形函数的性质

三角函数的基本性质知识点总结一、正弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角A，其对边与斜边之比，即sin A = 对边/斜边。

2. 定义域和值域：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sinA，对称轴为原点。

4. 周期性：正弦函数的周期是360°或2π，即sin(A + 360°) = sinA。

5. 正弦函数的图像：根据正弦函数的性质，可以绘制出正弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动。

二、余弦函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角A，其临边与斜边之比，即cos A = 临边/斜边。

2. 定义域和值域：余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cosA，对称轴为y轴。

4. 周期性：余弦函数的周期是360°或2π，即cos(A + 360°) = cosA。

5. 余弦函数的图像：根据余弦函数的性质，可以绘制出余弦函数的图像，在0°到360°的范围内，图像呈现周期性的波动，与正弦函数的图像相似但形状相对位移。

三、正切函数的性质1. 基本定义：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角A，其对边与临边之比，即tan A = 对边/临边。

2. 定义域和值域：正切函数的定义域是除去所有使得临边等于零的实数，值域是全体实数集。

3. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-A) = -tanA，对称轴为原点。

4. 周期性：正切函数的周期是180°或π，即tan(A + 180°) = tanA。

5. 正切函数的图像：根据正切函数的性质，可以绘制出正切函数的图像，在0°到180°的范围内，图像呈现周期性的波动。

第三节
形函数的性质
在上节中，提出了形函数的概念，即
其中
Ni

1 2
ai
bi x ci y
1 xi yi 2 1 x j y j
1 xm ym
（i , j , m轮换）
现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列 式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代 数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列） 的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和 为零，并注意到（3-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、

2

aj
bj xi

cj
yi

bjx

xi


bmc j cm
x

xi



1 2
b j cm bmc j

cm
x

xi

(h)
故有
N j x, y

x xi x j xi
(g)
另外，由（3-22）可以求得
Ni x, y
1
Nj

Nm
1
Li =1/4
为了在以后讨论问题中能够比较
m Li =0
方便地确定单元中任意一点处的 o
x
形函数数值，这里引入面积坐标的概念。 图3-4
在图3-4所示的三角形单元ijm中， 任意一点P(x , y)的位置可
以用 以下三个比值来确定
Li

i
Lj

j
Lm

m
(3-24)
式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角形

CD, EF----不配, 2 节点边缘 ~ 一个3节点边缘.
GH----边节点不与角节点连接
性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分
公式为
A
A Nidxdy 3
1
ij
Ni dl
ij 2
式中 ij 为 ij 边的长度。
(1-23）
3维情况—体积坐标 3D case ---- Volume coordinates
§4. 自然坐标的高阶形式
对于第 j 节点，自然坐标为：
采用 Lagrange interpolation, 第 i 自由度的形函数为 Obviously
（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。
条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
与 Lagrange interpolation 相同. 当 m=2, 可以考虑梁的弯曲 beam bending. 则需要考虑 2m=4 阶函数
Solve simultaneous eqs for
§3. 自然坐标 Natural Coordinates
局部无量纲坐标体系 基于单位几何特性定义称为自然坐标
一般而论，位移函数选取会影响甚至严重 影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选 取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元 中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定 为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。 这正是有限单元法具有的重要优势之一。
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中

它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w


二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，

1 2
(b

ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w

1 z
是由 z1

1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。

有限元分析基本理论问答基础理论知识1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

4. 有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。

对无限求解域问题没有较好的处理办法。

尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。

5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。

7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。

8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。

9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。

？？？
4
Ni =1 i
j
i m
Nj =1 j
i m
j
Nmm =1
N
（I，j，m）
y
Ni =1
i
Nj =1 j
Nm =1 m
x
图1-4
也可利用行列式代数余子式与某行或列元素
乘积的性质（等于行列式值或0）证明。
5
性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有
Ni (x,
y)
1
x xi x j xi
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nm(x, y) 0
证
N
y
Ni(x、y)
j (xj，yj)
1 i(xi，yi), y) 1
x x j xi x j
Ni (x,
y)
x xj xi x j
x
xi
图1-5
x xi xi x j xi x j
3
利用Ni
1 2A
(ai
bi x
ci y)和ai、bi、ci公式证明
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m
N
（i，j，m）
y Ni =1
i
m
图1-3
j
x
性质2
在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对
于本单元，有
Ni (x, y) N j (x, y) Nm (x, y) 1
n 0
Ni
(x,
y)
1
x xi x j xi
N j (x,
y)
x xi x j xi
Nk (x, y) 0 边界ij上位移： u Niui N ju j

(5.102)
用结点位移 代入并求解 ,
(5.103)
得到
(5.104)
上式等号右端第一项矩阵即为形函数。
（5）一维三次四结点单元（Lagrange型）
图3-11一维三次四结点单元模型
位移函数为三次方程
(5.105)
需要四个结点参数才能唯一地确定其中的常系数。这四个结点可以分别取两个端点和两个三分点。类似地，可以得到如下形函数方程
第六章
在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。
选择多项式位移模式时，还应考虑多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外结点的自由度数。通常取项数与单元的外结点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。
simplify(factor(N))
（7）二维一次四结点单元（平面四边形单元或矩形单元）
用形函数表达的位移方程如下
(5.113)
其中形函数矩阵的元素为
，i=1,2,3,4(5.114)
对于平面四边形单元和矩形单元,可用局部坐标系统很好地加以解释。局部坐标的范围定义为-1~+1,四个结点的值固定。局部坐标系下的形函数为

