数y=f（x）在[a，b]上图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f（a）f（b）0，且是单调函数，那么，这个函数在（a，b）内必有惟一的一个零点。

利用零点存在定理结合函数图像与性质（如单调性、奇偶性）确定函数零点的个数；（3）通过函数图像与x轴的交点个数，或将其转化为两函数的图像交点的个数来确定函数零点的个数，体现数形结合思想的应用。

数形结合是一个重要的数学思想，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。

三次函数及高次函数的性质三次函数是指具有三次方程式的函数表达式，形式通常为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数。

三次函数常见的性质包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。

除此之外，高次函数还包括四次函数、五次函数等更高次数的函数，它们也具有类似的性质。

1. 零点的个数：三次函数的特点之一是它至少有一个零点。

由于三次方程式的根为实数、复数或重数根，所以三次函数的图像通常会与 x 轴交于一个或多个点。

根据三次函数的系数，我们可以通过解方程或借助综合定理来确定零点个数和位置。

2. 导数的凸凹性：导数反映了函数在不同点处的斜率变化情况。

对于三次函数，它的导数是一个二次函数。

根据导数的正负性，我们可以判断三次函数在不同区间的凸凹性。

具体来说，当导数大于零时，函数在该区间上是上凸的；当导数小于零时，函数在该区间上是下凸的。

通过凸凹性判断，我们可以进一步分析函数的极值点、最值等。

3. 拐点的存在：拐点是函数图像在某一点处由凹转凸（或由凸转凹）的点。

对于三次函数，它的二阶导数是一个一次函数。

通过二阶导数的正负性，我们可以确定三次函数的拐点存在和位置。

对于高次函数，它们的性质与三次函数类似，但随着函数次数的增加，性质会变得更加复杂。

高次函数可能有多个拐点、多个零点，导数的次数也会增加，进而影响到函数的凸凹性。

因此，研究高次函数的性质时，我们需要更深入地分析导数和二阶导数的特征，判断函数的局部变化情况。

总结而言，三次函数及高次函数具有独特的性质，包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。

掌握这些性质有助于我们更深入地理解函数的变化规律，并在实际问题中应用函数来描述和解决。

因此，在学习数学和应用数学领域时，我们需要充分掌握和理解三次函数及高次函数的性质。