详细描述
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。

叙述有限元方法的基本步骤。

答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。

即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。

概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。

该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。

有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。

（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。

）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。

2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。

答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。

在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。

第二节 形函数的性质在讨论常应变三角形单元时，提出形函数1()2i i i i N a b x c y =++∆(i,j,m 轮换)式中1211i ij jm m x y x y x y ∆=其第一行、第一列元素的代数余子式为()111jjm m i j j mmx y a x y x y x y +-==- 其第一行、第二列元素的代数余子式为121(1)1jm i j my b y y y +=-=-其第一行、第三列元素的代数余子式为()13111jm i j mx c x x x +-==- 同理可以证明第二行、第三行元素的代数余子式分别为,,j j j a b c 和 ,,m m m a b c 。

同理,,m i j a a a ------------第一列三个元素的代数余子式 ,,m i j b b b ------------第二列三个元素的代数余子式 ,,m i j c c c ------------第三列三个元素的代数余子式注： 行列式的性质1. 行列式的任一行（或任一列）的元素与其对应元素的代数余子式乘积之和=行列式的值2. 行列式的任一行（或任一列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和=零一、 形函数的性质 1.1211i ij j m mx y x y x y ∆= i i i i i a b x c y =++所以有1(,)()12i i i i i i i i N x y a b x c y =++=∆——即形函数i N 在节点i 处的值为1同理1(,)()12j j j j j j j j N x y a b x c y =++=∆——即形函数j N 在节点j 处的值为11(,)()12m m m m m m m m N x y a b x c y =++=∆—即形函数m N 在节点m 处的值为1又根据行列式性质21(,)()02i j j i i j i j N x y a b x c y =++=∆ 1(,)()02m m m m i i i i N x y a b x c y =++=∆同理(,)0,(,)0(,)0,(,)0j i i j m m m i i m j j N x y N x y N x y N x y ====综上，有1,,,,0,(,)r s s r sr s i j m r sN x y ⎧⎪⎨⎪⎩==≠=由此可见，形函数i N 在节点i 处的值等于1，而在其他节点处的值皆等于零 (i , j , m 轮换)。

实验三：三角形单元的形函数性质验证
一、 实验目的
1、加深对平面三角形单元有限元分析过程的理解；
2、掌握平面三角形单元形函数矩阵的求解过程和性质。

二、 实验要求
1、明确形函数矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab 计算程序并调试运行。

三、 实验内容
用有限元法求图示平面三角形单元的形函数。

已知节点i,j,m 在xoy 平面中。

用所编程序验证形函数特性：
1、在单元任一点上，三个形函数之和等于1；
2、形函数N i 在i 点的函数值为1，在j 点及m 点的函数值为零；
3、三边上任一点的形函数与第三个顶点的坐标无关。

四、 实验提示
1、()() 21,y c x b a y x N i i i i ++∆=
，其中下标i , j , m 轮换; 2、()()m i j m i j i m m j j i y x y x y x y x y x y x ++++=∆2
1 -21; 3、j m i m m i j m m j i x x c y y b y x y x a -=-=-=;;，其中下标i , j , m 轮换。

函数的意义和性质函数是数学中一种重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用和重要的作用。

本文将探讨函数的意义和性质。

一、函数的意义函数是用来描述两个变量之间的关系的一种数学工具。

它将一个自变量的值映射到一个或多个因变量的值。

函数可以帮助我们理解事物之间的联系和变化。

它在数学、物理、化学、经济等领域中都有重要的应用。

首先，函数在数学中是一种基本的工具，它可以被用来建模和解决各种问题。

通过函数，我们可以找到数学上的规律和模式。

在代数中，函数可以用方程或不等式的形式表示，通过求解这些方程或不等式，我们可以得到函数的解析解或数值近似解。

在几何中，函数可以用图像的形式表示，通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和变化规律。

其次，函数在物理学中具有重要的作用。

物理学中的很多规律和定律都可以用函数的形式来描述。

例如，牛顿第二定律可以用函数表示为力与加速度之间的关系，电阻与电流之间的关系可以用函数来描述。

通过研究函数，我们可以推导出物理规律，解决物理问题。

此外，函数在经济学中也非常重要。

经济学研究的主要对象是人类的经济活动，这些经济活动往往涉及到各种变量之间的关系。

函数可以用来描述这些变量之间的关系，例如收入与消费之间的关系、价格与供求之间的关系等。

通过分析函数，我们可以预测经济变量的趋势和变化，为经济政策的制定提供参考依据。

综上所述，函数在数学、物理、经济等领域中都有重要的意义。

它帮助我们理解事物之间的关系和变化，解决问题，预测趋势，推导规律。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解函数的本质和应用具有重要的意义。

首先，函数具有唯一性。

对于给定的自变量，函数只能有一个确定的因变量。

这意味着函数中的每一个点都有唯一的函数值。

这个特性使得函数具有确定性和可靠性。

其次，函数具有一一对应性。

如果一个函数的每一个自变量对应不同的因变量，且每一个因变量对应不同的自变量，那么这个函数被称为一一对应函数。

正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。

正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。

正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。

2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。

3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。

2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。

正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。

2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。

3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。

就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。

正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。

0
k k- 1 x x
0
0
1 k- 1
k k- 1
0
0
故 从而 所以 其中
1 令 x → 0 得 kf ( 0) = f ( 0) , 2 1 1 由于 k ∈ ( , ), 4 2 ( ) f 0 = 0,
d 2 = 0, f ( x ) = cx 4k - 1 , c = d 1 4k - 1. f ( x ) = cx 4k - 1 ,
1- 2k 1- 2k 1- 2k
k- 1
k
x
0
1
x
0
1
1- k
k
前式两边对 x 求导得
f (x ) = C x
2k - 1 1- k
反之, 若 经计算得
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第 2 期 周本虎等: 形心函数的性质
21
∫
Ε
0
+ ∞
f ( t) d t +
0 2
nT
F ( t) d t +
T
2
0
n T
3
3
=
k
2 f (x )
2
T
而
lim
f ( t) d t ∫ =
0
x
F ( t) d t + ( n + 1) tF ( t) d t + ∫ ∫ k n T F ( t) d t + ∫ 2nT
0
T
3
( n + 1) 3 T 3 ,
3

同理side2与side3之间线段定义为q与r。
所有点数量: 构造形函数 N i , 因此
N 必须满足形函数的一般条件
与1维情况相似，写以下形式：
where: p + q + r = m , i=1, 2, ……, M
e.g. For m=1, (Note p=m-q-r, q, r, count from zero)
For m=2 (quadratic element)
4.3 2维情况—矩形单元 4节点矩形单元的形函数
双线性插值函数： v 写为： where
Same as
以上方法可以推广到高阶单元 1. 二次矩形单元 (9 节点矩形单元)
2. 构造同以上
双线性矩形单元形函数中缺少 双二次矩形单元形函数中3阶和4阶 项都不完备 随着项数的增加，阶数也增加，产 生过多的内部自由度
定义附属插值函数
m=1, 线性单元, 2 节点
0
m=2, 二次单元, 3 节点
4.2 2维情况—三角形单元
the area coordinates L i
将1到side1之间划分为m段，每段定义为数 字0－m，线段0即为side1，其中一个定义 为p，这些线段在side2与side3中产生了m +1个点，这个可定义m阶的多项式。
x − xi x j − xi
(2) Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm(x, y) = 1
性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分
公式为
A
∫ ∫A Nidxdy = 3
1
∫ij Ni dl = 2 ij
式中 ij 为ij
边的
长度。
(1-23）

拉格朗日插值写形函数1.引言1.1 概述在文章的概述部分，我们将简要介绍拉格朗日插值和形函数，为读者提供一个全局的了解。

拉格朗日插值是一种插值方法，旨在通过已知数据点的信息来估计未知数据点的值。

这种插值方法的核心思想是利用已知数据点之间的关系推断未知数据点的数值。

通过这种方式，我们可以通过已知的离散数据点来估计出在这些点之间的任何位置的数值。

形函数是数学领域中的一个重要概念，在物理和工程领域尤其常见。

形函数是用来定义局部区域内的数值变化方式的函数。

通过形函数，我们可以描绘出一个物体或系统在不同位置的行为特征。

这对于建模和分析复杂的物理现象非常关键，因为形函数允许我们从局部的角度来理解系统的全局行为。

在本篇文章中，我们将重点讨论如何使用拉格朗日插值来计算形函数。

我们将详细介绍拉格朗日插值的原理和计算方法，并使用几个示例来说明其在求解实际问题中的应用。

此外，我们还将探讨形函数的概念及其在不同领域中的应用，以及形函数的特性和性质。

通过本文的阅读，读者将能够深入了解拉格朗日插值和形函数的基本原理，以及它们在实际问题求解中的重要作用。

同时，我们还将展望这些方法的未来发展方向，并讨论它们在新兴领域中的应用前景。

在接下来的章节中，我们将逐步展开这些内容，提供更详细的解释和示例，希望读者能够通过本文深入理解拉格朗日插值和形函数，并将其应用于自己的研究或实践中。

文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构文章主要分为以下几个部分组成：引言：在引言部分将对本文的研究领域进行概述，介绍拉格朗日插值和形函数的背景和基本概念，并阐明本文的目的和意义。

正文：正文部分将详细介绍拉格朗日插值和形函数的相关理论和应用。

其中，2.1小节将重点介绍拉格朗日插值的基本原理和推导过程，通过数学公式和图表的方式进行解释，使读者能够清晰地理解和掌握该方法。

2.2小节将深入探讨形函数的定义和性质，以及其在拉格朗日插值中的作用和应用。

结论：在结论部分将对本文的主要研究内容进行总结，回顾拉格朗日插值和形函数的重要性和研究意义，并提出展望和进一步研究的方向。